學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1。6棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積的概念,了解它們的側(cè)面展開圖.2.掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺的表面積公式，并會求它們的表面積.3.掌握球的表面積公式并會求球的表面積．知識點(diǎn)直棱柱、正棱錐、正棱臺和旋轉(zhuǎn)體的表面積幾何體側(cè)面積公式表面積(全面積）直棱柱S直棱柱側(cè)＝ch棱柱、棱錐、棱臺的表面積＝側(cè)面積＋底面積正棱錐S正棱錐側(cè)＝eq\f（1,2）ch′正棱臺S正棱臺側(cè)＝eq\f(1，2）(c＋c′)h′圓柱S圓柱側(cè)＝2πRh圓錐S圓錐側(cè)＝πRl球S球＝4πR2其中c′,c分別表示上、下底面周長，h表示高，h′表示斜高，R表示球的半徑．1．多面體的表面積等于各個面的面積之和．（√)2．斜三棱柱的側(cè)面積也可以用cl來求解,其中l(wèi)為側(cè)棱長,c為底面周長．(×)3．球的表面積等于它的大圓面積的2倍．(×)類型一柱、錐、臺的側(cè)(表)面積命題角度1多面體的側(cè)表面積例1現(xiàn)有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15，高是5，求該直四棱柱的側(cè)面積．解如圖，設(shè)底面對角線AC＝a，BD＝b，交點(diǎn)為O，對角線A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92,∴a2＝200，b2＝56?！咴撝彼睦庵牡酌媸橇庑危郃B2＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（AC,2））)2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(BD，2）））2＝eq\f（a2＋b2，4)＝eq\f（200＋56，4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的側(cè)面積為4×8×5＝160.反思與感悟多面體表面積的求解方法（1)棱錐、棱臺的表面積為其側(cè)面積與底面積之和，底面積根據(jù)平面幾何知識求解，求側(cè)面積的關(guān)鍵是求斜高和底面周長．（2)斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長等，往往可以構(gòu)成直角三角形（或梯形），利用好這些直角三角形（或梯形)是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為3和6，其側(cè)面積等于兩底面面積之和，則該正四棱臺的高是(）A．2B。eq\f（5,2）C．3D。eq\f（7，2）答案A解析如圖，E、E1分別是BC、B1C1的中點(diǎn)，O、O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺的高，連接OE、O1E1，作E1H∥O1O,由題意,得eq\f(3＋6EE1，2)×4＝9＋36,∴EE1＝eq\f（5,2）,在Rt△EHE1中,E1H2＝EEeq\o\al（2，1）－EH2＝eq\f(25,4)－eq\f（9，4)＝4,∴E1H＝2，∴O1O＝2，故選A.命題角度2圓柱與圓錐的側(cè)表面積例2(1）若圓錐的母線長為2cm，底面圓的周長為2πcm，則圓錐的表面積為________cm2。答案3π解析因?yàn)榈酌鎴A的周長為2πcm，所以底面圓的半徑為1cm，所以圓錐的底面積為πcm2，圓錐的側(cè)面積為eq\f（1，2）×2×2π＝2π(cm2），所以圓錐的表面積為3πcm2。(2)已知圓柱與圓錐的高、底面半徑分別相等．若圓柱的底面半徑為r，圓柱的側(cè)面積為S，則圓錐的側(cè)面積為________．答案eq\f(\r（4π2r4＋S2)，2)解析設(shè)圓柱的高為h，則2πrh＝S,∴h＝eq\f(S，2πr）。設(shè)圓錐的母線為l，∴l(xiāng)＝eq\r（r2＋h2）＝eq\r(r2＋\f(S2，4π2r2））?！鄨A錐的側(cè)面積為πrl＝πreq\r(r2＋\f（S2,4π2r2））＝eq\f(\r（4π2r4＋S2）,2）。反思與感悟由圓柱、圓錐的側(cè)面積公式可知,要求其側(cè)面積，必須已知(或能求出）它的底面圓的半徑和它的母線長．跟蹤訓(xùn)練2軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的（)A．4倍B．3倍C.eq\r（2)倍D．2倍答案D解析設(shè)圓錐底面半徑為r，由題意知母線長l＝2r，則S側(cè)＝πr×2r＝2πr2，∴eq\f(S側(cè)，S底）＝eq\f(2πr2，πr2)＝2.類型二簡單組合體的表面積例3牧民居住的蒙古包的形狀是一個圓柱與圓錐的組合體，尺寸如圖所示（單位：m），請你幫助算出要搭建這樣的一個蒙古包至少需要多少篷布？