人教版初中數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)講練軸對(duì)稱(chēng)(含解析)人教版初中數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)講練軸對(duì)稱(chēng)(含解析)23/23人教版初中數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)講練軸對(duì)稱(chēng)(含解析)軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)梳理授課重、難點(diǎn)作業(yè)達(dá)成情況典題研究例

1

在△ABC

中，AD

是△ABC的角均分線．（1）如圖

1，過(guò)

C作CE∥AD交BA

延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E，若

F為

CE的中點(diǎn)，連結(jié)

AF，求證：AF⊥AD；2）如圖2，M為BC的中點(diǎn)，過(guò)M作MN∥AD交AC于點(diǎn)N，若AB=4，AC=7，求NC的長(zhǎng)．例2在圖-1至圖-3中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點(diǎn)是M．（1）如圖-1，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM=MH，F(xiàn)M⊥MH；（2）將圖-1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，獲取圖-2，求證：△FMH是等腰直角三角形；3）將圖-2中的CE縮短到圖-3的情況，△FMH仍是等腰直角三角形嗎？（不用說(shuō)明原因）FGNFG(N)HHABCAB( )DEMDCM圖-1圖-2EFGNHCABMDE圖-3例3段PA

在△ABC中，BA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

BC，BAC，M2獲取線段PQ．

是AC

的中點(diǎn)，

P是線段

BM

上的動(dòng)點(diǎn)，將線（1）若60且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖1），線段CQ的延長(zhǎng)線交射線BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫(xiě)出CDB的度數(shù)；（2）在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，猜想CDB的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明；（3）對(duì)于適合大小的，當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一地址（不與點(diǎn)B，M重合）時(shí)，能使得線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D，且PQQD，請(qǐng)直接寫(xiě)出的范圍．例4問(wèn)題：已知△ABC中，BAC=2ACB，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=CD，BD=BA,研究DBC與ABC度數(shù)的比值.請(qǐng)你達(dá)成以下研究過(guò)程：先將圖形特別化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行解析并加以證明.當(dāng)BAC=90時(shí)，依問(wèn)題中的條件補(bǔ)全右圖.察看圖形，AB與AC的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________；當(dāng)推出DAC=15時(shí)，可進(jìn)一步推出DBC的度數(shù)為_(kāi)___________；可獲取DBC與ABC度數(shù)的比值為_(kāi)_________；(2)當(dāng)BAC90時(shí)，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，研究DBC與ABC度數(shù)的比值可否與(1)中的結(jié)論相同，寫(xiě)出你的猜想并加以證明.操練方陣A檔（堅(jiān)固專(zhuān)練）1．在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．（1）如圖(1)，若AC均分BAE，ACE=90°,則線段AE、AB、DE的長(zhǎng)度知足的數(shù)量關(guān)系為；（直接寫(xiě)出答案）AEBCD圖（1）（2）如圖（2），AC均分BAE，EC均分AED，若ACE120，則線段AB、BD、DE、AE的長(zhǎng)度知足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并證明；EABCD圖（3）如圖（3），BD=8，AB=2，DE=8，ACE135，則線段AE長(zhǎng)度的最大值是（直接寫(xiě)出答案）．EABCD圖（3）2.在△ABC中，已知D為直線BC上一點(diǎn)，若ABCxo,BADyo.（1）當(dāng)D為邊BC上一點(diǎn)，并且CD=CA，x40，y30時(shí)，則（填“=”AB_____AC或“”）；ABDC（2）若是把（1）中的條件“CD=CA”變?yōu)椤癈D=AB”，且x,y的取值不變，那么（1）中的結(jié)論可否仍建立？若建立請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不建立請(qǐng)說(shuō)明原因；ABDC3）若CD=CA=AB，請(qǐng)寫(xiě)出y與x的關(guān)系式及x的取值范圍.（不寫(xiě)解答過(guò)程，直接寫(xiě)出結(jié)果）3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角均分線，DE⊥AB于點(diǎn)E．1）如圖1，連結(jié)EC，求證：△EBC是等邊三角形；2）點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出圓滿(mǎn)圖形，并直接寫(xiě)出MD，DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3,點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn)，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．試一試究ND，DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系，并說(shuō)明原因．已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2．操作：如圖1，將正方形紙片折疊，使極點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處（點(diǎn)P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的地址，PQ與BC交于點(diǎn)G．研究：（1）察看操作結(jié)果，找到一個(gè)與△EDP相似的三角形，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí)，你找到的三角形與△EDP周長(zhǎng)的比是多少（圖2為備用圖）？EDADAPBFGCBCQ圖1圖2直線CD經(jīng)過(guò)BCA的極點(diǎn)C，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且BECCFA．（1）若直線CD經(jīng)過(guò)BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①如圖1，若BCA90o,90o，則EFBEAF（填“”，“”或“”號(hào)）；②如圖2，若0oBCA180o，若使①中的結(jié)論依舊建立，則與BCA應(yīng)知足的關(guān)系是；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)BCA的外面，BCA，請(qǐng)研究EF、與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并賞賜證明．BBBEFDEFDEACCCAFAD圖1圖2圖3檔（提升精練）1．在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在線段BC上（不含點(diǎn)B），∠BPE1＝∠ACB，PE交BO于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點(diǎn)G．2（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖①）．求證：△BOG≌△POE；BF（2）經(jīng)過(guò)察看、測(cè)量、猜想：=，并結(jié)合圖②證明你的猜想；PE（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖③），若∠ACB=α，BF求的值．（用含α的式子表示）PE2．在矩形

