第5章測量誤差的基本知識道路工程測量教學課件1第5章測量誤差的基本知識道路工程測量教學課件1本章的主要內容：1、測量誤差的基本概念；2、衡量觀測值精度的指標（中誤差）；3、誤差傳播律；

4、權、算術平均值、加權平均值及其中誤差。

2本章的主要內容：2一、測量誤差產生的原因1．測量儀器和工具2．觀測者3．外界條件的影響由于儀器和工具加工制造不完善或校正之后殘余誤差存在所引起的誤差。由于觀測者感覺器官鑒別能力的局限性所引起的誤差。外界條件的變化所引起的誤差?！?.1觀測誤差的概述3一、測量誤差產生的原因1．測量儀器和工具2．觀測者3．外界條二、觀測誤差及其分類觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度觀測。觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；人、儀器和外界條件，通常稱為觀測條件。在觀測結果中，有時還會出現(xiàn)錯誤，稱之為粗差。粗差在觀測結果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認真仔細作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。4二、觀測誤差及其分類觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度§5.1觀測誤差及其分類二、測量誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差5§5.1觀測誤差及其分類二、測量誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差5§5.1觀測誤差及其分類1．系統(tǒng)誤差在相同觀測條件下，對某量進行一系列觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差在測量成果中具有累積性，對測量成果影響較大，但它的符號和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。（1）進行計算改正（2）選擇適當?shù)挠^測方法

6§5.1觀測誤差及其分類1．系統(tǒng)誤差在相同觀§5.1觀測誤差及其分類2．偶然誤差

在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，如果觀測誤差的符號和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。7§5.1觀測誤差及其分類2．偶然誤差在相同的§5.1偶然誤差的特性偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對同一量觀測次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性，觀測次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。8§5.1偶然誤差的特性偶然誤差從表面上看沒有§5.1偶然誤差的特性例如，對三角形的三個內角進行測量，由于觀測值含有偶然誤差，三角形各內角之和l不等于其真值180?。用X表示真值，則l與X的差值Δ稱為真誤差（即偶然誤差），即現(xiàn)在相同的觀測條件下觀測了217個三角形，計算出217個內角和觀測值的真誤差。再按絕對值大小，分區(qū)間統(tǒng)計相應的誤差個數(shù)，列入表中。9§5.1偶然誤差的特性例如，對三角形的三個內§5.1偶然誤差的特性例如，對三角形的三個內角進行測量，由于觀測值含有偶然誤差，三角形各內角之和l不等于其真值180?。用X表示真值，則l與X的差值Δ稱為真誤差（即偶然誤差），即現(xiàn)在相同的觀測條件下觀測了217個三角形，計算出217個內角和觀測值的真誤差。再按絕對值大小，分區(qū)間統(tǒng)計相應的誤差個數(shù)，列入表中。10§5.1偶然誤差的特性例如，對三角形的三個內§5.1偶然誤差的特性

真誤差絕對值大小統(tǒng)計結果誤差區(qū)間正誤差個數(shù)負誤差個數(shù)總計0″～3″3029593″～6″2120416″～9″1518339″～12″14163012″～15″12102215″～18″881618″～21″561121″～24″22424″～27″10127″以上000合計10711021711§5.1偶然誤差的特性真誤差絕對值大小統(tǒng)計結果誤差區(qū)間正誤§5.1偶然誤差的特性（1）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差個數(shù)多；（2）絕對值相等的正負誤差的個數(shù)大致相等；（3）最大誤差不超過27″。12§5.1偶然誤差的特性（1）絕對值較小的誤差比絕§5.1偶然誤差的特性偶然誤差的四個特性：

（1）在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零；

（2）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；

（3）絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同；（4）同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨著觀測次數(shù)n的無限增大而趨于零，即式中[Δ]——偶然誤差的代數(shù)和，13§5.1偶然誤差的特性偶然誤差的四個特性：（§5.2