（精確到0.01m2）解上部分圓錐體的母線長為eq\r（1.22＋2.52)m，其側(cè)面積為S1＝π×eq\f（5，2)×eq\r（1.22＋2.52）(m2)．下部分圓柱體的側(cè)面積為S2＝π×5×1。8（m2）．∴搭建這樣的一個蒙古包至少需要的篷布為S＝S1＋S2＝π×eq\f(5,2）×eq\r(1.22＋2。52）＋π×5×1.8≈50.05（m2)．反思與感悟（1)組合體的側(cè)面積和表面積問題，首先要弄清楚它是由哪些簡單幾何體組成，然后再根據(jù)條件求各個簡單組合體的基本量，注意方程思想的應(yīng)用．（2）在實(shí)際問題中，常通過計(jì)算物體的表面積來研究如何合理地用料，如何節(jié)省原材料等，在求解時應(yīng)結(jié)合實(shí)際，明確實(shí)際物體究竟是哪種幾何體，哪些面計(jì)算在內(nèi)，哪些面實(shí)際沒有．跟蹤訓(xùn)練3有兩個相同的直三棱柱,高為eq\f（2,a）,底面三角形的邊長分別為3a，4a，5a（a>0)．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個四棱柱，求a的取值范圍．解兩個相同的直棱柱拼成一個三棱柱或四棱柱，有四種情況：四棱柱有一種,邊長為5a的邊重合在一起,表面積為24a2＋28.三棱柱有三種，邊長為4a的邊重合在一起,表面積為24a2＋32；邊長為3a的邊重合在一起，表面積為24a2＋36；兩個相同的直三棱柱豎直放在一起，表面積為12a2＋48。最小的是一個四棱柱，即24a2＋28〈12a2＋48，即a2〈eq\f(5,3)，又a〉0，∴0<a〈eq\f（\r（15)，3)?！郺的取值范圍為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f(\r(15）,3))).類型三球的表面積例4有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體,第二個球與這個正方體各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點(diǎn)，求這三個球的表面積之比．解設(shè)正方體的棱長為a.（1）正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個面正方形的中心，經(jīng)過四個切點(diǎn)及球心作截面，如圖①，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2),所以S1＝4πreq\o\al(2,1）＝πa2.（2）球與正方體的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn),過球心作正方體的對角面得截面,如圖②，2r2＝eq\r（2)a,r2＝eq\f（\r(2），2）a，所以S2＝4πreq\o\al（2,2)＝2πa2。(3)正方體的各個頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對角面得截面,如圖③，所以有2r3＝eq\r（3）a，r3＝eq\f(\r(3），2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2，3）＝3πa2。綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3。反思與感悟(1)在處理球和長方體的組合問題時,通常先作出過球心且過長方體對角面的截面圖，然后通過已知條件求解．(2)球的表面積的考查常以外接球的形式出現(xiàn)，可利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造熟悉的正方體，長方體等，通過彼此關(guān)系建立關(guān)于球的半徑的等式求解．跟蹤訓(xùn)練4已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________．答案eq\f（9，2）π解析如圖，設(shè)球O的半徑為R,則由AH∶HB＝1∶2，得HA＝eq\f（1，3）·2R＝eq\f(2,3）R，∴OH＝eq\f(R，3）.∵截面面積為π＝π·（HM）2,∴HM＝1。在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，∴R2＝eq\f(1，9)R2＋HM2＝eq\f（1,9）R2＋1，∴R＝eq\f（3\r(2），4)?！郤球＝4πR2＝4π·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3\r（2）,4）))2＝eq\f（9，2）π。1．已知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是(）A。