學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2。4點到直線的距離學習目標1.了解點到直線的距離公式的推導方法.2.掌握點到直線距離的公式，并能靈活應用于求平行線間的距離等問題。3.初步掌握解析法研究幾何問題的方法．知識點一點到直線的距離思考點到直線的距離公式對于當A＝0或B＝0時的直線是否仍然適用?答案仍然適用，①當A＝0，B≠0時，直線l的方程為By＋C＝0,即y＝－eq\f（C，B)，d＝eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（y0＋\f(C,B））)＝eq\f(|By0＋C｜，|B|），適合公式．②當B＝0，A≠0時，直線l的方程為Ax＋C＝0，x＝－eq\f（C,A)，d＝eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(C,A）))＝eq\f(|Ax0＋C｜，｜A｜)，適合公式．梳理點到直線的距離及公式（1)定義：點到直線的垂線段的長度．(2）圖示：（3）公式：d＝eq\f（｜Ax0＋By0＋C｜,\r(A2＋B2）)。知識點二兩條平行直線間的距離思考直線l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B（0,1),C（－1，2）三點,直線l2：x＋y＋1＝0與直線l1平行，那么點A，B，C到直線l2的距離分別為多少？有什么規(guī)律嗎?答案點A,B，C到直線l2的距離分別為eq\r（2)，eq\r(2），eq\r（2）。規(guī)律是當兩直線平行時，一條直線上任一點到另一條直線的距離都相等．梳理兩條平行直線間的距離及公式（1）定義：夾在兩平行線間的公垂線段的長．(2)圖示：(3)求法：轉化為點到直線的距離．（4）公式:兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2｜，\r（A2＋B2)）。（A，B不全為0,C1≠C2)1．點P（x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f（｜kx0＋b｜，\r（1＋k2)）.(×)2．直線外一點與直線上一點的距離的最小值是點到直線的距離．（√）3．兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點的最短距離．（√)類型一點到直線的距離例1（1)求點P（2，－3）到下列直線的距離．①y＝eq\f(4，3）x＋eq\f(1,3）；②3y＝4;③x＝3。解①y＝eq\f（4，3）x＋eq\f（1，3）可化為4x－3y＋1＝0,點P（2，－3）到該直線的距離為eq\f（｜4×2－3×－3＋1｜，\r(42＋－32))＝eq\f(18,5).②3y＝4可化為3y－4＝0，由點到直線的距離公式，得eq\f(|－3×3－4|,\r(02＋32)）＝eq\f（13,3)。③x＝3可化為x－3＝0,由點到直線的距離公式，得eq\f（｜2－3|,1）＝1.（2)求過點M（－1,2)，且與點A(2,3）,B(－4，5)距離相等的直線l的方程．解方法一當過點M(－1，2)的直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，恰好與A(2，3），B(－4，5)兩點的距離相等,故x＝－1滿足題意．當過點M（－1,2)的直線l的斜率存在時，設l的方程為y－2＝k（x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由點A（2,3)與點B（－4，5）到直線l的距離相等,得eq\f(|2k－3＋k＋2|，\r(k2＋1））＝eq\f(|－4k－5＋k＋2｜，\r(k2＋1）)，解得k＝－eq\f(1，3),此時l的方程為y－2＝－eq\f(1，3）（x＋1)，即x＋3y－5＝0。綜上所述，直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0.方法二由題意,得l∥AB或l過AB的中點，當l∥AB時，設直線AB的斜率為kAB，直線l的斜率為kl，則kl＝kAB＝eq\f（5－3，－4－2）＝－eq\f(1，3)，此時直線l的方程為y－2＝－eq\f(1，3)(x＋1）,即x＋3y－5＝0。當l過AB的中點(－1，4)時，直線l的方程為x＝－1.綜上所述，直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0。反思與感悟(1)應用點到直線的距離公式時應注意的三個問題①直線方程應為一般式,若給出其他形式應化為一般式．②當點P在直線l上時，點到直線的距離為0，公式仍然適用．③直線方程Ax＋By＋C＝0，當A＝0或B＝0時公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標軸垂直）,故也可用數形結合求解．（2)當用待定系數法求直線方程時，首先考慮斜率不存在是否滿足題意．跟蹤訓練1(1)若點(4,a）到直線4x－3y＝0的距離不大于3,則a的取值范圍為________________．（2)已知直線l過點P（3,4)且與點A（－2,2)，B（4，－2)等距離，則直線l的方程為________________________．