第2章一元線性回歸分析§2.1：回歸分析及回歸模型§2.2：一元線性模型的參數(shù)估計(jì)§2.3：參數(shù)估計(jì)值的性質(zhì)及統(tǒng)計(jì)推斷§2.4：一元線性模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)§2.5：一元線性模型的預(yù)測(cè)1/2/20231朱晉第2章一元線性回歸分析§2.1：回歸分析及回歸模型12§2.1：回歸分析及回歸模型一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念二、總體回歸函數(shù)三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)和總體回歸模型的基本假設(shè)四、樣本回歸函數(shù)1/2/20232朱晉§2.1：回歸分析及回歸模型一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基“回歸”一詞的歷史淵源“回歸”一詞最早由FrancisGalton引入。Galton發(fā)現(xiàn)，雖然父母的身高對(duì)子女的身高起到?jīng)Q定性作用，但給定父母的身高后，他們兒女輩的平均身高卻趨向于或者“回歸”到社會(huì)平均水平。Galton的普遍回歸定律（lawofuniversalregression)。Galton的朋友KarlPearson通過收集一些家庭的1000多名成員的父子身高數(shù)據(jù)，證明兒子確實(shí)“回歸到中等（regressiontomediocrity)”1/2/20233朱晉“回歸”一詞的歷史淵源“回歸”一詞最早由FrancisG2.1.1、變量間的關(guān)系

確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機(jī)變量間的關(guān)系。

統(tǒng)計(jì)依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機(jī)變量間的關(guān)系?！鹘?jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，大體可分為兩類：1/2/20234朱晉2.1.1、變量間的關(guān)系確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確△對(duì)變量間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析(correlationanalysis)或回歸分析(regressionanalysis)來完成的：1/2/20235朱晉△對(duì)變量間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析(correl△幾點(diǎn)注意

不線性相關(guān)并不意味著不相關(guān)；有相關(guān)關(guān)系并不意味著一定有因果關(guān)系；

相關(guān)分析研究一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)（些）變量的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，但它們并不意味著一定有因果關(guān)系；

相關(guān)分析對(duì)稱地對(duì)待任何（兩個(gè)）變量，兩個(gè)變量都被看作是隨機(jī)的。回歸分析對(duì)變量的處理方法存在不對(duì)稱性，即區(qū)分應(yīng)變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機(jī)變量，后者不是。1/2/20236朱晉△幾點(diǎn)注意12/18/20226朱晉

回歸分析是研究一個(gè)變量關(guān)于另一個(gè)（些）變量的具體依賴關(guān)系的計(jì)算方法和理論。這里前一個(gè)變量被稱為被解釋變量（ExplainedVariable）或應(yīng)變量（DependentVariable），后一個(gè)（些）變量被稱為解釋變量（ExplanatoryVariable）或自變量（IndependentVariable）。2.1.2、回歸分析的基本概念1/2/20237朱晉回歸分析是研究一個(gè)變量關(guān)于另一個(gè)（些）變量的具體依賴關(guān)系回歸分析回歸分析通過樣本數(shù)據(jù)討論解釋變量與被解釋變量之間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)聯(lián)系式，即有總體回歸模型：利用樣本觀察值找出參數(shù)和的估計(jì)值，得到樣本回歸模型：檢驗(yàn)估計(jì)值的性質(zhì)，并利用樣本回歸模型分析被解釋變量的總體平均規(guī)律。1/2/20238朱晉回歸分析回歸分析通過樣本數(shù)據(jù)討論解釋變量與被解釋變量之間因果由于變量間關(guān)系的隨機(jī)性，回歸分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當(dāng)解釋變量取某個(gè)確定值時(shí)，與之統(tǒng)計(jì)相關(guān)的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對(duì)應(yīng)值的平均值。1/2/20239朱晉由于變量間關(guān)系的隨機(jī)性，回歸分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或回歸分析構(gòu)成計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括：（1）根據(jù)樣本觀察值對(duì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，求得回歸方程；（2）對(duì)回歸方程、參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行檢驗(yàn)；（3）利用回歸方程進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)及預(yù)測(cè)。1/2/202310朱晉回歸分析構(gòu)成計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括：12/2.1.2總體回歸函數(shù)(PRF)⒈例子例2.1：一個(gè)假想的社區(qū)有60戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費(fèi)支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。即如果知道了家庭的月收入，能否預(yù)測(cè)該社區(qū)家庭的平均月消費(fèi)支出水平。為達(dá)到此目的，將該60戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費(fèi)支出（表2.1）。1/2/202311朱晉2.1.2總體回歸函數(shù)(PRF)⒈例子12/18/201/2/202312朱晉12/18/202212朱晉

由于不確定因素的影響，對(duì)同一收入水平X，不同家庭的消費(fèi)支出不完全相同；但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費(fèi)支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditionaldistribution）是已知的，如：P(Y=550|X=800）=1/5。因此，給定收入X的值Xi，可得消費(fèi)支出Y的條件均值（conditionalmean）或條件期望（conditionalexpectation）：該例中：E（Y|X=800）=650⒉分析1/2/202313朱晉由于不確定因素的影響，對(duì)同一收入水平X，不同家庭的消費(fèi)支

從散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費(fèi)“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。YX1/2/202314朱晉從散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費(fèi)“平均地說”也在增加，Y1/2/202315朱晉Y12/18/202215朱晉0y·····總體回歸模型的均值概念總體回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)⒊概念1/2/202316朱晉0y·····總體回歸模型的均值概念總體回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)

回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。函數(shù)形式可以是線性或非線性的。1/2/202317朱晉回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期2.1.3隨機(jī)擾動(dòng)（誤差）項(xiàng)

