§5.3平面線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)及相圖

5.3.1幾個(gè)線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)相圖5.3.2平面線性系統(tǒng)的初始奇點(diǎn)§5.3平面線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)及相圖5.3.1幾個(gè)線性系統(tǒng)的本節(jié)我們?nèi)钥紤]被稱為平面系統(tǒng)的二維自治系統(tǒng)(5.3.1)其中，在上連續(xù)且滿足解的存在唯一性條件。為了研究系統(tǒng)（5.3.1）的軌線的定性性態(tài)，本節(jié)我們?nèi)钥紤]被稱為平面系統(tǒng)的二維自治系統(tǒng)(5.3.1)其中必須弄清其奇點(diǎn)及其鄰域內(nèi)的軌線分布。比如上節(jié)我們已知系統(tǒng)的任何出發(fā)于常點(diǎn)的軌線，不可能在任一有限時(shí)刻到達(dá)奇點(diǎn)。反過來如果系統(tǒng)的某一解，滿足：則點(diǎn)一定是系統(tǒng)的奇點(diǎn)。必須弄清其奇點(diǎn)及其鄰域內(nèi)的軌線分布。比如上節(jié)我們已知系統(tǒng)的任一般來說，奇點(diǎn)及其附近軌線的性態(tài)是比較復(fù)雜的。又因?yàn)閷?duì)于系統(tǒng)的任何奇點(diǎn)均可用變換(5.3.2)把（5.3.1）變?yōu)椋阂话銇碚f，奇點(diǎn)及其附近軌線的性態(tài)是比較復(fù)雜的。又因?yàn)閷?duì)于系統(tǒng)(5.3.3)且(5.3.3)的奇點(diǎn)即對(duì)應(yīng)于(5.3.1)的移變換，所以不改變奇點(diǎn)及鄰域軌線的性態(tài)。奇點(diǎn)。又因?yàn)樽儞Q(5.3.2)只是一個(gè)平因此，我們可假設(shè)是(5.3.1)的奇點(diǎn)，且(5.3.3)且(5.3.3)的奇點(diǎn)性態(tài)即可。所以設(shè)(5.3.1)中的右端函數(shù)滿足：(5.3.4)如果均是的線形函數(shù)。我們稱之為線性系統(tǒng)，即只須討論(5.3.1)的奇點(diǎn)及其鄰域的軌線(5.3.5)性態(tài)即可。所以設(shè)(5.3.1)中的右端函數(shù)滿足：(5.3.45.3.1

幾個(gè)線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)相圖一個(gè)自治系統(tǒng)在奇點(diǎn)鄰域的相圖對(duì)奇點(diǎn)鄰域軌線的性態(tài)有很大的幫助。Maple可以方便地畫出其圖形，給我們一個(gè)直觀的形象。Maple畫軌線圖時(shí)候先要調(diào)入微分方程的軟件包，接著定義方程，給出變量及其范圍，指定5.3.1幾個(gè)線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)相圖一個(gè)自治系統(tǒng)在奇點(diǎn)鄰域初值，再給出步長、顏色等?？磶讉€(gè)具體的例子。例5.3.1

用Maple描出系統(tǒng)(5.3.6)在奇點(diǎn)附近軌線的相圖。解用Maple解得相圖5.7。初值，再給出步長、顏色等。看幾個(gè)具體的例子。例5.3.15.3.2平面線性系統(tǒng)的初等奇點(diǎn)考慮到一般的平面線性系統(tǒng)（5.3.5）其中系數(shù)矩陣為常數(shù)矩陣