ABCD

中，

AB

4，BC

3，E

是

AB邊上一點(diǎn)，

EF

CE交

AD

于點(diǎn)

F

，過(guò)點(diǎn)E

作

AEH

BEC，交射線

FD于點(diǎn)

H

，交射線

CD于點(diǎn)

N

.（1）如圖

1，當(dāng)點(diǎn)

H

與點(diǎn)

F

重合時(shí)，求

BE的長(zhǎng)；（2）如圖

2，當(dāng)點(diǎn)

H

在線段

FD

上時(shí)，設(shè)

BE

x，DN

y，求

y與

x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量

x的取值范圍；（3）連結(jié)AC，當(dāng)以點(diǎn)E，F(xiàn)，H為極點(diǎn)的三角形與△AEC相似時(shí)，求線段DN的長(zhǎng).3．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，連結(jié)AM、CM.1）當(dāng)M點(diǎn)在哪處時(shí)，AM＋CM的值最??；2）當(dāng)M點(diǎn)在哪處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說(shuō)明原因；（3）當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為31時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).4．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分別均分∠BAC和∠ACB，且AD與CE交于點(diǎn)M．點(diǎn)N在射線AD上，且NA=NC．過(guò)點(diǎn)N作NF⊥CE于點(diǎn)G，且與AC交于點(diǎn)F，再過(guò)點(diǎn)F作FH∥CE，且與AB交于點(diǎn)H．如圖1，當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，點(diǎn)M，N，G重合．①請(qǐng)依照題目要求在圖1中補(bǔ)全圖形；②連結(jié)EF，HM，則EF與HM的數(shù)量關(guān)系是__________；如圖2，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，求證：AF=EH；(3)當(dāng)∠BAC=36°時(shí)，我們稱(chēng)△ABC為“黃金三角形”，此時(shí)BC51．若EH=4，AC2直接寫(xiě)出GM的長(zhǎng)．圖1圖2備用圖5．以以以下列圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連結(jié)BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上搬動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)可否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為

