誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一章緒論 第二章誤差的基本性質與處理 第三章誤差的合成與分配 第四章測量不確定度 第五章線性參數(shù)的最小二乘法 第六章回歸分析 1誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一章緒論 1課程目的正確認識誤差的性質，分析誤差產(chǎn)生的原因減小或抑制誤差正確處理實驗數(shù)據(jù)，合理計算所得結果給出科學可信的實驗結果正確組織實驗過程，合理設計、選用儀器或測量方法根據(jù)目標確定最佳方案2課程目的正確認識誤差的性質，分析誤差產(chǎn)生的原因減小或抑制誤差先修課程：線性代數(shù)、概率論和數(shù)理統(tǒng)計、電路理論、電子電工實驗等.課程目標：對誤差理論體系有一個全面的把握；掌握誤差的概念、性質及分類方法；通過對固定量測量數(shù)據(jù)的處理學習誤差處理的基本方法；能利用最小二乘法進行參數(shù)估計。掌握線性回歸方法處理測量數(shù)據(jù)；能將以上理論運用于具體測量實踐。教材

《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》（第6版）費業(yè)泰等機械工業(yè)出版社3先修課程：3門捷列夫(1834-1907)

科學始于測量,沒有測量，便沒有精密的科學。門捷列夫研究誤差的意義門捷列夫(1834-1907)科學始于測量,沒有測4錢學森信息技術包括測量技術、計算機技術和通信技術，測量技術是信息技術的關鍵和基礎。錢學森(1911-)研究誤差的意義錢學森信息技術包括測量技術、計算機技術和通信技術，測量技術是5第一章緒論1、研究誤差的意義2、誤差的基本概念3、誤差與精度4、有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算6第一章緒論6第一章緒論第一節(jié)研究誤差的意義第二節(jié)誤差的基本概念

誤差的定義 誤差的分類 誤差的來源7第一章緒論第一節(jié)研究誤差的意義第二節(jié)誤差的基本概誤差絕對誤差相對誤差粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機誤差表示形式性質特點誤差測得值真值＝－一、誤差的定義及表示法8誤差絕對相對粗大系統(tǒng)隨機表示形式性質特點誤差測得值真值＝－引用誤差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

定義

該標稱范圍（或量程）上限最大引用誤差儀器某標稱刻度值處的絕對誤差

引用誤差是一種相對誤差，而且該相對誤差是引用了特定值，又稱為引用相對誤差。最大引用誤差：引用標稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又滿度誤差。

最大引用誤差：被用來確定儀表的等級精度儀器標稱范圍（或量程）內的最大絕對誤差

9引用誤差（FiducialErrorofaMeasu主要來源

測量方法誤差測量裝置誤差測量環(huán)境誤差測量人員誤差二、誤差的來源

誤差的起因:

測量過程中，由于實驗方法和實驗設備的不完善，周圍環(huán)境的影響，人們認識能力所限，實驗所得數(shù)據(jù)和被測量的真值之間存在差異。10主要來源測量方法誤差測量裝置誤差測量環(huán)境誤差測量人員誤差三、誤差分類

系統(tǒng)誤差（SystematicError）

在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。

定義特征

在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律變化的誤差。

11三、誤差分類系統(tǒng)誤差（SystematicError）按對誤差掌握程度，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對值和符號已經(jīng)明確的系統(tǒng)誤差。

已定系統(tǒng)誤差：例：

直尺的刻度值誤差

誤差絕對值和符號未能確定的系統(tǒng)誤差，但通常估計出誤差范圍。

未定系統(tǒng)誤差：按誤差出現(xiàn)規(guī)律，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對值和符號固定不變的系統(tǒng)誤差。

不變系統(tǒng)誤差：誤差絕對值和符號變化的系統(tǒng)誤差。按其變化規(guī)律，可分為線性系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和復雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。

變化系統(tǒng)誤差：12按對誤差掌握程度，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對值和符號已經(jīng)明確的隨機誤差（RandomError）測得值與在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量結果的平均值之差。又稱為偶然誤差。定義特征

在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化的誤差。產(chǎn)生原因實驗條件的偶然性微小變化，如溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機起伏、地面振動等。

隨機誤差的大小、方向均隨機不定，不可預見，不可修正。

大量的重復測量可以發(fā)現(xiàn)，它是遵循某種統(tǒng)計規(guī)律的。因此，可以用概率統(tǒng)計的方法處理含有隨機誤差的數(shù)據(jù)，對隨機誤差的總體大小及分布做出估計，并采取適當措施減小隨機誤差對測量結果的影響。

隨機誤差的性質13隨機誤差（RandomError）測得值與在重復性條件粗大誤差（GrossError）指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差或簡稱粗差。定義產(chǎn)生原因某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。

測量方法不當或錯誤，測量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)或單位、記錄或計算錯誤等）

測量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機械沖擊和振動等）。由于該誤差很大，明顯歪曲了測量結果。故應按照一定的準則進行判別，將含有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。

14粗大誤差（GrossError）指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預三類誤差的關系及其對測得值的影響

標準差期望值

均值

某次測得值

奇異值

系統(tǒng)誤差和隨機誤差的定義是科學嚴謹，不能混淆的。但在測量實踐中，由于誤差劃分的人為性和條件性，使得他們并不是一成不變的，在一定條件下可以相互轉化。也就是說一個具體誤差究竟屬于哪一類，應根據(jù)所考察的實際問題和具體條件，經(jīng)分析和實驗后確定。15三類誤差的關系及其對測得值的影響標準差期望值均值某次測第三節(jié)誤差與精度

測量結果中系統(tǒng)誤差的影響程度準確度（Correctness）測量結果中隨機誤差的影響程度精密度（Precision）精確度（Accuracy）

表示測量結果與被測量真值之間的一致程度。就誤差分析而言，精確度是測量結果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合，誤差大，則精確度低，誤差小，則精確度高。精確度（精度）在數(shù)值上一般多用相對誤差來表示，但不用百分數(shù)。如某一測量結果的相對誤差為0.001%，則其精度為10-5。

16第三節(jié)誤差與精度測量結果中系統(tǒng)誤差的影響程度準確度（Co準確度、精密度和精確度三者之間的關系彈著點全部在靶上，但分散。相當于系統(tǒng)誤差小而隨機誤差大，即精密度低，準確度高。彈著點集中，但偏向一方，命中率不高。相當于系統(tǒng)誤差大而隨機誤差小，即精密度高，準確度低。彈著點集中靶心。相當于系統(tǒng)誤差與隨機誤差均小，即精密度、準確度都高，從而精確度高。17準確度、精密度和精確度三者之間的關系彈著點全部在靶上，但分散第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算

一、有效數(shù)字

測量精度有限最末一位有效數(shù)字應與測量精度同一量級可靠數(shù)字+一位存疑數(shù)字=有效數(shù)字

有效位數(shù)是該數(shù)中有效數(shù)字的個數(shù)。指從該數(shù)左方第一個非零數(shù)字算起到最末一個數(shù)字（包括零）的個數(shù)，它不取決于小數(shù)點的位置。例如：3.14（3位）0.0032（2位）0.00320（3位）3.143.210-33.2010-3正確表示： （20.530.01）mm