。5.3.2平面線性系統(tǒng)的初等奇點(diǎn)考慮到一般的平面線性系如果，則是系統(tǒng)這時(shí)的奇點(diǎn)稱為系統(tǒng)的高階奇點(diǎn)。下邊討論系統(tǒng)（5.3.5）的初等奇點(diǎn)。根據(jù)線性代數(shù)的理論，必定存在非奇異實(shí)矩陣，使得成為的若當(dāng)?shù)奈┮坏钠纥c(diǎn)，這個(gè)奇點(diǎn)稱為孤立奇點(diǎn).而則稱非為孤立奇點(diǎn),而非孤立奇點(diǎn)充滿一條直線，如果（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型，且若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的形式由的特征根的不同情況而具有以下幾種形式：因而對(duì)系統(tǒng)（5.3.5）作變換即，其中（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型，且若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的形式由的特征根的不同情是上邊所說的實(shí)可逆矩陣，則系統(tǒng)(5.3.5)變?yōu)?(5.3.10)從而變換的幾種形式就能容易的得出平面系統(tǒng)（5.3.10）的軌線結(jié)構(gòu)，至于是上邊所說的實(shí)可逆矩陣，則系統(tǒng)(5.3.5)變?yōu)?(5.3原方程組(5.3.5)的奇點(diǎn)及附近的軌線結(jié)構(gòu)只須用變換返回到就行了。由于變換不改變奇點(diǎn)的位置與類型，因此我們只對(duì)線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)方程組給出討論。原方程組(5.3.5)的奇點(diǎn)及附近的軌線結(jié)構(gòu)只須用變換記設(shè)的特征方程為：則特征方程為，特征根為(5.3.11)記設(shè)的特征方程為：則特征方程為由特征根的不同情況分為四種情況來討論:1.特征根為不相等的同號(hào)實(shí)根此時(shí)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.12)容易求出其通解為由特征根的不同情況分為四種情況來討論:1.特征根為不相等的（5.3.13）其中是任意常數(shù)，對(duì)應(yīng)于零解，對(duì)應(yīng)的軸正負(fù)半軸都是軌線；對(duì)應(yīng)的軸正負(fù)半軸是軌線；當(dāng)時(shí)候，再分兩種情況討論：（1），同號(hào)且均為負(fù)數(shù)

（5.3.13）其中是任意常數(shù)，這時(shí)消去得（5.3.14）所以軌線均為以頂點(diǎn)的拋物線，且當(dāng)時(shí)由這時(shí)消去得（5.3.14）所以軌線均為以我們可知：當(dāng)時(shí)即切線切軸趨于點(diǎn)。當(dāng)時(shí)我們可知：當(dāng)時(shí)即切線切軸即切線切軸趨于點(diǎn)。且由于(5.3.14)知此時(shí)原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)及附近的相圖如下圖所示：圖5.11(a)圖5.11(b)我們把這樣的奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。（2），同號(hào)均為正數(shù)即切線切軸趨于點(diǎn)。且由于(這時(shí)關(guān)于(1)的討論在此適用只需將改為所以此時(shí)的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，軌線分布如圖5.11類似，僅是圖上的箭頭反向。2.

為異號(hào)實(shí)根

這時(shí)仍有(5.3.13)和(5.3.14)，所以兩個(gè)坐標(biāo)軸的正負(fù)半軸仍為軌線，但是由于，奇點(diǎn)附近這時(shí)關(guān)于(1)的討論在此適用只需將改為的軌線成為雙曲線的且若，則當(dāng)時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，軌線均以軸軸為漸近線，系統(tǒng)在原點(diǎn)及附近的軌線分布如:圖5.12(a)圖5.12(b)的軌線成為雙曲線的且若，這種奇點(diǎn)成為鞍點(diǎn)，它是不穩(wěn)定奇點(diǎn)。3.為重根

這時(shí)由Jordan塊的不同分為兩種：(1)標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.15)這種奇點(diǎn)成為鞍點(diǎn)，它是不穩(wěn)定奇點(diǎn)。3.為重根這時(shí)由Jor且當(dāng)時(shí)，即是漸近穩(wěn)定的；反之，當(dāng)時(shí)為不穩(wěn)定的。此時(shí)的奇點(diǎn)稱為臨界結(jié)點(diǎn)（星形結(jié)點(diǎn)），且當(dāng)時(shí)，即是漸近(2)若Jordan塊為二階時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.16)其通解為(5.3.17)(2)若Jordan塊為二階時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.16)其通仍對(duì)應(yīng)的是零件即奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是軸為軌線，但是軸不再是軌線，時(shí)消去得出：(5.3.18)由上式知：又因?yàn)槿詫?duì)應(yīng)的是零件即奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是軸為軌線，但是所以有因此所有軌線均切軸于點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為退化結(jié)點(diǎn)。且當(dāng)時(shí)為穩(wěn)定的退化結(jié)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)為不穩(wěn)定的退化結(jié)點(diǎn)。所以有因此所有軌線均切軸于4.這時(shí)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.19)取極坐標(biāo)變換