S，請(qǐng)直接寫(xiě)出．．．．S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出．．S的最小值．檔（超越導(dǎo)練）1．如圖1，在四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N，則BMECNE（不需證明）．（溫馨提示：在圖1中，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)H，連結(jié)HE、HF，依照三角形中位線定理，證明HEHF，進(jìn)而12，再利用平行線性質(zhì)，可證得BMECNE．）問(wèn)題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD訂交于點(diǎn)O，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF，分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷△OMN的形狀，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．問(wèn)題二：如圖3，在△ABC中，ACAB，D點(diǎn)在AC上，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若EFC60°，連結(jié)GD，判斷△AGD的形狀并證明．2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部．(1)如圖1，AB=2AC，PB=3，點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上，則cos=_______，△PMN周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)______；(2)如圖2，若條件AB=2AC不變，而PA=2，PB=10，PC=1，求△ABC的面積；(3)若PA=m，PB=n，PC=k，且kmcosnsin，直接寫(xiě)出∠APB的度數(shù)．3．（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中點(diǎn)．直接寫(xiě)出∠BMD與∠ADM的倍數(shù)關(guān)系；（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，AB=2BC，M是AB的中點(diǎn)，過(guò)C作CE⊥AD與AD所在直線交于點(diǎn)E．①若∠A為銳角，則∠BME與∠AEM有怎樣的倍數(shù)關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②當(dāng)0A時(shí)，上述結(jié)論建立；當(dāng)A180時(shí)，上述結(jié)論不可以立．EDCDCAMBAMB圖1圖24．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線、訂交于點(diǎn)O，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，設(shè)銳角∠DOC=ACBD∠，將△DOC以直線MN為對(duì)稱(chēng)軸翻折獲取△D’OC’，直線AD’、BC’訂交于點(diǎn)P．（1）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，如圖1，請(qǐng)猜想AD’、BC’的數(shù)量關(guān)系以及∠APB與的大小關(guān)系；（2）當(dāng)四邊形

ABCD

是平行四邊形時(shí)，如圖

2，（1）中的結(jié)論還建立嗎？（3）當(dāng)四邊形

ABCD

是等腰梯形時(shí)，如圖

3，∠APB

與

有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)證明．5．（西城）已知：在如圖1所示的銳角三角形ABC中，CH⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)B對(duì)于直線CH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，AC邊上一點(diǎn)E知足∠EDA=∠A，直線DE交直線CH于點(diǎn)F．求證：BF∥AC；(2)若AC邊的中點(diǎn)為M，求證：DF2EM；(3)當(dāng)AB=BC時(shí)（如圖2），在未增加協(xié)助線和其他字母的條件下，找出圖2中所有與BE相等的線段，并證明你的結(jié)論．成長(zhǎng)蹤跡課后檢測(cè)參照答案典題研究例1證明：∵AD為△ABC的角均分線，12．1）∵CE∥AD，∴1E，23.E3．∴AC=AE．∵F為EC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC．AFEFAD90．∴AF⊥AD．（2）延長(zhǎng)BA與MN延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)B作∥交NM延長(zhǎng)線于點(diǎn).EBFACF∴3C，F(xiàn)4．∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)E∴BM＝CM．在△BFM和△CNM中，A5N4,3C,BMCM,B

1243DMC∴△BFM≌△CNM（AAS）．∴BF＝CN．F∵M(jìn)N∥AD，∴1E，245.∴E5F．∴AE＝AN，BE＝BF．設(shè)CN=x，則BF=x，AE＝AN＝AC－CN＝7－x，BE＝AB＋AE＝4＋7－x．∴4＋7－x＝x．解得x＝5.5．∴＝5.5．CN例2證明：∵四邊形BCGF和CDHN都是正方形，又∵點(diǎn)N與點(diǎn)G重合，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，∴FB=BM=MG=MD=DH，∠FBM=∠MDH=90∴△FBM≌△MDH．F∴FM=MH．∵∠FMB=∠DMH=45°，∴∠FMH=90°．B∴⊥HM．AFM（2）證明：連結(jié)MB、MD，如圖2，設(shè)FM與AC交于點(diǎn)

