第三講解方程與函數(shù)極值

方程問題和極值問題始終是數(shù)學(xué)問題中的核心問題！??！第三講解方程與函數(shù)極值方程問題和極值問題始終是數(shù)學(xué)問題中1學(xué)習(xí)內(nèi)容多項(xiàng)式運(yùn)算線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題的數(shù)值解法函數(shù)極值線性插值學(xué)習(xí)內(nèi)容多項(xiàng)式運(yùn)算2（一）多項(xiàng)式的表示方法對(duì)于多項(xiàng)式的表達(dá)式約定如下對(duì)于多項(xiàng)式對(duì)于上述多項(xiàng)式一般用以下行向量表示（一）多項(xiàng)式的表示方法對(duì)于多項(xiàng)式的表達(dá)式約定如下3（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建1.系數(shù)向量直接輸入法由于MATLAB中多項(xiàng)式是以向量形式存儲(chǔ)的,因此最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式輸入即向量輸入。例:輸入多項(xiàng)式>>p=[1-56-33]；>>poly2sym(p)%此函數(shù)將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換換為符號(hào)多項(xiàng)式（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建1.系數(shù)向量直接輸入法4（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建2.特征多項(xiàng)式輸入法

多項(xiàng)式創(chuàng)建的另一途徑是從矩陣求其特征多項(xiàng)式獲得，由函數(shù)poly實(shí)現(xiàn)例如：>>a=[123;234;345]>>p1=poly(a)%矩陣a對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式>>poly2sym(p1)%將多項(xiàng)式p1轉(zhuǎn)換為符號(hào)多項(xiàng)式（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建2.特征多項(xiàng)式輸入法5（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建3.由根創(chuàng)立多項(xiàng)式給定的根也可產(chǎn)生其相應(yīng)的多項(xiàng)式,此功能還是由函數(shù)poly實(shí)現(xiàn)例：>>root=[-5-3+4i-3-4i];>>p=poly(root)>>poly2sym(p)注：若要生成實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,則根中的復(fù)數(shù)比為對(duì)稱共軛復(fù)數(shù)（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建3.由根創(chuàng)立多項(xiàng)式6（三）多項(xiàng)式運(yùn)算1.求多項(xiàng)式的值求多項(xiàng)式的值可以由兩種形式(1)輸入變量值代入多項(xiàng)式計(jì)算時(shí)是以數(shù)組為單元的,此時(shí)函數(shù)為polyval(2)以矩陣為計(jì)算單元,進(jìn)行矩陣式運(yùn)算以求的多項(xiàng)式的值,此時(shí)的函數(shù)為polyvalm注：這兩種計(jì)算在數(shù)值上由很大差別。當(dāng)進(jìn)行矩陣運(yùn)算時(shí),變量矩陣須為方陣。（三）多項(xiàng)式運(yùn)算1.求多項(xiàng)式的值7實(shí)例演示>>p=[11155125];b=[11;11];c=5>>poly2sym(p)>>polyval(p,b)>>poly(p,c)>>polyvalm(p,b)實(shí)例演示>>p=[11155125];b=[11;18（三）多項(xiàng)式運(yùn)算2.求多項(xiàng)式的根求多項(xiàng)式的根可以由兩種方法(1)直接調(diào)用MATLAB的函數(shù)roots求解多項(xiàng)式的所有根(2)通過(guò)建立多項(xiàng)式的伴隨矩陣再求其特征值的方法得到多項(xiàng)式的所有根（三）多項(xiàng)式運(yùn)算2.求多項(xiàng)式的根9實(shí)例演示用兩種方法解方程的所有根>>p=[2-56-19];>>roots(p)>>a=compan(p)%求多項(xiàng)式的特征矩陣>>eig(a)%求特征矩陣a的特征根實(shí)例演示用兩種方法解方程10（三）多項(xiàng)式運(yùn)算3.多項(xiàng)式的乘除法(1)多項(xiàng)式的乘法由函數(shù)conv來(lái)實(shí)現(xiàn),此函數(shù)同用于向量的卷積(2)多項(xiàng)式的除法由函數(shù)deconv來(lái)實(shí)現(xiàn),此函數(shù)與向量的解卷函數(shù)相同（三）多項(xiàng)式運(yùn)算3.多項(xiàng)式的乘除法11實(shí)例演示計(jì)算兩多項(xiàng)式的乘除法>>p=[2-56-19];>>poly2sym(p);>>d=[3-90-18];>>ploy2sym(d)>>pd=conv(p,d)%多項(xiàng)式p與d相乘>>poly2sym(pd)>>pl=deconv(pd,d)%多項(xiàng)式pd除以d實(shí)例演示計(jì)算兩多項(xiàng)式的乘除法12（三）多項(xiàng)式運(yùn)算4.多項(xiàng)式微分多項(xiàng)式的微分可以用函數(shù)polyer進(jìn)行例：>>p=[2-56-19]；poly2sym(p);>>Dp=polyer(p)（三）多項(xiàng)式運(yùn)算4.多項(xiàng)式微分13（三）多項(xiàng)式運(yùn)算5.