,(5.3.19)即化為:4.這時(shí)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.19)取極坐標(biāo)變換(5.3.20)下邊分兩種情況:（1）此時(shí)解(5.3.20)得出(5.3.20)下邊分兩種情況:（1）此時(shí)解(5.3.20)其中是任意常數(shù)，消去得這是一族對(duì)數(shù)螺線，這樣的奇點(diǎn)稱為焦點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)是穩(wěn)定焦點(diǎn)，時(shí)是不穩(wěn)定焦點(diǎn)，的正負(fù)決定了增加時(shí)軌線是順時(shí)針還是逆時(shí)針繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的。其中是任意常數(shù)，消去得這是一族(2)這時(shí)特征值是一對(duì)純虛數(shù),于是系統(tǒng)在極坐標(biāo)下的通解為：為任意的常數(shù)且。顯然這是一族以原點(diǎn)為中心的同心圓，這樣的奇點(diǎn)稱為中心，(2)這時(shí)特征值是一對(duì)純虛數(shù),于是系統(tǒng)在極坐標(biāo)下的通解為：為中心是穩(wěn)定奇點(diǎn)但不是漸近穩(wěn)定的。歸納上邊的討論得出，系統(tǒng)(5.3.5)的奇點(diǎn)是初等奇點(diǎn)時(shí)候根據(jù)它的系數(shù)矩陣的特征方程(5.3.11)有如下分類：1）當(dāng)時(shí)，為鞍點(diǎn)；2）當(dāng)且時(shí)是結(jié)點(diǎn)且是穩(wěn)中心是穩(wěn)定奇點(diǎn)但不是漸近穩(wěn)定的。歸納上邊的討論得出，系統(tǒng)(5定的，不穩(wěn)定的；3)當(dāng)且時(shí)是臨界結(jié)點(diǎn)或退化結(jié)點(diǎn),且是穩(wěn)定的，是不穩(wěn)定的；4)當(dāng)時(shí)是焦點(diǎn)且為穩(wěn)定的，為不穩(wěn)定的;5)當(dāng)且時(shí)，是中心。定的，不穩(wěn)定的；3)當(dāng)且由此知道參數(shù)平面，被軸，正軸別對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的鞍點(diǎn)區(qū)，焦點(diǎn)區(qū)，結(jié)點(diǎn)區(qū)，及曲線分成了幾個(gè)區(qū)域，分中心區(qū)，退化和臨界結(jié)點(diǎn)區(qū)等等，點(diǎn)。但是平面的軸對(duì)應(yīng)的是系統(tǒng)的高階奇由此知道參數(shù)平面，被軸，正例5.3.6

畫出下面的線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)附近相圖解容易算出所以是系統(tǒng)的鞍點(diǎn)。例5.3.6畫出下面的線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)附近相圖解容易算我們求解如下：(當(dāng)時(shí))得到.同樣的可以分析畫出奇點(diǎn)附近的軌線分布如圖5.18所表示。我們求解如下：(當(dāng)平面線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)及相圖課件xyOxyOxyOxyOOxyOxyyxyxyxyx平面線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)及相圖課件§5.3平面線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)及相圖