（20.5340.042）mm18第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算一、有效數(shù)字測量精度有限二、數(shù)字舍入規(guī)則

計算和測量過程中，對很多位的近似數(shù)進行取舍時，應按照下述原則進行湊整：若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分末位的半個單位，則末位數(shù)加1。若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分末位的半個單位，則末位數(shù)減1。若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分末位的半個單位，則末位湊成偶數(shù)，即當末位為偶數(shù)時則末位不變，當末位是奇數(shù)時則末位加1。19二、數(shù)字舍入規(guī)則計算和測量過程中，對很多位的近似數(shù)進行三、數(shù)字運算規(guī)則

在近似數(shù)運算時，為了保證最后結果有盡可能高的精度，所有殘余運算的數(shù)字，在有效數(shù)字后可多保留一維數(shù)字作為參考數(shù)字（或稱為安全數(shù)字）。在近似數(shù)做加減運算時，各運算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最后結果應與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。在近似數(shù)乘除運算時，各運算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，其余各數(shù)據(jù)可多取一位有效數(shù)，但最后結果應與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。在近似數(shù)平方或開方運算時，近似數(shù)的選取與乘除運算相同。在對數(shù)運算時，n位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)應該用n位對數(shù)表，或用（n+1）位對數(shù)表，以免損失精度。三角函數(shù)運算時，所取函數(shù)值的位數(shù)應隨角度誤差的減小而增多20三、數(shù)字運算規(guī)則在近似數(shù)運算時，為了保證最后結果有盡可能第二章誤差的基本性質與處理第一節(jié)隨機誤差第二節(jié)系統(tǒng)誤差第三節(jié)粗大誤差第四節(jié)測量結果的數(shù)據(jù)處理實例21第二章誤差的基本性質與處理第一節(jié)隨機誤差21第一節(jié)隨機誤差

一、隨機誤差產(chǎn)生的原因二、隨機誤差的分布及其特性三、算術平均值四、測量的標準差五、測量的極限誤差六、不等精度測量七、隨機誤差的其他分布

22第一節(jié)隨機誤差一、隨機誤差產(chǎn)生的原因22一.隨機誤差的產(chǎn)生原因誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律二.正態(tài)分布23一.隨機誤差的產(chǎn)生原因二.正態(tài)分布23三.算術平均值

設為n次測量所得的值，則算術平均值為：式中：——第個測得值，＝1，2，，…，n;——的殘余誤差（簡稱殘差）。隨機誤差：24三.算術平均值設正態(tài)分布的隨機誤差分布密度1.單次測量的標準差四.測量的標準差（Bessel公式）2.測量列算術平均值的標準差25正態(tài)分布的隨機誤差分布密度1.單次測量的標準差四.測量的標準五.測量的極限誤差1.單次測量的極限誤差t：置信系數(shù)；P:置信概率或置信水平2.算術平均值的極限誤差26五.測量的極限誤差1.單次測量的極限誤差t：置信系數(shù)；1.權的概念

各個測量結果的可靠程度六.不等精度測量2.權的確定方法最簡單確定權的方法：按測量的次數(shù)確定權。

前提：測量條件和測量水平皆相同。結論：每組測量結果的權與其相應的標準差平方成反比。271.權的概念各個測量結果的可靠程度六.不等精度3.加權算術平均值加權算術平均值4.單位權概念

若將不等精度測量的各組測量結果皆乘以自身權數(shù)的平方根，此時得到的新值的權數(shù)就為1。283.加權算術平均值加權算術平均值4.單位權概念用代替代入等精度測量的公式得：

加權算術平均值的標準差：等精度測量列的殘余誤差等精度測量列的測量結果

已知各組測量結果的殘余誤差為：，將各組單位權化得：

加權單次測量的標準差：5.加權算術平均值的標準差29用代替代入等精度測量的公式得：七.隨機誤差的其他分布

正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一的分布規(guī)律。

幾種常見的非正態(tài)分布：1.均勻分布2.反正弦分布3.三角形分布4.分布5.分布6.分布30七.隨機誤差的其他分布正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一第二節(jié)系統(tǒng)誤差隨機誤差處理方法的前提：測量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng)誤差實際情況：系統(tǒng)誤差與隨機誤差同時存在研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因，提出減加或消除系統(tǒng)誤差的方法給出科學結論一系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因二系統(tǒng)誤差的特征三系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)四系統(tǒng)誤差的減小和消除31第二節(jié)系統(tǒng)誤差隨機誤差處理方法的前提：測量數(shù)據(jù)中不含有系

系統(tǒng)誤差是有固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，這些因素是可以掌握的。①測量裝置方面的因素②環(huán)境方面的因素

③測量方法的因素

④測量人員的因素計量校準后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設計原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差等。采用近似的測量方法或計算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習性引起的誤差等。一系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因32系統(tǒng)誤差是有固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造二系統(tǒng)誤差的特征在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定規(guī)律變化。1不變的系統(tǒng)誤差2線性變化的系統(tǒng)誤差3周期性變化的系統(tǒng)誤差4復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差33二系統(tǒng)誤差的特征在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差三系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)34三系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)34四系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法（二）加修正值法（三）改進測量方法

（一）消誤差源法：

①所用基準件、標準件是否準確可靠；②所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定；③儀器的調整、測件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；④所采用的測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差；⑤測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動、塵污、氣流等；⑥注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。（二）加修正值法35四系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法（二）加修正值法（三）改進測量方法

1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法

①抵消或反向補償法絲杠與螺母間的配合間隙等因素引起的定回誤差，往往采用往返兩個方向的兩次讀數(shù)取均值作為測量結果②代替法：代替法的實質是在測量裝置上對被測量測量后不改變測量條件，立即用一個標準量代替被測量，測量差值被測量＝標準差＋差值④交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。

36（三）改進測量方法1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法362、消除線性系統(tǒng)誤差的方法——對稱法

