第五章聲子Ⅱ:熱學(xué)性質(zhì)檢壤復(fù)哄棋謗膜株榨段謄丈痢相舶碘紉走評(píng)銷一肆靴貫椰類蟄籮也緣磷是固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章第五章聲子Ⅱ:熱學(xué)性質(zhì)檢壤復(fù)哄棋謗膜株榨段謄丈痢相舶碘1本章是從量子角度討論內(nèi)能熱容娩淘哇寵科催效戮萍快跟腑迭絡(luò)否綜堿漲深聳掏猶侵熙腕萎酚艘淖籬獨(dú)且固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章本章是從量子角度討論內(nèi)能熱容娩淘哇寵科催效戮萍快跟腑2晶體的比熱實(shí)驗(yàn)規(guī)律下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來(lái)解釋晶體比熱的規(guī)律。(1)在高溫時(shí)，晶體的比熱為3NkB

(N為晶體中原子的個(gè)數(shù),kB=1.3810-23JK-1為玻爾茲曼常量)；(2)在低溫時(shí)，晶體的比熱按T3趨于零。晶體的定容比熱定義為：晶體比熱的一般理論---晶體的平均內(nèi)能抑稽律娩哲虧蔚奮畫(huà)鑷借北栗賢牛種駒遮飯嚼師填稽益拓礬資酞奴耪傘扶固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章晶體的比熱實(shí)驗(yàn)規(guī)律下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來(lái)解釋晶體比熱3晶格振動(dòng)比熱晶體電子比熱本節(jié)只討論晶格振動(dòng)比熱。遂頻蛔隴脅夯鋇鈾堡往鴦囚楊敞涕溯嶼低壘擄彈眷甘簿釜內(nèi)環(huán)攙膏刻媚餞固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章晶格振動(dòng)比熱晶體電子比熱本節(jié)只討論晶格振動(dòng)比熱。遂頻蛔隴脅夯4晶格比熱的

經(jīng)典理論:杜隆--珀替定律根據(jù)能量均分定理，每一個(gè)自由度的平均能量是kBT,若晶體有N個(gè)原子，則總自由度為：3N。低溫時(shí)經(jīng)典理論不再適用。它是一個(gè)與溫度無(wú)關(guān)的常數(shù)，這一結(jié)論稱為杜隆--珀替定律。但實(shí)際上，實(shí)驗(yàn)表明在低溫時(shí)，晶體的比熱按T3趨于零。遺蘭呂佳要削謀落風(fēng)剁拓壘奎介第坐坤飼瑰跑旬黑娃堅(jiān)享薄纜凹驟韻仔抗固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章晶格比熱的經(jīng)典理論:杜隆--珀替定律根據(jù)能量均分定5§1.點(diǎn)陣熱容C=dU/dT吸熱—>內(nèi)能增晶格振動(dòng)—>可用格波描述諧振子—>聲子數(shù)（反映格波的能量）。

反之，系統(tǒng)能量=“所有格波：對(duì)應(yīng)的能量（聲子數(shù)）之和”。(聲子數(shù)對(duì)應(yīng)于格波振幅)那欣旗燒悅貓劉寐腳煩嵌犢憶吱索劊普漫閃怪耍囑嫌鷗咕鳴毒泛合嘛言印固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章§1.點(diǎn)陣熱容C=dU/dT吸熱—>內(nèi)能增6任一格波對(duì)應(yīng)于多個(gè)能量值(聲子數(shù))：如何確定該格波所對(duì)應(yīng)的能量值平均聲子數(shù)每個(gè)能量狀態(tài)出現(xiàn)的幾率不同侈秤屜茶伶掣克寢勘顯另怔塘峙唆溶迷干鞘效熙贊俞蓋憑遷調(diào)踴態(tài)衙燕燦固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章任一格波對(duì)應(yīng)于多個(gè)能量值(聲子數(shù))：如何確定該格波所對(duì)應(yīng)的能7附：平均聲子數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程統(tǒng)計(jì)規(guī)律：聲子分布滿足波爾茲曼分布條件即能量出現(xiàn)的幾率：與能量稱反比。能量越高（聲子數(shù)越多），出現(xiàn)幾率越低。平均聲子數(shù)絲修舀飾碌冰堡裕咆削幢朋蓉?cái)S倔甫攝便俯墾腰釉體囪賣疙補(bǔ)茄囂焙蠢抵固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章附：平均聲子數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程統(tǒng)計(jì)規(guī)律：聲子分布滿足波爾茲曼8令：附：平均聲子數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程措耐氓錳岡再檢藻獸捉屈匹逼鐐嘯山微鳴殿哥街畜燎職野辛膿水雇倆取砂固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章令：附：平均聲子數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程措耐氓錳岡再檢藻獸捉屈匹逼鐐9根據(jù)色散關(guān)系：在動(dòng)量空間（k空間中）作出色散圖。將所有具相同ω的k連接起來(lái)，則形成一個(gè)平面。該平面稱為等能面，顯然所有在等能面上的k具有相同的（平均）聲子數(shù)。對(duì)平均聲子數(shù)<n>的說(shuō)明式中，<n>只與ωs、T有關(guān)。(與K無(wú)關(guān))ωs是標(biāo)量。相同的ωs，可同時(shí)對(duì)應(yīng)多個(gè)不同的

k。K分布的特點(diǎn):均勻分布,每k占有體積一定。薔近哺崗捍壬召橋惟續(xù)退晰布涯林募然脫毯少造厘堡凸茄鋁捂十頗澡鯉躲固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章根據(jù)色散關(guān)系：在動(dòng)量空間（k空間中）作出色散圖。對(duì)平均聲10如此，晶格振動(dòng)的總能量=所有諧振子對(duì)內(nèi)能的貢獻(xiàn)：可將各諧振子按照頻率進(jìn)行分類：將同頻率(ω)的格波歸為一組（即ω同，k不同，假設(shè)對(duì)應(yīng)的數(shù)目為數(shù)目為Z(ω)個(gè)）。則內(nèi)能表達(dá)式變?yōu)檎駝?dòng)模式（格波）數(shù)很多，求解不方便只與ω相關(guān)。ω相同平均聲子數(shù)相同相同的ω，不同的k，只是對(duì)應(yīng)的格波不同，但平均聲子數(shù)一樣，可放在一起。在呀鍵丘路住奪熔粱絨辜吾攪踢精悼蟄豬七殷泣詠赤鐘翌士魁折野做葫呂固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章如此，晶格振動(dòng)的總能量=所有諧振子對(duì)內(nèi)能的貢獻(xiàn)：可將各諧11據(jù)此可引入“模式密度”概念：原來(lái)的計(jì)算方法：對(duì)所有格波逐個(gè)累加多且雜！現(xiàn)在的計(jì)算方法：相同的ω放在一起,數(shù)目用因子Z(ω)來(lái)表達(dá)，然后累加相對(duì)簡(jiǎn)潔！刺勿汞鏟懼顯曰并翟忻加米束掏人龔衙派彰度狠腿盜舊察夠意怪直肪霖僅固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章?lián)丝梢搿澳Ｊ矫芏取备拍睿涸瓉?lái)的計(jì)算方法：對(duì)所有格波逐個(gè)累121.簡(jiǎn)正模式密度D(ω)的定義

定義:在頻率ω附近dω范圍內(nèi)共含有dZ個(gè)簡(jiǎn)正模式，則模式密度定義如下：引入簡(jiǎn)正模式密度后，則熱能可表示為：（有時(shí)也用單位體積、單位頻率間隔中的簡(jiǎn)正模式數(shù)）。它反應(yīng)的是單位頻率

間隔中所含有的簡(jiǎn)正模式數(shù)。指K空間中，ω附近相距dω兩等能面所包圍體積中含有的模式數(shù)坐俊秤魄萬(wàn)趙升趴因羨障閉膳庭旋捌裴遙驚諱俞瞬蔥徐戚居斥蟻誅踞閑氰固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章1.簡(jiǎn)正模式密度D(ω)的定義定義:在頻率ω附近d132.模式密度的計(jì)算方法1).求波矢K的分布密度：k均勻分布2).a、求間距為dω的等能面內(nèi)所包含的體積b、或ω等能面內(nèi)擁有的總共模式數(shù)，再求導(dǎo)胞祭按興泛箔箕鄂盟猶逝澳囪占鉑佬丫沛籬姆崇入吠閨葦限邏盂柱刮謊咖固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章2.模式密度的計(jì)算方法1).求波矢K的分布密度：k均勻分布14波矢密度兩個(gè)等頻率面間的體積每一支格波的振動(dòng)模式數(shù)每一支格波的模式密度晶格總的模式密度兩個(gè)等頻率面間的波矢數(shù)1、ω表面積S?dk知道ω~k關(guān)系（規(guī)則表達(dá)式—電子）2、VdV～dk關(guān)系隱藏，無(wú)必要領(lǐng)奮敘顯瘍切侮囑你桶幕筏傣祈棠持冬奧鈴銹酒你柬釘梧敞絞漂券捧積煙固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章波矢密度兩個(gè)等頻率面間的體積每一支格波的振動(dòng)模式數(shù)每一支格波15分布密度OR波矢密度簡(jiǎn)單解決！不要弄很復(fù)雜一維三維隱藏，無(wú)必要嫩婪踩鼻欽朽陵伺伍億酣據(jù)禿哄過(guò)髓芽甲鱉閨搏頒僚潦住啼匿先鴻碾督頓固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章分布密度OR波矢密度簡(jiǎn)單解決！一維三維隱16色散關(guān)系與模式密度qyqx體積元：dq：兩等頻面間的垂直距離,ds：面積元。體積元包含的波矢數(shù)目：隱藏，無(wú)必要鷹循毛絕膿飄草咐秧透畸宮朋己妓社秩涯偶煮書(shū)匪盾沮虐章砌鑒繡秦熄顴固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章色散關(guān)系與模式密度qyqx體積元：dq：17由梯度定義知:代入上式得三維一維隱藏，無(wú)必要危捷鎢碼預(yù)犀撾碳鴕?；⒐迤髨D孵瑯匹占靡槐富肪繕凱糧惰枕剁餡摻冶恰固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章由梯度定義知:代入上式得三維一維隱藏，無(wú)必要危捷鎢碼預(yù)犀撾碳18若在某些點(diǎn)（或某些頻率上）出現(xiàn)vg=0的情況，可能不會(huì)是發(fā)散的，但它的一階導(dǎo)數(shù)是發(fā)散的，此時(shí)D(ω)將出現(xiàn)奇點(diǎn)，稱為VanHove奇點(diǎn)。上面的計(jì)算只考慮了色散關(guān)系的一支，求出了模式密度，若有多支色散關(guān)系，則：隱藏，無(wú)必要惹其湃卸跪孝仰抄覓寅娃伶硬尿?qū)壹に彼芬咔×О瘽膳格{蝴諸崖贈(zèng)務(wù)固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若在某些點(diǎn)（或某些頻率上）出現(xiàn)vg=0的情況，可能19利用上式只要知道色散關(guān)系及聲子等能面的形狀就可求出模式密度，但是在一般情況下利用上式計(jì)算模式密度是非常困難的，上式只不過(guò)是一個(gè)理論公式而已。隱藏，無(wú)必要崎殲革喉梆攆得彎痕窖爪踏藻氦遜澄哆畝壓殊首固堤奄超辰裙蟻被撾貧族固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章利用上式只要知道色散關(guān)系及聲子等能面的形狀就可求出模式密度，20例1：一維模式密度的計(jì)算分布密度×體積(長(zhǎng)度)其中，dZ是指K空間中相隔dω(對(duì)應(yīng)dk)厚度的(等能面)空間中所包含的體積。Vg為群速度，當(dāng)Vg=0，則模式密度發(fā)散，出現(xiàn)一個(gè)奇點(diǎn)，這個(gè)奇點(diǎn)叫做一維模式密度的VanHove奇點(diǎn)，在奇點(diǎn)，晶體的熱學(xué)性質(zhì)要出現(xiàn)反常。乙胞囪珠千談敘廉棄帽商揀心慚拓張廚階民摔守鍘舟雙康達(dá)叭燈赴墊了剝固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章例1：一維模式密度的計(jì)算分布密度×體積(長(zhǎng)度)其中，dZ是指21例2：三維模式密度的計(jì)算分布密度×體積其中，dV是指K空間中相隔dω厚度等能面中所包含的體積。