⒈隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的引入

總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費(fèi)支出水平。但對(duì)某一個(gè)別的家庭，其消費(fèi)支出可能與該平均水平有偏差。記稱為觀察值圍繞它的期望值的離差（deviation），它是一不可測(cè)度的隨機(jī)量，所以也稱隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（stochasticdisturbance）,或隨機(jī)誤差項(xiàng)（stochasticerror）(2.1.2)1/2/202318朱晉2.1.3隨機(jī)擾動(dòng)（誤差）項(xiàng)

⒈隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的引入由（2.1.2）式，個(gè)別家庭的消費(fèi)支出為：(2.1.3)(2.1.3)稱為總體回歸模型。1/2/202319朱晉由（2.1.2）式，個(gè)別家庭的消費(fèi)支出為：(2.1.3)(2２、隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生的原因：1）理論的含糊性；2）數(shù)據(jù)的欠缺；3）節(jié)省原則隨機(jī)誤差項(xiàng)主要包括下列因素的影響：（1）在解釋變量中被忽略的因素的影響；（2）變量觀測(cè)值的觀測(cè)誤差的影響；（3）模型關(guān)系的設(shè)定誤差的影響；（4）其他隨機(jī)因素的影響。1/2/202320朱晉２、隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生的原因：12/18/2022203、總體線性回歸模型(2.1.3)的基本假設(shè)有：1、隨機(jī)誤差項(xiàng)的均值為零2、隨機(jī)誤差項(xiàng)各分量的方差相等（等方差）3、隨機(jī)誤差項(xiàng)在不同樣本點(diǎn)之間是獨(dú)立的，不存在序列相關(guān)。即4、隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間不相關(guān)。即5、解釋變量x為確定性變量（非隨機(jī)變量）。6、隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布。~1/2/202321朱晉3、總體線性回歸模型(2.1.3)的基本假設(shè)有：12/18/yi，ui為隨機(jī)變量，xi為確定性變量，yi和xi有樣本值，是待估參數(shù)。ui服從正態(tài)分布:yi服從正態(tài)分布。在總體回歸模型：中1/2/202322朱晉yi，ui為隨機(jī)變量，xi為確定性變量，yi和xi有樣本值2.1.4、樣本回歸函數(shù)（SRF）1/2/202323朱晉2.1.4、樣本回歸函數(shù)（SRF）12/18/202223朱⒈問題的提出由于總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實(shí)的情況只能是在一次觀測(cè)中得到總體的一組樣本。問題是能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？例2.2：在例2.1的總體中有如下一個(gè)樣本，問：能否從該樣本估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF？1/2/202324朱晉⒈問題的提出12/18/202224朱晉該樣本的散點(diǎn)圖（scatterdiagram)：

樣本散點(diǎn)圖近似于一條直線，畫一條直線以盡可能好地?cái)M合該散點(diǎn)圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為樣本回歸線（sampleregressionlines），其函數(shù)形式記為：1/2/202325朱晉該樣本的散點(diǎn)圖（scatterdiagram)：

注意：這里

將（2.1.4）看成（2.1.1）的近似替代。

1/2/202326朱晉注意：這里

將（2.1.4）看成（2.⒉樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式/樣本回歸模型由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，因此也稱為樣本回歸模型。1/2/202327朱晉⒉樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式/樣本回歸模型由于方程中⒊回歸分析的主要目的根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF。1/2/202328朱晉⒊回歸分析的主要目的根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計(jì)總體回歸函1/2/202329朱晉12/18/202229朱晉§2.2：一元線性模型的參數(shù)估計(jì)1/2/202330朱晉§2.2：一元線性模型的參數(shù)估計(jì)12/18/202230朱2.2普通最小二乘法（OLS）1/2/202331朱晉2.2普通最小二乘法（OLS）12/18/202231朱OLS回歸函數(shù)的特征1、樣本均值落在回歸直線上；2、y的理論估計(jì)值的均值即為；3、殘差一階和為0：4、殘差與解釋變量不相關(guān)：5、殘差與y的理論預(yù)測(cè)值亦不相關(guān)：1/2/202332朱晉OLS回歸函數(shù)的特征§2.3參數(shù)估計(jì)值的性質(zhì)及統(tǒng)計(jì)推斷高斯—馬爾可夫定理OLS下的統(tǒng)計(jì)推斷1/2/202333朱晉§2.3參數(shù)估計(jì)值的性質(zhì)及統(tǒng)計(jì)推斷高斯—馬爾可夫定理1

當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)完成，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。一個(gè)用于考察總體的統(tǒng)計(jì)量，可從三個(gè)方面考察其優(yōu)劣性：（1）線性性(linear)：即是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)；（2）無偏性(unbiased)：即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值；（3）有效性(efficient)：即它是否在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差。1/2/202334朱晉當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)完成，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代2.3.1高斯—馬爾可夫定理若一元線性模型滿足計(jì)量經(jīng)濟(jì)基本假設(shè)，則參數(shù)的最小二乘估計(jì)是最小方差的線性無偏估計(jì)。（BLUE）高斯—馬爾可夫定理的初步證明回顧：點(diǎn)估計(jì)的三個(gè)性質(zhì)---無偏性、有效性和一致性。(注:參數(shù)估計(jì)有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩類)1/2/202335朱晉2.3.1高斯—馬爾可夫定理若一元線性模型滿足計(jì)量經(jīng)濟(jì)基