衡量精度的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。中誤差相對中誤差極限誤差14§5.2衡量精度的標準在測量工作中，?！?.2

衡量精度的標準中誤差設在相同的觀測條件下，對某量進行n次重復觀測，其觀測值為l1，l2，…，ln，相應的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn。則觀測值的中誤差m為：式中[??]——真誤差的平方和，15§5.2衡量精度的標準中誤差設在相同的觀§5.2

衡量精度的標準

[例5-1]：對10個三角形的內角進行了觀測，根據(jù)觀測值中的偶然誤差（三角形的角度閉合差，即真誤差），計算其中誤差。16§5.2衡量精度的標準[例5-1]：序號三內角和的觀測值觀測值L真誤差△

△平方1180°00′03″－3″92180°00′02″－2″43179°59′58″＋2″44179°59′56″＋4″165180°00′00″－1″16180°00′04″0″07180°00′03″－4″168179°59′57″＋3″99179°59′58″＋2″410180°00′03″－3″9∑

2472中誤差17序號三內角和的觀測值觀測值L真誤差△△平方118相對誤差相對中誤差是中誤差的絕對值與相應觀測結果之比，并化為分子為1的分數(shù)，即相對誤差用下式求得：

18相對誤差18例如測量了兩段距離，一段為100m，另一段為200m，觀測值的中誤差均為±20mm。顯然不能認為兩段距離的精度相同，因為距離的測量精度與距離本身長度的大小有關。為了客觀地反映觀測精度，必須引入一個評定精度的標準，即相對誤差。相對誤差K就是觀測值的中誤差絕對值與觀測值之比，通常以分子為1的分式表示。相對誤差能夠確切描述觀測量的精確度。19例如測量了兩段距離，一段為100m，另一段為200m，觀測值2020

＜21＜21由此可見用相對誤差來衡量，就可直觀看出后者比前者精度高。在距離測量中用往返測量結果較差率來進行檢驗。較差率為

K=

式中：K——相對誤差顯然相對誤差越小，觀測結果的精度越好。22由此可見用相對誤差來衡量，就可直觀看出后者比前者精度高。式中§5.2

衡量精度的標準極限誤差

在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差。或

如果某個觀測值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認為該觀測值含有粗差，應舍去不用或返工重測。23§5.2衡量精度的標準極限誤差在一定觀測24245.3誤差傳播定律一、誤差傳播定律觀測值的誤差對觀測值函數(shù)的影響。用觀測值的中誤差去表征待求量中誤差的數(shù)學模型，則為中誤差傳播定律。

255.3誤差傳播定律一、誤差傳播定律255.3.1倍數(shù)函數(shù)中誤差設倍數(shù)函數(shù)為y=Kx(5-8)式中K——常數(shù)（常數(shù)無誤差）；X——直接觀測值。265.3.1倍數(shù)函數(shù)中誤差26【例5-2】在1:500地形圖上量得某兩點間的距離d=234.5mm,其中誤差mD=±0.2mm,求該兩點的地面水平距離D的值及其中誤差mD.。解:D=500d=500×0.2345=117.25mMD=±500mD=±500×0.0002=±0.10m27【例5-2】在1:500地形圖上量得某兩點間的距離d=2345.3.2和、差函數(shù)中誤差設和差函數(shù)為y=x1+x2（5-12）式中x1,、x2是直接觀測值，已知其中誤差分別為m1、m2,y是x1、x2的和、差函數(shù)，求y的中誤差my285.3.2和、差函數(shù)中誤差28【例5-3】：在水準測量中，讀數(shù)a與b的誤差分別為ma=±3mm與mb=±4mm，則高差h的中誤差mh等于多少？解：高差計算公式為：h=a-b由函數(shù)形式可知其屬于和差函數(shù)，則根據(jù)誤差傳播定律可知：m=±29【例5-3】：在水準測量中，讀數(shù)a與b的誤差分別為5.3.3線性函數(shù)設線性函數(shù)為y=k1x1+k2x2+…＋knxn設x1，x2，…，x為獨立觀測值，其中誤差分別為m1、m2、…、mn、求函數(shù)y的中誤差my。按推求式（５－１０）與式（５－１２）的相同方法，得M2y=k21m21+k22m22+…＋k2nm2n(5-16)即線性函數(shù)中誤差的平方，等于各常數(shù)與相應觀測值中誤差乘積的平方和。305.3.3線性函數(shù)30【例5-6】對某量等精度觀測n次，觀測值為L1、L2、…LN，設已知各觀測值的中誤差m1=m2……＝mn=m,求等精度觀測值算術平均值x及其中誤差Ｍ。解：等精度觀測值算術平均值xX＝L1＋L2＋、…＋LN／n＝［L］／n（5-17）上式可改寫為x=1/n.L1、+1/n.L2+、…1/n.LN根據(jù)式（5-15）算術平均值x的中誤差MM2=1/n2.m21+1/n2.m22+…＋1/n2.m2n=n/n2.m2=1/n.m2M=±m(xù)/n1/2(5-18)

