PAGEPAGE12數(shù)列中的構(gòu)造問題題型一形如a＝pan1a＝pa其中an＋1 n 11(2022·aa＝5，a＝3a－4，a}的通項(xiàng)公式．解由a＝3a－4，

n 1 n＋1 n nn＋1 na－2＝3(a－2)，na－2a所以n＋1a－2n

＝3.a＝5，a－2}是以a－2＝31 n 1a－2＝3n，所以a＝3n＋2.n n2a＝pan＋1 n例2a}滿足a＝2a＋1(N*a＝3，a}的通項(xiàng)公式．n n 1 n解∵a＝2an＋1 n∴a－(n＋1)＝2(an＋1 na－∴

a－n ＝2，naa－1＝2n 1∴a＝2·－＝2，n∴an3a＝pan＋1 n3在數(shù)列{a}中，a＝－1，a＝2a＋4·3n－1an 1 n＋1 n n解方法一原遞推式可化為a·3＝2a·－1)．①n＋1 n比較系數(shù)得λ＝－4，①式即是a－4·3n＝2(a－4·3n－1)．n＋1 na－4·3n－1}是首項(xiàng)為a－4·31－1＝－52n 1∴a－4·3n－1＝－5·2n－1，na＝4·3n－1－5·2n－1.n

a 2a 4a＝2a＋4·3n－13n＋1

n＋1＝

·，n＋1 na

3n＋1

33n 32b＝n 3nb 2 4則 ＝b＋，n＋1 3n 9設(shè)b k2bk k 4 ＋＝n＋1 34b－

＋)，比較系數(shù)得n

＝－，3n＋1 32b則 ＝4 3b－n 3b－ b － 4 5 2 4 5b－ b － ∴ 是以－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．∴－＝ · n 3 3452

n 3 3 3則b＝－·－1，n 333∴a＝3n·b＝4·3n－1－5·2n－1.n n思維升華(1)形如a＝αa的遞推式可用構(gòu)造法求通項(xiàng)，構(gòu)造法的n＋1 n基本原理是在遞推關(guān)系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差數(shù)列或等比數(shù)列．(2)a＝αa＋βa＝αa兩n n＋1 na αa β β邊同時除以＋1后得到

n＋1＝

·nb

＝kb＋(k≠0,1)的形式，通過構(gòu)＋1

γβ

n＋1 n γ造公比是kb－γ1－k求解．n 1(1)(2022·a＝2an 1列{a的通項(xiàng)公式( )nA．a(chǎn)＝－3×2n－1 B．a(chǎn)＝3×2n－1

nn nC．a(chǎn)＝5n＋3×2n－1 D．a(chǎn)＝5n－3×2n－1n n答案D解析方法一將遞推公式＝2a＋3×5n5n＋1，n＋1a

n2a3得n＋1＝·n＋，①5n＋1a

55n 52 3令n＝b，則①式變?yōu)閎＝b＋，5n n－1＝(－1)，即b 2b－1＝(－1)，

n＋1

5n 5n＋1 5nb－1}是首項(xiàng)為na 3－1＝1

1－1＝－，5 52公比為的等比數(shù)列，5 3 所以b－ 3 n 5 532 3×2n－1即b1－－1＝1－ ，n 55 5na＝5n－3×2n－1.n方法二設(shè)a＋×＋＝2(a＋×5n＋1 n則a＝2a－3k×5n，n＋1 n與題中遞推公式比較得k＝－1，即a－5＋＝2(a－5)，n＋1 na}是首項(xiàng)為a－5＝－3，n 12a－5n＝－3×2n－1，na＝5n－3×2n－1.n(2)(2022·a}的前n項(xiàng)和為S，已知a

－S∈N，則數(shù)列n{a}的通項(xiàng)公式．n答案a2－1N*n

n 1 n解析因?yàn)镾－2S＝1，n＋1 nS＝2S＋1.nS＋1＝2(S＋1)，na＝S＝1，S＋1＝2，1 1 1所以{S＋12，2nS＋1＝2n，S＝2n－1.n n當(dāng)≥2a＝SS21，a＝1也滿足此式，n n n－1 1所以a＝21，N*.n題型二相鄰項(xiàng)的差為特殊數(shù)列(形如a

＝pa＋qa

，其中a＝b型)n＋1 n n－1 1 24已知在數(shù)列{a＝5，a＝2，a＝2a

＋3a

(n≥3)，求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．n 1解∵a＝2a＋3a，

2 n n－1

n－2n n－1∴a＋a＝3(a

n－2＋a)，n n－1

n－1

n－2a＋a＝7，1 2∴{a＋a7，3n n－1則a＋a＝7×3n－2，①n n－1a－3a

＝－(a

－3a)，n n－1

n－1

n－2a－3a＝－13，2 1∴{a－3an n－1則a－3a＝(－13)·(－1)n－2，②n n－1①×3＋②＝7×3n－1＋13·(－1)n－1，n7 13∴a＝×3n－1＋(－1)n－1.n 4 4思維升華可以化為a－xa＝x(a－xa