例如測定量塊平面平行性時（見圖2-20）,先以標準量塊A的中心0點對零，然后按圖中所示被檢量塊B上的順序逐點檢定，再按相反順序進行檢定，取正反兩次讀數(shù)的平均值作為各點的測得值，就可消除因溫度變化而產(chǎn)生的線性系統(tǒng)誤差。372、消除線性系統(tǒng)誤差的方法——對稱法例如測定量塊平面平行性3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法——半周期法383、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法——半周期法38第三節(jié)粗大誤差粗大誤差的數(shù)值比較大，它會對測量結果產(chǎn)生明顯的歪曲，一旦發(fā)現(xiàn)含有粗大誤差的測量值，應將其從測量結果中剔除一粗大誤差的產(chǎn)生原因1測量人員的主觀原因2客觀外界條件的原因二防止與消除粗大誤差的方法1避免人為因素的影響，反復多次檢查2盡量采用自動化數(shù)采系統(tǒng)3加強本底環(huán)境監(jiān)測39第三節(jié)粗大誤差粗大誤差的數(shù)值比較大，它會對測量結果產(chǎn)生三判別粗大誤差的準則1準則測量次數(shù)充分大若則可以認為它含有粗大誤差2t檢驗準則（羅曼諾夫斯基準則）當測量次數(shù)較少時，按t分布的實驗誤差分布范圍來判別粗大誤差較為合理.特點：首先剔除一個可疑的測量值，然后按t分布檢驗被剔除的測量值是否含有粗大誤差.40三判別粗大誤差的準則1準則第三章誤差的合成與分配第一節(jié)函數(shù)誤差第二節(jié)隨機誤差的合成第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成第五節(jié)誤差分配第六節(jié)微小誤差取舍準則第七節(jié)最佳測量方案的確定41第三章誤差的合成與分配第一節(jié)函數(shù)誤差41

任何測量結果都包含有一定的測量誤差，這是測量過程中各環(huán)節(jié)一系列誤差因素共同作用的結果。

正確分析與綜合這些誤差因素，并正確地表述這些誤差的綜合影響。第一節(jié)函數(shù)誤差

間接測量：通過直接測量與被測的量之間有一定函數(shù)關系的其他量，按照已知的函數(shù)關系式計算出被測量。

間接測量誤差是各直接測量值誤差的函數(shù)，即函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差的實質就是研究誤差的傳遞性的問題。對于這種有確定關系的誤差的計算稱為誤差合成。42任何測量結果都包含有一定的測量誤差，這是測量過程（函數(shù)系統(tǒng)誤差公式）一.函數(shù)系統(tǒng)誤差的計算第一節(jié)函數(shù)誤差二.函數(shù)隨機誤差計算…可得：

該式即為函數(shù)隨機誤差公式，其中為第個測量值和第個測量值之間的誤差相關系數(shù),為各測量值的誤差傳遞系數(shù)。43（函數(shù)系統(tǒng)誤差公式）一.函數(shù)系統(tǒng)誤差的計算第一節(jié)函數(shù)誤若各測量值的隨機誤差是相互獨立的，且當N適當大時，有：則誤差公式變?yōu)椋毫睿ㄝ^常使用）44若各測量值的隨機誤差是相互獨立的，且當N適當大時，有：則誤差三.誤差間的相關關系和相關系數(shù)1.誤差間的線性相關關系即線性依賴關系，有強弱之分。2.相關系數(shù)由相關系數(shù)定義知：式中：——誤差間的協(xié)方差；

——兩誤差的標準差。45三.誤差間的相關關系和相關系數(shù)1.誤差間的線性相關關系即線第二節(jié)隨機誤差的合成一.標準差的合成二.極限誤差的合成（較常使用）46第二節(jié)隨機誤差的合成一.標準差的合成二.極限誤一.已定系統(tǒng)誤差的合成當時，有：二.未定系統(tǒng)誤差

當各單項未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且時，極限誤差標準差第三節(jié)系統(tǒng)誤差的合成47一.已定系統(tǒng)誤差的合成當時，有：二第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成一、按極限誤差合成設有r個單項已定系統(tǒng)誤差

s個單項未定系統(tǒng)誤差

q個單項隨機誤差假設誤差傳遞系數(shù)均為1，則總極限誤差為：各個誤差間協(xié)方差之和48第四節(jié)系統(tǒng)誤差與隨機誤差的合成一、按極限誤差合成設有r按標準差合成s個未定系統(tǒng)誤差標準差q個單項隨機誤差標準差誤差傳遞系數(shù)均為1，且各個誤差間協(xié)方差之和R為0對于多次重復測量：只考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機誤差合成問題49按標準差合成s個未定系統(tǒng)誤差標準差誤差傳遞系數(shù)均為1，且各個第五節(jié)誤差分配單項誤差總誤差總誤差的允差各個單項誤差綜合如：弓高弦長法測大直徑D給定直徑測量允許極限誤差，求弓高h和弦長s的測量極限誤差已定系統(tǒng)誤差通過修正方法消除，則只考慮未定系統(tǒng)誤差和隨機誤差，且這兩種誤差分配時可同等看待，分配方法完全相同。50第五節(jié)誤差分配單項誤差第六節(jié)微小誤差取舍準則微小誤差：測量過程包含多種誤差，有的誤差對測量結果總誤差影響較小，小到一定程度，計算測量結果總誤差可不予考慮。取出部分誤差若，則稱為微小誤差，可從總誤差中舍去已知測量結果的標準差為：51第六節(jié)微小誤差取舍準則微小誤差：測量過程包含多種誤差第七節(jié)最佳測量方案的確定

測量結果與多個測量因素有關，采用什么方法確定各個因素，使得測量結果的誤差為最小，確定最佳測量方案。函數(shù)的標準差為使標準差為最小，確定最佳測量方案，從以下二方面考慮：一選擇最佳函數(shù)誤差公式二使誤差傳遞系數(shù)等于零或為最小52第七節(jié)最佳測量方案的確定測量結果與多個測第四章：測量不確定度

第四章測量不確定度第一節(jié)測量不確定度的基本概念第二節(jié)標準不確定度的評定第三節(jié)測量不確定度的合成第四節(jié)測量不確定度應用實例53第四章：測量不確定度

第四章測量不確定度第一節(jié)第四章：測量不確定度

測量不確定度（uncertaintyofmeasurement）是測量結果帶有的一個參數(shù)，用于表征被測量值的分散性。一個完整的測量結果＝被測量的最佳估計值＋分散性參數(shù)第一節(jié)測量不確定度的基本概念以分布區(qū)間的半寬表示，因此它表示一個區(qū)間，強調一個范圍。A類評定方法是采用統(tǒng)計分析的方法評定標準不確定度。一、A類評定方法第二節(jié)：標準不確定度的評定二、B類評定方法

在很多情況下，我們不能用統(tǒng)計方法來評定標準不確定度，利用其他假設,經(jīng)驗或資料(本次測量以外的其他信息)進行統(tǒng)計分析的B類評定方法。54第四章：測量不確定度

測量不確定度（uncertainty第三節(jié)：測量不確定度的合成一、合成標準不確定度（combinedstandarduncertainty）當測量結果受多種因素影響形成了若干個不確定度分量時，測量結果的標準不確定度就用這些分量合成后的合成標準不確定度表示。一般用下式表示：一般用下式表示：其中，—第i個標準不確定度的分量

—第i個和第j個標準不確定度分量之間的相關系數(shù)

—不確定度分量的個數(shù)55第三節(jié)：測量不確定度的合成一、合成標準不確定度（combin二、展伸不確定度（expandeduncertainty）也稱為擴展不確定度或范圍不確定度。用符號或表示。

展伸不確定度由合成標準不確定度乘以包含因子得到，即用展伸不確定度作為測量不確定度，則測量結果表示為：三、不確定度的報告56二、展伸不確定度（expandeduncertainty第四章：測量不確定度