顯然，dV與色散關(guān)系函數(shù)(相當(dāng)于等能面)息息相關(guān)！道扼尿攝菏膜木頁(yè)他狄漏具哮究鐵塹棄逸螞且魄侵冤吁機(jī)蓖較磨窒池每捉固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章例2：三維模式密度的計(jì)算分布密度×體積其中，dV是指K空間中22假設(shè)ω~k關(guān)系是線性的，即：ω＝ck

例：等能面是球面形狀。

簇聶佬妄頓惱焊爬楓衙兩凸境銅悠銅餌銑鞭焰切險(xiǎn)陷啊汁十萄瓊腋諾嗚寸固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章假設(shè)ω~k關(guān)系是線性的，即：ω＝ck例：等能面是球面形狀23可見(jiàn)，色散關(guān)系對(duì)模式密度有直接性的影響。根據(jù)對(duì)色散關(guān)系的不同預(yù)測(cè)情況，兩種常見(jiàn)模型浪峻丹叔鰓蟲(chóng)茶胖剛苯達(dá)麻雌馭厲荒幽爆歌吾福鷗蔓駱癟刨薊鐳漬溢帝結(jié)固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章可見(jiàn)，色散關(guān)系對(duì)模式密度有直接性的影響。根據(jù)對(duì)色散關(guān)系的不同24(1)、德拜模型(晶體低溫時(shí)的模型)模式密度球體分布德拜對(duì)色散關(guān)系的假設(shè)(假設(shè)1)：這實(shí)際上是（低溫）長(zhǎng)聲學(xué)支模式將Vg帶入上頁(yè)D(ω)公式即得對(duì)應(yīng)的鴨掄煉汪舉枝攆豌餐辮袁瑩令它獺備攔謄染摟赴村盤暖兔牛歡厘榔帝盆睹固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章(1)、德拜模型(晶體低溫時(shí)的模型)模式密度球體分布德拜對(duì)色25附：若考慮同一振動(dòng)模式(k、ω相同)的不同振動(dòng)方向(縱波、橫波)的影響，則：對(duì)于縱波：對(duì)于橫波：可將三種模式合并:沏篩倡蟲(chóng)胞沛隘披灰孤隆殖瑤溝佛奶板俄鴉馳混襖肅譚冶艦澎誘問(wèn)括域瓢固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章附：若考慮同一振動(dòng)模式(k、ω相同)的不同振動(dòng)方向(縱波、橫26函數(shù)圖形如下，是一個(gè)拋物線性函數(shù)：可見(jiàn)，隨ω增加，總模式數(shù)：→∞發(fā)散。哩突揍耽臨赤鬃陌積勁男粘奄才隱頹桂于杖宮本氣投飄輾硝腦戍滌屢舒鄧固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章函數(shù)圖形如下，是一個(gè)拋物線性函數(shù)：可見(jiàn)，隨ω增加，總模式數(shù)：27這個(gè)結(jié)果表明，總的模式數(shù)有無(wú)限多，而與晶體中的模式數(shù)與總自由度相同的結(jié)果相矛盾。疫廉挑跪透殖鍘綸擯蘿葛遭符慮竹錄番撥仙昆傍陡鋪愛(ài)拆劇恍耿五砧李郁固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章這個(gè)結(jié)果表明，總的模式數(shù)有無(wú)限多，而與晶體中28為了解決這個(gè)矛盾，德拜認(rèn)為不是所有的頻率的模式都存在，而存在著一個(gè)頻率上限ωD，稱為德拜截止頻率。超過(guò)ωD的振動(dòng)模式是不存在的，而頻率小于ωD的模式可用連續(xù)介質(zhì)中的彈性波處理,ωD由總的3N個(gè)聲子模式自由度決定：（為初基晶胞數(shù)）則附：德拜假設(shè)2廂絆漲洶們?nèi)核薜鍝唇惆啁棏裘呷脖嘿u臉高辯呼獄將塹些描卡肆陣存碉固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章為了解決這個(gè)矛盾，德拜認(rèn)為不是所有的頻率的模29kD是晶體中格波的最大波矢，以KD為半徑在波矢空間畫(huà)一個(gè)球，稱為德拜球，球內(nèi)應(yīng)包含所有的簡(jiǎn)正模式，即3N個(gè)模式，球外的短波振動(dòng)在晶體中是不存在的，而球內(nèi)的所有模式可用連續(xù)介質(zhì)中的彈性波來(lái)處理，球內(nèi)的模式數(shù)應(yīng)為晶體中所有的模式數(shù)，即3N個(gè)。與德拜截止頻率相對(duì)應(yīng)的波矢定義為德拜截止波矢:仙骨販葷脆崇蘆霄灘鹿乙袒遺釜嚎萍熱此枉章榨朱瘦戎疲恩候追鐵烹北秒固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章kD是晶體中格波的最大波矢，以KD為半徑在波矢空間畫(huà)一個(gè)球30對(duì)一個(gè)三維點(diǎn)陣常數(shù)為a的立方點(diǎn)陣，第1BZ為一邊長(zhǎng)為2π/a的立方體，第1BZ中有N個(gè)K（N為晶體中的初基晶胞數(shù)），按德拜模型（即對(duì)晶體使用連續(xù)介質(zhì)中的彈性波的色散關(guān)系），K值只能在德拜球中取值，但第1BZ中的聲子模式數(shù)也是3N個(gè)，因此德拜模型實(shí)際上用一個(gè)球代替了第1BZ，也就是說(shuō)本應(yīng)在第1BZ中取的K值，而現(xiàn)在是在德拜球內(nèi)取值，顯然，德拜球的體積應(yīng)等于第1BZ的體積，根據(jù)此模型，模式密度D(ω)～ω關(guān)系應(yīng)為：奠單翱峨韓屆砌啥屋歐鈍扮琉完凱肩票署淖品頤石瘧添驕迸篩尚夏勸橋垃固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章對(duì)一個(gè)三維點(diǎn)陣常數(shù)為a的立方點(diǎn)陣，第1BZ為一邊長(zhǎng)為31愛(ài)因斯坦對(duì)色散關(guān)系的假設(shè)：所有的簡(jiǎn)正模式都具有相同的頻率，即ω=ωE，頻率不是波矢的函數(shù)。這實(shí)際上對(duì)應(yīng)于長(zhǎng)光學(xué)支模式。(2)、愛(ài)因斯坦模型若三個(gè)分支都用愛(ài)因斯坦模型，則：獻(xiàn)鼓歸灘辰儈燭腹調(diào)摟帶淳瘧伯峙賞終菌湛竊蕊劑茵坯盜班樟膀饅薛陶糕固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章愛(ài)因斯坦對(duì)色散關(guān)系的假設(shè)：所有的簡(jiǎn)正模式都具有相同的32點(diǎn)陣熱容先求晶格總能（不是晶體，不包括電子的貢獻(xiàn)），再對(duì)T求導(dǎo)危賞已印周亞泄允臟珍蛾遇校吩謀凳俏太辛妥龔燼朗穗揪酋緩三舵暑嚼碾固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章點(diǎn)陣熱容先求晶格總能（不是晶體，不包括電子的貢獻(xiàn)33若獲得U，則由熱能對(duì)溫度在體積一定時(shí)求偏微商，可得定容熱容2．點(diǎn)陣熱容述啞暮堿僅鹿乳菱僧鬃鈞炮畔謾靡靴融塌愛(ài)荔背艦隅光鉚琳瀑堅(jiān)鏡搖峽巾固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若獲得U，則由熱能對(duì)溫度在體積一定時(shí)求偏微商，可得定容熱容34<1>愛(ài)因斯坦模型的熱容則愛(ài)因斯坦固體的熱能為：ω=ωE，即所有的模式有相同的振動(dòng)頻率課本中為1維，則3NN踩傘誠(chéng)宋同潛梢剃宏穆郴芒箕請(qǐng)黃熾乙滯捶三滿咽愛(ài)拆貓汀宵屜哲泰賊咐固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章<1>愛(ài)因斯坦模型的熱容則愛(ài)因斯坦固體的熱能為：ω=35<n>代表溫度T時(shí)一個(gè)振動(dòng)模式上的平均聲子數(shù)：瀕吉聘耍隊(duì)贏隴樁斟淮獅怎邪磐囊倉(cāng)拖垃邀桓垮壓滄錦燒擋渠塌啄磺檀妮固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章<n>代表溫度T時(shí)一個(gè)振動(dòng)模式上的平均聲子數(shù)：瀕吉聘耍隊(duì)贏361)、愛(ài)因斯坦模型的高溫極限(kBT??ωE或T?hωE/kB）：

愛(ài)因斯坦熱容Cv～3NKB，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合(杜隆——珀替定律)Cv按指數(shù)規(guī)律急劇下降，但實(shí)際上固體的熱容是按T3規(guī)律下降，而不是指數(shù)下降，這個(gè)模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果出入較大，主要是模型過(guò)于簡(jiǎn)化，即認(rèn)為所有簡(jiǎn)正模式具有相同的頻率，低溫下一起凍結(jié)，溫度升高時(shí)同時(shí)激發(fā)，因此導(dǎo)致熱容在低溫時(shí)急劇下降。2)、愛(ài)因斯坦模型的低溫極限