31【例5-6】對某量等精度觀測n次，觀測值為L1、L2上式表明,算術平均值的中誤差比觀測值中誤差縮小了n1/2倍,即算術平均值的精度比觀測值精度提高n1/2倍.測量工作中進行多余觀測,取多次觀測值的平均值作為最后的結果,就是這個道理.32上式表明,算術平均值的中誤差比觀測值中誤差縮小了n1/2倍,5.3.4一般函數(shù)設一般函數(shù)為y=f(x1，x2，…，xn)已知x1，x2，…，xn為相互獨立的直接觀測量，其中誤差分別為m1、m2、…、mn、求函數(shù)y的中誤差my。則有全微分由于測量中真誤差值都很小，故可用真誤差代替上式中的微分量。即式中、、…、分別是函數(shù)y對觀測值x1，x2，…，xn求得偏導數(shù)。當函數(shù)式與觀測值確定后，偏導數(shù)均為常數(shù)，故上式可視為線性函數(shù)的真誤差關系式。由式（5-15）可得（5-18）335.3.4一般函數(shù)（5-18）33四、誤差傳播定律的應用

1.步驟：列出正確的函數(shù)模型注意：模型符合測量事實；觀測量各自獨立非線性函數(shù)線性化運用誤差傳播定律

34四、誤差傳播定律的應用342.應用舉例例1：用尺長為l的鋼尺丈量距離S，共丈量4個尺段，設丈量一個尺段的中誤差為m，試求S的中誤差。解一：應用誤差傳播定律得：352.應用舉例35

解二：應用誤差傳播定律得：由兩種解算方法的結果可以看出：距離S的中誤差不相等，顯然，解二的數(shù)學模型是錯誤的。36解二：36例：設有函數(shù)。若X、Y為獨立觀測量，其觀測值中誤差為mx、my，試求U的中誤差。解一：由線性中誤差傳播定律，顯然有：則有：37例：設有函數(shù)解二：由于應用線性函數(shù)中誤差傳播定律，得：即：顯然，這兩種解法中至少有一種解法是錯誤的。解法一中由于未考慮觀測量的獨立性，顯然是錯誤的。38解二：由于38§5.4