第五章線性參數(shù)的最小二乘法第一節(jié)最小二乘法的原理第二節(jié)正規(guī)方程第三節(jié)精度估計第四節(jié)組合測量的最小二乘法處理57第四章：測量不確定度

第五章線性參數(shù)的最小二乘法第一第一節(jié)最小二乘法原理最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測量值中尋找最可信賴值的問題。對某量進行測量，得到一組數(shù)據(jù),不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨立，且服從正態(tài)分布,其標準差為測得值落入的概率58第一節(jié)最小二乘法原理最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測測得值同時出現(xiàn)的概率為最可信賴值滿足

權因子最小二乘法原理雖然是在正態(tài)分布下導出最小二乘法，實際上，按誤差或殘差平方和為最小進行統(tǒng)計推斷已形成一種準則。59測得值同時出現(xiàn)的概率為最可信賴值滿足權因子最第二節(jié)、正規(guī)方程組60第二節(jié)、正規(guī)方程組60線性測量方程組線性測量方程組的一般形式為測量殘差方程組含有隨機誤差矩陣形式61線性測量方程組線性測量方程組的一般形式為測量殘差方程組含最小二乘法原理式求導正規(guī)方程組正規(guī)方程組解不等權正規(guī)方程組62最小二乘法原理式求導正規(guī)方程組正規(guī)方程組解不等權正規(guī)方三、標準差的估計1、直接測量結果的標準差估計（加權）未知量個數(shù)方程個數(shù)殘差2、待求量的標準差估計直接測量量的標準差對角元素誤差傳播系數(shù)

3、待求量與的相關系數(shù)元素63三、標準差的估計1、直接測量結果的標準差估計（加權）未知【例5-１】

為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量，進行了等權、獨立、無系統(tǒng)誤差的測量。測得1號電容值，2號電容值，1號和3號并聯(lián)電容值，2號和3號并聯(lián)電容值。試用最小二乘法求及其標準偏差。【解】列出測量殘差方程組

矩陣形式64【例5-１】為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量正規(guī)方程組65正規(guī)方程組65正規(guī)方程組解即66正規(guī)方程組解即66標準差的計算代入殘差方程組，計算

67標準差的計算代入殘差方程組，計算67第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法測量殘差方程組

非線性函數(shù)取的初始似值泰勒展開按線性參數(shù)最小二乘法解得

迭代直至滿足精度為止68第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法測量殘差方程組非線性函數(shù)取第四節(jié)

組合測量問題應用舉例69第四節(jié)

組合測量問題應用舉例69【例5-3】

要求檢定絲紋尺0，1，2，3刻線間的距離。已知用組合測量法測得圖所示刻線間隙的各種組合量。試用最小二乘法求及其標準偏差。70【例5-3】要求檢定絲紋尺0，1，2，3刻線間的距離計算步驟【解】列出測量殘差方程組71計算步驟【解】列出測量殘差方程組71解出即計算結果72解出即計算結果72代入殘差方程組可得估計的標準差

估計的標準差73代入殘差方程組可得估計的標準差估計的標準差73第四章：測量不確定度

第六章回歸分析第一節(jié)回歸分析的基本概念第二節(jié)一元

線

性

回

歸

第三節(jié)兩個變量都具有誤差映射時線性回歸方程的確定

第四節(jié)一元非線性回歸

第五節(jié)

多

元

線

性

回

歸

74第四章：測量不確定度

第六章回歸分析第

第一節(jié)

回歸分析的基本概念1.1函數(shù)關系與相關關系（1）函數(shù)關系：能用數(shù)學表達式明確變量之間的內在聯(lián)系和規(guī)律的相互關系，即函數(shù)關系。（2）相關關系：在實際問題中，影響變量之間的因素實際上是千差萬別的，不能簡單地決定只由一個或幾個影響因數(shù)所產(chǎn)生，只能預測估計變量之間的關系，并存在于某一范圍之內，這樣的變量關系稱為相關關系，有時稱為“黑箱問題”。如：測量結果的估計值與誤差。應該指出，變量之間的函數(shù)關系和相關關系并沒有嚴格的界限。實際上由于誤差的存在，確定性的關系往往通過相關關系表現(xiàn)出來，并存在一定的不確定變量因素（如：誤差），它通常要用實驗方法才能確定。

第一節(jié)回歸分析的基本概念75

1.2回歸分析的主要內容

回歸分析：是處理變量之間相關關系的一種數(shù)理統(tǒng)計方法，是將相關變量之間由生產(chǎn)實踐和科學實驗得到的變量數(shù)據(jù)，應用數(shù)學方法對大量的實驗和觀察數(shù)據(jù)進行處理，從而得到比較符合事物內部變量之間的內部規(guī)律的數(shù)學表達式的方法。它所涉及到的主要內容如下：（1）從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學表達式——回歸方程或經(jīng)驗公式。（2）對回歸方程的可信度進行統(tǒng)計檢驗。（3）進行因素分析，找出變量之間相互聯(lián)系或關聯(lián)的重要因素和次要因素。1.2回歸分析的主要內容回歸分析：是處理變量之76第二節(jié)一元線性回歸

一元回歸方法：是通過實驗，分析所得到的實驗數(shù)據(jù)，找出兩個變量之間的內在相關關系——經(jīng)驗公式。一元線性回歸方法：是找到兩個變量之間滿足線性規(guī)律的一元回歸方法。6.2.1一元線性回歸方程（1）回歸方程的求法（假設x無測量誤差，誤差全在y方向存在）假設兩變量之間一組測量數(shù)據(jù)y、x滿足如下線性形式或線性數(shù)學模型：

yt=β0+βxt+εt(t=1,2,…,N)

式中：β0，β

——為常數(shù)或線性系數(shù)。

εt——分別表示其他隨機因素影響的總和，是一組相互獨立，并滿足正態(tài)分布N（0,σ）的隨機變量。

xt——是一組可以精確測量或嚴格控制的變量?？墒请S機變量，也可是一般變量。第二節(jié)一元線性回歸一元回歸方法：是通過實77（2）回歸方程顯著性檢驗

——F檢驗法

檢測x

與y

的線性關系是否密切，它取決與回歸平方和U、殘余誤差平方和Q的大小，U越大Q越小，則x

與y

的線性關系是越密切。通常用F檢驗法進行計量。

計算結果F

越大，x

與y

的線性關系是越密切，回歸方程顯著性越大。

一元回歸的F檢驗法結果：（3）殘余方差與殘余標準差殘余方差：參與平方和Q除以它的自由度vQ所得的商σ2，是衡量回歸方程y隨機波動量的估計值。

（一元回歸方程：）

（2）回歸方程顯著性檢驗——F檢驗法檢測x與782.3重復試驗情況

用殘余誤差平方和檢驗回歸方程所做出的“回歸方程顯著性判斷”，只表明相對于其他因素而言，因素x的一次項對y的影響是主要的，而未告訴是否存在一個或多個其他因素對一次項對y的影響程度，從而無法肯定的表明y和x之間確實為線性關系。為了檢驗一個回歸方程是否擬合正確并滿足線性條件，可做一些重復性試驗，獲得誤差平方和QE和失擬平方和QL，同樣采用F檢驗法來檢驗y和x之間確實為線性關系。重復試驗的F檢驗法的具體計算方法和過程，再此不作詳細的講解（略）。2.4回歸直線的簡便求法回歸分析是以最小二乘法原理為基礎，具有所建立的回歸直線誤差的平方和最小，但是計算相對比較復雜和煩瑣。有時在精度要求不高或試驗所得的數(shù)據(jù)線性性較好，這時為了簡化計算，可采用下述的簡便方法計算回歸直線。2.3重復試驗情況用殘余誤差平方和檢驗回歸方程所79