5.3.1幾個(gè)線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)相圖5.3.2平面線性系統(tǒng)的初始奇點(diǎn)§5.3平面線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)及相圖5.3.1幾個(gè)線性系統(tǒng)的本節(jié)我們?nèi)钥紤]被稱為平面系統(tǒng)的二維自治系統(tǒng)(5.3.1)其中，在上連續(xù)且滿足解的存在唯一性條件。為了研究系統(tǒng)（5.3.1）的軌線的定性性態(tài)，本節(jié)我們?nèi)钥紤]被稱為平面系統(tǒng)的二維自治系統(tǒng)(5.3.1)其中必須弄清其奇點(diǎn)及其鄰域內(nèi)的軌線分布。比如上節(jié)我們已知系統(tǒng)的任何出發(fā)于常點(diǎn)的軌線，不可能在任一有限時(shí)刻到達(dá)奇點(diǎn)。反過來如果系統(tǒng)的某一解，滿足：則點(diǎn)一定是系統(tǒng)的奇點(diǎn)。必須弄清其奇點(diǎn)及其鄰域內(nèi)的軌線分布。比如上節(jié)我們已知系統(tǒng)的任一般來說，奇點(diǎn)及其附近軌線的性態(tài)是比較復(fù)雜的。又因?yàn)閷?duì)于系統(tǒng)的任何奇點(diǎn)均可用變換(5.3.2)把（5.3.1）變?yōu)椋阂话銇碚f，奇點(diǎn)及其附近軌線的性態(tài)是比較復(fù)雜的。又因?yàn)閷?duì)于系統(tǒng)(5.3.3)且(5.3.3)的奇點(diǎn)即對(duì)應(yīng)于(5.3.1)的移變換，所以不改變奇點(diǎn)及鄰域軌線的性態(tài)。奇點(diǎn)。又因?yàn)樽儞Q(5.3.2)只是一個(gè)平因此，我們可假設(shè)是(5.3.1)的奇點(diǎn)，且(5.3.3)且(5.3.3)的奇點(diǎn)性態(tài)即可。所以設(shè)(5.3.1)中的右端函數(shù)滿足：(5.3.4)如果均是的線形函數(shù)。我們稱之為線性系統(tǒng)，即只須討論(5.3.1)的奇點(diǎn)及其鄰域的軌線(5.3.5)性態(tài)即可。所以設(shè)(5.3.1)中的右端函數(shù)滿足：(5.3.45.3.1

幾個(gè)線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)相圖一個(gè)自治系統(tǒng)在奇點(diǎn)鄰域的相圖對(duì)奇點(diǎn)鄰域軌線的性態(tài)有很大的幫助。Maple可以方便地畫出其圖形，給我們一個(gè)直觀的形象。Maple畫軌線圖時(shí)候先要調(diào)入微分方程的軟件包，接著定義方程，給出變量及其范圍，指定5.3.1幾個(gè)線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)相圖一個(gè)自治系統(tǒng)在奇點(diǎn)鄰域初值，再給出步長、顏色等?？磶讉€(gè)具體的例子。例5.3.1

用Maple描出系統(tǒng)(5.3.6)在奇點(diǎn)附近軌線的相圖。解用Maple解得相圖5.7。初值，再給出步長、顏色等。看幾個(gè)具體的例子。例5.3.15.3.2平面線性系統(tǒng)的初等奇點(diǎn)考慮到一般的平面線性系統(tǒng)（5.3.5）其中系數(shù)矩陣為常數(shù)矩陣

。5.3.2平面線性系統(tǒng)的初等奇點(diǎn)考慮到一般的平面線性系如果，則是系統(tǒng)這時(shí)的奇點(diǎn)稱為系統(tǒng)的高階奇點(diǎn)。下邊討論系統(tǒng)（5.3.5）的初等奇點(diǎn)。根據(jù)線性代數(shù)的理論，必定存在非奇異實(shí)矩陣，使得成為的若當(dāng)?shù)奈┮坏钠纥c(diǎn)，這個(gè)奇點(diǎn)稱為孤立奇點(diǎn).而則稱非為孤立奇點(diǎn),而非孤立奇點(diǎn)充滿一條直線，如果（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型，且若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的形式由的特征根的不同情況而具有以下幾種形式：因而對(duì)系統(tǒng)（5.3.5）作變換即，其中（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型，且若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的形式由的特征根的不同情是上邊所說的實(shí)可逆矩陣，則系統(tǒng)(5.3.5)變?yōu)?(5.3.10)從而變換的幾種形式就能容易的得出平面系統(tǒng)（5.3.10）的軌線結(jié)構(gòu)，至于是上邊所說的實(shí)可逆矩陣，則系統(tǒng)(5.3.5)變?yōu)?(5.3原方程組(5.3.5)的奇點(diǎn)及附近的軌線結(jié)構(gòu)只須用變換返回到就行了。由于變換不改變奇點(diǎn)的位置與類型，因此我們只對(duì)線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)方程組給出討論。原方程組(5.3.5)的奇點(diǎn)及附近的軌線結(jié)構(gòu)只須用變換記設(shè)的特征方程為：則特征方程為，特征根為(5.3.11)記設(shè)的特征方程為：則特征方程為由特征根的不同情況分為四種情況來討論:1.特征根為不相等的同號(hào)實(shí)根此時(shí)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.12)容易求出其通解為由特征根的不同情況分為四種情況來討論:1.特征根為不相等的（5.3.13）其中是任意常數(shù)，對(duì)應(yīng)于零解，對(duì)應(yīng)的軸正負(fù)半軸都是軌線；對(duì)應(yīng)的軸正負(fù)半軸是軌線；當(dāng)時(shí)候，再分兩種情況討論：（1），同號(hào)且均為負(fù)數(shù)