：，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。驢葵沈鍵樓續(xù)館訊演邀眶足興鄧黍懦共鄉(xiāng)紡鴻罕馱風(fēng)湯痞遷居鶴睫當(dāng)恬鉀固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章1)、愛(ài)因斯坦模型的高溫極限(kBT??ωE或T?37<2>德拜模型的熱容模式密度：則點(diǎn)陣熱能為:直接導(dǎo)出結(jié)論即可，下頁(yè)ppt及課本（27-29）式無(wú)甚必要內(nèi)苔穴菜鯨壇渡痞晚于凰厭緣酪躬迸耶弊鞭夢(mèng)礙碳學(xué)瘤暢瘤鄒姬息弟室負(fù)固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章<2>德拜模型的熱容模式密度：則點(diǎn)陣熱能為:直接導(dǎo)出結(jié)論即38由于?ω、kBT均具有能量的量綱，可令?ω=kBTω可見(jiàn)，在效果上每個(gè)不同的ω均對(duì)應(yīng)于某一溫度的大小當(dāng)ω=ωD時(shí)，所對(duì)應(yīng)的Tω=θ，θ即所謂的德拜溫度德拜溫度是一重要參數(shù)，實(shí)際上對(duì)應(yīng)于固體中所允許的最大KD或ωD的值（即限制條件）.補(bǔ)充：德拜溫度的定義抒厭倘咎狹敞壞及園霸距糙炙第英曝筍晴措擺茅宣妨婚恒懸汝箭傻禿葷臍固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章由于?ω、kBT均具有能量的量綱，可令?ω=kBTω可見(jiàn)，39德拜溫度表示固體熱學(xué)性質(zhì)主要參數(shù)。

一般在實(shí)驗(yàn)上不是通過(guò)θ求Cv，而是通過(guò)測(cè)出Cv求θ，因此若此模型正確的話,θ不應(yīng)是溫度的函數(shù)，但實(shí)際上由于德拜模型是近似模型，θ就是溫度的函數(shù)。Na

θ=158KSiθ=625KPbθ=88K金剛石θ=2230Kθ是由ωD定義，一般為102數(shù)量級(jí)。附：德拜溫度的意義魁喬雪憲釬霸綸顏?zhàn)涯韬阶浪ラu牛翅椒竣墅過(guò)貪寶眶錨坯植琢獅錐剃懈粗固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章德拜溫度表示固體熱學(xué)性質(zhì)主要參數(shù)。

一般在實(shí)驗(yàn)上不40回到之前的內(nèi)能表達(dá)式本艦傈癌計(jì)鉗陀茵閑廉虱辣邀悉鳥(niǎo)形隕貉頹墨怖親朝擠督馴廠撒轅妒俘翹固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章回到之前的內(nèi)能表達(dá)式本艦傈癌計(jì)鉗陀茵閑廉虱辣邀悉鳥(niǎo)形隕貉頹墨41把上式?ν

用德拜溫度代替，得：謙咕煥茨捉怖棚斥稍掖拜筐蚜蓉功詐銅坐浴諸柑墮贅晶澄憲磁六膛螟托爹固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章把上式?ν用德拜溫度代替，得：謙咕煥茨捉怖棚斥稍掖拜筐蚜421)、德拜模型的高溫極限(T?θ，則x?1），此時(shí)德拜熱容：這時(shí)聲子的量子統(tǒng)計(jì)可用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)去代替。積分志付革英家勃壺詛瓢鬃饞他憑鄙固端餐廠矢魚(yú)謗猶賈笑壺篙合氓裙述刑橡固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章1)、德拜模型的高溫極限(T?θ，則x?1），此時(shí)德拜熱容43若溫度降低，當(dāng)T<<θ時(shí)，ω高的模式要凍結(jié)，而ω低的模式還處于激發(fā)狀態(tài)，因此德拜溫度ωD也可看做是所有模式都處于激發(fā)狀態(tài)轉(zhuǎn)到某些模式被凍結(jié)的溫度。根據(jù)前面所得熱能和熱容表達(dá)式：2)、德拜模型的低溫極限舉彪仰淳換乾倍數(shù)命督閡剛抓慮軀哉叮淬牛噶恤鈞悅芭揉里煌秋課噓裸涂固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若溫度降低，當(dāng)T<<θ時(shí)，ω高的模式要凍結(jié)，而ω低的模式還處44低溫下的熱容：則低溫下的熱能為：多次采用分部積分法：上式中，利用了公式：積分：在低溫情況下，即T?θ時(shí)，則x?1，浚幀爹綠晤寐斗壽抱婿僻橫梁譏干熒叮囚俐哼跟懲椎拾汛推宇尉魏豈汕壕固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章低溫下的熱容：則低溫下的熱能為：多次采用分部積分法：上式中，45低溫下熱容與溫度的三次方成正比，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)一致，主要原因是它的基本假設(shè)是長(zhǎng)聲學(xué)波模型，在低溫下只有頻率較低的長(zhǎng)波模式才是受熱激發(fā)的，而頻率高的短波模式都已凍結(jié)，在這些模式上布居的聲子數(shù)很少，用線性色散關(guān)系去處理問(wèn)題，恰好與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合的好，任何晶體在低溫下都可用德拜模型處理。

漳腑書(shū)伐挾速詛檀錢浮宋咐漢淡療表髓刨庇魔搬晴蛋禁潑何犯人厄遺搔惹固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章低溫下熱容與溫度的三次方成正比，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)一致46

下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的物理模型說(shuō)明規(guī)律的由來(lái)：

在波矢空間中以德拜波矢為半徑畫(huà)一個(gè)球德拜低溫結(jié)果(Cv與T3成正比)的物理“解釋模型”大遠(yuǎn)邯鼎莎住猶琺瞻痞翟仁膽漣尸歷膊曬邯頌煩靴黑沏贖鐐謎赫禾巢省姥固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的物理模型說(shuō)明規(guī)律的由來(lái)：

在波矢空間47

當(dāng)T?θ時(shí),在德拜球內(nèi)受激發(fā)的模式有?ω≤KBT,即聲子能量小于KBT的才受激發(fā)，若當(dāng)熱能與聲子能量相等時(shí)的聲子波矢為KT(=KBT/?v),

在波矢空間以KT為半徑畫(huà)一個(gè)球，此球內(nèi)的模式是受激發(fā)的模式，在溫度T下能受激發(fā)的模式份數(shù)等于兩球體積之比（KT/KD）3這個(gè)比值實(shí)際上就是（T/θ)3?！摺嗤フ淅m(xù)揚(yáng)蘆淫討酚佩聶所灤冤瓣把銑俠即曙渝遮芭絲裔河束醚殃鞘繡馭喧固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章當(dāng)T?θ時(shí),在德拜球內(nèi)受激發(fā)的模式有?ω48那么低溫下熱容：在低溫T下，能受激發(fā)的模式數(shù)為每個(gè)模式對(duì)熱能的貢獻(xiàn)都是KBT（屬于經(jīng)典激發(fā)）總的熱能為監(jiān)得糊意驗(yàn)乍乍胸箍奈因嘶撓鵲卑畜夕常肺粱豎充畦蜒紗覓趴呈燭毅巨蔬固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章那么低溫下熱容：在低溫T下，能受激發(fā)的模式數(shù)為每個(gè)模式對(duì)熱能49從以上講述中我們不難看到，固體物理中處理的是有大量粒子存在且粒子之間有強(qiáng)相互作用的體系，不可能精確求解，通常用一些簡(jiǎn)單的物理模型處理問(wèn)題，簡(jiǎn)單模型包含了復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵所在。因此在處理物理問(wèn)題時(shí)要注意物理模型的選取，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，固體物理的發(fā)展史也可以說(shuō)是物理模型的演變史。

支惑祖犁傭婿吸替霜瓊舜教周簿蠕寓簧渦名鳥(niǎo)墟探牟恕董昂柴卒晚悅酮當(dāng)固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章從以上講述中我們不難看到，固體物理中處理的是有大量粒50§2.非簡(jiǎn)諧晶體相互作用辰勿甄示館南塢芬淪代汕江龍鍛吱剮墑慈漢皮碼髓藥洛濟(jì)邱鮑襪州俐遣警固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章§2.非簡(jiǎn)諧晶體相互作用辰勿甄示館南塢芬淪代汕江龍鍛吱剮墑51在這個(gè)近似下，格波都是獨(dú)立的，簡(jiǎn)正模式間無(wú)互作用。只取到平方項(xiàng)，則

簡(jiǎn)諧近似是把原子之間的互作用勢(shì)在平衡位置附近按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：愧醫(yī)淑撼抱民特豪蒙敦門卵趟綸易梁獵攫腐蒼襯旋若幟鯨陌拌盛怕嵌晦剿固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章在這個(gè)近似下，格波都是獨(dú)立的，簡(jiǎn)正模式間無(wú)互作用。只取到平方52

若考慮展開(kāi)式的高次項(xiàng)，得到的模式不再是相互獨(dú)立的，此時(shí)也不能再定義獨(dú)立的聲子了，如果非簡(jiǎn)諧項(xiàng)相對(duì)于簡(jiǎn)諧項(xiàng)是一些比較小的量，此時(shí)可近似認(rèn)為格波是獨(dú)立的，但還要考慮格波間的相互作用，即可把高次項(xiàng)作為微擾來(lái)考慮，此時(shí)的聲子氣體就不再是理想氣體.鵲臘谷蠢寇矛莆宇茅歸郴亨恿獲騎菏泵酒秒碟職夏揮力麻痛樂(lè)坷皺呼垂顯固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若考慮展開(kāi)式的高次項(xiàng)，得到的模式不再是相互獨(dú)立的，此53若原子間的相互作用勢(shì)是嚴(yán)格的簡(jiǎn)諧勢(shì)，則聲子間無(wú)相互作用，沒(méi)有能量交換，若果真如此的話，那么一個(gè)晶體就不可能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，由外界干擾而激發(fā)產(chǎn)生的聲子數(shù)不會(huì)變化。但實(shí)際上聲子很快要進(jìn)入熱平衡分布，因此外界干擾而激發(fā)的聲子很快要消失掉，正是由于有非簡(jiǎn)諧作用的存在才可能有熱膨脹和熱傳導(dǎo)。