算術平均值算術平均值

在相同的觀測條件下，對某量進行多次重復觀測，根據(jù)偶然誤差特性，可取其算術平均值作為最終觀測結果。

設對某量進行了n次等精度觀測，觀測值分別為，l1,l2,…,ln，其算術平均值為：39§5.4算術平均值算術平均值在相同的觀測§5.4

算術平均值及其觀測中誤差

設觀測量的真值為X，觀測值為li，則觀測值的真誤差為：

將上式內各式兩邊相加，并除以n，得根據(jù)偶然誤差的特性，當觀測次數(shù)n無限增大時，則有→

算術平均值較觀測值更接近于真值。將最接近于真值的算術平均值稱為最或然值或最可靠值。40§5.4算術平均值及其觀測中誤差設觀測量的真§5.4

算術平均值觀測值中誤差

觀測量的算術平均值與觀測值之差，稱為觀測值改正數(shù)，用v表示。當觀測次數(shù)為n時，有將上式內各式兩邊相加，得將代入上式，得

對于等精度觀測，觀測值改正數(shù)的總和為零。41§5.4算術平均值觀測值中誤差觀測量的算術平均值§5.4

算術平均值及其觀測中誤差由觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差算術平均值的中誤差42§5.4算術平均值及其觀測中誤差由觀測值改正數(shù)計算觀測值§5.4

算術平均值及其觀測中誤差

例5-2某一段距離共丈量了六次，結果如表下所示，求算術平均值、觀測中誤差、算術平均值的中誤差及相對誤差。測次

觀測值/m觀測值改正數(shù)v/mmvv

計算123456平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-19225144432416676361304643§5.4算術平均值及其觀測中誤差例5-2習題與思考題44習題與思考題44本章小結本章主要介紹了在測量工作中存在的各種測量誤差。測量誤差產生的原因概括起來有儀器誤差、觀測者和外界條件的影響三個方面。通常把觀測誤差來源的三個方面稱為觀測條件,觀測條件的好壞與觀測成果的質量有著密切的聯(lián)系.一般情況下,觀測誤差的大小受觀測條件的制約。觀測條件好時，誤差就小，所獲得的觀測結果的質量就高；反之，誤差就大，觀測結果的質量就低。45本章小結本章主要介紹了在測量工作中存在的各種測量誤差本章小結按獲得觀測者的方式、觀測值之間的關系、觀測值的可靠度可將觀測分為直接觀測與間接觀測、獨立觀測與相關觀測、必要觀測與多余觀測和等精度觀測與不等精度觀測四個類型。測量誤差按其性質可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類。偶然誤差具有以下四個特性：有限性，聚中性，對稱性，抵消性。46本章小結按獲得觀測者的方式、觀測值之間的關系本章小結采用中誤差作為評定觀測精度的標準；對于觀測次數(shù)較少的測量工作，多數(shù)采用2倍中誤差作為極限誤差。對于某些觀測成果，用中誤差還不能完全判斷觀測精度的優(yōu)劣。為了能客觀反映實際精度，通常用相對誤差來表示邊長觀測值的精度。在觀測中有一些未知量不能直接測定，但與觀測值有一定的函數(shù)關系，通過間接求得建立獨立觀測中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間的函數(shù)關系式，測量中稱為誤差傳播定律。47本章小結采用中誤差作為評定觀測精度的標準；對于觀測習題

例一、偶然誤差具有四個特性，分別是：_______、________、__________、____________。

有限性聚中性對稱性抵消性例二、有一矩形，丈量兩條邊的長度試求矩形周長P及其中誤差。解：矩形的周長為：由公式得：48習題例一、偶然誤差具有四個特性，分習題

例一.用30m鋼尺丈量120m距離,共分4個尺段進行丈量,若每尺段丈量中誤差m30為mm問全長中誤差m120是多少?解:根據(jù)公式得:

例二。用一臺經緯儀測量水平角，每測回角度中誤差為。今用這臺儀器測一角度，要求測角中誤差不超過，問至少需要觀測幾個測回？解：因為所以49習題例一.用30m鋼尺丈量120m距離,共分4本章結束50本章結束50祝同學們學習進步51祝同學們學習進步51第5章測量誤差的基本知識道路工程測量教學課件52第5章測量誤差的基本知識道路工程測量教學課件1本章的主要內容：1、測量誤差的基本概念；2、衡量觀測值精度的指標（中誤差）；3、誤差傳播律；

