采用高斯偽譜法結(jié)合延拓法求解最優(yōu)控制理論中的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題摘要：在這項(xiàng)研究中，本文提出了一種求解兩點(diǎn)邊界高效的偽譜法去求解最優(yōu)控制理論中的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題。在我們所提出的方法，將高斯偽譜利用方法將兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題變?yōu)榇鷶?shù)方程組的求解。如果初值估計(jì)值選擇不好，這種方法可能導(dǎo)致方程收斂速度緩慢，甚至失敗。為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，我們采用了數(shù)值延拓法，解決了高斯偽譜法的初值估計(jì)問(wèn)題。本組合方法的主要優(yōu)點(diǎn)是即使使用少量的離散點(diǎn)也可以得到良好的結(jié)果，在求解代數(shù)方程的時(shí)候，對(duì)初始估計(jì)值問(wèn)題成功解決。關(guān)鍵詞：高斯偽譜法；延拓法；TPBVP；最優(yōu)控制Gausspseudospectralandcontinuationmethodsforsolvingtwo-pointboundaryvalueproblemsinoptimalcontroltheoryAbstract：Inthisstudy,thepaperproposeanefficientpseudospectralmethodforsolvingtwo-pointboundaryvalueproblemsinoptimalcontroltheory.Inourproposedapproach,theGausspseudospectralmethodisutilizedtoreduceatwo-pointboundaryvalueproblemintothesolutionofasystemofalgebraicequations.However,theconvergencetothesolutionofthesystemofequationsobtainedmaybeslow,oritcanevenfail,ifaverygoodinitialestimateoftheoptimalsolutionisnotavailable.Toovercomethisdrawback,weemployanumericalcontinuationmethod,whichresolvesthesensitivityoftheproposedmethodtotheinitialestimate.Themainadvantagesofthepresentcombinedmethodarethatgoodresultsareobtainedevenwhenusingasmallnumberofdiscretizationpoints,whilethesensitivitytotheinitialestimatewhensolvingthefinalsystemofalgebraicequationsisresolvedsuccessfully.Keywords：GP；continuation；TPBVP；optimalcontrol1、引言最近幾十年中，各種方法已經(jīng)有效地解決兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題(TPBVPs)特別是在最優(yōu)控制理論領(lǐng)域，如打靶法。然而，在一些現(xiàn)實(shí)生活中的例子，這些方法都對(duì)代數(shù)方程組的數(shù)值比較敏感和需要其他的數(shù)值方法解決它們。在本研究中，本文提出了一種有效解決來(lái)自一階必要條件的最優(yōu)控制問(wèn)題，本文也解決了所提出的方法初值估計(jì)對(duì)結(jié)果影響比較靈敏的問(wèn)題。最后代數(shù)系統(tǒng)的解的估計(jì)。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們結(jié)合高斯偽譜法和延拓法得到有效解決TPBVPs的統(tǒng)一方法。高斯偽譜法求解圾優(yōu)控制問(wèn)題的主要思路足通過(guò)在一系列Legendre-Gauss(LG)點(diǎn)上構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式來(lái)近似系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制變量,然后將連續(xù)最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,再利用發(fā)展較成熟的解決非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題方法進(jìn)行求解,最終得到原最優(yōu)控制問(wèn)題的解。延拓法已經(jīng)成功解決各種問(wèn)題，主要的思想是定義一組參數(shù)，首先解決相對(duì)容易的問(wèn)題然后再解決最初的難問(wèn)題，將上一次方程的結(jié)果作為本次迭代的估計(jì)值直到將最初的問(wèn)題求解成功。