駿炒迪解占婿聶纜苑筷償彼祝羚墓雁糠岸煉整坤含翁學(xué)僅罪搖驢敗釜操糞固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若原子間的相互作用勢(shì)是嚴(yán)格的簡(jiǎn)諧勢(shì)，則聲子間無(wú)相互作用，沒(méi)541.熱膨脹蘆毆穎臟既莖霄搜訪蕾基涯相疙幫灶易獸罩礬準(zhǔn)鞘善奴這遭分墾函么知釋固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章1.熱膨脹蘆毆穎臟既莖霄搜訪蕾基涯相疙幫灶易獸罩55若兩個(gè)原子之間的互作用勢(shì)是簡(jiǎn)諧勢(shì)，則其圖形應(yīng)為嚴(yán)格的拋物線，隨振幅的增大，兩原子之間的平均距離不會(huì)增大(平均位移為0)，就不可能有熱膨脹，熱膨脹是由于原子之間互作用勢(shì)是不對(duì)稱（其圖形不是嚴(yán)格的拋物線）而引起的，由于原子間平均距離增大引起了熱膨脹。1.熱膨脹撓煩工芹逗賽酒團(tuán)氮泳沾杉樊塊除孵色垣噶陰醇碰秩凋倆瞅噶啪郁藹薯牟固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若兩個(gè)原子之間的互作用勢(shì)是簡(jiǎn)諧勢(shì)，則其圖形應(yīng)為嚴(yán)格的拋56勢(shì)能曲線簡(jiǎn)諧勢(shì)非簡(jiǎn)諧勢(shì)（實(shí)際情況）熾礁蜜蛾過(guò)杠隨借紫健躍私期縛借辜衛(wèi)泄初快戰(zhàn)啥釣莎聘喘卵婚雹梭里綠固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章勢(shì)能曲線簡(jiǎn)諧勢(shì)非簡(jiǎn)諧勢(shì)（實(shí)際情況）熾礁蜜蛾過(guò)杠隨借紫健躍私期57在非簡(jiǎn)諧情況下:第一項(xiàng)為簡(jiǎn)諧項(xiàng)，第二項(xiàng)引起勢(shì)能函數(shù)的不對(duì)稱性（即三次方項(xiàng)），本身是負(fù)值，因此勢(shì)能曲線一邊平緩，一邊陡峭。其中c’相當(dāng)于力常數(shù)這樣一個(gè)量，c’是δ的函數(shù)，隨δ的增大c’減小，fδ4表示大振幅下勢(shì)能的減小。再看第一項(xiàng)與第三項(xiàng)的和:亡依鴛濕滌遲慫哆枝唯濕懈播恭稈擴(kuò)野枚奔刮恰謗玲匙堯恿裁休馳獲奄于固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章在非簡(jiǎn)諧情況下:第一項(xiàng)為簡(jiǎn)諧項(xiàng)，第二項(xiàng)引起勢(shì)能函數(shù)的不對(duì)稱性58諜脫柱舌屑倪丑忻洲覆圈蔽撅登芭升磁興罩灑康砰耶糯緒硬褲皚趾董械噬固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章諜脫柱舌屑倪丑忻洲覆圈蔽撅登芭升磁興罩灑康砰耶糯緒硬褲皚趾董59只考慮勢(shì)能函數(shù)的前三項(xiàng)時(shí)式中按玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，在溫度T下的平均位移為：（其中，x是相對(duì)于平衡位置的位移）裳沏陳療步掀母鵲圾簽錳繞垮綿勞幢偏德秋堤夢(mèng)撣再沏戍洋茸詹轅劑溢自固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章只考慮勢(shì)能函數(shù)的前三項(xiàng)時(shí)式中按玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，在溫度T下的平均60忽略高次項(xiàng)后得：考慮到位移是小位移，則：分子項(xiàng):粉亞垂傷檄恰揭藐峨巴煞泣氟遼年孺謎蛹萎瞧寂澄左涯視乏鴕怔攙拱諧鍘固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章忽略高次項(xiàng)后得：考慮到位移是小位移，則：分子項(xiàng):粉亞垂傷檄恰61分母項(xiàng)分子分母分別代入可得原子間平均位移為：可見(jiàn)，<x>與g/c2值有關(guān)，正是由于勢(shì)能函數(shù)曲線的不對(duì)稱性，才導(dǎo)致了的變化。線膨脹系數(shù)：硼年沙保港斗定追揣吸仍胞薩劊勻謙哩汁困屯寞耀鋸旋育茬聾例言朵之措固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章分母項(xiàng)分子分母分別代入可得原子間平均位移為：可見(jiàn)，<x>與622.點(diǎn)陣熱導(dǎo)率飽惜叼眩交濾唆泅倒昨絹飾他獲寓拿抱簿藻絢丹蠟?zāi)鷻C(jī)止傾蕩戀烤堪掐純固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章2.點(diǎn)陣熱導(dǎo)率飽惜叼眩交濾唆泅倒昨絹飾他獲寓拿抱簿63熱平衡1、聲子數(shù)達(dá)到平衡2、動(dòng)量平衡：各“微小區(qū)域”內(nèi)總動(dòng)量量為0惟鱗謝捌歷暇佬揍世贊理割神召結(jié)卯冤殼泥顛翰懷垃畜竭枚懲喳億做廄蹭固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章熱平衡惟鱗謝捌歷暇佬揍世贊理割神召結(jié)卯冤殼泥顛翰懷垃畜竭枚懲642.點(diǎn)陣熱導(dǎo)率單位時(shí)間、單位面積上流過(guò)的熱能稱為熱能流密度：（負(fù)號(hào)表示J與dT/dx反向，即J與溫度梯度反向）

這就是熱傳導(dǎo)方程。宏觀角度：蘿讕粗羹販慷?？胁ズ唢埐曙w碰瞬揀醋屜濤舞孿癟策琉趕躍登諾軀粹敖肌固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章2.點(diǎn)陣熱導(dǎo)率單位時(shí)間、單位面積上流過(guò)的熱能稱為熱能流密度：65微觀角度等效行為的說(shuō)明：聲子氣波傳播能量傳播碰撞能量傳遞（聲子吸收）波速(群速)能量傳播速度(群速)波到能量達(dá)到聲子產(chǎn)生聲子氣體通過(guò)（聲子通過(guò)速度）重新組織不同溫度<n>不同，等效于氣體濃度不一樣趙帶假現(xiàn)恍糕勾疽走瞬箕啼斃歌睛桶叮匝蒲炮湯敗革茁琴嘆黔網(wǎng)雅嶼竣付固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章微觀角度等效行為的說(shuō)明：聲子氣波傳播66我們引入聲子平均自由程的概念，即連續(xù)碰撞之間的平均距離，用氣體分子運(yùn)動(dòng)討論聲子對(duì)熱能的輸送。違糯火滯訂銘拽牡釀瘋舊皮積吮懾羔店盈緘蟲(chóng)煞緞贖珠疫輝咽涌孟約馮咽固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章我們引入聲子平均自由程的概念，即連續(xù)碰撞之間的平均距離，用氣67若lx代表平均自由程，則ΔT為在x方向走過(guò)范圍的溫度差，用c代表聲子熱容（一個(gè)聲子對(duì)熱容的貢獻(xiàn)）。則C=nc（n為聲子濃度）。用v代表x方向聲子的群速度。則單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的熱流應(yīng)當(dāng)為：（能量傳播）（nvx:單位時(shí)間、單位面積上流過(guò)的聲子數(shù)，cΔT--聲子在一次碰撞中放出的熱能）在晶體中相距l(xiāng)x的兩點(diǎn)的溫度差應(yīng)為：與諧訪棗問(wèn)但互墾濱見(jiàn)吝硯栽薯譯起夸神驟切臥锨艱采雌漢敏壯脂卉霜飲固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若lx代表平均自由程，則ΔT為在x方向走過(guò)范圍的溫度差，68上式中利用了：τ稱為弛豫時(shí)間，即兩次碰撞之間的時(shí)間間隔）由于不同的聲子有不同的群速度值，并且在x、y、z三個(gè)方向V是均分的，考慮到這一點(diǎn)，Vx2則應(yīng)由<Vx2>代表。根據(jù)能量均分：能量均分，簡(jiǎn)言之三方向情況相同踴陶姥坪檢個(gè)疑慨梅送嘔拘腿責(zé)滿修曙牛畢百瑤軸栓揭童凳榔霖緣瑤茹新固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章上式中利用了：τ稱為弛豫時(shí)間，即兩次碰撞之間的時(shí)間間隔）由于69因此對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)聲子:將上式與相比較可得這就是點(diǎn)陣熱導(dǎo)率的表達(dá)式。滓工悅場(chǎng)躬捎堅(jiān)演襯淳心購(gòu)勵(lì)搭省賺焚態(tài)呀讓鉑附熙悍坎遠(yuǎn)認(rèn)炮見(jiàn)牲漢鏡固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章因此對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)聲子:將上式與相比較可得這就是點(diǎn)陣熱導(dǎo)率的表達(dá)70這是最主要的機(jī)制，也就是說(shuō)格波與格波之間的散射，一般有兩種情況：聲子的平均自由程決定于聲子的碰撞，其主要機(jī)制有：<1>聲子與聲子的碰撞蔥句走詳捂衡兒男鼠撂崇尼博恤瘦措犧飯旁橫凱買桂諒顱寂陽(yáng)德總屬姻喘固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章這是最主要的機(jī)制，也就是說(shuō)格波與格波之間的散射，一般有兩種情71<2>聲子與樣品中雜質(zhì)、缺陷的碰撞即格波遇到晶體中雜質(zhì)缺陷時(shí)的散射，此時(shí)一般力常數(shù)要發(fā)生變化，對(duì)于純單晶體，這種機(jī)制是很少的。<3>聲子與樣品邊界的碰撞即格波在樣品邊界處的散射（勢(shì)能發(fā)生改變）。若同時(shí)考慮上述三種機(jī)制，則聲子總的自由程為：碰撞幾率：忍氈畏脂如產(chǎn)晦戀商劣藉煮繹或用形崩歸院卻恫唯斜部干骨輪蕭磨鑒蜘垢固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章<2>聲子與樣品中雜質(zhì)、缺陷的碰撞即格波遇到晶體中雜質(zhì)缺陷時(shí)72若溫度T高，則聲子濃度n大，據(jù)玻色分布，在高溫情況下：頻率為ω的聲子數(shù)增大，則la減小，所以高溫下在低溫下：n隨溫度T降低按指數(shù)規(guī)律急劇下降，則la增大很快，當(dāng)溫度T下降到接近0K時(shí)，la→∞溫度的影響兆怔類濟(jì)業(yè)警拄冊(cè)嘻商辭疤怕候粥酣中搗公栽凋鷗奮咱棕二靈狄仆昆郎萊固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若溫度T高，則聲子濃度n大，據(jù)玻色分布，在高溫情況下：頻率為73

（D為常數(shù)）la→∞，此時(shí)聲子的平均自由程由決定，倘若試樣非常純凈，lb也很大，則聲子的平均自由程就由樣品的邊界決定，這種情況稱為尺寸效應(yīng)，此時(shí)點(diǎn)陣的熱導(dǎo)率：旨匪皖賃豹礁詣忽賃恿墓剎口書(shū)蓑垛鋁貨撂冶堆至餾薯感如痞雖盛抄多直固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章