°．G(N)HC(M)DE圖-1P．∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點(diǎn)，F(xiàn)G∴∥，且MD=BC=；∥，NMDBCBFMBCD且MB=CD=DH．BPH∴四邊形BCDM是平行四邊形．AC∴∠CBM=∠CDM．DM又∵∠FBP=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH．圖2E∴△FBM≌△MDH．∴FM=MH，F(xiàn)GN且∠=∠．MFBHMD∴∠FMH=∠FMD－∠HMDCHAB=∠APM－∠MFB=∠FBP=90°．D∴△FMH是等腰直角三角形．ME（3）是．圖-3例3（1）30；（2）連結(jié)PC、AD，易得∠PAD=∠PCQ=∠PQC，∴∠PAD+∠PQD=180，∴∠APQ+∠ADQ=180，易得∠CDB=PCQ=2∠CDB=1802,∵P不與

90M、B

；(3)∵∠CDB=重合，∴∠BAD

90＞∠PAD

,PQ=QD,＞∠MAD,

∴∠PAD=即2

∠＞1802

＞

，∴45

60例425.解：(1)相等；15；1：3。猜想：DBC與ABC度數(shù)的比值與(1)中結(jié)論相同。證明：如圖

2，作

KCA=

BAC，過(guò)

B點(diǎn)作

BK//AC

交

CK

于點(diǎn)

K，連結(jié)

DK?！連AC90，∴四邊形

ABKC

是等腰梯形，∴CK=AB

，∵DC=DA

，∴

DCA=

DAC，∵

KCA=

BAC，KCD=3，∴△KCD△BAD，∴2=4，KD=BD，∴KD=BD=BA=KC?！連K//AC，∴ACB=6，∵KCA=2ACB，∴5=ACB，∴5=6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB，∴KBD=60，∵ACB=6=601，∴BAC=2ACB=12021，∵1(601)(12021)2=180，∴2=21，∴DBC與ABC度數(shù)的比值為1：3。操練方陣檔（堅(jiān)固專(zhuān)練）1.（1）AE=AB+DE；（2）解：猜想：AE=AB+DE+1BD．2證明：在AE上取點(diǎn)F，使AF=AB，連結(jié)CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG=ED，連結(jié)CG．∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴CB=CD=1BD．2∵AC均分BAE，∴∠BAC=∠FAC．∵AF=AB，AC=AC，∴△ABC≌△AFC.∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可證：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵ACE120，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等邊三角形．1∴FG=FC=BD．2∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+1BD．2（3）1042．（1）=（2）建立.解法一：在BC上截取BE=BA，連結(jié)AE.QCDAB,BECD.BEDE=CDDE.即：BD=CE.B40,BAEBEA70.

ABDEC在ABD中，B40，BAD30.BDA=110，ADE=70.ADE=BEA，AEC=110.AD=AE.在ABD和ACE中,AD=AE,BDA=CEA,BD=CE.ABD≌ACE.AB=AC.解法二：如圖，作DAEDAB30,AEAB，AE交BC于點(diǎn)F.在ABD和AED中，ADAD，DABDAE，ABAE.ABD≌AED.AEDB40,ADBADE.

AF在ABD中，BDCB40,BAD30.EADEADB110,ADC70.CDEADEADC40.CDEAED40.FDFE.QABCD,ABAE，CDAE.CDFDAEFE.即：FCFA.QDFECFA,ACBAED.BACB.ABAC.（3）解：(ⅰ)當(dāng)D在線段BC上時(shí)，y903x(0x60)（取等號(hào)時(shí)B、D重合）.2(ⅱ)當(dāng)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，y3x90(60x90)（取等號(hào)時(shí)B、D重合）2(ⅲ)當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，y1803x，(0x90).2（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，1∴ABC60,BC=AB．2∵BD均分∠ABC，1DBAA30.∴DA=DB．∵DE⊥AB于點(diǎn)E．1∴AE=BE=AB．∴BC=BE.∴△BCE是等邊三角形.2）結(jié)論：AD=DG＋DM．3）結(jié)論：AD=DG－DN．原因以下：延長(zhǎng)BD至H，使得DH＝DN.由（1）得DA=DB，A30．A∵DE⊥AB于點(diǎn)E．2360．4560．∴△NDH是等邊三角形．∴NH=ND，H660．∴H2．ABNG60,∴BNG767.即DNGHNB.在△DNG和△HNB中，DNHN,DNGHNB,H2,∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG=HB.∵HB=HD＋DB=ND＋AD,∴DG=ND＋AD.∴AD=DG－ND.解：（1）與△EDP相似的三角形是△PCG．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=∠D=90°．由折疊知∠EPQ=∠A=90°．∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．