多項(xiàng)式的擬合多項(xiàng)式擬合是多項(xiàng)式運(yùn)算的一個(gè)重要組成部分，在工程及科研工作中得到了廣泛的應(yīng)用，其一方面可以由矩陣的除法解超定方程來(lái)進(jìn)行;另一方面在MATLAB中還提供了專門的擬合函數(shù)polyfit,其調(diào)用格式如下：(1)polyfit(X,Y,n)%其中X,Y為擬合數(shù)據(jù),n為你和多項(xiàng)式的階數(shù)(2)[p,s]=polyfit(X,Y,n)%其中p為擬合多項(xiàng)式的系數(shù)向量，s為擬合多項(xiàng)式系數(shù)向量的結(jié)構(gòu)信息（三）多項(xiàng)式運(yùn)算5.多項(xiàng)式的擬合14實(shí)例演示例:用五階多項(xiàng)式對(duì)[0,pi/2]上的正弦函數(shù)進(jìn)行最小二乘擬合>>x=0:pi/20:pi/2;y=sin(x);>>a=ployfit(x,y,5);%用五階多項(xiàng)式擬合y=sin(x),a為你和多項(xiàng)式的系數(shù)>>x1=0:pi/30:pi/2;y1=sin(x1);>>y2=a(1)*x1.^5+a(2)*x1.^4+a(3)*x1.^3+a(4)*x1.^2+a(5)*x1.+a(6)>>plot(x1,y1,’b-’,x2,y2,’r*’)>>legend(‘原曲線‘，’擬合曲線‘)>>axis([0,7,-1.2,4])%坐標(biāo)軸的限制實(shí)例演示例:用五階多項(xiàng)式對(duì)[0,pi/2]上的正弦函數(shù)進(jìn)行最15第三講MATLAB解方程和函數(shù)極值課件16學(xué)習(xí)內(nèi)容多項(xiàng)式運(yùn)算線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題的數(shù)值解法函數(shù)極值線性插值學(xué)習(xí)內(nèi)容多項(xiàng)式運(yùn)算17線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的矩陣形式為AX=0其中A是m×n階矩陣；X為未知向量線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)18二、線性方程組求解1.直接解法（1）利用左除運(yùn)算符的直接解法對(duì)于線性方程組Ax=b，可以利用左除運(yùn)算符“\”求解:x=A\b例:用直接解法求解下列線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';x=A\b二、線性方程組求解1.直接解法19第三講MATLAB解方程和函數(shù)極值課件20二、線性方程組求解(2)利用矩陣的分解求解線性方程組矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積。常見的矩陣分解有:特征值分解,奇異值分解,LU分解,QR分解,Cholesky分解,Schur分解Hessenberg分解等下面將對(duì)他們一一介紹二、線性方程組求解(2)利用矩陣的分解求解線性方程組21a)特征值分解矩陣的特征值分解也調(diào)用函數(shù)eig,其調(diào)用格式為(1)[V,D]=eig(X)%得到矩陣X的特征值對(duì)角矩陣D和其列為對(duì)應(yīng)特征值的特征向量矩陣V,矩陣的特征值分解為X×V=V×D(2)[V,D]=eig(X,’nobalance’)%此形式為關(guān)閉平衡算法的求解方法.平衡算法對(duì)于某些問題可以得到更高的準(zhǔn)確度。(3))[V,D]=eig(A,B)%對(duì)矩陣A和B做廣義特征值分解,即A×V=B×V×Da)特征值分解矩陣的特征值分解也調(diào)用函數(shù)eig,其調(diào)用格式為22實(shí)例演示----矩陣的特征值分解單位陣的特征值分解a=[-149-50-154;537180546;-27-9-25][v,d]=eig(a)雙矩陣的特征值分解b=[2102;105-8;2-811];[v,d]=eig(a,b)實(shí)例演示----矩陣的特征值分解單位陣的特征值分解23附:復(fù)數(shù)特征值對(duì)角陣與實(shí)數(shù)特征值對(duì)角陣的轉(zhuǎn)換即使對(duì)于實(shí)陣,其特征值也可能出現(xiàn)復(fù)數(shù).而在實(shí)際使用中,常需要把這些共軛復(fù)數(shù)特征值轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)塊.MATLAB提供兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換(1)[V,D]=cdf2rdf(V,D)%將復(fù)數(shù)對(duì)角型轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)塊對(duì)角型(2)[U,T]=rdf2cdf(U,T)%將實(shí)數(shù)對(duì)角塊轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)對(duì)角型附:復(fù)數(shù)特征值對(duì)角陣與實(shí)數(shù)特征值對(duì)角陣的轉(zhuǎn)換即使對(duì)于實(shí)陣,其24實(shí)例演示----復(fù)數(shù)對(duì)角型矩陣與實(shí)數(shù)對(duì)角型矩陣的轉(zhuǎn)換a=[1-3;22/3];[v,d]=eig(a)%將矩陣a進(jìn)行特征值分解,其結(jié)果復(fù)對(duì)角型[vs,ds]=cdf2rdf(v,d)%將復(fù)對(duì)角型轉(zhuǎn)換為實(shí)對(duì)角型b=vs*ds/vs%其結(jié)果與a相等實(shí)例演示----復(fù)數(shù)對(duì)角型矩陣與實(shí)數(shù)對(duì)角型矩陣的轉(zhuǎn)換a=[125b)奇異值分解設(shè)矩陣A為一個(gè)m×n階的(實(shí))矩陣(m≥n),則存在正交矩陣V和U,使得:此式稱為A的奇異值分解矩陣奇異值分解可由函數(shù)svd實(shí)現(xiàn),其調(diào)用格式為(1)[U,S,V]=svd(X)(2)[U,S,V]=svd(X,0)作用:生成U,S,和V使得X=U×S×V’實(shí)例演示例：對(duì)矩陣a進(jìn)行奇異值分解>>a=[1;1];>>[U,S,V]=svd(a)注：進(jìn)行奇異值分解時(shí),矩陣的維數(shù)沒有限制b)奇異值分解設(shè)矩陣A為一個(gè)m×n階的(實(shí))矩陣(m≥n),26c)LU分解LU分解是高斯消去法的基礎(chǔ),它將一矩陣表示為一個(gè)交換下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積形式.線性代數(shù)中已經(jīng)證明,只要方陣A是非奇異的,LU分解總是可以進(jìn)行的。lu函數(shù)用于對(duì)矩陣進(jìn)行LU分解，其調(diào)用格式為(1)[L,U]=lu(X)----產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意,這里的矩陣X必須是方陣。