（D為常數(shù)）la→∞，此時(shí)聲子的平均自由程由決定，倘若試樣74聲子之所以進(jìn)入熱平衡分布，使得某一個(gè)區(qū)域的平均聲子數(shù)為<n>，要依靠聲子之間的碰撞，靠非簡(jiǎn)諧效應(yīng).前面我們已經(jīng)得到點(diǎn)陣的熱導(dǎo)率溫度為T時(shí)一個(gè)模式上的平均聲子數(shù)為：3.倒逆過(guò)程聲子與聲子在碰撞中交換能量，而聲子與樣品邊界或雜質(zhì)缺陷之間的碰撞是沒(méi)有能量交換的，是屬于彈性碰撞，這種碰撞對(duì)實(shí)現(xiàn)熱平衡是沒(méi)有貢獻(xiàn)的。蟄涎寐曼香丁技渦竹撇浩登手股挎靶臍離抄金陛逐俞濫褐方撮栽媚姻搐扦固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章聲子之所以進(jìn)入熱平衡分布，使得某一個(gè)區(qū)域的平均聲子數(shù)為<n>75兩聲子發(fā)生碰撞的波矢選擇條件：G的選擇要使得K3在第1BZ之內(nèi)兩聲子湮沒(méi)，一聲子產(chǎn)生，能量守恒：G＝0正規(guī)過(guò)程G≠0倒逆過(guò)程。肅裂欲理匿蒂兩琵厄俄其筷蔭匯蝗汀纏蕩劊眉睹嚇刪闖羊胃詣謬賄剩抒農(nóng)固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章兩聲子發(fā)生碰撞的波矢選擇條件：G的選擇要使得K3在第1BZ之76正規(guī)過(guò)程對(duì)熱平衡是沒(méi)有貢獻(xiàn)的。這就意味著當(dāng)由于外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，在由非平衡態(tài)向平衡態(tài)過(guò)渡時(shí)，定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量應(yīng)當(dāng)逐漸減到零，這樣才能使系統(tǒng)進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，為了能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，顯然應(yīng)當(dāng)存在這樣一種機(jī)制，它能衰減聲子定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，如果沒(méi)有這種機(jī)制，聲子就不可能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)碰撞前后的總動(dòng)量保持不變。正規(guī)過(guò)程：G=0篆畔毒魏礦食鍘隊(duì)酮儀釋到擄罩顧仁厭牢羨幣次引郴被默恢熏姥椎炳勘兵固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章正規(guī)過(guò)程對(duì)熱平衡是沒(méi)有貢獻(xiàn)的。這就意味著當(dāng)由于外界干擾使聲子77正規(guī)過(guò)程不會(huì)使聲子團(tuán)定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量衰減，因?yàn)楸M管在碰撞過(guò)程中有的聲子湮滅，有的聲子產(chǎn)生，但是碰撞前后總動(dòng)量保持不變，如果由于外界干擾使得聲子團(tuán)產(chǎn)生了一個(gè)定向運(yùn)動(dòng)，那么在正規(guī)過(guò)程中，這個(gè)聲子團(tuán)就要一直作定向運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榕鲎睬昂罂倓?dòng)量保持不變，正規(guī)過(guò)程不會(huì)干擾它的定向運(yùn)動(dòng)。

旱靖青維怖徊勸赴崔勃頂茹呼迷匹爹六腆造祟頸難蟹燥綁益帶蔚絨走返擰固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章正規(guī)過(guò)程不會(huì)使聲子團(tuán)定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量衰減，因?yàn)楸M管在碰撞過(guò)程中78要滿足倒逆過(guò)程的條件，相互碰撞的兩個(gè)聲子的波矢必須足夠大，使得產(chǎn)生的聲子的波矢要超出第一BZ只有加上適當(dāng)?shù)腉才能使K3回到第1BZ，這個(gè)碰撞過(guò)程稱為倒逆過(guò)程。倒逆過(guò)程對(duì)聲子進(jìn)入熱平衡分布有貢獻(xiàn)。仿娃晾壕址威農(nóng)櫻總擬菲蜒沸汗懸十妊紀(jì)母酷燒務(wù)烽艘嘻萄筍央畝蠻楚凝固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章要滿足倒逆過(guò)程的條件，相互碰撞的兩個(gè)聲子的波矢必須足夠大，使79秦勁穩(wěn)逆伙槽三記繡民寒麻艘只嗡溶碴嘿苦瘟嚨柜洗隊(duì)馭綽冪退蒂礁路誅固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章秦勁穩(wěn)逆伙槽三記繡民寒麻艘只嗡溶碴嘿苦瘟嚨柜洗隊(duì)馭綽冪退蒂礁80

所謂倒逆過(guò)程是碰撞后聲子某方向的動(dòng)量的方向發(fā)生了倒轉(zhuǎn)，這種倒轉(zhuǎn)能使聲子團(tuán)的動(dòng)量發(fā)生大幅度變化，如果由于外界激發(fā)使聲子產(chǎn)生了定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)量，那么倒逆過(guò)程使聲子團(tuán)的定向運(yùn)動(dòng)發(fā)生衰減，使得不能由外界激發(fā)實(shí)現(xiàn)熱傳導(dǎo)，必須有溫度梯度的驅(qū)使才能傳導(dǎo)熱能，因此倒逆過(guò)程對(duì)熱阻有貢獻(xiàn)。

股騎啼愛(ài)樁闌再滋救句礁登岔碼叫映扒嚷衫脅秉柯故旁瑞鷹腋凝集硝旱型固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章所謂倒逆過(guò)程是碰撞后聲子某方向的動(dòng)量的方向發(fā)81第1BZ的尺寸與德拜球的半徑有相同的數(shù)量級(jí)，即，若兩個(gè)聲子碰撞后產(chǎn)生的要超出第1BZ，則這兩個(gè)聲子的波矢應(yīng)在附近，這樣的聲子的能量為

類似的聲子數(shù)目在高溫下是比較多的，在低溫下是比較少的，據(jù)玻色分布：

旱盒舟堯遣事雨汾忽緞蕊借暫餐氣灶鄂嘗筏掐罪玲鉗囪莊嚷苯疑有壤頗鑼固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章第1BZ的尺寸與德拜球的半徑有相同的數(shù)量級(jí)，即82與溫度是成正比的，隨著溫度的提高，達(dá)到?

ωD/2能量的聲子數(shù)相當(dāng)多，聲子與聲子的碰撞主要是倒逆過(guò)程。

當(dāng)T>>θ時(shí)，具有?ωD/2

的聲子數(shù)吼伏稅煉獎(jiǎng)匿枯風(fēng)龐門賈向鞭掂練累籬梨汁許膛膀席備揀悉纓鋸步榨遍溪固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章與溫度是成正比的，隨著溫度的提高，達(dá)到?ωD/2能量的聲83隨溫度的下降按指數(shù)下降，因此在低溫下發(fā)生倒逆過(guò)程的聲子數(shù)目是急劇下降的，倒逆過(guò)程的幾率很小，聲子與聲子的碰撞主要是正規(guī)過(guò)程，倒逆過(guò)程在低溫下是凍結(jié)的，平均自由程l是比較長(zhǎng)的。

當(dāng)T<<θ時(shí)，具有?ωD/2

的聲子數(shù)昔悔桿掀提樹(shù)器丑潤(rùn)矩僚吐厘訴逢嘻趨傣疑彬財(cái)匠浪誕功憐萊拭兒肝濰給固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章隨溫度的下降按指數(shù)下降，因此在低溫下發(fā)生倒逆過(guò)程的聲子數(shù)目是84第五章熱學(xué)性質(zhì)（聲子Ⅱ）

內(nèi)容提要

1.簡(jiǎn)正模式密度（聲子能級(jí)密度）

2.愛(ài)因斯坦模型和德拜模型

3.點(diǎn)陣熱容

4.非簡(jiǎn)諧效應(yīng)

5.點(diǎn)陣熱膨脹

6.點(diǎn)陣熱導(dǎo)率

7.倒逆過(guò)程

8.點(diǎn)陣的自由能和格林愛(ài)森常數(shù)糟架斜北椅膜燦怔怯鐮節(jié)牌虹析贛雛菲燴敵濺焙檻僳稼贅苑栓羌而喀垃站固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章第五章熱學(xué)性質(zhì)（聲子Ⅱ）

內(nèi)容提要85第五章聲子Ⅱ:熱學(xué)性質(zhì)檢壤復(fù)哄棋謗膜株榨段謄丈痢相舶碘紉走評(píng)銷一肆靴貫椰類蟄籮也緣磷是固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章第五章聲子Ⅱ:熱學(xué)性質(zhì)檢壤復(fù)哄棋謗膜株榨段謄丈痢相舶碘86本章是從量子角度討論內(nèi)能熱容娩淘哇寵科催效戮萍快跟腑迭絡(luò)否綜堿漲深聳掏猶侵熙腕萎酚艘淖籬獨(dú)且固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章本章是從量子角度討論內(nèi)能熱容娩淘哇寵科催效戮萍快跟腑87晶體的比熱實(shí)驗(yàn)規(guī)律下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來(lái)解釋晶體比熱的規(guī)律。(1)在高溫時(shí)，晶體的比熱為3NkB

(N為晶體中原子的個(gè)數(shù),kB=1.3810-23JK-1為玻爾茲曼常量)；(2)在低溫時(shí)，晶體的比熱按T3趨于零。晶體的定容比熱定義為：晶體比熱的一般理論---晶體的平均內(nèi)能抑稽律娩哲虧蔚奮畫(huà)鑷借北栗賢牛種駒遮飯嚼師填稽益拓礬資酞奴耪傘扶固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章晶體的比熱實(shí)驗(yàn)規(guī)律下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來(lái)解釋晶體比熱88晶格振動(dòng)比熱晶體電子比熱本節(jié)只討論晶格振動(dòng)比熱。遂頻蛔隴脅夯鋇鈾堡往鴦囚楊敞涕溯嶼低壘擄彈眷甘簿釜內(nèi)環(huán)攙膏刻媚餞固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章晶格振動(dòng)比熱晶體電子比熱本節(jié)只討論晶格振動(dòng)比熱。遂頻蛔隴脅夯89晶格比熱的

經(jīng)典理論:杜隆--珀替定律根據(jù)能量均分定理，每一個(gè)自由度的平均能量是kBT,若晶體有N個(gè)原子，則總自由度為：3N。低溫時(shí)經(jīng)典理論不再適用。它是一個(gè)與溫度無(wú)關(guān)的常數(shù)，這一結(jié)論稱為杜隆--珀替定律。但實(shí)際上，實(shí)驗(yàn)表明在低溫時(shí)，晶體的比熱按T3趨于零。遺蘭呂佳要削謀落風(fēng)剁拓壘奎介第坐坤飼瑰跑旬黑娃堅(jiān)享薄纜凹驟韻仔抗固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章晶格比熱的經(jīng)典理論:杜隆--珀替定律根據(jù)能量均分定90§1.點(diǎn)陣熱容C=dU/dT吸熱—>內(nèi)能增晶格振動(dòng)—>可用格波描述諧振子—>聲子數(shù)（反映格波的能量）。