（1）分組法（平均值法）將所測量到的自變量數(shù)據(jù)（x，y）分成相等或相近的兩組數(shù)據(jù)（xi，yi）和（xj，yj），分別求出兩組數(shù)據(jù)的算術平均值()、（），帶入回歸線性直線方程?

=

b0+bx

得以b0、b為未知量的方程組：

解這方程組，得到b0、b并帶回回歸線性直線方程?

=

b0+bxt，便得到該測量結果的線性直線回歸方程。（2）圖表法把測量組的N對觀察數(shù)據(jù)在坐標紙上繪出離散點圖，在點群之間繪一條直線，使點群的絕大多數(shù)點在直線上或接近此直線并均勻分布在直線的兩邊，便近似地得到測量組的回歸直線的簡便方法。（1）分組法（平均值法）80第三節(jié)兩個變量都具有誤差映射時線性回歸方程的確定6.3.1問題的提出與求解思維方法（1）問題的提出前面應用最小二乘法原理求得的線性回歸方程，是在假設x方向沒有誤差或存在誤差可以忽略不計的條件下，所有誤差都歸結在y方向而得到的。然而x的測量值存在誤差、y的測量值也存在誤差，哪如何才能獲得x、y之間的線性回歸方程呢？（2）求解思維方法：①一組測量數(shù)據(jù)x、y，假設x方向沒有誤差或存在誤差可以忽略不計的條件下，所有誤差都歸結在y方向，按最小二乘法原理，使的平方和最小，求得特定參數(shù)b0、b，得到線性回歸方程。

?

=

b0+bx

第三節(jié)兩個變量都具有誤差映射時線性回歸方程的確定6.3.81

②用同一組測量數(shù)據(jù)x、y，又假設y方向沒有誤差或存在誤差可以忽略不計的條件下，所有誤差都歸結在x方向，按最小二乘法原理，使的平方和最小，求得特定參數(shù)a0、a，得到線性回歸方程，并轉換成形式的回歸直線方程。③求解兩直線方程、銳角的某一直線方程即為測量數(shù)據(jù)x、y兩個方向均存在測量誤差的線性直線回歸方程，并存在下面四種形式：

·x方向沒有誤差或存在誤差可以忽略不計的條件下，所有誤差都歸結在y方向，測量數(shù)據(jù)的線性直線回歸方程為。

·y方向沒有誤差或存在誤差可以忽略不計的條件下，所有誤差都歸結在x方向，測量數(shù)據(jù)的線性直線回歸方程為。②用同一組測量數(shù)據(jù)x、y，又假設y方向沒有誤差或存在誤82

·

x方向和y方向存在的誤差大體相當，則可計算兩直線方程、銳角的角平分線方程為測量數(shù)據(jù)的線性直線回歸方程。

·

如果測量數(shù)據(jù)x、y兩個變量中，一個變量存在的測量誤差比另一個變量存在的測量誤差大，則在兩直線方程、銳角范圍內求得的線性直線方程應偏向于誤差大的方向，具體偏向多少，應依據(jù)測量數(shù)據(jù)x、y兩個方向的誤差分配比例而定。注意：隨著兩個變量線性相關性的加強，相關系數(shù)越接近于1，兩條直線、越接近；當相關系數(shù)為1時，兩條直線重合。

·x方向和y方向存在的誤差大體相當，則可計算兩直線方程836.3.2回歸方程的求法

兩個變量都存在誤差時，比較精確的計算回歸方程式回歸系數(shù)的方法通常采用戴明解法（Deming）。

若測量數(shù)據(jù)組xt，yt分別存在誤差δt

~N(0,σx)，εt

~N(0,σy)，t=1,2,3,…，假設x，y之間存在線性關系，并具有下面的數(shù)學模型：

yt

=β0

+β(xt－δt

)

+εt

所求的回歸方程為：

其中的、、b0、b分別為x、y、β0、β的估計值，為使x、y的誤差在求回歸方程式具有等價性，令，，可寫成：其中：、。

依據(jù)戴明（Deming）推廣的最小二乘法原理，點（

xt，yt′）到回歸直線的距離

dt′的平方和為最小條件計算回歸系數(shù)b0、b的最佳估計值。6.3.2回歸方程的求法兩個變量都存在誤差時，比較精84

由點（xt，yt′）到回歸直線的距離公式，經(jīng)整理得距離dt′為：

dt=yt–bo–bxt

依據(jù)最小二乘法原理，為使最小，求解：

；計算得到：

從而可得到x方向和y方向均存在誤差的線性回歸方程：

由此可得到x、y的方差估計值：,由點（xt，yt′）到回歸直線的距離公式，經(jīng)整理得距離85第四節(jié)

一元非線性回歸

在實際測量問題中，兩個變量之間的關系并不是都滿足線性關系，可能是某種曲線關系，即：一元非線性關系。要獲得這種非線性關系，通常按下面的步驟進行。①確定函數(shù)類型。②求解該相關函數(shù)中的未知參數(shù)。通常直接應用最小二乘法原理求出非線性回歸方程中的未知參數(shù)是非常困難的，一般情況下可采用如下兩種方法進行。

·通過變量替換將非線性函數(shù)轉換成線性函數(shù)，用線性回歸方程的求解方法求出轉換后線性函數(shù)的回歸方程，在通過變量反變換求出非線性函數(shù)的回歸方程。

·將非線性回歸曲線方程，應用泰勒級數(shù)展開成回歸多項式來描述兩個變量之間的關系，把求解曲線回歸問題轉化成求解多項式回歸問題。第四節(jié)一元非線性回歸在實際測量問題中，兩個變量之866.4.1回歸曲線函數(shù)類型的選取和檢驗

（1）直接判斷方法根據(jù)檢測對象的特點和相關專業(yè)知識，從理論上推導并結合以前處理相近問題的成功經(jīng)驗，確定兩個變量之間的函數(shù)類型。如化學反映……。（2）觀察方法將測量觀察得到的數(shù)據(jù)作圖，并與典型曲線（書上圖6-6）進行比較，確定屬于哪一類函數(shù)曲線，再將所選定的函數(shù)曲線類型用下述方法進行檢驗。（3）直線檢驗方法當待檢驗的函數(shù)類型中，所含參數(shù)不多時，應用此方法檢驗效果較好。其步驟如下：①將預選的回歸曲線方程f(x