2、提出問(wèn)題在這項(xiàng)研究中，我們感興趣的是以下類(lèi)的最優(yōu)控制問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題包括尋找一個(gè)控制在本文研究中對(duì)下面的最優(yōu)控制問(wèn)題感興趣。該問(wèn)題是找到一個(gè)控制向量u(t)和相應(yīng)的狀態(tài)向量x(t)，和可能的終值時(shí)間tf使得J函數(shù)最?。杭s束以及邊界條件：得到哈密頓方程如下：根據(jù)pontryagin’s極小值原理，其解需要滿(mǎn)足下面的必要條件：整理上面的式子可以得到微分方程為：同時(shí)需要結(jié)合邊值條件考慮橫截條件，當(dāng)x（tf）自由時(shí)，tf固定時(shí)，其TPBVP方程（1）如下：當(dāng)tf自由時(shí)，TPBVP方程（2）如下：2.1、GP方法的背景高斯偽譜法相較于其他求解最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值方法有很多的優(yōu)勢(shì),首先也是最重要的一點(diǎn)就是滿(mǎn)足協(xié)調(diào)映射定理(CostateMappingPrinciple,CMP),即轉(zhuǎn)化后得到的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的KKT條件精確等價(jià)于離散一階必要條件。這一特性表明非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的求解結(jié)果在數(shù)值上等價(jià)于離散優(yōu)化條件的解,也意味著非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的解滿(mǎn)足偽譜法對(duì)最優(yōu)條件的估計(jì)。故高斯偽譜法可以綜合利用直接法和間接法兩種方法的優(yōu)勢(shì)。同時(shí)系統(tǒng)的協(xié)態(tài)變量也可以山非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的KKT乘子直接估計(jì)出來(lái)。另外,該方法具備了典型譜方法的收斂速率快的特性,快速的收斂速率預(yù)示著最優(yōu)控制問(wèn)題的精確解可以用更少的節(jié)點(diǎn)以更短的計(jì)算時(shí)間獲得。采用遞推方式將M階的勒讓德多項(xiàng)式表達(dá)如下：Pm（x）屬于（-1,1）之間，其中是方程的根，也是高斯節(jié)點(diǎn)。根據(jù)拉格朗日多項(xiàng)式，且不是LG節(jié)點(diǎn)，得到：克羅內(nèi)克公式：函數(shù)f被定義在）（-1,1）之間，采用拉格朗日多項(xiàng)式方法進(jìn)行近似得到：其中在應(yīng)用高斯偽譜法的時(shí)候，還需要知道f的連續(xù)光滑一階導(dǎo)數(shù)函數(shù)，被近似得到：可以將變量通過(guò)將范圍擴(kuò)展到(a,b)之間。用同樣的方法，可以得到在（a，b）之間的積分近似函數(shù)為：2.2、高斯偽譜法的應(yīng)用本文首先考慮TPBVP在固定終值時(shí)間問(wèn)題下的高斯偽譜法應(yīng)用。使得屬于（0，tf之間，根據(jù)可以推導(dǎo)出一系列的高斯節(jié)點(diǎn)，然后使用該系列高斯節(jié)點(diǎn)去近似y(t)和，其近似函數(shù)表達(dá)為：將上式帶入約束方程表達(dá)式，得到采用高斯偽譜法的近似約束方程如下：同理，可以得到采用高斯偽譜法的近似邊界條件方程如下：最后，得到離散的TPBVP方程組可以通過(guò)方程組（1）得到，如下：應(yīng)用上述的非線(xiàn)性方程組求得系數(shù)Ci2.3、自由邊界求解此處考慮當(dāng)終值時(shí)間自由時(shí)，首先本文將時(shí)間區(qū)間轉(zhuǎn)換到（0,1）之間，假設(shè)。根據(jù)方程組（2）采用固定終值時(shí)間的方法，得到近似約束條件和近似邊界條件為：用同樣的方法，應(yīng)用高斯方法得到終值時(shí)間自由的時(shí)候非線(xiàn)性方程組如下：此時(shí)，需要求解終值時(shí)間tf和系數(shù)Ci3、延拓法的應(yīng)用一般來(lái)說(shuō)，需要求解上述非線(xiàn)性方程組需要有一個(gè)估計(jì)初值，一個(gè)合適的估計(jì)初值可以將非線(xiàn)性方程組順利求解，但是如果估計(jì)初值不合適，有可能導(dǎo)致收斂速度慢，甚至求解失敗。并且找到一個(gè)合適的估計(jì)初值非常困難，需要很豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，為了克服這個(gè)缺陷，本文采用延拓法解決非線(xiàn)性方程組對(duì)初值敏感問(wèn)題。為了利用延拓法求解TPBVP問(wèn)題，本文首先選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的TPBVP問(wèn)題開(kāi)始求解此處，本文將詳細(xì)求解固定終值時(shí)間的TPBVP問(wèn)題，通過(guò)方程組（1）得到相應(yīng)的兩個(gè)方程組為：兩個(gè)方程組的維數(shù)相同，構(gòu)造兩個(gè)方程組如下：從這個(gè)方程組中一開(kāi)始，最后希望當(dāng)求解得到TPBVP的解。