eq\f（1＋2π，2π)B.eq\f（1＋4π,4π)C.eq\f（1＋2π,π)D.eq\f（1＋4π，2π)考點(diǎn)柱體、錐體、臺體的表面積題點(diǎn)柱體的表面積答案A解析設(shè)圓柱底面半徑、母線長分別為r，l，由題意知l＝2πr,S側(cè)＝l2＝4π2r2.S表＝S側(cè)＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2（2π＋1)，eq\f(S表,S側(cè)）＝eq\f（2πr22π＋1,4π2r2）＝eq\f（1＋2π，2π）.2．若正三棱錐的斜高是高的eq\f(2,3）eq\r(3)倍，則該正三棱錐的側(cè)面積是底面積的________倍．答案2解析∵eq\f(h′，h)＝eq\f(2\r（3），3)，eq\f(OM，h′)＝eq\f（\r(h′2－h(huán)2),h′）＝eq\r(1－\f(h2，h′2））＝＝eq\r（1－\f（3,4))＝eq\f（1，2).設(shè)底面邊長為a，正三棱錐的側(cè)面積為3·eq\f（1，2）h′a，正三棱錐的底面積為3·eq\f(1,2)·OM·a，則正三棱錐的側(cè)面積與底面積的比為h′∶OM＝2，故該正三棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍．3．一個高為2的圓柱，底面周長為2π，則該圓柱的表面積為________．答案6π解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h.由2πr＝2π,得r＝1,∴S圓柱表＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π＝6π.4．表面積為3π的圓錐,它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．答案2解析設(shè)圓錐的母線為l,圓錐底面半徑為r.則eq\f(1,2）πl(wèi)2＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr，∴r＝1，即圓錐的底面直徑為2。1．多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和．棱柱的表面積等于它的側(cè)面積加兩個底面積;棱錐的表面積等于它的側(cè)面積加底面積;棱臺的表面積等于它的側(cè)面積加兩個底的面積．2．有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算要充分利用其軸截面,就是說將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解．而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識求解．一、選擇題1．圓柱的一個底面積是S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是(）A．4πSB．2πSC．πSD.eq\f（2\r(3），3)πS答案A解析底面半徑是eq\r（\f（S,π)），所以正方形的邊長是2πeq\r(\f(S，π）)＝2eq\r(πS)，故圓柱的側(cè)面積是(2eq\r(πS))2＝4πS。2．正三棱錐的底面邊長為a,高為eq\f(\r(6）,6）a,則此棱錐的側(cè)面積等于（）A。eq\f(3，4)a2 B.eq\f(3，2)a2C。eq\f(3\r（3)，4）a2 D。eq\f(3\r（3)，2）a2答案A解析側(cè)棱長為eq\r（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r(6）,6)a))2＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3），3）a))2)＝eq\f(\r(2)，2）a，斜高為eq\r（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2)，2)a））2－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a，2）)）2）＝eq\f(a，2），∴S側(cè)＝eq\f(1,2)×3×a×eq\f（a，2）＝eq\f（3,4）a2.3．兩個球的表面積之差為48π,它們的大圓周長之和為12π，則這兩球的半徑之差為(）A．4B．3C．2D．1答案C解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4πR2－4πr2＝48π，，2πR＋2πr＝12π，)）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2－r2＝12，，R＋r＝6，)）∴R－r＝2，故選C。4．正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（)A．1∶eq\r（3）B．1∶3C．1∶3eq\r(3)D．