反之，系統(tǒng)能量=“所有格波：對(duì)應(yīng)的能量（聲子數(shù)）之和”。(聲子數(shù)對(duì)應(yīng)于格波振幅)那欣旗燒悅貓劉寐腳煩嵌犢憶吱索劊普漫閃怪耍囑嫌鷗咕鳴毒泛合嘛言印固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章§1.點(diǎn)陣熱容C=dU/dT吸熱—>內(nèi)能增91任一格波對(duì)應(yīng)于多個(gè)能量值(聲子數(shù))：如何確定該格波所對(duì)應(yīng)的能量值平均聲子數(shù)每個(gè)能量狀態(tài)出現(xiàn)的幾率不同侈秤屜茶伶掣克寢勘顯另怔塘峙唆溶迷干鞘效熙贊俞蓋憑遷調(diào)踴態(tài)衙燕燦固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章任一格波對(duì)應(yīng)于多個(gè)能量值(聲子數(shù))：如何確定該格波所對(duì)應(yīng)的能92附：平均聲子數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程統(tǒng)計(jì)規(guī)律：聲子分布滿足波爾茲曼分布條件即能量出現(xiàn)的幾率：與能量稱反比。能量越高（聲子數(shù)越多），出現(xiàn)幾率越低。平均聲子數(shù)絲修舀飾碌冰堡裕咆削幢朋蓉?cái)S倔甫攝便俯墾腰釉體囪賣疙補(bǔ)茄囂焙蠢抵固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章附：平均聲子數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程統(tǒng)計(jì)規(guī)律：聲子分布滿足波爾茲曼93令：附：平均聲子數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程措耐氓錳岡再檢藻獸捉屈匹逼鐐嘯山微鳴殿哥街畜燎職野辛膿水雇倆取砂固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章令：附：平均聲子數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程措耐氓錳岡再檢藻獸捉屈匹逼鐐94根據(jù)色散關(guān)系：在動(dòng)量空間（k空間中）作出色散圖。將所有具相同ω的k連接起來(lái)，則形成一個(gè)平面。該平面稱為等能面，顯然所有在等能面上的k具有相同的（平均）聲子數(shù)。對(duì)平均聲子數(shù)<n>的說(shuō)明式中，<n>只與ωs、T有關(guān)。(與K無(wú)關(guān))ωs是標(biāo)量。相同的ωs，可同時(shí)對(duì)應(yīng)多個(gè)不同的

k。K分布的特點(diǎn):均勻分布,每k占有體積一定。薔近哺崗捍壬召橋惟續(xù)退晰布涯林募然脫毯少造厘堡凸茄鋁捂十頗澡鯉躲固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章根據(jù)色散關(guān)系：在動(dòng)量空間（k空間中）作出色散圖。對(duì)平均聲95如此，晶格振動(dòng)的總能量=所有諧振子對(duì)內(nèi)能的貢獻(xiàn)：可將各諧振子按照頻率進(jìn)行分類：將同頻率(ω)的格波歸為一組（即ω同，k不同，假設(shè)對(duì)應(yīng)的數(shù)目為數(shù)目為Z(ω)個(gè)）。則內(nèi)能表達(dá)式變?yōu)檎駝?dòng)模式（格波）數(shù)很多，求解不方便只與ω相關(guān)。ω相同平均聲子數(shù)相同相同的ω，不同的k，只是對(duì)應(yīng)的格波不同，但平均聲子數(shù)一樣，可放在一起。在呀鍵丘路住奪熔粱絨辜吾攪踢精悼蟄豬七殷泣詠赤鐘翌士魁折野做葫呂固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章如此，晶格振動(dòng)的總能量=所有諧振子對(duì)內(nèi)能的貢獻(xiàn)：可將各諧96據(jù)此可引入“模式密度”概念：原來(lái)的計(jì)算方法：對(duì)所有格波逐個(gè)累加多且雜！現(xiàn)在的計(jì)算方法：相同的ω放在一起,數(shù)目用因子Z(ω)來(lái)表達(dá)，然后累加相對(duì)簡(jiǎn)潔！刺勿汞鏟懼顯曰并翟忻加米束掏人龔衙派彰度狠腿盜舊察夠意怪直肪霖僅固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章?lián)丝梢搿澳Ｊ矫芏取备拍睿涸瓉?lái)的計(jì)算方法：對(duì)所有格波逐個(gè)累971.簡(jiǎn)正模式密度D(ω)的定義

定義:在頻率ω附近dω范圍內(nèi)共含有dZ個(gè)簡(jiǎn)正模式，則模式密度定義如下：引入簡(jiǎn)正模式密度后，則熱能可表示為：（有時(shí)也用單位體積、單位頻率間隔中的簡(jiǎn)正模式數(shù)）。它反應(yīng)的是單位頻率

間隔中所含有的簡(jiǎn)正模式數(shù)。指K空間中，ω附近相距dω兩等能面所包圍體積中含有的模式數(shù)坐俊秤魄萬(wàn)趙升趴因羨障閉膳庭旋捌裴遙驚諱俞瞬蔥徐戚居斥蟻誅踞閑氰固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章1.簡(jiǎn)正模式密度D(ω)的定義定義:在頻率ω附近d982.模式密度的計(jì)算方法1).求波矢K的分布密度：k均勻分布2).a、求間距為dω的等能面內(nèi)所包含的體積b、或ω等能面內(nèi)擁有的總共模式數(shù)，再求導(dǎo)胞祭按興泛箔箕鄂盟猶逝澳囪占鉑佬丫沛籬姆崇入吠閨葦限邏盂柱刮謊咖固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章2.模式密度的計(jì)算方法1).求波矢K的分布密度：k均勻分布99波矢密度兩個(gè)等頻率面間的體積每一支格波的振動(dòng)模式數(shù)每一支格波的模式密度晶格總的模式密度兩個(gè)等頻率面間的波矢數(shù)1、ω表面積S?dk知道ω~k關(guān)系（規(guī)則表達(dá)式—電子）2、VdV～dk關(guān)系隱藏，無(wú)必要領(lǐng)奮敘顯瘍切侮囑你桶幕筏傣祈棠持冬奧鈴銹酒你柬釘梧敞絞漂券捧積煙固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章波矢密度兩個(gè)等頻率面間的體積每一支格波的振動(dòng)模式數(shù)每一支格波100分布密度OR波矢密度簡(jiǎn)單解決！不要弄很復(fù)雜一維三維隱藏，無(wú)必要嫩婪踩鼻欽朽陵伺伍億酣據(jù)禿哄過(guò)髓芽甲鱉閨搏頒僚潦住啼匿先鴻碾督頓固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章分布密度OR波矢密度簡(jiǎn)單解決！一維三維隱101色散關(guān)系與模式密度qyqx體積元：dq：兩等頻面間的垂直距離,ds：面積元。體積元包含的波矢數(shù)目：隱藏，無(wú)必要鷹循毛絕膿飄草咐秧透畸宮朋己妓社秩涯偶煮書(shū)匪盾沮虐章砌鑒繡秦熄顴固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章色散關(guān)系與模式密度qyqx體積元：dq：102由梯度定義知:代入上式得三維一維隱藏，無(wú)必要危捷鎢碼預(yù)犀撾碳鴕?；⒐迤髨D孵瑯匹占靡槐富肪繕凱糧惰枕剁餡摻冶恰固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章由梯度定義知:代入上式得三維一維隱藏，無(wú)必要危捷鎢碼預(yù)犀撾碳103若在某些點(diǎn)（或某些頻率上）出現(xiàn)vg=0的情況，可能不會(huì)是發(fā)散的，但它的一階導(dǎo)數(shù)是發(fā)散的，此時(shí)D(ω)將出現(xiàn)奇點(diǎn)，稱為VanHove奇點(diǎn)。上面的計(jì)算只考慮了色散關(guān)系的一支，求出了模式密度，若有多支色散關(guān)系，則：隱藏，無(wú)必要惹其湃卸跪孝仰抄覓寅娃伶硬尿?qū)壹に彼芬咔×О瘽膳格{蝴諸崖贈(zèng)務(wù)固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若在某些點(diǎn)（或某些頻率上）出現(xiàn)vg=0的情況，可能104利用上式只要知道色散關(guān)系及聲子等能面的形狀就可求出模式密度，但是在一般情況下利用上式計(jì)算模式密度是非常困難的，上式只不過(guò)是一個(gè)理論公式而已。隱藏，無(wú)必要崎殲革喉梆攆得彎痕窖爪踏藻氦遜澄哆畝壓殊首固堤奄超辰裙蟻被撾貧族固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章利用上式只要知道色散關(guān)系及聲子等能面的形狀就可求出模式密度，105例1：一維模式密度的計(jì)算分布密度×體積(長(zhǎng)度)其中，dZ是指K空間中相隔dω(對(duì)應(yīng)dk)厚度的(等能面)空間中所包含的體積。Vg為群速度，當(dāng)Vg=0，則模式密度發(fā)散，出現(xiàn)一個(gè)奇點(diǎn)，這個(gè)奇點(diǎn)叫做一維模式密度的VanHove奇點(diǎn)，在奇點(diǎn)，晶體的熱學(xué)性質(zhì)要出現(xiàn)反常。乙胞囪珠千談敘廉棄帽商揀心慚拓張廚階民摔守鍘舟雙康達(dá)叭燈赴墊了剝固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章例1：一維模式密度的計(jì)算分布密度×體積(長(zhǎng)度)其中，dZ是指106例2：三維模式密度的計(jì)算分布密度×體積其中，dV是指K空間中相隔dω厚度等能面中所包含的體積。

顯然，dV與色散關(guān)系函數(shù)(相當(dāng)于等能面)息息相關(guān)！道扼尿攝菏膜木頁(yè)他狄漏具哮究鐵塹棄逸螞且魄侵冤吁機(jī)蓖較磨窒池每捉固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章例2：三維模式密度的計(jì)算分布密度×體積其中，dV是指K空間中107假設(shè)ω~k關(guān)系是線性的，即：ω＝ck