采用高斯偽譜法得到下面非線(xiàn)性方程組如下：為了求解上面的參數(shù)需要不斷的改變，不斷的嘗試用得到的解作為的非線(xiàn)性方程組的解，一直通過(guò)迭代的方程到，此時(shí)得到TPBVP的解。用同樣的方法，可以采用高斯偽譜法結(jié)合延拓法求解得到自由邊界的TPBVP問(wèn)題的解。3.1步長(zhǎng)的控制策略為了去減小計(jì)算時(shí)間，步長(zhǎng)應(yīng)該足夠的大，但是系數(shù)將會(huì)變小且迭代次數(shù)增加。本文，采用自適應(yīng)的步長(zhǎng)策略來(lái)解決延拓法的步長(zhǎng)問(wèn)題，這種方法通過(guò)求解NEL的迭代次數(shù)來(lái)調(diào)整。首先，選擇一個(gè)最大的非線(xiàn)性方程求解迭代次數(shù)，然后使用步長(zhǎng)的變化量去不斷的去求解下一個(gè)步長(zhǎng)大小，根據(jù)下面的幾種類(lèi)型去判斷所選取步長(zhǎng)是否合適。1、如果NLE方程在迭代m結(jié)束后不收斂，則減少步長(zhǎng)。2、如果NLE方程收斂且迭代次數(shù)大于，則步長(zhǎng)合適且保持不變3、如果NLE方程交點(diǎn)小于，則步長(zhǎng)太小而應(yīng)增加步長(zhǎng)最后，總結(jié)的詳細(xì)求解步驟如下：1：設(shè)定C作為非線(xiàn)性方程組的解2：重復(fù)3：設(shè)置，為的最小值4：應(yīng)用求解非線(xiàn)性方程組，盡量讓迭代次數(shù)等于5：if非線(xiàn)性方程不收斂6：將減少一半。7：elseif非線(xiàn)性方程組收斂8：設(shè)定C作為非線(xiàn)性方程組的解9：設(shè)置10：設(shè)定作為非線(xiàn)性方程組的迭代次數(shù)11：ifthen將減少一半。12：endif13：endif15：untilI<14、實(shí)例仿真在這個(gè)部分，本文采用數(shù)值例子去表明高斯偽譜法結(jié)合延拓法求解TPBVP問(wèn)題的有效性。本文采用Mtalab的fsolve函數(shù)最大迭代次數(shù)為20進(jìn)行求解，可以用TloFun和Tolx獲取求解精度，設(shè)置TolFun和Tolx小于10-12，數(shù)值例子如下?？紤]如下的最優(yōu)控制問(wèn)題，其終值時(shí)間確定，成本函數(shù)為：約束以及邊界條件為：哈密頓函數(shù)為：本文求解TPBVP問(wèn)題采用高斯偽譜法和延拓法，首先考慮最簡(jiǎn)單的初始問(wèn)題：初始邊界條件為：最后得到的最優(yōu)解析解為：在應(yīng)用高斯偽譜法結(jié)合延拓法之前，為了描述僅僅用高斯偽譜法求解TPBVP問(wèn)題獲取初值估計(jì)的難度，應(yīng)用GP法用1000個(gè)隨機(jī)初始估計(jì)值去求解，最后進(jìn)行迭代100次結(jié)果顯示失敗率為40%，并且平均有36次迭代沒(méi)有收斂。接下來(lái)，本文采用GP法結(jié)合延拓法進(jìn)行求解，最大迭代次數(shù)為20，初始步長(zhǎng)為0.2，所得結(jié)果總結(jié)如表1，結(jié)果顯示在35次迭代之后會(huì)函數(shù)會(huì)收斂。圖1描述了每一次迭代所得到的變化圖。為了表明這種方法的準(zhǔn)確性以及收斂度，表2顯示了成本函數(shù)的最小值，變量的初值，終值。表1從上表中可以得出，在求解問(wèn)題的時(shí)候步長(zhǎng)的變化量，變化情況以及迭代次數(shù)。圖1表2從上表之中可以看出不同的m值所對(duì)應(yīng)的J函數(shù)最小結(jié)果，也可以看出主要變量的初值和終值。5、小結(jié)通過(guò)本文的研究，我們采用高斯偽譜法結(jié)合延拓法成功求解了兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，并且得到了數(shù)值解。采用延拓法成功解決了高斯偽譜法對(duì)其估計(jì)初值的高度敏感性問(wèn)題，使得求解該類(lèi)最優(yōu)控制問(wèn)題顯得更加方便，有效。致謝感謝王老師十周以來(lái)的最優(yōu)控制技術(shù)的講解，從平時(shí)的上課過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)王老師真的是一位非常負(fù)責(zé)的老師，我也學(xué)到了很多求解最優(yōu)控制的問(wèn)題，比較典型的就是兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，在期末考核論文中，我也選擇了關(guān)于兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的求解，但是是采用比較新的高斯偽譜法結(jié)合延拓法去進(jìn)行求解得到數(shù)值解。目前，正在想辦法用該種方法去實(shí)現(xiàn)四絕伺服系統(tǒng)的建模求解，希望我也能夠成功。同時(shí)，也謝謝我的同學(xué)以及朋友在我遇到閱讀論文以及一些專(zhuān)業(yè)知識(shí)方面遇到難題時(shí)，他們能夠幫助解答。參考文獻(xiàn)[1]M.Osborne,Onshootingmethodsforboundaryvalueproblems,J.Math.Anal.Appl.27(1969)417–433.