4、權、算術平均值、加權平均值及其中誤差。

53本章的主要內容：2一、測量誤差產生的原因1．測量儀器和工具2．觀測者3．外界條件的影響由于儀器和工具加工制造不完善或校正之后殘余誤差存在所引起的誤差。由于觀測者感覺器官鑒別能力的局限性所引起的誤差。外界條件的變化所引起的誤差。§5.1觀測誤差的概述54一、測量誤差產生的原因1．測量儀器和工具2．觀測者3．外界條二、觀測誤差及其分類觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度觀測。觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；人、儀器和外界條件，通常稱為觀測條件。在觀測結果中，有時還會出現(xiàn)錯誤，稱之為粗差。粗差在觀測結果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認真仔細作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。55二、觀測誤差及其分類觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度§5.1觀測誤差及其分類二、測量誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差56§5.1觀測誤差及其分類二、測量誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差5§5.1觀測誤差及其分類1．系統(tǒng)誤差在相同觀測條件下，對某量進行一系列觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差在測量成果中具有累積性，對測量成果影響較大，但它的符號和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。（1）進行計算改正（2）選擇適當?shù)挠^測方法

57§5.1觀測誤差及其分類1．系統(tǒng)誤差在相同觀§5.1觀測誤差及其分類2．偶然誤差

在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，如果觀測誤差的符號和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。58§5.1觀測誤差及其分類2．偶然誤差在相同的§5.1偶然誤差的特性偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對同一量觀測次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性，觀測次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。59§5.1偶然誤差的特性偶然誤差從表面上看沒有§5.1偶然誤差的特性例如，對三角形的三個內角進行測量，由于觀測值含有偶然誤差，三角形各內角之和l不等于其真值180?。用X表示真值，則l與X的差值Δ稱為真誤差（即偶然誤差），即現(xiàn)在相同的觀測條件下觀測了217個三角形，計算出217個內角和觀測值的真誤差。再按絕對值大小，分區(qū)間統(tǒng)計相應的誤差個數(shù)，列入表中。60§5.1偶然誤差的特性例如，對三角形的三個內§5.1偶然誤差的特性例如，對三角形的三個內角進行測量，由于觀測值含有偶然誤差，三角形各內角之和l不等于其真值180?。用X表示真值，則l與X的差值Δ稱為真誤差（即偶然誤差），即現(xiàn)在相同的觀測條件下觀測了217個三角形，計算出217個內角和觀測值的真誤差。再按絕對值大小，分區(qū)間統(tǒng)計相應的誤差個數(shù)，列入表中。61§5.1偶然誤差的特性例如，對三角形的三個內§5.1偶然誤差的特性

真誤差絕對值大小統(tǒng)計結果誤差區(qū)間正誤差個數(shù)負誤差個數(shù)總計0″～3″3029593″～6″2120416″～9″1518339″～12″14163012″～15″12102215″～18″881618″～21″561121″～24″22424″～27″10127″以上000合計10711021762§5.1偶然誤差的特性真誤差絕對值大小統(tǒng)計結果誤差區(qū)間正誤§5.1偶然誤差的特性（1）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差個數(shù)多；（2）絕對值相等的正負誤差的個數(shù)大致相等；（3）最大誤差不超過27″。63§5.1偶然誤差的特性（1）絕對值較小的誤差比絕§5.1偶然誤差的特性偶然誤差的四個特性：

（1）在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零；

（2）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；

（3）絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同；（4）同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨著觀測次數(shù)n的無限增大而趨于零，即式中[Δ]——偶然誤差的代數(shù)和，64§5.1偶然誤差的特性偶然誤差的四個特性：（§5.2

衡量精度的標準在測量工作中，常采用以下幾種標準評定測量成果的精度。中誤差相對中誤差極限誤差65§5.2衡量精度的標準在測量工作中，常§5.2

衡量精度的標準中誤差設在相同的觀測條件下，對某量進行n次重復觀測，其觀測值為l1，l2，…，ln，相應的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn。則觀測值的中誤差m為：式中[??]——真誤差的平方和，66§5.2衡量精度的標準中誤差設在相同的觀§5.2