有效性的圖形表示：1/2/202336朱晉有效性的圖形表示：12/18/202236朱

2.3.2OLS下的統(tǒng)計(jì)推斷1/2/202337朱晉2.3.2OLS下的統(tǒng)計(jì)推斷12/18/2022372、參數(shù)估計(jì)值的總體方差1/2/202338朱晉2、參數(shù)估計(jì)值的總體方差12/18/202238朱晉3、隨機(jī)誤差變量的方差估計(jì)值4、參數(shù)估計(jì)量的樣本方差標(biāo)準(zhǔn)差為方差的平方根，Eviews的結(jié)果一般用標(biāo)準(zhǔn)差表示。1/2/202339朱晉3、隨機(jī)誤差變量的方差估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差為方差的平方根，第二周作業(yè)：一、書p61-62：2.1(1)\(3)，2.2二、證明OLS特征：3、殘差一階和為0：4、殘差與解釋變量不相關(guān)：5、殘差與y的理論預(yù)測(cè)值亦不相關(guān)：三、熟悉Eviews軟件，利用普通股交易資料作1-3只股票的單指數(shù)模型的樣本回歸模型。1/2/202340朱晉第二周作業(yè)：一、書p61-62：2.1(1)\(3)，2.2§2.4一元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

二、變量的顯著性檢驗(yàn)

三、參數(shù)的置信區(qū)間

1/2/202341朱晉§2.4一元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)一、擬合優(yōu)度檢回歸分析是要通過樣本所估計(jì)的參數(shù)來代替總體的真實(shí)參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。盡管從統(tǒng)計(jì)性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重復(fù)抽樣，參數(shù)的估計(jì)值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計(jì)值不一定就等于該真值。那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計(jì)值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。主要包括擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、變量的顯著性檢驗(yàn)及參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。1/2/202342朱晉回歸分析是要通過樣本所估計(jì)的參數(shù)來代替總體的真實(shí)參數(shù)，或者說

2.4.1擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：對(duì)樣本回歸直線與樣本觀測(cè)值之間擬合程度的檢驗(yàn)。

度量擬合優(yōu)度的指標(biāo)：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2

問題：采用普通最小二乘估計(jì)方法，已經(jīng)保證了模型最好地?cái)M合了樣本觀測(cè)值，為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？1/2/202343朱晉2.4.1擬合優(yōu)度檢驗(yàn)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：對(duì)樣本擬合度檢驗(yàn)的原理：y的理論預(yù)測(cè)值和真實(shí)的樣本值的距離越小，擬合度越好。所以有絕對(duì)指標(biāo)和相對(duì)指標(biāo)。定義：

此處利用到等式：1/2/202344朱晉擬合度檢驗(yàn)的原理：12/18/202244朱晉1、總離差平方和的分解

已知由一組樣本觀測(cè)值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線

1/2/202345朱晉1、總離差平方和的分解已知由一組樣本觀測(cè)值（Xi,Y如果Yi=?i即實(shí)際觀測(cè)值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好?？烧J(rèn)為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關(guān)。1/2/202346朱晉如果Yi=?i即實(shí)際觀測(cè)值落在樣本回歸“線

對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平方和,可以證明：記總體平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（ExplainedSumofSquares）殘差平方和（ResidualSumofSquares

）1/2/202347朱晉對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平TSS=ESS+RSS

Y的觀測(cè)值圍繞其均值的總離差(totalvariation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機(jī)勢(shì)力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此

擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS1/2/202348朱晉TSS=ESS+RSSY的觀測(cè)值圍繞其均值的總2、可決系數(shù)R2統(tǒng)計(jì)量

稱R2為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficientofdetermination)。

可決系數(shù)的取值范圍：[0，1]R2越接近1，說明實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。1/2/202349朱晉2、可決系數(shù)R2統(tǒng)計(jì)量稱R2為（樣本）可決系數(shù)/判定系在例2.1.1的收入-消費(fèi)支出例中，

注：可決系數(shù)是一個(gè)非負(fù)的統(tǒng)計(jì)量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對(duì)可決系數(shù)的統(tǒng)計(jì)可靠性也應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，這將在第3章中進(jìn)行。

1/2/202350朱晉在例2.1.1的收入-消費(fèi)支出例中，注：可決系2.4.2一元線性模型的顯著性檢驗(yàn)回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個(gè)顯著性的影響因素。在一元線性模型中，就是要判斷X是否對(duì)Y具有顯著的線性性影響。這就需要進(jìn)行變量的顯著性檢驗(yàn)。1/2/202351朱晉2.4.2一元線性模型的顯著性檢驗(yàn)回歸分析是要判斷解釋變1、顯著性檢驗(yàn)的原理：假設(shè)檢驗(yàn)通過對(duì)總體回歸模型中參數(shù)是否為零的統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)，推斷模型所表示的因果關(guān)系能否成立。一般分為單個(gè)參數(shù)的t-檢驗(yàn)和整體參數(shù)的F-檢驗(yàn)。一般先假設(shè)參數(shù)為0（原假設(shè)），在此基礎(chǔ)上建立統(tǒng)計(jì)量，再給出顯著性水平（如1%，5%），如果原假設(shè)成立，概率小于顯著性水平的事件應(yīng)該不成立，但若統(tǒng)計(jì)量顯示小概率事件亦會(huì)發(fā)生，只能推翻原假設(shè)，選擇備選假設(shè)。1/2/202352朱晉1、顯著性檢驗(yàn)的原理：假設(shè)檢驗(yàn)通過對(duì)總體回歸模型中參數(shù)是否為回顧：t-分布與F-分布若隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則變量的平方服從-分布。K個(gè)獨(dú)立的，服從分布的隨機(jī)變量的和也服從分布，自由度為k.T-分布為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與一個(gè)的平方根的商的隨機(jī)變量，即有其中為自由度。F-分布為兩個(gè)分布的商，有：，其中為自由度。1/2/202353朱晉回顧：t-分布與F-分布若隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（2、方程顯著性檢驗(yàn):

F-檢驗(yàn)及統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量為：

在給出顯著性水平后，可查表得到臨界值，若統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值大于臨界值，則原假設(shè)所有參數(shù)為0不能成立。1/2/202354朱晉2、方程顯著性檢驗(yàn):