CMDEBG圖2CHD45N67231EBG圖3AEDPBFQGC∴△PCG∽△EDP．（2）設(shè)ED=x，則AE=2x，由折疊可知：EP=AE=2x．∵點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，∴DP=1．∵∠D=90°，∴ED2DP2EP2，即x212(2x)23解得x．43∴ED．4∵△PCG∽△EDP，PC14∴．ED334∴△PCG與△EDP周長(zhǎng)的比為4∶3．（1）EF=BEAF；∠α+∠BCA=180°；研究結(jié)論：EF=BE+AF.證明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°,∠2+∠3+∠CFA=180°.1又∵∠BCA=∠α=∠CFA，∴∠1=∠3.

2

3∵∠BEC=∠CFA=∠α,CB=CA,∴△BEC≌△CFA.∴BE=CF,EC=AF.∴EF=EC+CF=BE+AF.檔（提升精練）解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°?！逷F⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO?！唷螱BO=∠EPO?！唷鰾OG≌△POE（AAS）。BF1（2）。證明以下：PE2如圖，過(guò)P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB?！摺螼BC=∠OCB=450，∴∠NBP=∠NPB?！郚B=NP?！摺螹BN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE?！唷鰾MN≌△PEN（ASA）?！郆M=PE?！摺螧PE=1∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。2∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）?！郆F=MF1，即BF=BM。2∴BF=1PE，即BF1。2PE2（3）如圖，過(guò)P作PM//AC交BG于點(diǎn)M，交BO于點(diǎn)N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。由（2）同理可得BF=

12

BM，∠MBN=∠EPN?！摺螧NM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN。BMBN∴。PEPNBNBM在Rt△BNP中，tan=，∴=tan，即PNPE2BF=tan。PEBF1tan?！?PE22解：（1）∵EFEC，∴AEFBEC90.∵AEFBEC，BEC45.B90，∴BEBC.∵BC3，∴BE3（2）過(guò)點(diǎn)E作EGCN，垂足為點(diǎn)G.∴BECG.∵AB∥CN，∴AEHN，BECECN.∵AEHBEC，∴NECN.∴ENEC.∴CN2CG2BE.∵BEx，DNy，CDAB4，∴y2x42x3（3）∵矩形ABCD，∴BAD90.∴AFEAEF90.∵EFEC，∴AEFCEB90.∴AFECEB.∴HFEAEC.當(dāng)以點(diǎn)E，F(xiàn)，H為極點(diǎn)的三角形與AEC相似時(shí)，?。┤鬎HEEAC，∵BADB，AEHBEC，∴FHEECB.∴EACECB.∴tanEACtanECB，∴BCBE.∴BE9.∴DN1.ABBC42ⅱ)若FHEECA，以以以下列圖，記EG與AC交于點(diǎn)O.∵AEHBEC，∴AHEBCE.ENCECN.∵ENEC，EGCN，∴12.∵AH∥EG，∴FHE1.∴FHE2.∴2ECA.∴EOCO.設(shè)EOCO3k，則AE4k,AO5k，∴AOCO8k5.5∴k.8∴AE53∴DN1.，BE.221綜上所述，線段DN的長(zhǎng)為或1.2解：（1）當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM＋CM的值最小.2）如圖，連結(jié)CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小.原因以下：∵M(jìn)是正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)∴AM=CM又AB=BC,BM=BM∴△ABM≌△CBM∴∠BAM=∠BCM又BE=BA=BC∴∠BEC=∠BCM∴∠BEC=∠BAM在EC上取一點(diǎn)N使得EN=AM,連結(jié)BN又∵EB=AB∴△BNE≌△ABM∴∠EBN=∠ABM,BN=BM又∵∠EBN+∠NBA=60°∴∠ABM+∠NBA=60°即∠NBM=60°∴△BMN是等邊三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.依照“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).（3）過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F∴∠EBF＝90°－60°＝30°設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF＝3x，EF＝x22在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（x）2＋（32x＋x）2＝31.22解得，x＝2（舍去負(fù)值）.∴正方形的邊長(zhǎng)為24解：(1)補(bǔ)全圖形見(jiàn)圖1，AEF與HM的數(shù)量關(guān)系是EF=HM；H(2)連結(jié)MF（如圖2）.FE∵AD，CE分別均分∠BAC和∠ACB，且∠BAC=120°，∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4.