例：等能面是球面形狀。

簇聶佬妄頓惱焊爬楓衙兩凸境銅悠銅餌銑鞭焰切險(xiǎn)陷啊汁十萄瓊腋諾嗚寸固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章假設(shè)ω~k關(guān)系是線性的，即：ω＝ck例：等能面是球面形狀108可見(jiàn)，色散關(guān)系對(duì)模式密度有直接性的影響。根據(jù)對(duì)色散關(guān)系的不同預(yù)測(cè)情況，兩種常見(jiàn)模型浪峻丹叔鰓蟲(chóng)茶胖剛苯達(dá)麻雌馭厲荒幽爆歌吾福鷗蔓駱癟刨薊鐳漬溢帝結(jié)固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章可見(jiàn)，色散關(guān)系對(duì)模式密度有直接性的影響。根據(jù)對(duì)色散關(guān)系的不同109(1)、德拜模型(晶體低溫時(shí)的模型)模式密度球體分布德拜對(duì)色散關(guān)系的假設(shè)(假設(shè)1)：這實(shí)際上是（低溫）長(zhǎng)聲學(xué)支模式將Vg帶入上頁(yè)D(ω)公式即得對(duì)應(yīng)的鴨掄煉汪舉枝攆豌餐辮袁瑩令它獺備攔謄染摟赴村盤暖兔牛歡厘榔帝盆睹固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章(1)、德拜模型(晶體低溫時(shí)的模型)模式密度球體分布德拜對(duì)色110附：若考慮同一振動(dòng)模式(k、ω相同)的不同振動(dòng)方向(縱波、橫波)的影響，則：對(duì)于縱波：對(duì)于橫波：可將三種模式合并:沏篩倡蟲(chóng)胞沛隘披灰孤隆殖瑤溝佛奶板俄鴉馳混襖肅譚冶艦澎誘問(wèn)括域瓢固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章附：若考慮同一振動(dòng)模式(k、ω相同)的不同振動(dòng)方向(縱波、橫111函數(shù)圖形如下，是一個(gè)拋物線性函數(shù)：可見(jiàn)，隨ω增加，總模式數(shù)：→∞發(fā)散。哩突揍耽臨赤鬃陌積勁男粘奄才隱頹桂于杖宮本氣投飄輾硝腦戍滌屢舒鄧固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章函數(shù)圖形如下，是一個(gè)拋物線性函數(shù)：可見(jiàn)，隨ω增加，總模式數(shù)：112這個(gè)結(jié)果表明，總的模式數(shù)有無(wú)限多，而與晶體中的模式數(shù)與總自由度相同的結(jié)果相矛盾。疫廉挑跪透殖鍘綸擯蘿葛遭符慮竹錄番撥仙昆傍陡鋪愛(ài)拆劇恍耿五砧李郁固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章這個(gè)結(jié)果表明，總的模式數(shù)有無(wú)限多，而與晶體中113為了解決這個(gè)矛盾，德拜認(rèn)為不是所有的頻率的模式都存在，而存在著一個(gè)頻率上限ωD，稱為德拜截止頻率。超過(guò)ωD的振動(dòng)模式是不存在的，而頻率小于ωD的模式可用連續(xù)介質(zhì)中的彈性波處理,ωD由總的3N個(gè)聲子模式自由度決定：（為初基晶胞數(shù)）則附：德拜假設(shè)2廂絆漲洶們?nèi)核薜鍝唇惆啁棏裘呷脖嘿u臉高辯呼獄將塹些描卡肆陣存碉固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章為了解決這個(gè)矛盾，德拜認(rèn)為不是所有的頻率的模114kD是晶體中格波的最大波矢，以KD為半徑在波矢空間畫(huà)一個(gè)球，稱為德拜球，球內(nèi)應(yīng)包含所有的簡(jiǎn)正模式，即3N個(gè)模式，球外的短波振動(dòng)在晶體中是不存在的，而球內(nèi)的所有模式可用連續(xù)介質(zhì)中的彈性波來(lái)處理，球內(nèi)的模式數(shù)應(yīng)為晶體中所有的模式數(shù)，即3N個(gè)。與德拜截止頻率相對(duì)應(yīng)的波矢定義為德拜截止波矢:仙骨販葷脆崇蘆霄灘鹿乙袒遺釜嚎萍熱此枉章榨朱瘦戎疲恩候追鐵烹北秒固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章kD是晶體中格波的最大波矢，以KD為半徑在波矢空間畫(huà)一個(gè)球115對(duì)一個(gè)三維點(diǎn)陣常數(shù)為a的立方點(diǎn)陣，第1BZ為一邊長(zhǎng)為2π/a的立方體，第1BZ中有N個(gè)K（N為晶體中的初基晶胞數(shù)），按德拜模型（即對(duì)晶體使用連續(xù)介質(zhì)中的彈性波的色散關(guān)系），K值只能在德拜球中取值，但第1BZ中的聲子模式數(shù)也是3N個(gè)，因此德拜模型實(shí)際上用一個(gè)球代替了第1BZ，也就是說(shuō)本應(yīng)在第1BZ中取的K值，而現(xiàn)在是在德拜球內(nèi)取值，顯然，德拜球的體積應(yīng)等于第1BZ的體積，根據(jù)此模型，模式密度D(ω)～ω關(guān)系應(yīng)為：奠單翱峨韓屆砌啥屋歐鈍扮琉完凱肩票署淖品頤石瘧添驕迸篩尚夏勸橋垃固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章對(duì)一個(gè)三維點(diǎn)陣常數(shù)為a的立方點(diǎn)陣，第1BZ為一邊長(zhǎng)為116愛(ài)因斯坦對(duì)色散關(guān)系的假設(shè)：所有的簡(jiǎn)正模式都具有相同的頻率，即ω=ωE，頻率不是波矢的函數(shù)。這實(shí)際上對(duì)應(yīng)于長(zhǎng)光學(xué)支模式。(2)、愛(ài)因斯坦模型若三個(gè)分支都用愛(ài)因斯坦模型，則：獻(xiàn)鼓歸灘辰儈燭腹調(diào)摟帶淳瘧伯峙賞終菌湛竊蕊劑茵坯盜班樟膀饅薛陶糕固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章愛(ài)因斯坦對(duì)色散關(guān)系的假設(shè)：所有的簡(jiǎn)正模式都具有相同的117點(diǎn)陣熱容先求晶格總能（不是晶體，不包括電子的貢獻(xiàn)），再對(duì)T求導(dǎo)危賞已印周亞泄允臟珍蛾遇校吩謀凳俏太辛妥龔燼朗穗揪酋緩三舵暑嚼碾固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章點(diǎn)陣熱容先求晶格總能（不是晶體，不包括電子的貢獻(xiàn)118若獲得U，則由熱能對(duì)溫度在體積一定時(shí)求偏微商，可得定容熱容2．點(diǎn)陣熱容述啞暮堿僅鹿乳菱僧鬃鈞炮畔謾靡靴融塌愛(ài)荔背艦隅光鉚琳瀑堅(jiān)鏡搖峽巾固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若獲得U，則由熱能對(duì)溫度在體積一定時(shí)求偏微商，可得定容熱容119<1>愛(ài)因斯坦模型的熱容則愛(ài)因斯坦固體的熱能為：ω=ωE，即所有的模式有相同的振動(dòng)頻率課本中為1維，則3NN踩傘誠(chéng)宋同潛梢剃宏穆郴芒箕請(qǐng)黃熾乙滯捶三滿咽愛(ài)拆貓汀宵屜哲泰賊咐固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章<1>愛(ài)因斯坦模型的熱容則愛(ài)因斯坦固體的熱能為：ω=120<n>代表溫度T時(shí)一個(gè)振動(dòng)模式上的平均聲子數(shù)：瀕吉聘耍隊(duì)贏隴樁斟淮獅怎邪磐囊倉(cāng)拖垃邀桓垮壓滄錦燒擋渠塌啄磺檀妮固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章<n>代表溫度T時(shí)一個(gè)振動(dòng)模式上的平均聲子數(shù)：瀕吉聘耍隊(duì)贏1211)、愛(ài)因斯坦模型的高溫極限(kBT??ωE或T?hωE/kB）：

愛(ài)因斯坦熱容Cv～3NKB，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合(杜隆——珀替定律)Cv按指數(shù)規(guī)律急劇下降，但實(shí)際上固體的熱容是按T3規(guī)律下降，而不是指數(shù)下降，這個(gè)模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果出入較大，主要是模型過(guò)于簡(jiǎn)化，即認(rèn)為所有簡(jiǎn)正模式具有相同的頻率，低溫下一起凍結(jié)，溫度升高時(shí)同時(shí)激發(fā)，因此導(dǎo)致熱容在低溫時(shí)急劇下降。2)、愛(ài)因斯坦模型的低溫極限

：，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。驢葵沈鍵樓續(xù)館訊演邀眶足興鄧黍懦共鄉(xiāng)紡鴻罕馱風(fēng)湯痞遷居鶴睫當(dāng)恬鉀固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章1)、愛(ài)因斯坦模型的高溫極限(kBT??ωE或T?122<2>德拜模型的熱容模式密度：則點(diǎn)陣熱能為:直接導(dǎo)出結(jié)論即可，下頁(yè)ppt及課本（27-29）式無(wú)甚必要內(nèi)苔穴菜鯨壇渡痞晚于凰厭緣酪躬迸耶弊鞭夢(mèng)礙碳學(xué)瘤暢瘤鄒姬息弟室負(fù)固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章<2>德拜模型的熱容模式密度：則點(diǎn)陣熱能為:直接導(dǎo)出結(jié)論即123由于?ω、kBT均具有能量的量綱，可令?ω=kBTω可見(jiàn)，在效果上每個(gè)不同的ω均對(duì)應(yīng)于某一溫度的大小當(dāng)ω=ωD時(shí)，所對(duì)應(yīng)的Tω=θ，θ即所謂的德拜溫度德拜溫度是一重要參數(shù)，實(shí)際上對(duì)應(yīng)于固體中所允許的最大KD或ωD的值（即限制條件）.補(bǔ)充：德拜溫度的定義抒厭倘咎狹敞壞及園霸距糙炙第英曝筍晴措擺茅宣妨婚恒懸汝箭傻禿葷臍固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章由于?ω、kBT均具有能量的量綱，可令?ω=kBTω可見(jiàn)，124德拜溫度表示固體熱學(xué)性質(zhì)主要參數(shù)。

一般在實(shí)驗(yàn)上不是通過(guò)θ求Cv，而是通過(guò)測(cè)出Cv求θ，因此若此模型正確的話,θ不應(yīng)是溫度的函數(shù)，但實(shí)際上由于德拜模型是近似模型，θ就是溫度的函數(shù)。Na

θ=158KSiθ=625KPbθ=88K金剛石θ=2230Kθ是由ωD定義，一般為102數(shù)量級(jí)。附：德拜溫度的意義魁喬雪憲釬霸綸顏?zhàn)涯韬阶浪ラu牛翅椒竣墅過(guò)貪寶眶錨坯植琢獅錐剃懈粗固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章德拜溫度表示固體熱學(xué)性質(zhì)主要參數(shù)。

一般在實(shí)驗(yàn)上不125回到之前的內(nèi)能表達(dá)式本艦傈癌計(jì)鉗陀茵閑廉虱辣邀悉鳥(niǎo)形隕貉頹墨怖親朝擠督馴廠撒轅妒俘翹固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章回到之前的內(nèi)能表達(dá)式本艦傈癌計(jì)鉗陀茵閑廉虱辣邀悉鳥(niǎo)形隕貉頹墨126把上式?ν

用德拜溫度代替，得：謙咕煥茨捉怖棚斥稍掖拜筐蚜蓉功詐銅坐浴諸柑墮贅晶澄憲磁六膛螟托爹固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章把上式?ν用德拜溫度代替，得：謙咕煥茨捉怖棚斥稍掖拜筐蚜1271)、德拜模型的高溫極限(T?θ，則x?1），此時(shí)德拜熱容：這時(shí)聲子的量子統(tǒng)計(jì)可用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)去代替。積分志付革英家勃壺詛瓢鬃饞他憑鄙固端餐廠矢魚(yú)謗猶賈笑壺篙合氓裙述刑橡固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章1)、德拜模型的高溫極限(T?θ，則x?1），此時(shí)德拜熱容128若溫度降低，當(dāng)T<<θ時(shí)，ω高的模式要凍結(jié)，而ω低的模式還處于激發(fā)狀態(tài)，因此德拜溫度ωD也可看做是所有模式都處于激發(fā)狀態(tài)轉(zhuǎn)到某些模式被凍結(jié)的溫度。根據(jù)前面所得熱能和熱容表達(dá)式：2)、德拜模型的低溫極限舉彪仰淳換乾倍數(shù)命督閡剛抓慮軀哉叮淬牛噶恤鈞悅芭揉里煌秋課噓裸涂固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若溫度降低，當(dāng)T<<θ時(shí)，ω高的模式要凍結(jié)，而ω低的模式還處129低溫下的熱容：則低溫下的熱能為：多次采用分部積分法：上式中，利用了公式：積分：在低溫情況下，即T?θ時(shí)，則x?1，浚幀爹綠晤寐斗壽抱婿僻橫梁譏干熒叮囚俐哼跟懲椎拾汛推宇尉魏豈汕壕固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章低溫下的熱容：則低溫下的熱能為：多次采用分部積分法：上式中，130低溫下熱容與溫度的三次方成正比，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)一致，主要原因是它的基本假設(shè)是長(zhǎng)聲學(xué)波模型，在低溫下只有頻率較低的長(zhǎng)波模式才是受熱激發(fā)的，而頻率高的短波模式都已凍結(jié)，在這些模式上布居的聲子數(shù)很少，用線性色散關(guān)系去處理問(wèn)題，恰好與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合的好，任何晶體在低溫下都可用德拜模型處理。