F-檢驗(yàn)及統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量為：12/183、變量顯著性檢驗(yàn):

單個(gè)參數(shù)的t-檢驗(yàn)原理：給出原假設(shè)H0：β=0，根據(jù)t分布構(gòu)造相應(yīng)的t-統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)給出的數(shù)據(jù)算出統(tǒng)計(jì)量的值。再利用t分布的雙側(cè)特征，給定顯著性水平α，查表找出tα/2的臨界值。若統(tǒng)計(jì)量值的絕對(duì)值大于臨界值，則概率小于α的小概率事件發(fā)生，原假設(shè)不能成立。反之，不能推翻原假設(shè)。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)1/2/202355朱晉3、變量顯著性檢驗(yàn):

單個(gè)參數(shù)的t-檢驗(yàn)原理：給出原假設(shè)H

假設(shè)檢驗(yàn)可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗(yàn)總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。要判斷樣本參數(shù)的估計(jì)值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個(gè)以樣本參數(shù)的估計(jì)值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實(shí)的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗(yàn)的置信區(qū)間估計(jì)。

2.4.3參數(shù)的置信區(qū)間

1/2/202356朱晉假設(shè)檢驗(yàn)可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗(yàn)總體參數(shù)可能的假設(shè)值如果存在這樣一個(gè)區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidenceinterval）；

1-稱為置信系數(shù)（置信度）（confidencecoefficient），

稱為顯著性水平（levelofsignificance）；置信區(qū)間的端點(diǎn)稱為置信限（confidencelimit）或臨界值（criticalvalues）。1/2/202357朱晉如果存在這樣一個(gè)區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confide一元線性模型中，i(i=1，2）的置信區(qū)間:在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道：

意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示為：

即1/2/202358朱晉一元線性模型中，i(i=1，2）的置信區(qū)間:在變量的顯著于是得到:(1-)的置信度下,i的置信區(qū)間是

在上述收入-消費(fèi)支出例中，如果給定=0.01，查表得：

由于于是，1、0的置信區(qū)間分別為：（0.6345,0.9195)

（-433.32,226.98）

1/2/202359朱晉于是得到:(1-)的置信度下,i的置信區(qū)間是在上

由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。

要縮小置信區(qū)間，需

（1）增大樣本容量n，因?yàn)樵谕瑯拥闹眯潘较?，n越大，t分布表中的臨界值越??；同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減小；

（2）提高模型的擬合優(yōu)度，因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。1/2/202360朱晉由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)§2.5一元線性模型的預(yù)測(cè)

對(duì)于模型如果給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值,有：因不是原來回歸方程中的樣本，所以和原模型中的不相關(guān)。如何求出的合理的值或范圍，就是回歸分析中預(yù)測(cè)的內(nèi)容。具體分為點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè)二塊。預(yù)測(cè)與置信區(qū)間1/2/202361朱晉§2.5一元線性模型的預(yù)測(cè)

對(duì)于模型12/18/202一、?f是條件均值E(Y|X=Xf)或個(gè)值Yf的一個(gè)無偏估計(jì)二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間

1/2/202362朱晉一、?f是條件均值E(Y|X=Xf)或個(gè)值Yf的一個(gè)無偏估計(jì)

對(duì)于一元線性回歸模型

給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值Xf，可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值?f

，可以此作為其條件均值E(Y|X=Xf)或個(gè)別值Yf的一個(gè)近似估計(jì)。

注意：嚴(yán)格地說,?f只是被解釋變量Yf的預(yù)測(cè)值的點(diǎn)估計(jì)值，而不是預(yù)測(cè)值。原因:（1）參數(shù)估計(jì)量不確定；（2）隨機(jī)項(xiàng)的影響1/2/202363朱晉對(duì)于一元線性回歸模型給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值X一、?f是條件均值E(Y|X=Xf)或個(gè)值Yf的一個(gè)無偏估計(jì)對(duì)總體回歸函數(shù)E(Y|X=Xi)=0+1Xi，X=Xf時(shí)

E(Y|X=Xf)=0+1Xf于是可見，?f是條件均值E(Y|X=Xf)的無偏估計(jì)。1/2/202364朱晉一、?f是條件均值E(Y|X=Xf)或個(gè)值Yf的一個(gè)對(duì)總體回歸模型Y=0+1X+，當(dāng)X=Xf時(shí)于是而通過樣本回歸函數(shù),求得擬合值

的期望值為擬合值與樣本值的期望值相等，即：所以，的無偏估計(jì)。1/2/202365朱晉對(duì)總體回歸模型Y=0+1X+，當(dāng)X=Xf時(shí)于是而通過樣

二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間

1、總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間

由于

于是可以證明

1/2/202366朱晉二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間1因此,有：

故

其中將未知的用它的無偏估計(jì)量代替，可構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：1/2/202367朱晉因此,有：故其中將未知的用它的無偏估計(jì)量這樣，在1-的置信度下，總體均值E(Y|Xf)的置信區(qū)間為:展開有：1/2/202368朱晉這樣，在1-的置信度下，總體均值E(Y|Xf)的置信區(qū)間為2、總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間

如果已經(jīng)知道實(shí)際的預(yù)測(cè)值，那么預(yù)測(cè)誤差為：于是：有：1/2/202369朱晉2、總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間如果已經(jīng)知道實(shí)際的預(yù)測(cè)值，那么從而在1-的置信度下，Yf的置信區(qū)間為:1/2/202370朱晉從而在1-的置信度下，Yf的置信區(qū)間為:12/18/2在上述收入-消費(fèi)支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為

則在X0=1000處，?0=–103.172+0.777×1000=673.84

而因此，總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為：673.84-2.30661.05<E(Y|X=1000)<673.84+2.30661.05或