(2)[[L,U,P]=lu(X)----產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)下三角陣L以及一個(gè)置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當(dāng)然矩陣X同樣必須是方陣。實(shí)現(xiàn)LU分解后，線性方程組Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，這樣可以大大提高運(yùn)算速度。c)LU分解LU分解是高斯消去法的基礎(chǔ),它將一矩陣表示為一27實(shí)例演示例:用LU分解求解例1中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[L,U]=lu(A);X=U\(L\b)或采用LU分解的第2種格式，命令如下：[L,U,P]=lu(A);X=U\(L\P*b)實(shí)例演示例:用LU分解求解例1中的線性方程組。28第三講MATLAB解方程和函數(shù)極值課件29d)QR分解在求解矩陣的特征值時(shí),引入一種分解方法,即實(shí)陣A可以寫成A=Q×R,其中Q為一個(gè)正交矩陣和R為一個(gè)上三角矩陣.QR分解只能對(duì)方陣進(jìn)行.QR分解由函數(shù)qr實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為:(1)[Q,R]=qr(X):產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R,使之滿足X=QR。

(2)[[Q,R,E]=qr(X):產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q,一個(gè)上三角矩陣R以及一個(gè)置換矩陣E,使之滿足XE=QR。實(shí)現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。d)QR分解在求解矩陣的特征值時(shí),引入一種分解方法,即實(shí)陣A30實(shí)例演示例:用QR分解求解前例中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[Q,R]=qr(A);x=R\(Q\b)或采用QR分解的第2種格式，命令如下：[Q,R,E]=qr(A);x=E*(R\(Q\b))實(shí)例演示例:用QR分解求解前例中的線性方程組。31e)Cholesky分解如果矩陣X是對(duì)稱正定的,則Cholesky分解將矩陣X分解成一個(gè)對(duì)角元素為正的下三角矩陣R'和上三角矩陣R的乘積.使得X=R'×R.函數(shù)chol(X)用于對(duì)矩陣X進(jìn)行Cholesky分解,其調(diào)用格式為:(1)R=chol(X):產(chǎn)生一個(gè)上三角陣R,使R'R=X.若X為非對(duì)稱正定,則輸出一個(gè)出錯(cuò)信息。(2)[R,p]=chol(X):這個(gè)命令格式將不輸出出錯(cuò)信息.當(dāng)X為對(duì)稱正定的,則p=0,R與上述格式得到的結(jié)果相同;否則p為一個(gè)正整數(shù).如果X為滿秩矩陣,則R為一個(gè)階數(shù)為q=p-1階的上三角陣,且滿足R'R=X(1:q,1:q).實(shí)現(xiàn)Cholesky分解后,線性方程組Ax=b變成R'Rx=b,所以x=R\(R'\b)。e)Cholesky分解如果矩陣X是對(duì)稱正定的,則Chole32實(shí)例演示例:用Cholesky分解求解前例中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';R=chol(A)>>結(jié)果為???Errorusing==>cholMatrixmustbepositivedefinite%說(shuō)明A為非正定矩陣?可以執(zhí)行命令>>[R,p]=chol(X)>>x=R\(R'\b)實(shí)例演示例:用Cholesky分解求解前例中的線性方程組。332.迭代解法迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組.在數(shù)值分析中,迭代解法主要包括:Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。1．Jacobi迭代法:對(duì)于線性方程組Ax=b,如果A為非奇異方陣,即aii≠0(i=1,2,…,n),則可將A分解為A=D-L-U，其中D為對(duì)角陣,其元素為A的對(duì)角元素,L與U為A的下三角陣和上三角陣,于是AX=b化為:X=D-1(L+U)x+D-1b與之對(duì)應(yīng)的迭代公式為:X(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b這就是Jacobi迭代公式.如果序列{x(k+1)}收斂于x，則x必是方程Ax=b的解2.迭代解法迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組.在數(shù)值34附：Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m如下：function[y,n]=jacobi(A,b,x0,eps)ifnargin==3eps=1.0e-6;elseifnargin<3errorreturnendD=diag(diag(A));%求A的對(duì)角矩陣L=-tril(A,-1);%求A的下三角陣U=-triu(A,1);%求A的上三角陣B=D\(L+U);f=D\b;y=B*x0+f;n=1;%迭代次數(shù)whilenorm(y-x0)>=epsx0=y;y=B*x0+f;n=n+1;end附：Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m35例:用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。