,y

,a

,b)=0寫成：Z1=A+BZ2

式中：Z1和Z2是只含一個變量（x或y）的函數(shù)，A和B是a和b的函數(shù)。②求出幾對與x、y相對應的Z1和Z2值，這幾對值與選擇x、y值相距較遠為好。③以Z1和Z2為變量畫圖，如果所得圖形為直線，則證明原先所選定的回歸曲線類型是適合的。6.4.1回歸曲線函數(shù)類型的選取和檢驗（1）直接判斷方法87（4）表差方法如果一組試驗數(shù)據(jù)可用1多項式表示，式中含有常數(shù)的項多于兩個時，可以用表差方法決定回歸曲線方程的次數(shù)或檢驗回歸方程的次數(shù)較為合理。步驟如下：①用試驗數(shù)據(jù)繪圖。②觀察試驗數(shù)據(jù)，初步確定試驗數(shù)據(jù)可選函數(shù)類型方程(見表6-10)。③自圖上根據(jù)定差Δx，列出xi，yi各對應值。④根據(jù)x,y的讀出值，計算差值：為第一階差；為第二階差；為第三階差；⑤當方程式的標差（書上表6-10）為常數(shù)時，便可決定所選函數(shù)類型方程。（4）表差方法886.4.2化曲線回歸問題為直線回歸問題

前面所講到的可用直線檢驗法或一階表差法檢驗的曲線回歸方程，都可以通過變量代換轉化為直線回歸方程，并利用直線回歸方程式的確定方法確定研究對象測量數(shù)據(jù)的回歸方程。具體方法：結合例題6-9和作業(yè)加以消化。6.4.3回歸曲線方程的效果與精度求解回歸方程的目的在于使所配的曲線與觀察數(shù)據(jù)擬合得更好。因此，在計算回歸曲線的剩余平方和Q時，不能用和以及（Q==S－U=lyy－blxy）來計算，只能按定義用yt/

和、定義公式Q=計算。（1）回歸曲線方程的效果。一般用相關指數(shù)R2（R也稱相關系數(shù)）作為衡量配后曲線的好壞：6.4.2化曲線回歸問題為直線回歸問題前面所講到89第五節(jié)

多元線性回歸

在實際工程和科學實驗的許多問題中，多變量之間的試驗結果、數(shù)學分析與表示問題，可歸結為多元回歸問題。6.5.1多元線性回歸方程

一個因變量y與M個自變量（x1,x2,…,xM,）之間存在內在的線性關系，通過試驗得到N組觀察數(shù)據(jù)：（xt1,xt2,…,xtM,）。其中：t=1,2,…,N。由N組觀察數(shù)據(jù)確定的線性方程組的結構形式或數(shù)學模型為:

式中：β1,β2,β3,…,βM

是M+1個待估計參數(shù);(x1,x2

,…,xM)是M個可以精確測量或控制的一般變量；（ε1,ε2

,…,εM

）是N個相互獨立并服從正態(tài)分布的隨機變量。第五節(jié)多元線性回歸在實際工程和科學實驗的許90

用矩陣表示，令：

Y=；X=；β=；ε=；則有多元回歸的矩陣表達形式：

Y=Xβ+ε

仍用最小二乘法的估計參數(shù)b0,b1,…,bM作為參數(shù)β1,β2,β3,…,βM的估計值，則有回歸方程為：依據(jù)最小二乘法的原理，全部觀察值yt

與回歸值?t

的殘余誤差平方和最小。有：Q===最小

對于給定的N組觀察數(shù)據(jù)，Q是b0、b1，…，bM的非負二次式，最小值一定存在，b0、b1，…，bM應為下列方程組的解：

用矩陣表示，令：91

經(jīng)整理，并寫成矩陣形式：

(XTX)b=XTY

或Ab=XTY式中：A=XTX……（6-43）解（6-43）式，得回歸方程的估計回歸系數(shù)b：

b=A-1(XTY)=(XTX)-1XTY……（6-44）令：C=A-1=(XTX)-1

有：b=CXTY……（6-45）對于處理多元線性回歸問題，與處理一元回歸問題相似，這里不進行過多的討論。經(jīng)整理，并寫成矩陣形式：926.5.2多元線性回歸方程的顯著性和精度

一個多元線性回歸方程是否更真實反映因變量與自變量之間的客觀規(guī)律，效果如何，主要靠實踐檢驗。從數(shù)學的角度出發(fā)，與一元線性回歸相似，也可用相應的數(shù)理統(tǒng)計的方法進行檢驗。主要依據(jù)是y的總離差平方和S，回歸平方和U和殘余誤差平方和Q的計算結果、以及相應的自由度M，所具有的F檢驗法計算結果來判定多元線性回歸方程的顯著特性。計算與F檢驗法判定如書上表6-18。

F檢驗法的數(shù)學統(tǒng)計量計算：

同理，多元線性回歸方程的預報精度由殘余標準差來估計。

6.5.2多元線性回歸方程的顯著性和精度一個多元936.5.3每個自變量在多元線性回歸中所起的作用

在多元回歸方程中，并不是所有的自變量對因變量的影響都是顯著的或重要的。在研究實際問題時，我們期望觀察和認識到哪些對因變量影響起主要作用的因素，盡可能的去除哪些起次要作用或可有可無的因素，從而進一步簡化線性回歸方程，利于我們對檢測結果的預報和控制。如何觀察和認識某一特定自變量因素在總回歸方程中起的作用呢？我們可以利用減少或去掉某一自變量因素或某一部分自變量因素，觀察回歸平方和U的減少量多少，即取消一個自變量后，回歸平方和的減少的數(shù)值稱為y對這個自變量xi的偏回歸平方和Pi（Pi

=U-U′），Pi可用來評價該自變量因素或該部分自變量因素對因變量的影響程度或重要程度。在通常情況下，要直接按定義式（Pi

=U-U′）來計算偏回歸平方和Pi是困難的，可以證明Pi可按下式計算：

Pi=bi2/CiiCi——取消自變量前原回歸方程系數(shù)矩陣A或L的逆矩陣C或L-1中的相應元素。

bi——現(xiàn)回歸方程的回歸系數(shù)。

6.5.3每個自變量在多元線性回歸中所起的作用在94

但是由于回歸方程中各自變量之間可能有著密切關系，即使Pi較小，也不能直接判定自變量對因變量的作用較小，還得用下面的F檢驗法作進一步的檢驗，具體方法如下：①凡是偏回歸平方和Pi大的自變量xi，一定對因變量的影響起重要作用顯著；對于偏回歸平方和Pi大到什么程度，才影響顯著，可對殘余平方和Q進行F檢驗法檢驗：