（533.05,814.62）

1/2/202371朱晉在上述收入-消費(fèi)支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為則在X同樣地，對(duì)于Y在X=1000的個(gè)體值，其95%的置信區(qū)間為：673.84-2.30661.05<Yx=1000<673.84+2.30661.05或(372.03,975.65)總體回歸函數(shù)的置信帶（域）（confidenceband）個(gè)體的置信帶（域）

1/2/202372朱晉同樣地，對(duì)于Y在X=1000的個(gè)體值，其95%的置信區(qū)間為：對(duì)于Y的總體均值E(Y|X)與個(gè)體值的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預(yù)測(cè)精度越高，反之預(yù)測(cè)精度越低；（2）樣本容量一定時(shí)，置信帶的寬度當(dāng)在X均值處最小，其附近進(jìn)行預(yù)測(cè)（插值預(yù)測(cè)）精度越大；X越遠(yuǎn)離其均值，置信帶越寬，預(yù)測(cè)可信度下降。1/2/202373朱晉對(duì)于Y的總體均值E(Y|X)與個(gè)體值的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信區(qū)間作業(yè)二：課外練習(xí)部分1、書上第二章后面習(xí)題5和6。2、給出國(guó)家文教科學(xué)衛(wèi)生事業(yè)費(fèi)支出額ED（億元）和國(guó)家財(cái)政收入額FI（億元），作一元線性模型回歸分析，并對(duì)所有結(jié)果作出分析評(píng)估。若2003年預(yù)期的國(guó)家財(cái)政收入為12050億元，試求文教衛(wèi)支出2003年的點(diǎn)預(yù)測(cè)值和區(qū)間預(yù)測(cè)值（部分?jǐn)?shù)據(jù)為模擬數(shù)據(jù)）。與第一次作業(yè)一起交；年份EDFI年份EDFI1991708314919981987932019927933483199920219876199395843492000221310356199412785218200125361158919951467624220022960130101996170474082003

14268199719048651

1/2/202374朱晉作業(yè)二：課外練習(xí)部分1、書上第二章后面習(xí)題5和6。年份EDFEviews練習(xí)題操作順序1、建立工作文件；2、編輯序列，輸入數(shù)據(jù)或修改數(shù)據(jù)3、統(tǒng)計(jì)分析，作散點(diǎn)圖或其它圖形4、利用LS作回歸分析5、針對(duì)結(jié)果作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并討論效果6、查看預(yù)測(cè)值1/2/202375朱晉Eviews練習(xí)題操作順序1、建立工作文件；12/18/2第2章一元線性回歸分析§2.1：回歸分析及回歸模型§2.2：一元線性模型的參數(shù)估計(jì)§2.3：參數(shù)估計(jì)值的性質(zhì)及統(tǒng)計(jì)推斷§2.4：一元線性模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)§2.5：一元線性模型的預(yù)測(cè)1/2/202376朱晉第2章一元線性回歸分析§2.1：回歸分析及回歸模型12§2.1：回歸分析及回歸模型一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念二、總體回歸函數(shù)三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)和總體回歸模型的基本假設(shè)四、樣本回歸函數(shù)1/2/202377朱晉§2.1：回歸分析及回歸模型一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基“回歸”一詞的歷史淵源“回歸”一詞最早由FrancisGalton引入。Galton發(fā)現(xiàn)，雖然父母的身高對(duì)子女的身高起到?jīng)Q定性作用，但給定父母的身高后，他們兒女輩的平均身高卻趨向于或者“回歸”到社會(huì)平均水平。Galton的普遍回歸定律（lawofuniversalregression)。Galton的朋友KarlPearson通過收集一些家庭的1000多名成員的父子身高數(shù)據(jù)，證明兒子確實(shí)“回歸到中等（regressiontomediocrity)”1/2/202378朱晉“回歸”一詞的歷史淵源“回歸”一詞最早由FrancisG2.1.1、變量間的關(guān)系

確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機(jī)變量間的關(guān)系。

統(tǒng)計(jì)依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機(jī)變量間的關(guān)系。△經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，大體可分為兩類：1/2/202379朱晉2.1.1、變量間的關(guān)系確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確△對(duì)變量間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析(correlationanalysis)或回歸分析(regressionanalysis)來完成的：1/2/202380朱晉△對(duì)變量間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析(correl△幾點(diǎn)注意

不線性相關(guān)并不意味著不相關(guān)；有相關(guān)關(guān)系并不意味著一定有因果關(guān)系；

相關(guān)分析研究一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)（些）變量的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，但它們并不意味著一定有因果關(guān)系；

相關(guān)分析對(duì)稱地對(duì)待任何（兩個(gè)）變量，兩個(gè)變量都被看作是隨機(jī)的?；貧w分析對(duì)變量的處理方法存在不對(duì)稱性，即區(qū)分應(yīng)變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機(jī)變量，后者不是。1/2/202381朱晉△幾點(diǎn)注意12/18/20226朱晉