在命令中調(diào)用函數(shù)文件Jacobi.m，命令如下：A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];b=[9,7,6]';[x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)?。?！其他迭代法在此一律不在詳細(xì)說(shuō)明！??！例:用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為036學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題的數(shù)值解法函數(shù)極值線性插值學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解37二、非線性方程組的求解對(duì)于非線性方程組F(X)=0,用fsolve函數(shù)求其解.fsolve函數(shù)的調(diào)用格式為:X=fsolve('fun',X0,option)其中X為返回的解,fun是用于定義需求解的非線性方程組的函數(shù)文件名,X0是求根過(guò)程的初值,option為最優(yōu)化工具箱的選項(xiàng)設(shè)定.最優(yōu)化工具箱提供了20多個(gè)選項(xiàng).用戶可以使用optimset命令將它們顯示出來(lái).如果想改變其中某個(gè)選項(xiàng).則可以調(diào)用optimset()函數(shù)來(lái)完成.例如,Display選項(xiàng)決定函數(shù)調(diào)用時(shí)中間結(jié)果的顯示方式,其中‘off’為不顯示,‘iter’表示每步都顯示,‘final’只顯示最終結(jié)果.optimset(‘Display’,‘off’)將設(shè)定Display選項(xiàng)為‘off’.二、非線性方程組的求解對(duì)于非線性方程組F(X)=0,用fso38例:求下列非線性方程組在(0.5,0.5)附近的數(shù)值解。(1)建立函數(shù)文件myfun.m。functionq=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);(2)在給定的初值x0=0.5,y0=0.5下,調(diào)用fsolve函數(shù)求方程的根。x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off'))x=0.63540.3734例:求下列非線性方程組在(0.5,0.5)附近的數(shù)值解。39學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題的數(shù)值解法函數(shù)極值線性插值學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解40三、常微分方程初值問題的解法一、解析解求解微風(fēng)方程（組）的解析解的MATLAB命令為dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…,’x’)其中‘eqni’表示第i個(gè)方程與初始條件等式’x’表示微風(fēng)方程（組）中的自變量，默認(rèn)是自變量為t三、常微分方程初值問題的解法一、解析解41實(shí)例演示例1：求解一階微分方程的通解及x=0,y=1時(shí)的特解求通解：dsolve(‘Dy=1+y^2’,’x’)求特解：dsolve(‘Dy=1+y^2’,’y(0)=1’,’x’)例2：求解二階微分方程實(shí)例演示例1：求解一階微分方程的通42實(shí)例演示輸入命令：dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-(1/2)^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')結(jié)果為：pi^(1/2)*2^(1/2)/x^(1/2)*sin(x)上機(jī)練習(xí)：求方程組實(shí)例演示輸入命令：43二、數(shù)值解微分方程數(shù)值解的求法有多種,常用的主要是RungeKutta(龍格-庫(kù)塔法)和歐拉方法基于龍格－庫(kù)塔法，MATLAB提供了使用2階（3階）或4階（5階）龍格－庫(kù)塔公式，一般調(diào)用格式為：[t,y]=ode23(‘fname’,tspan,y0，options)[t,y]=ode45('fname',tspan,y0,options)其中fname是定義f(t,y)的函數(shù)文件名，tspan的取法有幾種，當(dāng)tspan=[t0,tf]時(shí),t0,tf分別表示自變量的初值和終值；當(dāng)tspan=[t0,t1,…,tf]時(shí)則輸出在指定時(shí)刻t0,t1,…,tf處給出；當(dāng)tspan=[t0:k:tf]時(shí)則輸出在[t0,tf]的等分點(diǎn)給出y0是函數(shù)的初值。[t,y]為輸出矩陣，分別表示自變量t和因變量y的取值二、數(shù)值解微分方程數(shù)值解的求法有多種,常用的主要是Runge44實(shí)例演示例求方程的數(shù)值解首先建立M函數(shù)文件：[jie3.m]functionf=jie3(x,y)f=x^2*D2y+x*Dy+(x^2-(1/2)^2)*y=0[x,y]=ode23(‘jie3’,[pi/2,pi]),[2,-2/pi]實(shí)例演示例求方程45實(shí)例演示用經(jīng)典的R-K方法求解解：編制函數(shù)文件：fun.mfunctionf=fun（x，y）f=-2*y+2*x.