常微第六章測驗試卷（1）姓名 班級 學號 得分一、填空題（30分）1gt;yR上（dygt;y,t;t,ydt 0 0 0

)y的0解存在且唯一。2、如果方程組的零解x0穩(wěn)定且存在這樣的 0使當x 時滿足0 0xx(t均有（）x0為漸進穩(wěn)定。0 03、（）稱4、（）稱5、滿足（） (x*,y*)，稱為方程組的奇點。6、當方程組的特征方程有兩個同號相異的特征根時，則當（）時漸進穩(wěn)定的，對應的奇點稱為（。 應的奇點稱為（。7、當方程組的特征方程的特征根為純虛根時，則其結點稱為（，情況下零解是（。二、求解題：求方程組的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性（20分）1

y,

2x3y.dt dt2

1xy,

23xy.dt dt三、求出方程組的奇點，并討論相應的駐定解的穩(wěn)定性態(tài)（20分）dxx(1xy),dy1y(23xy)dt dt 4.V(xy)ax2by2（30分）dx dy1、 xxy2, 2x2yy3dt dtdx dy2、 x2y3, 2xy2.dt dtdx dy3、 xy2, yx2.dt dt常微第六章測驗試卷（1）參考答案一、填空題1、連續(xù)且關于y滿足利普希茲條件2、limx(t)0t3、如果把時間t當作參數，僅考慮x,y為坐標的歐氏空間4、

X(x,y)Y(x,y)5、X(x,y)0,Y(x,y)06、1 2

01 2

0；不穩(wěn)定結點7、中心；非漸進穩(wěn)定的二、求解題：求方程組的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性1、解：求奇點： y02x3y0x0得y0

故奇點為(0,0)A 0 1 02202 3 1由AE0得2 3(2)0 1， 21 1得到兩個同號相異負實跟根，所以奇點為結點，零解是漸進穩(wěn)定的。23xy02、解：求奇點：23xy0x1得 2 故奇點為1 1 1 (,)y 2 2 2現將原方程組作Xx1,Yy1的替換2 2dX得dtdY

XY3XYdtA

1 113203 1由A0

13

11

2220得1 3,1

13這樣就得到兩個異號實根，所以奇點為鞍點，零解是不穩(wěn)定的。3三、求出方程組的奇點，并討論相應的駐定解的穩(wěn)定性態(tài) dx xx2xy1

dt *1 3 1 yxy y2dt 2 4 4 xx2xy0求奇點：1 3 12

y xy y24 4x 0 x 0 x 1得1 ，2 ， 3y 01

y 2

y 03當奇點為x 0時1y 01012012A01 0 1由A0得

12

)( )21

1 所以奇點為結點，零解是不穩(wěn)定的。2當奇點為時先作變換Xx,Yy2 方程(*)變?yōu)椋?3

dxxx2dt

xy 3x1y xy1y2dt 2 2 4 4012012A0012012A3 2

01 0 1由A0得

1

(1)(2

)01

12

2 2所以奇點0,2為結點，零解是漸進穩(wěn)定的當奇點為時先作變換Xx1,Yy 方程(*)變?yōu)椋篸x3dt3

xyx2xydy5y xy1y2dt 4 4 41 1A

5 4

1

1 5由A0得

54

(1)(4

)0 1 2

所以奇點1,0為鞍點，零解是不穩(wěn)定的四、用形如V(x,y)ax2by2的李雅普諾夫函數，確定下列方程組的穩(wěn)定性。dV Vdx Vdy1、解： 2ax(xxy2)2by(2x2yy3)dt xdt ydt2ax22ax2y24bx2y22by41 1取ab 則Vx2y2 為定正的2 2dV 2x2y40 為定負的dt所以零解穩(wěn)定dV Vdx Vdy2、 2ax(x2y3)2by(2xy2)dt xdt y dt2ax24axy34bxy3取ab1 則Vx2y2 為定正的dV2x20 為常負的dt所以零解穩(wěn)定dV Vdx Vdy