衡量精度的標準

[例5-1]：對10個三角形的內角進行了觀測，根據(jù)觀測值中的偶然誤差（三角形的角度閉合差，即真誤差），計算其中誤差。67§5.2衡量精度的標準[例5-1]：序號三內角和的觀測值觀測值L真誤差△

△平方1180°00′03″－3″92180°00′02″－2″43179°59′58″＋2″44179°59′56″＋4″165180°00′00″－1″16180°00′04″0″07180°00′03″－4″168179°59′57″＋3″99179°59′58″＋2″410180°00′03″－3″9∑

2472中誤差68序號三內角和的觀測值觀測值L真誤差△△平方118相對誤差相對中誤差是中誤差的絕對值與相應觀測結果之比，并化為分子為1的分數(shù)，即相對誤差用下式求得：

69相對誤差18例如測量了兩段距離，一段為100m，另一段為200m，觀測值的中誤差均為±20mm。顯然不能認為兩段距離的精度相同，因為距離的測量精度與距離本身長度的大小有關。為了客觀地反映觀測精度，必須引入一個評定精度的標準，即相對誤差。相對誤差K就是觀測值的中誤差絕對值與觀測值之比，通常以分子為1的分式表示。相對誤差能夠確切描述觀測量的精確度。70例如測量了兩段距離，一段為100m，另一段為200m，觀測值7120

＜72＜21由此可見用相對誤差來衡量，就可直觀看出后者比前者精度高。在距離測量中用往返測量結果較差率來進行檢驗。較差率為

K=

式中：K——相對誤差顯然相對誤差越小，觀測結果的精度越好。73由此可見用相對誤差來衡量，就可直觀看出后者比前者精度高。式中§5.2

衡量精度的標準極限誤差

在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差。或

如果某個觀測值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認為該觀測值含有粗差，應舍去不用或返工重測。74§5.2衡量精度的標準極限誤差在一定觀測75245.3誤差傳播定律一、誤差傳播定律觀測值的誤差對觀測值函數(shù)的影響。用觀測值的中誤差去表征待求量中誤差的數(shù)學模型，則為中誤差傳播定律。

765.3誤差傳播定律一、誤差傳播定律255.3.1倍數(shù)函數(shù)中誤差設倍數(shù)函數(shù)為y=Kx(5-8)式中K——常數(shù)（常數(shù)無誤差）；X——直接觀測值。775.3.1倍數(shù)函數(shù)中誤差26【例5-2】在1:500地形圖上量得某兩點間的距離d=234.5mm,其中誤差mD=±0.2mm,求該兩點的地面水平距離D的值及其中誤差mD.。解:D=500d=500×0.2345=117.25mMD=±500mD=±500×0.0002=±0.10m78【例5-2】在1:500地形圖上量得某兩點間的距離d=2345.3.2和、差函數(shù)中誤差設和差函數(shù)為y=x1+x2（5-12）式中x1,、x2是直接觀測值，已知其中誤差分別為m1、m2,y是x1、x2的和、差函數(shù)，求y的中誤差my795.3.2和、差函數(shù)中誤差28【例5-3】：在水準測量中，讀數(shù)a與b的誤差分別為ma=±3mm與mb=±4mm，則高差h的中誤差mh等于多少？解：高差計算公式為：h=a-b由函數(shù)形式可知其屬于和差函數(shù)，則根據(jù)誤差傳播定律可知：m=±80【例5-3】：在水準測量中，讀數(shù)a與b的誤差分別為5.3.3線性函數(shù)設線性函數(shù)為y=k1x1+k2x2+…＋knxn設x1，x2，…，x為獨立觀測值，其中誤差分別為m1、m2、…、mn、求函數(shù)y的中誤差my。按推求式（５－１０）與式（５－１２）的相同方法，得M2y=k21m21+k22m22+…＋k2nm2n(5-16)即線性函數(shù)中誤差的平方，等于各常數(shù)與相應觀測值中誤差乘積的平方和。815.3.3線性函數(shù)30【例5-6】對某量等精度觀測n次，觀測值為L1、L2、…LN，設已知各觀測值的中誤差m1=m2……＝mn=m,求等精度觀測值算術平均值x及其中誤差Ｍ。解：等精度觀測值算術平均值xX＝L1＋L2＋、…＋LN／n＝［L］／n（5-17）上式可改寫為x=1/n.L1、+1/n.L2+、…1/n.LN根據(jù)式（5-15）算術平均值x的中誤差MM2=1/n2.m21+1/n2.m22+…＋1/n2.m2n=n/n2.m2=1/n.m2M=±m(xù)/n1/2(5-18)