^2+2*x在MATLAB中輸入[x,y]=ode23(‘fun’,[0,0.5],1);實(shí)例演示用經(jīng)典的R-K方法求解46學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題的數(shù)值解法函數(shù)極值線性插值學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解47四、函數(shù)極值MATLAB提供了求解無(wú)約束條件函數(shù)極值的命令fminunc和fminuncs，它們分別用于單變量函數(shù)和多變量函數(shù)的最小值，其調(diào)用格式為：x=fminunc('fname',x1,x2)x=fminuncs('fname',x0)注：這兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式相似。其中fminunc函數(shù)用于求單變量函數(shù)的最小值點(diǎn)。fname是被最小化的目標(biāo)函數(shù)名，x1和x2限定自變量的取值范圍。fminuncs函數(shù)用于求多變量函數(shù)的最小值點(diǎn)，x0是求解的初始值向量。四、函數(shù)極值MATLAB提供了求解無(wú)約束條件函數(shù)極值的48實(shí)例演示例：求f(x)=x3-2x-5在[0,5]內(nèi)的最小值點(diǎn)。(1)建立函數(shù)文件mymin.m。functionfx=mymin(x)fx=x.^3-2*x-5;(2)調(diào)用fmin函數(shù)求最小值點(diǎn)。x=fminunc('mymin',0,5)x=0.8165實(shí)例演示例：求f(x)=x3-2x-5在[0,5]內(nèi)的最小49學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題的數(shù)值解法函數(shù)極值線性插值學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解50插值插值的定義——是對(duì)某些集合給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間函數(shù)的估值方法。當(dāng)不能很快地求出所需中間點(diǎn)的函數(shù)時(shí)，插值是一個(gè)非常有價(jià)值的工具。Matlab提供了一維、二維、三次樣條等許多插值選擇插值插值的定義——是對(duì)某些集合給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間函數(shù)的估值方法51插值函數(shù)table1——table2——intep1——interp2——spline——利用已知點(diǎn)確定未知點(diǎn)粗糙——精確集合大的——簡(jiǎn)化的插值函數(shù)插值函數(shù)table1——插值函數(shù)52第三講解方程與函數(shù)極值

方程問題和極值問題始終是數(shù)學(xué)問題中的核心問題?。。〉谌v解方程與函數(shù)極值方程問題和極值問題始終是數(shù)學(xué)問題中53學(xué)習(xí)內(nèi)容多項(xiàng)式運(yùn)算線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題的數(shù)值解法函數(shù)極值線性插值學(xué)習(xí)內(nèi)容多項(xiàng)式運(yùn)算54（一）多項(xiàng)式的表示方法對(duì)于多項(xiàng)式的表達(dá)式約定如下對(duì)于多項(xiàng)式對(duì)于上述多項(xiàng)式一般用以下行向量表示（一）多項(xiàng)式的表示方法對(duì)于多項(xiàng)式的表達(dá)式約定如下55（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建1.系數(shù)向量直接輸入法由于MATLAB中多項(xiàng)式是以向量形式存儲(chǔ)的,因此最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式輸入即向量輸入。例:輸入多項(xiàng)式>>p=[1-56-33]；>>poly2sym(p)%此函數(shù)將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換換為符號(hào)多項(xiàng)式（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建1.系數(shù)向量直接輸入法56（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建2.特征多項(xiàng)式輸入法

多項(xiàng)式創(chuàng)建的另一途徑是從矩陣求其特征多項(xiàng)式獲得，由函數(shù)poly實(shí)現(xiàn)例如：>>a=[123;234;345]>>p1=poly(a)%矩陣a對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式>>poly2sym(p1)%將多項(xiàng)式p1轉(zhuǎn)換為符號(hào)多項(xiàng)式（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建2.特征多項(xiàng)式輸入法57（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建3.由根創(chuàng)立多項(xiàng)式給定的根也可產(chǎn)生其相應(yīng)的多項(xiàng)式,此功能還是由函數(shù)poly實(shí)現(xiàn)例：>>root=[-5-3+4i-3-4i];>>p=poly(root)>>poly2sym(p)注：若要生成實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,則根中的復(fù)數(shù)比為對(duì)稱共軛復(fù)數(shù)（二）多項(xiàng)式的創(chuàng)建3.由根創(chuàng)立多項(xiàng)式58（三）多項(xiàng)式運(yùn)算1.求多項(xiàng)式的值求多項(xiàng)式的值可以由兩種形式(1)輸入變量值代入多項(xiàng)式計(jì)算時(shí)是以數(shù)組為單元的,此時(shí)函數(shù)為polyval(2)以矩陣為計(jì)算單元,進(jìn)行矩陣式運(yùn)算以求的多項(xiàng)式的值,此時(shí)的函數(shù)為polyvalm注：這兩種計(jì)算在數(shù)值上由很大差別。