)，其中x

是方程p＝0的兩個根，n＋1

1n 2

1n－1 1 21a－a}，若1取消元的方法求數(shù)列{a}．n

n 2(1a＝2，且滿足a

＝2a

a(N*a}的通n 1 4項(xiàng)公式．

n＋2

n＋1 n n答案a102(N)n解析由題意知，a－a＝a

－a，n＋2所以{a}為等差數(shù)列．n

n＋1

n＋1 n設(shè)公差為2＝8＋3dan(2)aa＝1，a＝3，a

＝3a

－2a，則a.n 1 2答案2n－1

n＋2

n＋1 n n解析由題意知，a

－a＝2(a

－a)，n＋2

n＋1

n＋1 n∵a－a＝2，∴{a－a

22－a

－1≥2)，2 1

n－1

n n－1a＝(a－a

)＋(a－a

)＋…＋(a－a)＋an n

n－1

n－2

2 1 1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋11－2n＝1－2＝2n－1.∴a＝2n－1.n

形如a

＝pann題型三倒數(shù)為特殊數(shù)列

n＋1

ra＋sn5(1a}中，a＝1，a

2a＝ n，則a＝ .n 12答案n＋12a解析∵a＝ n，a＝1，

n＋1

a＋2 nnn＋1

a＋2 1n＝＋，∴a≠0，∴1 11＝＋，n a a2n＋1 n1 112即a－a＝，2n＋1 na＝1，則

＝1，1 a11 1∴a1n1 n

21n1∴an

－1)×＝＋，2222∴a＝n

(N)．n ＋1a(2)已知在數(shù)a中，a＝，a＝ n N)，則a＝ .n 1 n＋12答案

a＋3 nn2×3n－1－11解析∵

1＝3·＋1，a an＋1 n1 1 1 11∴a＋＝3a＋，a＋＝1，2 2 2n＋1 n 111∴a1n211a∴＋＝3n－1，a2n1 1a∴＝3n－1－，a2n∴a＝ 2 )．*n 2×3n－1－11思維升華兩邊同時取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為

s1r＝·＋的形式，化歸為b

＝pb

1型，求出的表達(dá)式，再求a.n

an＋1x

papn

n＋1 n an跟蹤訓(xùn)練3(1已知函數(shù))＝ 數(shù){a滿足aa＝a)N)則數(shù){a}3x＋1

n 1 n n的通項(xiàng)公式．1答案a＝ (N)n a解析由已知得＝ n ，n＋1

3a＋1n1 1 1 1∴a＝a＋3，a－a＝3，n＋1 n n＋1 n1 1aa＝1

d＝3的等差數(shù)列，11 n n∴an

－1)×3＝3

－2.a＝1)．*n a(2)已知數(shù){a}滿足a＝1，a＝ n ，則a＝ .n 1 n＋11答案

2na＋1 n2－＋1解析對遞推關(guān)系兩邊取倒數(shù)，1 2na＋11a得a＝ n ＝aan＋1 n n即1 1 na－a＝2，n＋1 n分別用1,2,3，…，n－1替換n，有1 1a－a＝2×1，2 11 1a－a＝2×2，3 21 1a－a＝2×3，…，4 31－1aan n－1以上n－1個式子相加，1 1 n nn得a－a＝2[1＋2＋3＋…－1)]＝(－1)，n 11a＝2＋1.n所以a＝ 1 .n 2－＋1課時精練1．?dāng)?shù){a}滿足a＝4a＋3(n≥2)且a＝0，則此數(shù)列第5項(xiàng)( )n n n－1 1A．15 B．255C．16 D．63答案B解析∵a＝4a＋3(n≥2)，n ∴a＋1＝4(a＋1)(n≥2)，n n－1∴{a＋11na＋1＝4n－1.n∴a＝4n－1－1，n∴a＝44－1＝255.52．(2022·aa＝2，a

＝a＋6N*blog(a＋2b＋b＋…＋b

n 1 n＋1 n

n 2 n則1 22022

2022等( )A．2020C．2022答案D解析∵a

＝a＋6N*，

B．2021D．2023n∴a＋2＝4a＋6＋2＝4(a＋2)>0，n＋1 n na＋2即n＋1即an

＝4a＝2，1a＋24nanb＝loga＋2)得，n 2 nb＝logn 2b}的前n項(xiàng)和為S，n n則S＝2(1＋2＋3＋…＋2021＋2022)2022＝2022×2023，b＋b＋…＋b