MBCD圖1∵AB=AC，A∴AD⊥BC.H2E1∵NG⊥EC，7M6∴∠MDC=∠NGM=90°.BD∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°.5∴∠4=∠5.N∴∠3=∠5.∵NA=NC，∠2=60°，圖2∴△ANC是等邊三角形.∴AN=AC.在△AFN和△AMC中，53,ANAC,22,∴△AFN≌△AMC.∴AF=AM.∴△AMF是等邊三角形.∴AF=FM，∠7=60°.∴∠7=∠1.∴FM∥AE.∵FH∥CE，

FG

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C∴四邊形FHEM是平行四邊形.∴EH=FM.∴AF=EH.GM的長(zhǎng)為51.5（1）證明：∵PE=BE，EBP=EPB.又∵EPH=EBC=90°,∴EPH-EPB=EBC-EBP.即PBC=BPH.又∵AD∥BC,APB=PBC.APB=BPH.（2）△PHD的周長(zhǎng)不變，為定值8證明：過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q由（1）知APB=BPH又∵A=BQP=90°，BP=BP∴△ABP≌△QBPAP=QP,AB=BQ又∵AB=BCBC=BQ又∵C=BQH=90°，BH=BH∴△BCH≌△BQHCH=QH△PHD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）S1x22x821(x2)2配方得，S6，2∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值6C檔（超越導(dǎo)練）

APDQEHGFBC1.（1）等腰三角形（2）判斷出直角三角形證明：如圖連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)H，連結(jié)HF、HE，QF是AD的中點(diǎn)，1AB，13．GHF∥AB，HF32A1CD，F(xiàn)D同理，HE∥CD，HE2EFC．H12B2CQABCD，HFHE，12．4分EQEFC60°，3EFCAFG60°，AGF是等邊三角形．QAFFD，GFFD，F(xiàn)GDFDG30°AGD90°即△AGD是直角三角形．2.解：（1）cos=3，△PMN周長(zhǎng)的最小值為3；22）分別將△PAB、△PBC、△PAC沿直線AB、BC、AC翻折，點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E、F，連結(jié)DE、DF，（如圖6）則△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC.B∴AD=AP=AF，BD=BP=BE，CE=CP=CF.∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，∠FCE=2∠ACB=180°.D∴△DBE是等邊三角形，點(diǎn)F、C、E共線.E∴=BD=BP=10，=+=2=2.∵△ADF中，AD=AF=2，∠DAF=120°，AC∴∠ADF=∠AFD=30°.F∴DF=3AD=6.圖6∴EF2DF210DE2.∴∠=90°.DFE∵S多邊形BDAFE2SABCSDBESDFESDAF，∴2SABC3(10)2162162336.4222∴SABC336.B23）∠APB=150°.說(shuō)明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N.（如圖7）由（2）知∠DBE=2，∠DAF=o1802.1∵BD=BE=n，AD=AF=m，D2E∴∠DBM=，∠DAN=90o.3MP∴∠1=90o，∠3=.ANC∴=nsin，DN=mcos.DM∴DE=DF=EF.∴∠2=60°.F∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°.圖73.（1）∠BMD=3∠ADM（2）聯(lián)系CM，取CE的中點(diǎn)F，聯(lián)系MF，交DC于N∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴MF∥AE∥BC，∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，E∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4.F∵CE⊥A