（5.3.13）其中是任意常數(shù)，這時(shí)消去得（5.3.14）所以軌線均為以頂點(diǎn)的拋物線，且當(dāng)時(shí)由這時(shí)消去得（5.3.14）所以軌線均為以我們可知：當(dāng)時(shí)即切線切軸趨于點(diǎn)。當(dāng)時(shí)我們可知：當(dāng)時(shí)即切線切軸即切線切軸趨于點(diǎn)。且由于(5.3.14)知此時(shí)原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)及附近的相圖如下圖所示：圖5.11(a)圖5.11(b)我們把這樣的奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。（2），同號(hào)均為正數(shù)即切線切軸趨于點(diǎn)。且由于(這時(shí)關(guān)于(1)的討論在此適用只需將改為所以此時(shí)的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，軌線分布如圖5.11類似，僅是圖上的箭頭反向。2.

為異號(hào)實(shí)根

這時(shí)仍有(5.3.13)和(5.3.14)，所以兩個(gè)坐標(biāo)軸的正負(fù)半軸仍為軌線，但是由于，奇點(diǎn)附近這時(shí)關(guān)于(1)的討論在此適用只需將改為的軌線成為雙曲線的且若，則當(dāng)時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，軌線均以軸軸為漸近線，系統(tǒng)在原點(diǎn)及附近的軌線分布如:圖5.12(a)圖5.12(b)的軌線成為雙曲線的且若，這種奇點(diǎn)成為鞍點(diǎn)，它是不穩(wěn)定奇點(diǎn)。3.為重根

這時(shí)由Jordan塊的不同分為兩種：(1)標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.15)這種奇點(diǎn)成為鞍點(diǎn)，它是不穩(wěn)定奇點(diǎn)。3.為重根這時(shí)由Jor且當(dāng)時(shí)，即是漸近穩(wěn)定的；反之，當(dāng)時(shí)為不穩(wěn)定的。此時(shí)的奇點(diǎn)稱為臨界結(jié)點(diǎn)（星形結(jié)點(diǎn)），且當(dāng)時(shí)，即是漸近(2)若Jordan塊為二階時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.16)其通解為(5.3.17)(2)若Jordan塊為二階時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.16)其通仍對(duì)應(yīng)的是零件即奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是軸為軌線，但是軸不再是軌線，時(shí)消去得出：(5.3.18)由上式知：又因?yàn)槿詫?duì)應(yīng)的是零件即奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是軸為軌線，但是所以有因此所有軌線均切軸于點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為退化結(jié)點(diǎn)。且當(dāng)時(shí)為穩(wěn)定的退化結(jié)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)為不穩(wěn)定的退化結(jié)點(diǎn)。所以有因此所有軌線均切軸于4.這時(shí)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.19)取極坐標(biāo)變換

,(5.3.19)即化為:4.這時(shí)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型為(5.3.19)取極坐標(biāo)變換(5.3.20)下邊分兩種情況:（1）此時(shí)解(5.3.20)得出(5.3.20)下邊分兩種情況:（1）此時(shí)解(5.3.20)其中是任意常數(shù)，消去得這是一族對(duì)數(shù)螺線，這樣的奇點(diǎn)稱為焦點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)是穩(wěn)定焦點(diǎn)，時(shí)是不穩(wěn)定焦點(diǎn)，的正負(fù)決定了增加時(shí)軌線是順時(shí)針還是逆時(shí)針繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的。其中是任意常數(shù)，消去得這是一族(2)這時(shí)特征值是一對(duì)純虛數(shù),于是系統(tǒng)在極坐標(biāo)下的通解為：為任意的常數(shù)且。顯然這是一族