當(dāng)進(jìn)行矩陣運(yùn)算時(shí),變量矩陣須為方陣。（三）多項(xiàng)式運(yùn)算1.求多項(xiàng)式的值59實(shí)例演示>>p=[11155125];b=[11;11];c=5>>poly2sym(p)>>polyval(p,b)>>poly(p,c)>>polyvalm(p,b)實(shí)例演示>>p=[11155125];b=[11;160（三）多項(xiàng)式運(yùn)算2.求多項(xiàng)式的根求多項(xiàng)式的根可以由兩種方法(1)直接調(diào)用MATLAB的函數(shù)roots求解多項(xiàng)式的所有根(2)通過(guò)建立多項(xiàng)式的伴隨矩陣再求其特征值的方法得到多項(xiàng)式的所有根（三）多項(xiàng)式運(yùn)算2.求多項(xiàng)式的根61實(shí)例演示用兩種方法解方程的所有根>>p=[2-56-19];>>roots(p)>>a=compan(p)%求多項(xiàng)式的特征矩陣>>eig(a)%求特征矩陣a的特征根實(shí)例演示用兩種方法解方程62（三）多項(xiàng)式運(yùn)算3.多項(xiàng)式的乘除法(1)多項(xiàng)式的乘法由函數(shù)conv來(lái)實(shí)現(xiàn),此函數(shù)同用于向量的卷積(2)多項(xiàng)式的除法由函數(shù)deconv來(lái)實(shí)現(xiàn),此函數(shù)與向量的解卷函數(shù)相同（三）多項(xiàng)式運(yùn)算3.多項(xiàng)式的乘除法63實(shí)例演示計(jì)算兩多項(xiàng)式的乘除法>>p=[2-56-19];>>poly2sym(p);>>d=[3-90-18];>>ploy2sym(d)>>pd=conv(p,d)%多項(xiàng)式p與d相乘>>poly2sym(pd)>>pl=deconv(pd,d)%多項(xiàng)式pd除以d實(shí)例演示計(jì)算兩多項(xiàng)式的乘除法64（三）多項(xiàng)式運(yùn)算4.多項(xiàng)式微分多項(xiàng)式的微分可以用函數(shù)polyer進(jìn)行例：>>p=[2-56-19]；poly2sym(p);>>Dp=polyer(p)（三）多項(xiàng)式運(yùn)算4.多項(xiàng)式微分65（三）多項(xiàng)式運(yùn)算5.多項(xiàng)式的擬合多項(xiàng)式擬合是多項(xiàng)式運(yùn)算的一個(gè)重要組成部分，在工程及科研工作中得到了廣泛的應(yīng)用，其一方面可以由矩陣的除法解超定方程來(lái)進(jìn)行;另一方面在MATLAB中還提供了專門的擬合函數(shù)polyfit,其調(diào)用格式如下：(1)polyfit(X,Y,n)%其中X,Y為擬合數(shù)據(jù),n為你和多項(xiàng)式的階數(shù)(2)[p,s]=polyfit(X,Y,n)%其中p為擬合多項(xiàng)式的系數(shù)向量，s為擬合多項(xiàng)式系數(shù)向量的結(jié)構(gòu)信息（三）多項(xiàng)式運(yùn)算5.多項(xiàng)式的擬合66實(shí)例演示例:用五階多項(xiàng)式對(duì)[0,pi/2]上的正弦函數(shù)進(jìn)行最小二乘擬合>>x=0:pi/20:pi/2;y=sin(x);>>a=ployfit(x,y,5);%用五階多項(xiàng)式擬合y=sin(x),a為你和多項(xiàng)式的系數(shù)>>x1=0:pi/30:pi/2;y1=sin(x1);>>y2=a(1)*x1.^5+a(2)*x1.^4+a(3)*x1.^3+a(4)*x1.^2+a(5)*x1.+a(6)>>plot(x1,y1,’b-’,x2,y2,’r*’)>>legend(‘原曲線‘，’擬合曲線‘)>>axis([0,7,-1.2,4])%坐標(biāo)軸的限制實(shí)例演示例:用五階多項(xiàng)式對(duì)[0,pi/2]上的正弦函數(shù)進(jìn)行最67第三講MATLAB解方程和函數(shù)極值課件68學(xué)習(xí)內(nèi)容多項(xiàng)式運(yùn)算線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題的數(shù)值解法函數(shù)極值線性插值學(xué)習(xí)內(nèi)容多項(xiàng)式運(yùn)算69線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的矩陣形式為AX=0其中A是m×n階矩陣；X為未知向量線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)70二、線性方程組求解1.直接解法（1）利用左除運(yùn)算符的直接解法對(duì)于線性方程組Ax=b，可以利用左除運(yùn)算符“\”求解:x=A\b例:用直接解法求解下列線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';x=A\b二、線性方程組求解1.直接解法71第三講MATLAB解方程和函數(shù)極值課件72二、線性方程組求解(2)利用矩陣的分解求解線性方程組矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積。常見的矩陣分解有:特征值分解,奇異值分解,LU分解,QR分解,Cholesky分解,Schur分解Hessenberg分解等下面將對(duì)他們一一介紹二、線性方程組求解(2)利用矩陣的分解求解線性方程組73a)特征值分解矩陣的特征值分解也調(diào)用函數(shù)eig,其調(diào)用格式為(1)[V,D]=eig(X)%得到矩陣X的特征值對(duì)角矩陣D和其列為對(duì)應(yīng)特征值的特征向量矩陣V,矩陣的特征值分解為X×V=V×D(2)[V,D]=eig(X,’nobalance’)%此形式為關(guān)閉平衡算法的求解方法.平衡算法對(duì)于某些問題可以得到更高的準(zhǔn)確度。