回歸分析是研究一個(gè)變量關(guān)于另一個(gè)（些）變量的具體依賴關(guān)系的計(jì)算方法和理論。這里前一個(gè)變量被稱為被解釋變量（ExplainedVariable）或應(yīng)變量（DependentVariable），后一個(gè)（些）變量被稱為解釋變量（ExplanatoryVariable）或自變量（IndependentVariable）。2.1.2、回歸分析的基本概念1/2/202382朱晉回歸分析是研究一個(gè)變量關(guān)于另一個(gè)（些）變量的具體依賴關(guān)系回歸分析回歸分析通過樣本數(shù)據(jù)討論解釋變量與被解釋變量之間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)聯(lián)系式，即有總體回歸模型：利用樣本觀察值找出參數(shù)和的估計(jì)值，得到樣本回歸模型：檢驗(yàn)估計(jì)值的性質(zhì)，并利用樣本回歸模型分析被解釋變量的總體平均規(guī)律。1/2/202383朱晉回歸分析回歸分析通過樣本數(shù)據(jù)討論解釋變量與被解釋變量之間因果由于變量間關(guān)系的隨機(jī)性，回歸分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當(dāng)解釋變量取某個(gè)確定值時(shí)，與之統(tǒng)計(jì)相關(guān)的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對(duì)應(yīng)值的平均值。1/2/202384朱晉由于變量間關(guān)系的隨機(jī)性，回歸分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或回歸分析構(gòu)成計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括：（1）根據(jù)樣本觀察值對(duì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，求得回歸方程；（2）對(duì)回歸方程、參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行檢驗(yàn)；（3）利用回歸方程進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)及預(yù)測(cè)。1/2/202385朱晉回歸分析構(gòu)成計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括：12/2.1.2總體回歸函數(shù)(PRF)⒈例子例2.1：一個(gè)假想的社區(qū)有60戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費(fèi)支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。即如果知道了家庭的月收入，能否預(yù)測(cè)該社區(qū)家庭的平均月消費(fèi)支出水平。為達(dá)到此目的，將該60戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費(fèi)支出（表2.1）。1/2/202386朱晉2.1.2總體回歸函數(shù)(PRF)⒈例子12/18/201/2/202387朱晉12/18/202212朱晉

由于不確定因素的影響，對(duì)同一收入水平X，不同家庭的消費(fèi)支出不完全相同；但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費(fèi)支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditionaldistribution）是已知的，如：P(Y=550|X=800）=1/5。因此，給定收入X的值Xi，可得消費(fèi)支出Y的條件均值（conditionalmean）或條件期望（conditionalexpectation）：該例中：E（Y|X=800）=650⒉分析1/2/202388朱晉由于不確定因素的影響，對(duì)同一收入水平X，不同家庭的消費(fèi)支

從散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費(fèi)“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。YX1/2/202389朱晉從散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費(fèi)“平均地說”也在增加，Y1/2/202390朱晉Y12/18/202215朱晉0y·····總體回歸模型的均值概念總體回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)⒊概念1/2/202391朱晉0y·····總體回歸模型的均值概念總體回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)

回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。函數(shù)形式可以是線性或非線性的。1/2/202392朱晉回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期2.1.3隨機(jī)擾動(dòng)（誤差）項(xiàng)

⒈隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的引入

總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費(fèi)支出水平。但對(duì)某一個(gè)別的家庭，其消費(fèi)支出可能與該平均水平有偏差。記稱為觀察值圍繞它的期望值的離差（deviation），它是一不可測(cè)度的隨機(jī)量，所以也稱隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（stochasticdisturbance）,或隨機(jī)誤差項(xiàng)（stochasticerror）(2.1.2)1/2/202393朱晉2.1.3隨機(jī)擾動(dòng)（誤差）項(xiàng)

⒈隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的引入由（2.1.2）式，個(gè)別家庭的消費(fèi)支出為：(2.1.3)(2.1.3)稱為總體回歸模型。1/2/202394朱晉由（2.1.2）式，個(gè)別家庭的消費(fèi)支出為：(2.1.3)(2２、隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生的原因：1）理論的含糊性；2）數(shù)據(jù)的欠缺；3）節(jié)省原則隨機(jī)誤差項(xiàng)主要包括下列因素的影響：（1）在解釋變量中被忽略的因素的影響；（2）變量觀測(cè)值的觀測(cè)誤差的影響；（3）模型關(guān)系的設(shè)定誤差的影響；（4）其他隨機(jī)因素的影響。1/2/202395朱晉２、隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生的原因：12/18/2022203、總體線性回歸模型(2.1.3)的基本假設(shè)有：1、隨機(jī)誤差項(xiàng)的均值為零2、隨機(jī)誤差項(xiàng)各分量的方差相等（等方差）3、隨機(jī)誤差項(xiàng)在不同樣本點(diǎn)之間是獨(dú)立的，不存在序列相關(guān)。即4、隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間不相關(guān)。即5、解釋變量x為確定性變量（非隨機(jī)變量）。6、隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布。~1/2/202396朱晉3、總體線性回歸模型(2.1.3)的基本假設(shè)有：12/18/yi，ui為隨機(jī)變量，xi為確定性變量，yi和xi有樣本值，是待估參數(shù)。ui服從正態(tài)分布:yi服從正態(tài)分布。在總體回歸模型：中1/2/202397朱晉yi，ui為隨機(jī)變量，xi為確定性變量，yi和xi有樣本值2.1.4、樣本回歸函數(shù)（SRF）1/2/202398朱晉2.1.4、樣本回歸函數(shù)（SRF）12/18/202223朱⒈問題的提出由于總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實(shí)的情況只能是在一次觀測(cè)中得到總體的一組樣本。問題是能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？例2.2：在例2.1的總體中有如下一個(gè)樣本，問：能否從該樣本估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF？1/2/202399朱晉⒈問題的提出12/18/202224朱晉該樣本的散點(diǎn)圖（scatterdiagram)：

樣本散點(diǎn)圖近似于一條直線，畫一條直線以盡可能好地?cái)M合該散點(diǎn)圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為樣本回歸線（sampleregressionlines），其函數(shù)形式記為：1/2/2023100朱晉該樣本的散點(diǎn)圖（scatterdiagram)：