當Fi≥Fa時，則認為自變量xi對因變量y的影響在a水平上顯著，即回歸系數(shù)檢驗方法。②對于偏回歸平方和Pi小的自變量xi，并不意味著對因變量y的影響就不顯著，但可以肯定所有偏回歸平方和Pi最小的自變量xi，對因變量y的影響最小，假如用F檢驗法檢驗對該自變量檢驗結果表明又不顯著，則就可以將該自變量剔除，得到新的M-1元回歸方程。③在新的M-1元回歸方程基礎上，又重新進行上述①②步，看是否存在對因變量y的影響最小的自變量xi，若存在則將其剔除；若不存在則所得到的M-n元回歸方程為簡化后的線性回歸方程。但是由于回歸方程中各自變量之間可能有著密切關系，即使95

但是，上述①②③的簡化過程在建立新的回歸方程中，存在大量的重復計算。因此，若能找到新老回歸系數(shù)之間的關系，將大大簡化計算?？梢宰C明，在剔除某一自變量xi前后，M-1個自變量的新回歸系數(shù)與M個自變量的原回歸系數(shù)之間存在如下關系：式中：cii，cij——為原M元回歸方程相關矩陣中的元素。例題6-14：……。但是，上述①②③的簡化過程在建立新的回歸方程中，存在96演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！97誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一章緒論 第二章誤差的基本性質與處理 第三章誤差的合成與分配 第四章測量不確定度 第五章線性參數(shù)的最小二乘法 第六章回歸分析 98誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一章緒論 1課程目的正確認識誤差的性質，分析誤差產(chǎn)生的原因減小或抑制誤差正確處理實驗數(shù)據(jù)，合理計算所得結果給出科學可信的實驗結果正確組織實驗過程，合理設計、選用儀器或測量方法根據(jù)目標確定最佳方案99課程目的正確認識誤差的性質，分析誤差產(chǎn)生的原因減小或抑制誤差先修課程：線性代數(shù)、概率論和數(shù)理統(tǒng)計、電路理論、電子電工實驗等.課程目標：對誤差理論體系有一個全面的把握；掌握誤差的概念、性質及分類方法；通過對固定量測量數(shù)據(jù)的處理學習誤差處理的基本方法；能利用最小二乘法進行參數(shù)估計。掌握線性回歸方法處理測量數(shù)據(jù)；能將以上理論運用于具體測量實踐。教材

《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》（第6版）費業(yè)泰等機械工業(yè)出版社100先修課程：3門捷列夫(1834-1907)

科學始于測量,沒有測量，便沒有精密的科學。門捷列夫研究誤差的意義門捷列夫(1834-1907)科學始于測量,沒有測101錢學森信息技術包括測量技術、計算機技術和通信技術，測量技術是信息技術的關鍵和基礎。錢學森(1911-)研究誤差的意義錢學森信息技術包括測量技術、計算機技術和通信技術，測量技術是102第一章緒論1、研究誤差的意義2、誤差的基本概念3、誤差與精度4、有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算103第一章緒論6第一章緒論第一節(jié)研究誤差的意義第二節(jié)誤差的基本概念

誤差的定義 誤差的分類 誤差的來源104第一章緒論第一節(jié)研究誤差的意義第二節(jié)誤差的基本概誤差絕對誤差相對誤差粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機誤差表示形式性質特點誤差測得值真值＝－一、誤差的定義及表示法105誤差絕對相對粗大系統(tǒng)隨機表示形式性質特點誤差測得值真值＝－引用誤差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

定義

該標稱范圍（或量程）上限最大引用誤差儀器某標稱刻度值處的絕對誤差

引用誤差是一種相對誤差，而且該相對誤差是引用了特定值，又稱為引用相對誤差。最大引用誤差：引用標稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又滿度誤差。

最大引用誤差：被用來確定儀表的等級精度儀器標稱范圍（或量程）內的最大絕對誤差

106引用誤差（FiducialErrorofaMeasu主要來源

測量方法誤差測量裝置誤差測量環(huán)境誤差測量人員誤差二、誤差的來源

誤差的起因:

測量過程中，由于實驗方法和實驗設備的不完善，周圍環(huán)境的影響，人們認識能力所限，實驗所得數(shù)據(jù)和被測量的真值之間存在差異。107主要來源測量方法誤差測量裝置誤差測量環(huán)境誤差測量人員誤差三、誤差分類

系統(tǒng)誤差（SystematicError）

在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。

定義特征

在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律變化的誤差。

108三、誤差分類系統(tǒng)誤差（SystematicError）按對誤差掌握程度，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對值和符號已經(jīng)明確的系統(tǒng)誤差。

已定系統(tǒng)誤差：例：

直尺的刻度值誤差

誤差絕對值和符號未能確定的系統(tǒng)誤差，但通常估計出誤差范圍。

未定系統(tǒng)誤差：按誤差出現(xiàn)規(guī)律，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對值和符號固定不變的系統(tǒng)誤差。

不變系統(tǒng)誤差：誤差絕對值和符號變化的系統(tǒng)誤差。按其變化規(guī)律，可分為線性系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和復雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。

變化系統(tǒng)誤差：109按對誤差掌握程度，系統(tǒng)誤差可分為誤差絕對值和符號已經(jīng)明確的隨機誤差（RandomError）測得值與在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量結果的平均值之差。又稱為偶然誤差。定義特征

在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化的誤差。產(chǎn)生原因實驗條件的偶然性微小變化，如溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機起伏、地面振動等。

隨機誤差的大小、方向均隨機不定，不可預見，不可修正。

大量的重復測量可以發(fā)現(xiàn)，它是遵循某種統(tǒng)計規(guī)律的。因此，可以用概率統(tǒng)計的方法處理含有隨機誤差的數(shù)據(jù)，對隨機誤差的總體大小及分布做出估計，并采取適當措施減小隨機誤差對測量結果的影響。

隨機誤差的性質110隨機誤差（RandomError）測得值與在重復性條件粗大誤差（GrossError）指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差或簡稱粗差。定義產(chǎn)生原因某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。

測量方法不當或錯誤，測量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)或單位、記錄或計算錯誤等）

測量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機械沖擊和振動等）。由于該誤差很大，明顯歪曲了測量結果。故應按照一定的準則進行判別，將含有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。

111粗大誤差（GrossError）指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預三類誤差的關系及其對測得值的影響

標準差期望值

均值

某次測得值

奇異值

系統(tǒng)誤差和隨機誤差的定義是科學嚴謹，不能混淆的。但在測量實踐中，由于誤差劃分的人為性和條件性，使得他們并不是一成不變的，在一定條件下可以相互轉化。也就是說一個具體誤差究竟屬于哪一類，應根據(jù)所考察的實際問題和具體條件，經(jīng)分析和實驗后確定。112三類誤差的關系及其對測得值的影響標準差期望值均值某次測第三節(jié)誤差與精度