(3))[V,D]=eig(A,B)%對(duì)矩陣A和B做廣義特征值分解,即A×V=B×V×Da)特征值分解矩陣的特征值分解也調(diào)用函數(shù)eig,其調(diào)用格式為74實(shí)例演示----矩陣的特征值分解單位陣的特征值分解a=[-149-50-154;537180546;-27-9-25][v,d]=eig(a)雙矩陣的特征值分解b=[2102;105-8;2-811];[v,d]=eig(a,b)實(shí)例演示----矩陣的特征值分解單位陣的特征值分解75附:復(fù)數(shù)特征值對(duì)角陣與實(shí)數(shù)特征值對(duì)角陣的轉(zhuǎn)換即使對(duì)于實(shí)陣,其特征值也可能出現(xiàn)復(fù)數(shù).而在實(shí)際使用中,常需要把這些共軛復(fù)數(shù)特征值轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)塊.MATLAB提供兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換(1)[V,D]=cdf2rdf(V,D)%將復(fù)數(shù)對(duì)角型轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)塊對(duì)角型(2)[U,T]=rdf2cdf(U,T)%將實(shí)數(shù)對(duì)角塊轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)對(duì)角型附:復(fù)數(shù)特征值對(duì)角陣與實(shí)數(shù)特征值對(duì)角陣的轉(zhuǎn)換即使對(duì)于實(shí)陣,其76實(shí)例演示----復(fù)數(shù)對(duì)角型矩陣與實(shí)數(shù)對(duì)角型矩陣的轉(zhuǎn)換a=[1-3;22/3];[v,d]=eig(a)%將矩陣a進(jìn)行特征值分解,其結(jié)果復(fù)對(duì)角型[vs,ds]=cdf2rdf(v,d)%將復(fù)對(duì)角型轉(zhuǎn)換為實(shí)對(duì)角型b=vs*ds/vs%其結(jié)果與a相等實(shí)例演示----復(fù)數(shù)對(duì)角型矩陣與實(shí)數(shù)對(duì)角型矩陣的轉(zhuǎn)換a=[177b)奇異值分解設(shè)矩陣A為一個(gè)m×n階的(實(shí))矩陣(m≥n),則存在正交矩陣V和U,使得:此式稱為A的奇異值分解矩陣奇異值分解可由函數(shù)svd實(shí)現(xiàn),其調(diào)用格式為(1)[U,S,V]=svd(X)(2)[U,S,V]=svd(X,0)作用:生成U,S,和V使得X=U×S×V’實(shí)例演示例：對(duì)矩陣a進(jìn)行奇異值分解>>a=[1;1];>>[U,S,V]=svd(a)注：進(jìn)行奇異值分解時(shí),矩陣的維數(shù)沒有限制b)奇異值分解設(shè)矩陣A為一個(gè)m×n階的(實(shí))矩陣(m≥n),78c)LU分解LU分解是高斯消去法的基礎(chǔ),它將一矩陣表示為一個(gè)交換下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積形式.線性代數(shù)中已經(jīng)證明,只要方陣A是非奇異的,LU分解總是可以進(jìn)行的。lu函數(shù)用于對(duì)矩陣進(jìn)行LU分解，其調(diào)用格式為(1)[L,U]=lu(X)----產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足X=LU。注意,這里的矩陣X必須是方陣。

(2)[[L,U,P]=lu(X)----產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)下三角陣L以及一個(gè)置換矩陣P，使之滿足PX=LU。當(dāng)然矩陣X同樣必須是方陣。實(shí)現(xiàn)LU分解后，線性方程組Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，這樣可以大大提高運(yùn)算速度。c)LU分解LU分解是高斯消去法的基礎(chǔ),它將一矩陣表示為一79實(shí)例演示例:用LU分解求解例1中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[L,U]=lu(A);X=U\(L\b)或采用LU分解的第2種格式，命令如下：[L,U,P]=lu(A);X=U\(L\P*b)實(shí)例演示例:用LU分解求解例1中的線性方程組。80第三講MATLAB解方程和函數(shù)極值課件81d)QR分解在求解矩陣的特征值時(shí),引入一種分解方法,即實(shí)陣A可以寫成A=Q×R,其中Q為一個(gè)正交矩陣和R為一個(gè)上三角矩陣.QR分解只能對(duì)方陣進(jìn)行.QR分解由函數(shù)qr實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為:(1)[Q,R]=qr(X):產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R,使之滿足X=QR。

(2)[[Q,R,E]=qr(X):產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q,一個(gè)上三角矩陣R以及一個(gè)置換矩陣E,使之滿足XE=QR。實(shí)現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。d)QR分解在求解矩陣的特征值時(shí),引入一種分解方法,即實(shí)陣A82實(shí)例演示例:用QR分解求解前例中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[Q,R]=qr(A);x=R\(Q\b)或采用QR分解的第2種格式，命令如下：[Q,R,E]=qr(A);x=E*(R\(Q\b))實(shí)例演示例:用QR分解求解前例中的線性方程組。83e)Cholesky分解如果矩陣X是對(duì)稱正定的,則Cholesky分解將矩陣X分解成一個(gè)對(duì)角元素為正的下三角矩陣R'和上三角矩陣R的乘積.使得X=R'×R.函數(shù)chol(X)用于對(duì)矩陣X進(jìn)行Cholesky分解,其調(diào)用格式為:(1)R=chol(X):產(chǎn)生一個(gè)上三角陣R,使R'R=X.若X為非對(duì)稱正定,則輸出一個(gè)出錯(cuò)信息。(2)[R,p]=chol(X):這個(gè)命令格式將不輸出出錯(cuò)信息.