注意：這里

將（2.1.4）看成（2.1.1）的近似替代。

1/2/2023101朱晉注意：這里

將（2.1.4）看成（2.⒉樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式/樣本回歸模型由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，因此也稱為樣本回歸模型。1/2/2023102朱晉⒉樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式/樣本回歸模型由于方程中⒊回歸分析的主要目的根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF。1/2/2023103朱晉⒊回歸分析的主要目的根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計(jì)總體回歸函1/2/2023104朱晉12/18/202229朱晉§2.2：一元線性模型的參數(shù)估計(jì)1/2/2023105朱晉§2.2：一元線性模型的參數(shù)估計(jì)12/18/202230朱2.2普通最小二乘法（OLS）1/2/2023106朱晉2.2普通最小二乘法（OLS）12/18/202231朱OLS回歸函數(shù)的特征1、樣本均值落在回歸直線上；2、y的理論估計(jì)值的均值即為；3、殘差一階和為0：4、殘差與解釋變量不相關(guān)：5、殘差與y的理論預(yù)測(cè)值亦不相關(guān)：1/2/2023107朱晉OLS回歸函數(shù)的特征§2.3參數(shù)估計(jì)值的性質(zhì)及統(tǒng)計(jì)推斷高斯—馬爾可夫定理OLS下的統(tǒng)計(jì)推斷1/2/2023108朱晉§2.3參數(shù)估計(jì)值的性質(zhì)及統(tǒng)計(jì)推斷高斯—馬爾可夫定理1

當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)完成，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。一個(gè)用于考察總體的統(tǒng)計(jì)量，可從三個(gè)方面考察其優(yōu)劣性：（1）線性性(linear)：即是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)；（2）無偏性(unbiased)：即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值；（3）有效性(efficient)：即它是否在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差。1/2/2023109朱晉當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)完成，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代2.3.1高斯—馬爾可夫定理若一元線性模型滿足計(jì)量經(jīng)濟(jì)基本假設(shè)，則參數(shù)的最小二乘估計(jì)是最小方差的線性無偏估計(jì)。（BLUE）高斯—馬爾可夫定理的初步證明回顧：點(diǎn)估計(jì)的三個(gè)性質(zhì)---無偏性、有效性和一致性。(注:參數(shù)估計(jì)有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩類)1/2/2023110朱晉2.3.1高斯—馬爾可夫定理若一元線性模型滿足計(jì)量經(jīng)濟(jì)基

有效性的圖形表示：1/2/2023111朱晉有效性的圖形表示：12/18/202236朱

2.3.2OLS下的統(tǒng)計(jì)推斷1/2/2023112朱晉2.3.2OLS下的統(tǒng)計(jì)推斷12/18/2022372、參數(shù)估計(jì)值的總體方差1/2/2023113朱晉2、參數(shù)估計(jì)值的總體方差12/18/202238朱晉3、隨機(jī)誤差變量的方差估計(jì)值4、參數(shù)估計(jì)量的樣本方差標(biāo)準(zhǔn)差為方差的平方根，Eviews的結(jié)果一般用標(biāo)準(zhǔn)差表示。1/2/2023114朱晉3、隨機(jī)誤差變量的方差估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差為方差的平方根，第二周作業(yè)：一、書p61-62：2.1(1)\(3)，2.2二、證明OLS特征：3、殘差一階和為0：4、殘差與解釋變量不相關(guān)：5、殘差與y的理論預(yù)測(cè)值亦不相關(guān)：三、熟悉Eviews軟件，利用普通股交易資料作1-3只股票的單指數(shù)模型的樣本回歸模型。1/2/2023115朱晉第二周作業(yè)：一、書p61-62：2.1(1)\(3)，2.2§2.4一元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

二、變量的顯著性檢驗(yàn)

三、參數(shù)的置信區(qū)間

1/2/2023116朱晉§2.4一元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)一、擬合優(yōu)度檢回歸分析是要通過樣本所估計(jì)的參數(shù)來代替總體的真實(shí)參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。盡管從統(tǒng)計(jì)性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重復(fù)抽樣，參數(shù)的估計(jì)值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計(jì)值不一定就等于該真值。那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計(jì)值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。主要包括擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、變量的顯著性檢驗(yàn)及參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。1/2/2023117朱晉回歸分析是要通過樣本所估計(jì)的參數(shù)來代替總體的真實(shí)參數(shù)，或者說

2.4.1擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：對(duì)樣本回歸直線與樣本觀測(cè)值之間擬合程度的檢驗(yàn)。

度量擬合優(yōu)度的指標(biāo)：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2

問題：采用普通最小二乘估計(jì)方法，已經(jīng)保證了模型最好地?cái)M合了樣本觀測(cè)值，為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？1/2/2023118朱晉2.4.1擬合優(yōu)度檢驗(yàn)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：對(duì)樣本擬合度檢驗(yàn)的原理：y的理論預(yù)測(cè)值和真實(shí)的樣本值的距離越小，擬合度越好。所以有絕對(duì)指標(biāo)和相對(duì)指標(biāo)。定義：

此處利用到等式：1/2/2023119朱晉擬合度檢驗(yàn)的原理：12/18/202244朱晉1、總離差平方和的分解

已知由一組樣本觀測(cè)值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線

1/2/2023120朱晉1、總離差平方和的分解已知由一組樣本觀測(cè)值（Xi,Y如果Yi=?i即實(shí)際觀測(cè)值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好。可認(rèn)為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關(guān)。1/2/2023121朱晉如果Yi=?i即實(shí)際觀測(cè)值落在樣本回歸“線

對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平方和,可以證明：記總體平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（ExplainedSumofSquares）殘差平方和（ResidualSumofSquares

）1/2/2023122朱晉對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平TSS=ESS+RSS

Y的觀測(cè)值圍繞其均值的總離差(totalvariation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機(jī)勢(shì)力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此

擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS1/2/2023123朱晉TSS=ESS+RSSY的觀測(cè)值圍繞其均值的總2、可決系數(shù)R2統(tǒng)計(jì)量

稱R2為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficientofdetermination)。