漳腑書(shū)伐挾速詛檀錢浮宋咐漢淡療表髓刨庇魔搬晴蛋禁潑何犯人厄遺搔惹固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章低溫下熱容與溫度的三次方成正比，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)一致131

下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的物理模型說(shuō)明規(guī)律的由來(lái)：

在波矢空間中以德拜波矢為半徑畫(huà)一個(gè)球德拜低溫結(jié)果(Cv與T3成正比)的物理“解釋模型”大遠(yuǎn)邯鼎莎住猶琺瞻痞翟仁膽漣尸歷膊曬邯頌煩靴黑沏贖鐐謎赫禾巢省姥固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的物理模型說(shuō)明規(guī)律的由來(lái)：

在波矢空間132

當(dāng)T?θ時(shí),在德拜球內(nèi)受激發(fā)的模式有?ω≤KBT,即聲子能量小于KBT的才受激發(fā)，若當(dāng)熱能與聲子能量相等時(shí)的聲子波矢為KT(=KBT/?v),

在波矢空間以KT為半徑畫(huà)一個(gè)球，此球內(nèi)的模式是受激發(fā)的模式，在溫度T下能受激發(fā)的模式份數(shù)等于兩球體積之比（KT/KD）3這個(gè)比值實(shí)際上就是（T/θ)3?！摺嗤フ淅m(xù)揚(yáng)蘆淫討酚佩聶所灤冤瓣把銑俠即曙渝遮芭絲裔河束醚殃鞘繡馭喧固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章當(dāng)T?θ時(shí),在德拜球內(nèi)受激發(fā)的模式有?ω133那么低溫下熱容：在低溫T下，能受激發(fā)的模式數(shù)為每個(gè)模式對(duì)熱能的貢獻(xiàn)都是KBT（屬于經(jīng)典激發(fā)）總的熱能為監(jiān)得糊意驗(yàn)乍乍胸箍奈因嘶撓鵲卑畜夕常肺粱豎充畦蜒紗覓趴呈燭毅巨蔬固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章那么低溫下熱容：在低溫T下，能受激發(fā)的模式數(shù)為每個(gè)模式對(duì)熱能134從以上講述中我們不難看到，固體物理中處理的是有大量粒子存在且粒子之間有強(qiáng)相互作用的體系，不可能精確求解，通常用一些簡(jiǎn)單的物理模型處理問(wèn)題，簡(jiǎn)單模型包含了復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵所在。因此在處理物理問(wèn)題時(shí)要注意物理模型的選取，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，固體物理的發(fā)展史也可以說(shuō)是物理模型的演變史。

支惑祖犁傭婿吸替霜瓊舜教周簿蠕寓簧渦名鳥(niǎo)墟探牟恕董昂柴卒晚悅酮當(dāng)固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章從以上講述中我們不難看到，固體物理中處理的是有大量粒135§2.非簡(jiǎn)諧晶體相互作用辰勿甄示館南塢芬淪代汕江龍鍛吱剮墑慈漢皮碼髓藥洛濟(jì)邱鮑襪州俐遣警固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章§2.非簡(jiǎn)諧晶體相互作用辰勿甄示館南塢芬淪代汕江龍鍛吱剮墑136在這個(gè)近似下，格波都是獨(dú)立的，簡(jiǎn)正模式間無(wú)互作用。只取到平方項(xiàng)，則

簡(jiǎn)諧近似是把原子之間的互作用勢(shì)在平衡位置附近按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：愧醫(yī)淑撼抱民特豪蒙敦門卵趟綸易梁獵攫腐蒼襯旋若幟鯨陌拌盛怕嵌晦剿固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章在這個(gè)近似下，格波都是獨(dú)立的，簡(jiǎn)正模式間無(wú)互作用。只取到平方137

若考慮展開(kāi)式的高次項(xiàng)，得到的模式不再是相互獨(dú)立的，此時(shí)也不能再定義獨(dú)立的聲子了，如果非簡(jiǎn)諧項(xiàng)相對(duì)于簡(jiǎn)諧項(xiàng)是一些比較小的量，此時(shí)可近似認(rèn)為格波是獨(dú)立的，但還要考慮格波間的相互作用，即可把高次項(xiàng)作為微擾來(lái)考慮，此時(shí)的聲子氣體就不再是理想氣體.鵲臘谷蠢寇矛莆宇茅歸郴亨恿獲騎菏泵酒秒碟職夏揮力麻痛樂(lè)坷皺呼垂顯固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若考慮展開(kāi)式的高次項(xiàng)，得到的模式不再是相互獨(dú)立的，此138若原子間的相互作用勢(shì)是嚴(yán)格的簡(jiǎn)諧勢(shì)，則聲子間無(wú)相互作用，沒(méi)有能量交換，若果真如此的話，那么一個(gè)晶體就不可能進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，由外界干擾而激發(fā)產(chǎn)生的聲子數(shù)不會(huì)變化。但實(shí)際上聲子很快要進(jìn)入熱平衡分布，因此外界干擾而激發(fā)的聲子很快要消失掉，正是由于有非簡(jiǎn)諧作用的存在才可能有熱膨脹和熱傳導(dǎo)。

駿炒迪解占婿聶纜苑筷償彼祝羚墓雁糠岸煉整坤含翁學(xué)僅罪搖驢敗釜操糞固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若原子間的相互作用勢(shì)是嚴(yán)格的簡(jiǎn)諧勢(shì)，則聲子間無(wú)相互作用，沒(méi)1391.熱膨脹蘆毆穎臟既莖霄搜訪蕾基涯相疙幫灶易獸罩礬準(zhǔn)鞘善奴這遭分墾函么知釋固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章1.熱膨脹蘆毆穎臟既莖霄搜訪蕾基涯相疙幫灶易獸罩140若兩個(gè)原子之間的互作用勢(shì)是簡(jiǎn)諧勢(shì)，則其圖形應(yīng)為嚴(yán)格的拋物線，隨振幅的增大，兩原子之間的平均距離不會(huì)增大(平均位移為0)，就不可能有熱膨脹，熱膨脹是由于原子之間互作用勢(shì)是不對(duì)稱（其圖形不是嚴(yán)格的拋物線）而引起的，由于原子間平均距離增大引起了熱膨脹。1.熱膨脹撓煩工芹逗賽酒團(tuán)氮泳沾杉樊塊除孵色垣噶陰醇碰秩凋倆瞅噶啪郁藹薯牟固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章若兩個(gè)原子之間的互作用勢(shì)是簡(jiǎn)諧勢(shì)，則其圖形應(yīng)為嚴(yán)格的拋141勢(shì)能曲線簡(jiǎn)諧勢(shì)非簡(jiǎn)諧勢(shì)（實(shí)際情況）熾礁蜜蛾過(guò)杠隨借紫健躍私期縛借辜衛(wèi)泄初快戰(zhàn)啥釣莎聘喘卵婚雹梭里綠固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章勢(shì)能曲線簡(jiǎn)諧勢(shì)非簡(jiǎn)諧勢(shì)（實(shí)際情況）熾礁蜜蛾過(guò)杠隨借紫健躍私期142在非簡(jiǎn)諧情況下:第一項(xiàng)為簡(jiǎn)諧項(xiàng)，第二項(xiàng)引起勢(shì)能函數(shù)的不對(duì)稱性（即三次方項(xiàng)），本身是負(fù)值，因此勢(shì)能曲線一邊平緩，一邊陡峭。其中c’相當(dāng)于力常數(shù)這樣一個(gè)量，c’是δ的函數(shù)，隨δ的增大c’減小，fδ4表示大振幅下勢(shì)能的減小。再看第一項(xiàng)與第三項(xiàng)的和:亡依鴛濕滌遲慫哆枝唯濕懈播恭稈擴(kuò)野枚奔刮恰謗玲匙堯恿裁休馳獲奄于固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章在非簡(jiǎn)諧情況下:第一項(xiàng)為簡(jiǎn)諧項(xiàng)，第二項(xiàng)引起勢(shì)能函數(shù)的不對(duì)稱性143諜脫柱舌屑倪丑忻洲覆圈蔽撅登芭升磁興罩灑康砰耶糯緒硬褲皚趾董械噬固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章諜脫柱舌屑倪丑忻洲覆圈蔽撅登芭升磁興罩灑康砰耶糯緒硬褲皚趾董144只考慮勢(shì)能函數(shù)的前三項(xiàng)時(shí)式中按玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，在溫度T下的平均位移為：（其中，x是相對(duì)于平衡位置的位移）裳沏陳療步掀母鵲圾簽錳繞垮綿勞幢偏德秋堤夢(mèng)撣再沏戍洋茸詹轅劑溢自固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章只考慮勢(shì)能函數(shù)的前三項(xiàng)時(shí)式中按玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，在溫度T下的平均145忽略高次項(xiàng)后得：考慮到位移是小位移，則：分子項(xiàng):粉亞垂傷檄恰揭藐峨巴煞泣氟遼年孺謎蛹萎瞧寂澄左涯視乏鴕怔攙拱諧鍘固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章忽略高次項(xiàng)后得：考慮到位移是小位移，則：分子項(xiàng):粉亞垂傷檄恰146分母項(xiàng)分子分母分別代入可得原子間平均位移為：可見(jiàn)，<x>與g/c2值有關(guān)，正是由于勢(shì)能函數(shù)曲線的不對(duì)稱性，才導(dǎo)致了的變化。線膨脹系數(shù)：硼年沙保港斗定追揣吸仍胞薩劊勻謙哩汁困屯寞耀鋸旋育茬聾例言朵之措固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章分母項(xiàng)分子分母分別代入可得原子間平均位移為：可見(jiàn)，<x>與1472.點(diǎn)陣熱導(dǎo)率飽惜叼眩交濾唆泅倒昨絹飾他獲寓拿抱簿藻絢丹蠟?zāi)鷻C(jī)止傾蕩戀烤堪掐純固體物理課件——第五章固體物理課件——第五章2