1∶9答案C解析設(shè)正方體的棱長為1，則正方體內(nèi)切球的半徑為棱長的一半即為eq\f（1,2），外接球的直徑為正方體的體對角線，∴外接球的半徑為eq\f(\r（3）,2），∴其體積比為eq\f（4，3)π×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）））3∶eq\f（4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3）,2)））3＝1∶3eq\r(3）。5．正六棱臺的上，下兩底面的邊長分別是1cm，2cm，高是1cm，則它的側(cè)面積為(）A.eq\f（9\r(7)，2)cm2 B。eq\f（8\r（7),2)cm2C．9eq\r（7)cm2 D．8eq\r（7）cm2答案A解析正六棱臺的側(cè)面是6個全等的等腰梯形，上底長為1cm，下底長為2cm,高為正六棱臺的斜高．又邊長為1cm的正六邊形的中心到各邊的距離是eq\f(\r（3),2）cm，邊長為2cm的正六邊形的中心到各邊的距離是eq\r（3）cm，則梯形的高為eq\r(12＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r（3)－\f(\r（3)，2）））2）＝eq\f（\r(7)，2)（cm)，所以正六棱臺的側(cè)面積為6×eq\f（1，2)×(1＋2)×eq\f(\r（7），2)＝eq\f（9\r(7),2)(cm2)．6．一個直角三角形的直角邊分別為3與4，以其直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積為()A．15π B．20πC．12π D．15π或20π答案D解析以直角三角形的直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐，有以下兩種情況:根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式S側(cè)面積＝πr×l母線長．①以直角邊3為旋轉(zhuǎn)軸時,旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S＝4π×5＝20π；②以直角邊4為旋轉(zhuǎn)軸時，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S＝3π×5＝15π。故選D。7．底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為5，它的體對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側(cè)面積是（）A．160 B．80C．40 D．240答案A解析設(shè)底面邊長是a，底面的兩條對角線分別為l1，l2，所以leq\o\al（2,1）＝152－52，leq\o\al（2，2)＝92－52。又leq\o\al（2,1）＋leq\o\al（2，2)＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，所以a＝8，所以S側(cè)面積＝ch＝4×8×5＝160。8．若一個圓臺的軸截面如圖所示，則其側(cè)面積等于（）A．3eq\r(5）πB。eq\r（5）πC．3eq\r(2）πD。eq\r（2）π答案A解析∵圓臺的母線長為eq\r(2－12＋22)＝eq\r（5），∴S圓臺側(cè)＝π（1＋2)·eq\r（5)＝3eq\r（5)π.二、填空題9．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則這個圓錐的底面面積與側(cè)面積的比是________．答案1∶2解析設(shè)該圓錐體的底面半徑為r，母線長為l，根據(jù)題意得2πr＝πl(wèi)，所以l＝2r,所以這個圓錐的底面面積與側(cè)面積的比是πr2∶eq\f(1，2)πl(wèi)2＝r2∶eq\f(1，2)(2r)2＝1∶2.10．如圖(1)所示，已知正方體面對角線長為a，沿陰影面將它切割成兩塊,拼成如圖（2)所示的幾何體，那么此幾何體的表面積為________．答案（2＋eq\r（2))a2解析由已知可得正方體的邊長為eq\f(\r（2）,2）a，新幾何體的表面積為S表＝2×eq\f(\r（2)，2）a×a＋4×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r（2）,2)a）)2＝(2＋eq\r(2））a2.11。有一塔形幾何體由3個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)．已知最底層正方體的棱長為2,則該塔形幾何體的表面積為________．答案36解析易知由下向上三個正方體的棱長依次為2，eq\r(2)，1,∴S表＝2×22＋4×［22＋（eq\r(2)）2＋12］＝36.∴該幾何體的表面積為36.12．如圖所示,在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為________．答案96＋6π解析由題意知,所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積，再加上一個圓柱的側(cè)面積，同時減去兩個圓的面積