[2]H.Oberle,W.Grimm,BNDSCO–Aprogramforthenumericalsolutionofoptimalcontrolproblems,TechnicalReport515-89/22,InstituteforFlightSystemsDynamics,DLR,Oberpfaffenhofen,Germany,1989.[3]J.Betts,Surveyofnumericalmethodsfortrajectoryoptimization,J.Guid.ControlDyn.21(1998)193–207.[4]M.Shamsi,Amodifiedpseudospectralschemeforaccuratesolutionofbang-bangoptimalcontrolproblems,Opt.ControlAppl.Methods32(2011)668–680.[5]M.Shamsi,M.Dehghan,Determinationofacontrolfunctioninthree-dimensionalparabolicequationsbyLegendrepseudospectralmethod,Numer.MethodsPartialDiffer.Equ.28(2012)74–93.[6]M.Dehghan,A.Taleei,NumericalsolutionoftheYukawa-coupledKlein–Gordon–Schr鰀ingerequationsviaaChebyshevpseudospectralmultidomainmethod,Appl.Math.Modell.36(2012)2340–2349.[7]T.Zhao,C.Li,Z.Zang,Y.Wu,Chebyshev–Legendrepseudo-spectralmethodforthegeneralisedBurgers–Fisherequation,Appl.Math.Modell.36(2012)1046–1056.[8]L.N.Trefethen,SpectralMethodsinMATLAB,SIAM,Philadelphia,2000.[9]W.Gautschi,OrthogonalPolynomials:ComputationandApproximation,OxfordUniversityPress,Oxford,2004.[10]D.Gottlieb,M.Hussaini,S.Orszag,Theoryandapplicationsofspectralmethods,in:R.G.Voigt,D.Gottlieb,M.Y.Hussaini(Eds.),Spectralmethodsforpartialdifferentialequations,SIAM,Philadelphia,PA,1984,pp.1–54.[11]L.Zhang,H.Gao,Z.Chen,Q.Sun,X.Zhang,Multi-objectiveglobaloptimalparafoilhomingtrajectoryoptimizationviaGausspseudospectralmethod,NonlinearDynam.72(2013)1–8.[12]A.Rao,D.Benson,C.Darby,M.Patterson,C.Francolin,I.Sanders,G.Huntington,Algorithm902:GPOPS,AMATLABsoftwareforsolvingmultiple-phaseoptimalcontrolproblemsusingtheGausspseudospectralmethod,ACMTrans.Math.Softw.37(2010).[13]D.Benson,AGaussPseudospectralTranscriptionforOptimalControl(Ph.D.thesis),DepartmentofAeronauticsandAstronautics,MassachusettsInstituteofTechnology,2004.[14]D.Benson,G.Huntington,T.Thorvaldsen,A.Rao,Directtrajectoryoptimizationandcostateestimationviaanorthogonalcollocationmethod,J.Guid.ControlDyn.29(2006)1435–1440.[15]G.Elnagar,M.Razzaghi,AChebyshevspectralmethodforthesolutionofnonlinearoptimalcontrolproblems,Appl.Math.Modell.21(1997)255–260.[16]H.Marzban,M.Razzaghi,RationalizedHaarapproachfornonlinearconstrainedoptimalcontrolproblems,Appl.Math.Modell.34(2010)174–183.[17]F.Fahroo,I.Ross,DirecttrajectoryoptimizationbyaChebyshevpseudospectralmethod,J.Guid.ControlDyn.25(2002)160–166.[18]E.Allgower,K.Georg,Introductiontonumericalcontinuationmethods,ClassicsinAppliedMathematics,vol.45,SocietyforIndustrialandAppliedMathematics(SIAM),Philadelphi