考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)強(qiáng)化講義（數(shù)一主講：：名師，博士，著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專(zhuān)家，教育部“國(guó)家精品課程建設(shè)骨育《入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試參考書(shū)（大綱解析》編者之一，2007年 TOC\o"1-1"\h\z\u第一講行列 第二講矩 第三講向量組與方程 第四講特征值與二次 第一講行列（1）n階行列式由n個(gè)nnn維圖形的體積 0n個(gè)n 0n個(gè)n維向量線性相關(guān)na12 an 1T2n 1T2nTn,i1,,i1, ,n,i ,,i ,ki ,n,ii,ii ,n ,i ,n ,i ,i ,j,i ,j ,n ,j ,i

,i,i ,n ,ki,i ,j,i ,j ,n ,i ,jki 則1,2,3,5

2，1,,2,3【例2】任給4維列向量1,2,3,4，則12,23,34,41 【例3】設(shè)a，b，c為已知常數(shù)， a，

0nb c

an

j1j2

ajna1

a2

2n①展開(kāi)后有n！項(xiàng)；②每項(xiàng)是取自不，不同列的2n個(gè)元素的乘積jn

標(biāo)順排后，每項(xiàng)前乘以(1)j1注：(j1 jn)：j1 jn的逆序數(shù)a12a23a31a45a54a66前 號(hào)a45a16a53a22a64a31前 號(hào)【例2】(1,2, ,n) ，(n,n ,3,2,1) x101x2323x2112x【例3】求f(x)x101x2323x2112x

A

A(1)ij aAaA aAai1Ai1ai2aAaA a1j1 2j2 nj

2D4

3040222003040222000532 【例3】設(shè)D4的某行元素全為2，且D4=3，則Aij i1j3 【例1】設(shè) 5 10，求 31a2anabbabbbbbab[a(n1)b](abbba123n212n321nnnn1

x1 x1x2 x2

x2，n2xn xn xn1 212nnn1 212nnn1 V

x2(xx

1iVn0xixj,ibcaca

1111abcdd1111abcdddabcd0

a0001a0001a0001a00000a0001a

(n第二講

a11 a12 a1n 1．定義由n個(gè)m維列向量a21，a22 ，a2n拼成.記 1 2 a1n 2n

am1

am2

amnaa aam1 m2 mn AB(aijbij kA(kaij10每一個(gè)aij20若 ，kAkn AmsBsn(cij)mn 1 1 20 a is 其中cijai1b1j aisbsjAnnBnnAABAABAA0AAB0A0BABACA0推不出BCABACA0BC.①零矩陣 0 0 1 0 0 ③數(shù)量矩陣 k Ann，AkEkEA n⑤對(duì)稱(chēng)陣ATAa 稱(chēng)陣ATAaiiaa(i a13 A AT

a23

33 3310AAT；20(AT)TA；30(kA)TkAT；40(AB)TATBT；50(AB)TBT 是正交陣AATATAA為正交陣A由標(biāo)準(zhǔn)正交基組成 【例1】設(shè)A 2，則A 3【例2】設(shè)A 4，求An 1 【例3】 ，證明：x(a,a ,a)T，xTAx0A 稱(chēng)矩陣

AB0AB0A A An1A AAAA* n2A的伴隨矩陣 A nnAA*A*AAAA0AA11A*AA0（A可逆A①A11A②k0，(kA)*③(AT)*④(A1)*，0.⑤(A*)*An2，0.⑥(AB)*11

a

， ，

1【例2】 ，證明：(EA)與(EA)*可交換 ， ，若ABE，則A、B可逆，且A1B，B1A，AB (A1)1Ak0，(kA)11A1A、B可逆AB可逆，且(AB)1B1A1kA④(AT)1(A1)T；⑤A1A(AB)1A1【注】AB)*A*(AB)TAT【例1】 ，A23A2E0，證明：A、A2E均可逆，并求A1，(A2E)1 En經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣，叫初等矩陣Eij：互換初等矩Eij(k：行——第ik+j行jk+第i①[E(k)]1E(1)，E1E，[E(k)]1E i 可逆，交換A的第1、2列得到B，則B*可由（）互換得到（A）A*的第1、2 ABEABA1BB1A A②A* A1A

1 【例1】A b，求A 【例2】求A 1的逆矩陣A1 0 AE行變換EA1 【例】A 2，求A1 （1）AAB可逆，①XA1B；②XBA1XA(1,2

,n)(1,2 Aii(i1, ,n有時(shí)，設(shè)X(xij)mn，代入方程xij為未知的方程組，求之. 0 0【例1】設(shè)A* ，ABA1BA13E，求B 0 1【例2】A 0，AXEA2X，求X 1 1 A1 A2B1 B2 A1B1 A2B2 A B B AB 4 4 4 D ②數(shù)乘k B D D W CX B Y D W CX

TE

PQ

A b A2

AAT

4

4 O O ①An，Bn， ②1）AA

可逆A1

A

A1 s s A A1 1 sA可逆，則A 可逆，且A1

D B1DC12）B、C可逆，A C C O A1 OA C1 C B A1 C A B1DC1 ③An， C

O

OAB BB A A A(1)nmAB D

ADCA1BDA012n1122nn第三講向量組與方①一組不全為0的數(shù)x1,x2 ,xs，使得x11x22 xss0成立.稱(chēng)1,2

x1 , ,x20有非零解 s xs ,s)②若x11x22 xss0成立，必使x1x2 xs0，稱(chēng)1,2 ,s線性關(guān)x1 , ,x20只有零解 s xs ,s)①設(shè)mn