當(dāng)X為對(duì)稱正定的,則p=0,R與上述格式得到的結(jié)果相同;否則p為一個(gè)正整數(shù).如果X為滿秩矩陣,則R為一個(gè)階數(shù)為q=p-1階的上三角陣,且滿足R'R=X(1:q,1:q).實(shí)現(xiàn)Cholesky分解后,線性方程組Ax=b變成R'Rx=b,所以x=R\(R'\b)。e)Cholesky分解如果矩陣X是對(duì)稱正定的,則Chole84實(shí)例演示例:用Cholesky分解求解前例中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';R=chol(A)>>結(jié)果為???Errorusing==>cholMatrixmustbepositivedefinite%說(shuō)明A為非正定矩陣?可以執(zhí)行命令>>[R,p]=chol(X)>>x=R\(R'\b)實(shí)例演示例:用Cholesky分解求解前例中的線性方程組。852.迭代解法迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組.在數(shù)值分析中,迭代解法主要包括:Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。1．Jacobi迭代法:對(duì)于線性方程組Ax=b,如果A為非奇異方陣,即aii≠0(i=1,2,…,n),則可將A分解為A=D-L-U，其中D為對(duì)角陣,其元素為A的對(duì)角元素,L與U為A的下三角陣和上三角陣,于是AX=b化為:X=D-1(L+U)x+D-1b與之對(duì)應(yīng)的迭代公式為:X(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b這就是Jacobi迭代公式.如果序列{x(k+1)}收斂于x，則x必是方程Ax=b的解2.迭代解法迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組.在數(shù)值86附：Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m如下：function[y,n]=jacobi(A,b,x0,eps)ifnargin==3eps=1.0e-6;elseifnargin<3errorreturnendD=diag(diag(A));%求A的對(duì)角矩陣L=-tril(A,-1);%求A的下三角陣U=-triu(A,1);%求A的上三角陣B=D\(L+U);f=D\b;y=B*x0+f;n=1;%迭代次數(shù)whilenorm(y-x0)>=epsx0=y;y=B*x0+f;n=n+1;end附：Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m87例:用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為0，迭代精度為10-6。在命令中調(diào)用函數(shù)文件Jacobi.m，命令如下：A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];b=[9,7,6]';[x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)?。?！其他迭代法在此一律不在詳細(xì)說(shuō)明！??！例:用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設(shè)迭代初值為088學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題的數(shù)值解法函數(shù)極值線性插值學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解89二、非線性方程組的求解對(duì)于非線性方程組F(X)=0,用fsolve函數(shù)求其解.fsolve函數(shù)的調(diào)用格式為:X=fsolve('fun',X0,option)其中X為返回的解,fun是用于定義需求解的非線性方程組的函數(shù)文件名,X0是求根過(guò)程的初值,option為最優(yōu)化工具箱的選項(xiàng)設(shè)定.最優(yōu)化工具箱提供了20多個(gè)選項(xiàng).用戶可以使用optimset命令將它們顯示出來(lái).如果想改變其中某個(gè)選項(xiàng).則可以調(diào)用optimset()函數(shù)來(lái)完成.例如,Display選項(xiàng)決定函數(shù)調(diào)用時(shí)中間結(jié)果的顯示方式,其中‘off’為不顯示,‘iter’表示每步都顯示,‘final’只顯示最終結(jié)果.optimset(‘Display’,‘off’)將設(shè)定Display選項(xiàng)為‘off’.二、非線性方程組的求解對(duì)于非線性方程組F(X)=0,用fso90例:求下列非線性方程組在(0.5,0.5)附近的數(shù)值解。(1)建立函數(shù)文件myfun.m。functionq=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);(2)在給定的初值x0=0.5,y0=0.5下,調(diào)用fsolve函數(shù)求方程的根。x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off'))x=0.63540.3734例:求下列非線性方程組在(0.5,0.5)附近的數(shù)值解。91學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解非線性方程數(shù)值求解常微分方程初值問題的數(shù)值解法函數(shù)極值線性插值學(xué)習(xí)內(nèi)容線性方程組求解92三、常微分方程初值問題的解法一、解析解求解微風(fēng)方程（組）的解析解的MATLAB命令為dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…,’x’)其中‘eqni’表示第i個(gè)方程與初始條件等式’x’表示微風(fēng)方程（組）中的自變量，默認(rèn)是自變量為t三、常微分方程初值問題的解法一、解析解93實(shí)例演示例1：求解一階微分方程的通解及x=0,y=1