可決系數(shù)的取值范圍：[0，1]R2越接近1，說明實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。1/2/2023124朱晉2、可決系數(shù)R2統(tǒng)計(jì)量稱R2為（樣本）可決系數(shù)/判定系在例2.1.1的收入-消費(fèi)支出例中，

注：可決系數(shù)是一個(gè)非負(fù)的統(tǒng)計(jì)量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對(duì)可決系數(shù)的統(tǒng)計(jì)可靠性也應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，這將在第3章中進(jìn)行。

1/2/2023125朱晉在例2.1.1的收入-消費(fèi)支出例中，注：可決系2.4.2一元線性模型的顯著性檢驗(yàn)回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個(gè)顯著性的影響因素。在一元線性模型中，就是要判斷X是否對(duì)Y具有顯著的線性性影響。這就需要進(jìn)行變量的顯著性檢驗(yàn)。1/2/2023126朱晉2.4.2一元線性模型的顯著性檢驗(yàn)回歸分析是要判斷解釋變1、顯著性檢驗(yàn)的原理：假設(shè)檢驗(yàn)通過對(duì)總體回歸模型中參數(shù)是否為零的統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)，推斷模型所表示的因果關(guān)系能否成立。一般分為單個(gè)參數(shù)的t-檢驗(yàn)和整體參數(shù)的F-檢驗(yàn)。一般先假設(shè)參數(shù)為0（原假設(shè)），在此基礎(chǔ)上建立統(tǒng)計(jì)量，再給出顯著性水平（如1%，5%），如果原假設(shè)成立，概率小于顯著性水平的事件應(yīng)該不成立，但若統(tǒng)計(jì)量顯示小概率事件亦會(huì)發(fā)生，只能推翻原假設(shè)，選擇備選假設(shè)。1/2/2023127朱晉1、顯著性檢驗(yàn)的原理：假設(shè)檢驗(yàn)通過對(duì)總體回歸模型中參數(shù)是否為回顧：t-分布與F-分布若隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則變量的平方服從-分布。K個(gè)獨(dú)立的，服從分布的隨機(jī)變量的和也服從分布，自由度為k.T-分布為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與一個(gè)的平方根的商的隨機(jī)變量，即有其中為自由度。F-分布為兩個(gè)分布的商，有：，其中為自由度。1/2/2023128朱晉回顧：t-分布與F-分布若隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（2、方程顯著性檢驗(yàn):

F-檢驗(yàn)及統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量為：

在給出顯著性水平后，可查表得到臨界值，若統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值大于臨界值，則原假設(shè)所有參數(shù)為0不能成立。1/2/2023129朱晉2、方程顯著性檢驗(yàn):

F-檢驗(yàn)及統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量為：12/183、變量顯著性檢驗(yàn):

單個(gè)參數(shù)的t-檢驗(yàn)原理：給出原假設(shè)H0：β=0，根據(jù)t分布構(gòu)造相應(yīng)的t-統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)給出的數(shù)據(jù)算出統(tǒng)計(jì)量的值。再利用t分布的雙側(cè)特征，給定顯著性水平α，查表找出tα/2的臨界值。若統(tǒng)計(jì)量值的絕對(duì)值大于臨界值，則概率小于α的小概率事件發(fā)生，原假設(shè)不能成立。反之，不能推翻原假設(shè)。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)1/2/2023130朱晉3、變量顯著性檢驗(yàn):

單個(gè)參數(shù)的t-檢驗(yàn)原理：給出原假設(shè)H

假設(shè)檢驗(yàn)可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗(yàn)總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。要判斷樣本參數(shù)的估計(jì)值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個(gè)以樣本參數(shù)的估計(jì)值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實(shí)的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗(yàn)的置信區(qū)間估計(jì)。

2.4.3參數(shù)的置信區(qū)間

1/2/2023131朱晉假設(shè)檢驗(yàn)可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗(yàn)總體參數(shù)可能的假設(shè)值如果存在這樣一個(gè)區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidenceinterval）；

1-稱為置信系數(shù)（置信度）（confidencecoefficient），

稱為顯著性水平（levelofsignificance）；置信區(qū)間的端點(diǎn)稱為置信限（confidencelimit）或臨界值（criticalvalues）。1/2/2023132朱晉如果存在這樣一個(gè)區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confide一元線性模型中，i(i=1，2）的置信區(qū)間:在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道：

意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示為：

即1/2/2023133朱晉一元線性模型中，i(i=1，2）的置信區(qū)間:在變量的顯著于是得到:(1-)的置信度下,i的置信區(qū)間是

在上述收入-消費(fèi)支出例中，如果給定=0.01，查表得：

由于于是，1、0的置信區(qū)間分別為：（0.6345,0.9195)

（-433.32,226.98）

1/2/2023134朱晉于是得到:(1-)的置信度下,i的置信區(qū)間是在上

由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。

要縮小置信區(qū)間，需

（1）增大樣本容量n，因?yàn)樵谕瑯拥闹眯潘较?，n越大，t分布表中的臨界值越小；同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減??；

（2）提高模型的擬合優(yōu)度，因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。1/2/2023135朱晉由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)§2.5一元線性模型的預(yù)測(cè)

對(duì)于模型如果給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值,有：因不是原來回歸方程中的樣本，所以和原模型中的不相關(guān)。如何求出的合理的值或范圍，就是回歸分析中預(yù)測(cè)的內(nèi)容。具體分為點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè)二塊。預(yù)測(cè)與置信區(qū)間1/2/2023136朱晉§2.5一元線性模型的預(yù)測(cè)

對(duì)于模型12/18/202一、?f是條件均值E(Y|X=Xf)或個(gè)值Yf的一個(gè)無偏估計(jì)二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間

1/2/2023137朱晉一、?f是條件均值E(Y|X=Xf)或個(gè)值Y