82【例5-6】對某量等精度觀測n次，觀測值為L1、L2上式表明,算術平均值的中誤差比觀測值中誤差縮小了n1/2倍,即算術平均值的精度比觀測值精度提高n1/2倍.測量工作中進行多余觀測,取多次觀測值的平均值作為最后的結果,就是這個道理.83上式表明,算術平均值的中誤差比觀測值中誤差縮小了n1/2倍,5.3.4一般函數(shù)設一般函數(shù)為y=f(x1，x2，…，xn)已知x1，x2，…，xn為相互獨立的直接觀測量，其中誤差分別為m1、m2、…、mn、求函數(shù)y的中誤差my。則有全微分由于測量中真誤差值都很小，故可用真誤差代替上式中的微分量。即式中、、…、分別是函數(shù)y對觀測值x1，x2，…，xn求得偏導數(shù)。當函數(shù)式與觀測值確定后，偏導數(shù)均為常數(shù)，故上式可視為線性函數(shù)的真誤差關系式。由式（5-15）可得（5-18）845.3.4一般函數(shù)（5-18）33四、誤差傳播定律的應用

1.步驟：列出正確的函數(shù)模型注意：模型符合測量事實；觀測量各自獨立非線性函數(shù)線性化運用誤差傳播定律

85四、誤差傳播定律的應用342.應用舉例例1：用尺長為l的鋼尺丈量距離S，共丈量4個尺段，設丈量一個尺段的中誤差為m，試求S的中誤差。解一：應用誤差傳播定律得：862.應用舉例35

解二：應用誤差傳播定律得：由兩種解算方法的結果可以看出：距離S的中誤差不相等，顯然，解二的數(shù)學模型是錯誤的。87解二：36例：設有函數(shù)。若X、Y為獨立觀測量，其觀測值中誤差為mx、my，試求U的中誤差。解一：由線性中誤差傳播定律，顯然有：則有：88例：設有函數(shù)解二：由于應用線性函數(shù)中誤差傳播定律，得：即：顯然，這兩種解法中至少有一種解法是錯誤的。解法一中由于未考慮觀測量的獨立性，顯然是錯誤的。89解二：由于38§5.4

算術平均值算術平均值

在相同的觀測條件下，對某量進行多次重復觀測，根據(jù)偶然誤差特性，可取其算術平均值作為最終觀測結果。

設對某量進行了n次等精度觀測，觀測值分別為，l1,l2,…,ln，其算術平均值為：90§5.4算術平均值算術平均值在相同的觀測§5.4

算術平均值及其觀測中誤差

設觀測量的真值為X，觀測值為li，則觀測值的真誤差為：

將上式內各式兩邊相加，并除以n，得根據(jù)偶然誤差的特性，當觀測次數(shù)n無限增大時，則有→

算術平均值較觀測值更接近于真值。將最接近于真值的算術平均值稱為最或然值或最可靠值。91§5.4算術平均值及其觀測中誤差設觀測量的真§5.4

算術平均值觀測值中誤差

觀測量的算術平均值與觀測值之差，稱為觀測值改正數(shù)，用v表示。當觀測次數(shù)為n時，有將上式內各式兩邊相加，得將代入上式，得

對于等精度觀測，觀測值改正數(shù)的總和為零。92§5.4算術平均值觀測值中誤差觀測量的算術平均值§5.4

算術平均