10mn，用行列式

,

0020mn，必相關(guān)

（②1）部分相關(guān)整體整體無(wú)關(guān)部分無(wú)原來(lái)相關(guān)縮短相原來(lái)無(wú)關(guān)延長(zhǎng)無(wú)3 9 8 【例】17，26，311，判斷向量組的線性相關(guān)性 0 0 6 【例1】設(shè)n維(n3)1(a, ,a,b)T，2(a,

,b,a)T n(b, ,a,a)T，ab0，若 ,n)n1，則a，b滿 【例2】

,①一組數(shù) ,xs，使x11 xss成立.稱(chēng)可由 ,s線性表出（示x1 , ,x2 s xsr(1,2 ,s)r(1,2 ,s,②不任何一組數(shù)x1,x2 ,xs，使x11x22 xss成立.稱(chēng)不可1,2 ,s線性表出（示x1 , ,x2無(wú)解 s xs①若 ,s線性無(wú)關(guān)，但 ,s,線性相關(guān)，則可由 ,s唯一表示②若 ,s可由③若 ,s可由

,tst1,,s必相關(guān),t表出，且 ,s線性無(wú)關(guān)，則st【例】設(shè) ,s線性相關(guān)，2 （Ⅰ）1能否由 ,s表出？（Ⅱ）s1能否由 ,s表出1.定 若i,i

滿足：10取自1,2

s；20線性無(wú)關(guān)；301,2

s中 均可

線性表示.則

i是 s的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，r秩 s)rr若A經(jīng)過(guò)初等行變換化為BA的列向量組與Bs)行B12As)行B12 xss0與x11x22 xss0同解 1】設(shè)1,1,1,0)T，1,1,00)T，3,32,0)T，1,0, 55 （Ⅱ） t則（Ⅰ）與（Ⅱ）等價(jià)（Ⅰ）與（Ⅱ）可互相線性表出.1

22

a

8【例】設(shè)（Ⅰ） ， ， 2

12

b13 2 3b 7

2b（Ⅱ） ， ， 2 a4 14

7

Ⅱ（Ⅱ）（）（Ⅱ（Ⅱ）AXAX0只有零解rA)nAX0有非零解rA)n（未知數(shù)個(gè)數(shù)n定義：設(shè)1,2 ,s滿足：10是AX0的解；20線性無(wú)關(guān)；30snr( xxx 3x2xxx3x 【例1】求 2x2x6x 5x4x3x3xx AXAX無(wú)解r(A1r(ArArAAX有唯一解rArAnAX有無(wú)窮多解rArA10AX020AX【例】求4xxxx1的通解33x1x2x33 Amnk階子式0k1階子式0rAAmn，0r(A)minm,r(kA)r(A)，kr(A)r(AT)r(AAT)r(AT ，r(An) r(A)r(B)r Or(A)r(B) Ar(AB)r(A)Amn，Bns，r(A)nr(AB)r(A)r(B)nr(AB)minr(A), r(A)10）r(A*)

r(n)nr(A)n對(duì)向量空間若

：10取自V；20線性無(wú)關(guān)；30V的任一均可由它們表出 ,r叫V的一個(gè)基且k11 krr， ,kr叫在這個(gè)基下的坐標(biāo).（唯一設(shè)

，

,n為Rn的兩個(gè)基，且 ,n)C ,n)，稱(chēng)C ,n)到 ,n)的過(guò)渡矩陣.（C可逆1【例】設(shè)101 1

11

111 1 30，

20，

021 1

00

是R3的兩個(gè)基（Ⅰ）求(1,2,3到(123的過(guò)渡陣C（Ⅱ）求(1,0,1)T在(123下的（Ⅲ）已知在(12,3)下的坐標(biāo)為(1,2,0)，求在(1,2,3)下的坐標(biāo)第四講特征值與二10可逆矩陣C，使得C1ACB 20可逆矩陣D，使得D1AD 40fXTAXXPY(PY)TA(PY)YTPTAPYYTAnn ①aiitr(A) n②AAaAf(af1/A/【例】 ，A23A4E0

A1

A*A1 A0A0EA)0EAX0EA01,2,,（重根按重?cái)?shù)計(jì)）解(iEA)X0 ,（屬于i的i 【例1】設(shè)A 4，求A的特征值與特征向量 6 112A111 11二、 B與 定義：可逆矩陣C，使得C1ACB B1）r(A)r(B)；2）AB；3）EAEB；4）tr(A)tr(B) Bm；6）f( f(B)2.7）A1B1， B1， 2.

ff(B1)， B*，f

A有n121與22）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A（aijaji）1212（正交121與2正交或不正交，但一定是線性無(wú)關(guān)的 A有n個(gè)不同的特征值i A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 ninr(iEA)，i為ni重根 8 0 1 3 1 3 1【例4】判別A 2是否可以相似對(duì)角化 Ann，Bnn，A實(shí)對(duì)稱(chēng)，則 ， ， BAnn，Bnn，A，B均可對(duì)角化，AB 1 1

1 2【例】證明：A 與B 1 11 121f(x1,x2

,x)ax22axx

2a1nax22axx 2a2nx22 232 2

2aa