2022×2023∴1 22022

2022＝

2022

＝2023.3．(2022·a＝a＝3a

＋4a

(n≥3)，則a＋a等于n 1 2( )

n

n－2

9 10A．47 B．48C．49答案C解析由題意得a＋a＝4，1 2由a＝3a＋4a(n≥3)，

D．410n n－1 得a＋a＝4(a＋a)，n n－1

n－1

n－2a＋a即a

n－1＝4(n≥3)，＋an－1 a＋a44n a＋a＝49.9 104．a(chǎn)a＝，a2a，N，則

等( )n 1 n＋1 n 4A．64 B．56C．32答案C

a a1

D．24a＝2a＋2n

n＋1－

n＝，na1

2n＋1

2n 2而1＝，22a 1 1∴數(shù)列n是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，2 2a1 1n∴n＝＋(n－1)×＝，2n 2 22∴a·2－1，a＝4×4－132.n 4a 1 5．(2022·德州模)已知數(shù){a}滿足a1，a＝ n N．若b＝log ＋，則數(shù)列的通項(xiàng)公式

n等( )

1

a＋2n

n a nn n1n2C．nD．2n答案Ca

a＝ n ，1 2

a＋2n得a＝1＋a，n＋11所以

n1＋，a＋1＝2a n＋1 n1又a＋1＝2，11 a＋122n 1a＋1＝2·2n－1＝2n，n1 所以b＝log ＋1＝log1 n a 2n6．a(chǎn)3a－2a＝a

(≥2N)，且a＝a＝202，則

等( )n2022A.312022C.63

n n－1

n＋12022332022D.65

1 6 2答案A解析由a－aa≥2N*n n－1 n＋1可得2(a－a)＝a－a，n n－1 n＋1 n若a－a＝0，n n－1a＝a＝…＝a，與題中條件矛盾，6 5 1故a－a≠0，n n－1a－a所以n＋1

n＝2，a－an n－1a－a}是以a

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，n＋1 n 2 1a－a＝a·2n－1，n 2所以a－a＝a－aaa＋aa＋aaaaa·0＋a·2a·22a·2＋a·46 1 2 1 3

4 3

4 6 5

2 2 2 2＝31a＝2022，2a2022所以＝ .2 317．(多已知數(shù){a滿足a＝1,4a＝3a則下列結(jié)論正確的( )a13

n 1 n＋1 nA．3＝8a29B．3＝8{an{a＋2}不可能是等比數(shù)列n答案ACD解析∵a＝1,4a＝3a－n＋4，1 n＋1 na3a13∴＝，＝，故A正確，B錯誤；2 2 3 8∵4a＝3an＋1 na 3 1∴ ＝a－n＋1 4n 4∴an＋13 1＝a－4n 43 3＝a＋4n 4an＝(n

－8)，又∵a＋1－8＝－6，1an 3∴數(shù)列{

＋－8}是首項(xiàng)為－6，公比為的等比數(shù)列，故C正確；n 4∵a

7＋2＝，a

29＋2＝，1 2 2 3 8顯然(a＋22a＋2)a＋22 1 3∴{a＋2}不可能是等比數(shù)列，故Dna8(多已知數(shù)a滿足a，a＝ n N*，則下列結(jié)論正確的( )1

n 1

2＋3ana為等比數(shù)列n {a}的通項(xiàng)公式為a＝ 1n{a}為遞增數(shù)列n1

n 2n－1－3 的前n項(xiàng)和T＝2＋－－4nan答案AD解析因?yàn)閍

na＝ n ，n＋1

2＋3an1 2＋3a 2a＝a＋3，n＋11所以

n n1＋，a＋3＝2a n＋1 n1且a＋3＝4≠0，11 1a＋34a＋3＝4×2n－1，n n1a＝2n＋1－3，n可得a＝ 1 ，n 2n＋1－3故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；1a＝2n＋1－3n所以a＝ 1 單調(diào)遞減，n 2n＋1－3即{a}為遞減數(shù)列，故選項(xiàng)Cn1 的前n項(xiàng)和T(223)(2－3＋3)(2＋22＋nna nn1－2n＝2×1－2－3＝2＋－3－4.故選項(xiàng)D正確．9．已知數(shù){a}中，a＝1，a＝3a＋3n，則a＝ .n 1答案 405

n＋1 n 5解析∵a＝3ana a1∴

n＝，3n＋1 3n 3a 1∴數(shù)列n是等差數(shù)列，公差為，3a 1又1＝33a1 1n∴n＝＋(n－1)×＝，3n 3 33∴a·3－1，a＝5×＝405.n 53 3a 3n已知數(shù){a}滿足a＝，a＝ n，若c＝，則c＝ .n答案(1)31

1 2

a＋3n

n a nn3 3a解析因?yàn)閍＝，a＝ n，1 2

a＋3na＝a1 a＋311a＝a所以a

n ＝＋3 3n＋