測量結果中系統(tǒng)誤差的影響程度準確度（Correctness）測量結果中隨機誤差的影響程度精密度（Precision）精確度（Accuracy）

表示測量結果與被測量真值之間的一致程度。就誤差分析而言，精確度是測量結果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合，誤差大，則精確度低，誤差小，則精確度高。精確度（精度）在數(shù)值上一般多用相對誤差來表示，但不用百分數(shù)。如某一測量結果的相對誤差為0.001%，則其精度為10-5。

113第三節(jié)誤差與精度測量結果中系統(tǒng)誤差的影響程度準確度（Co準確度、精密度和精確度三者之間的關系彈著點全部在靶上，但分散。相當于系統(tǒng)誤差小而隨機誤差大，即精密度低，準確度高。彈著點集中，但偏向一方，命中率不高。相當于系統(tǒng)誤差大而隨機誤差小，即精密度高，準確度低。彈著點集中靶心。相當于系統(tǒng)誤差與隨機誤差均小，即精密度、準確度都高，從而精確度高。114準確度、精密度和精確度三者之間的關系彈著點全部在靶上，但分散第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算

一、有效數(shù)字

測量精度有限最末一位有效數(shù)字應與測量精度同一量級可靠數(shù)字+一位存疑數(shù)字=有效數(shù)字

有效位數(shù)是該數(shù)中有效數(shù)字的個數(shù)。指從該數(shù)左方第一個非零數(shù)字算起到最末一個數(shù)字（包括零）的個數(shù)，它不取決于小數(shù)點的位置。例如：3.14（3位）0.0032（2位）0.00320（3位）3.143.210-33.2010-3正確表示： （20.530.01）mm

（20.5340.042）mm115第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算一、有效數(shù)字測量精度有限二、數(shù)字舍入規(guī)則

計算和測量過程中，對很多位的近似數(shù)進行取舍時，應按照下述原則進行湊整：若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分末位的半個單位，則末位數(shù)加1。若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分末位的半個單位，則末位數(shù)減1。若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分末位的半個單位，則末位湊成偶數(shù)，即當末位為偶數(shù)時則末位不變，當末位是奇數(shù)時則末位加1。116二、數(shù)字舍入規(guī)則計算和測量過程中，對很多位的近似數(shù)進行三、數(shù)字運算規(guī)則

在近似數(shù)運算時，為了保證最后結果有盡可能高的精度，所有殘余運算的數(shù)字，在有效數(shù)字后可多保留一維數(shù)字作為參考數(shù)字（或稱為安全數(shù)字）。在近似數(shù)做加減運算時，各運算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最后結果應與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。在近似數(shù)乘除運算時，各運算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準，其余各數(shù)據(jù)可多取一位有效數(shù)，但最后結果應與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。在近似數(shù)平方或開方運算時，近似數(shù)的選取與乘除運算相同。在對數(shù)運算時，n位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)應該用n位對數(shù)表，或用（n+1）位對數(shù)表，以免損失精度。三角函數(shù)運算時，所取函數(shù)值的位數(shù)應隨角度誤差的減小而增多117三、數(shù)字運算規(guī)則在近似數(shù)運算時，為了保證最后結果有盡可能第二章誤差的基本性質與處理第一節(jié)隨機誤差第二節(jié)系統(tǒng)誤差第三節(jié)粗大誤差第四節(jié)測量結果的數(shù)據(jù)處理實例118第二章誤差的基本性質與處理第一節(jié)隨機誤差21第一節(jié)隨機誤差

一、隨機誤差產(chǎn)生的原因二、隨機誤差的分布及其特性三、算術平均值四、測量的標準差五、測量的極限誤差六、不等精度測量七、隨機誤差的其他分布

119第一節(jié)隨機誤差一、隨機誤差產(chǎn)生的原因22一.隨機誤差的產(chǎn)生原因誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律二.正態(tài)分布120一.隨機誤差的產(chǎn)生原因二.正態(tài)分布23三.算術平均值

設為n次測量所得的值，則算術平均值為：式中：——第個測得值，＝1，2，，…，n;——的殘余誤差（簡稱殘差）。隨機誤差：121三.算術平均值設正態(tài)分布的隨機誤差分布密度1.單次測量的標準差四.測量的標準差（Bessel公式）2.測量列算術平均值的標準差122正態(tài)分布的隨機誤差分布密度1.單次測量的標準差四.測量的標準五.測量的極限誤差1.單次測量的極限誤差t：置信系數(shù)；P:置信概率或置信水平2.算術平均值的極限誤差123五.測量的極限誤差1.單次測量的極限誤差t：置信系數(shù)；1.權的概念

各個測量結果的可靠程度六.不等精度測量2.權的確定方法最簡單確定權的方法：按測量的次數(shù)確定權。

前提：測量條件和測量水平皆相同。結論：每組測量結果的權與其相應的標準差平方成反比。1241.權的概念各個測量結果的可靠程度六.不等精度3.加權算術平均值加權算術平均值4.單位權概念

若將不等精度測量的各組測量結果皆乘以自身權數(shù)的平方根，此時得到的新值的權數(shù)就為1。1253.加權算術平均值加權算術平均值4.單位權概念用代替代入等精度測量的公式得：

加權算術平均值的標準差：等精度測量列的殘余誤差等精度測量列的測量結果

已知各組測量結果的殘余誤差為：，將各組單位權化得：

加權單次測量的標準差：5.加權算術平均值的標準差126用代替代入等精度測量的公式得：七.隨機誤差的其他分布

正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一的分布規(guī)律。

幾種常見的非正態(tài)分布：1.均勻分布2.反正弦分布3.三角形分布4.分布5.分布6.分布127七.隨機誤差的其他分布正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一第二節(jié)系統(tǒng)誤差隨機誤差處理方法的前提：測量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng)誤差實際情況：系統(tǒng)誤差與隨機誤差同時存在研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因，提出減加或消除系統(tǒng)誤差的方法給出科學結論一系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因二系統(tǒng)誤差的特征三系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)四系統(tǒng)誤差的減小和消除128第二節(jié)系統(tǒng)誤差隨機誤差處理方法的前提：測量數(shù)據(jù)中不含有系

系統(tǒng)誤差是有固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，這些因素是可以掌握的。①測量裝置方面的因素②環(huán)境方面的因素

③測量方法的因素

④測量人員的因素計量校準后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設計原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差等。采用近似的測量方法或計算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習性引起的誤差等。一系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因129系統(tǒng)誤差是有固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造二系統(tǒng)誤差的特征在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定規(guī)律變化。1不變的系統(tǒng)誤差2線性變化的系統(tǒng)誤差3周期性變化的系統(tǒng)誤差4復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差130二系統(tǒng)誤差的特征在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差三系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)131三系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)34四系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法（二）加修正值法（三）改進測量方法

（一）消誤差源法：

①所用基準件、標準件是否準確可靠；②所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定；③儀器的調整、測件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；④所采用的測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差；⑤測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動、塵污、氣流等；⑥注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。（二）加修正值法132四系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法（二）加修正值法（三）改進測量方法

1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法

①抵消或反向補償法絲杠與螺母間的配合間隙等因素引起的定回