答案(1）eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(1,3)，\f(31,3））)(2）2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0解析(1)由題意知,eq\f（|4×4－3a|，\r(42＋－32）)≤3,解得eq\f（1,3)≤a≤eq\f(31，3)，故a的取值范圍為eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（1，3)，\f（31，3)))。（2)過點P(3,4）且斜率不存在時的直線x＝3與A、B兩點的距離不相等，故可設所求直線方程為y－4＝k（x－3），即kx－y＋4－3k＝0.由已知，得eq\f（|－2k－2＋4－3k|，\r(1＋k2））＝eq\f(｜4k＋2＋4－3k|，\r(1＋k2))，∴k＝2或k＝－eq\f（2,3)，∴所求直線l的方程為2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0。類型二兩平行線間的距離例2(1)兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行,則它們之間的距離為____________．答案eq\f(\r（10)，4）解析(1）由題意,得eq\f(6，3）＝eq\f(m,1）,∴m＝2。將直線3x＋y－3＝0化為6x＋2y－6＝0，由兩平行線間距離公式，得d＝eq\f（|－1＋6｜,\r（62＋22)）＝eq\f（5,\r（40）)＝eq\f（\r（10），4）。（2)已知直線l到直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程為________________．答案2x－y＋1＝0解析設直線l的方程為2x－y＋C＝0，由題意，得eq\f（|3－C｜,\r(22＋12）)＝eq\f（|C＋1｜，\r（22＋12）），解得C＝1，∴直線l的方程為2x－y＋1＝0.反思與感悟求兩平行線間的距離,一般是直接利用兩平行線間的距離公式，當直線l1：y＝kx＋b1,l2：y＝kx＋b2,且b1≠b2時，d＝eq\f(|b1－b2｜，\r(k2＋1）)；當直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0,A，B不全為0且C1≠C2時，d＝eq\f（｜C1－C2｜,\r(A2＋B2）)。但必須注意兩直線方程中x，y的系數對應相等．跟蹤訓練2（1）求與直線l:5x－12y＋6＝0平行且到l的距離為2的直線方程；(2)兩平行直線l1，l2分別過P1（1,0），P2（0,5），若l1與l2的距離為5，求兩直線方程．解(1）方法一設所求直線的方程為5x－12y＋C＝0，在直線5x－12y＋6＝0上取一點P0eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f(1，2))），則點P0到直線5x－12y＋C＝0的距離為eq\f(|－12×\f(1，2）＋C|，\r（52＋－122））＝eq\f（｜C－6｜,13）.由題意，得eq\f（｜C－6｜，13）＝2，所以C＝32或C＝－20，故所求直線的方程為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0。方法二設所求直線的方程為5x－12y＋C＝0，由兩平行直線間的距離公式,得2＝eq\f(|C－6｜，\r(52＋－122）),解得C＝32或C＝－20，故所求直線的方程為5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0。(2）依題意得,兩直線的斜率都存在,設l1：y＝k(x－1),即kx－y－k＝0，l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0。因為l1與l2的距離為5，所以eq\f（|－k－5|，\r（k2＋1))＝5，解得k＝0或eq\f(5,12)。所以l1和l2的方程分別為y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.類型三利用距離公式求最值命題角度1由點到直線的距離求最值例3已知實數x，y滿足6x＋8y－1＝0，則eq\r（x2＋y2－2y＋1)的最小值為________．答案eq\f（7,10)解析∵eq\r（x2＋y2－2y＋1）＝eq\r（x－02＋y－12)，∴上式可看成是一個動點M(x，y)到定點N（0,1）的距離，即為點N到直線l：6x＋8y－1＝0上任意一點M（x，y）的距離，∴S＝｜MN｜的最小值應為點N到直線l的距離，即|MN｜min＝d＝eq\f(|8－1|,\r(62＋82))＝eq\f(7,10)。反思與感悟解決此類題的關鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數"轉化為“形"，從而利用圖形的直觀性加以解決．跟蹤訓練3（1）動點P(x,y)在直線x＋y－4＝0上，O為原點，求｜OP｜最小時點P的坐標;（2）求過點P(1，2)且與原點距離最大的直線方程．解（1)直線上的點到原點距離的最小值即為原點到直線的距離，此時OP垂直于已知直線，則kOP＝1，∴OP所在的直線方程為y＝x.由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，，x＋y－4＝0，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝2。))∴點P的坐標為（2,2)．(2)由題意知,過點P且與OP垂直的直線到原點O的距離最大，∵kOP＝2，∴所求直線方程為y－2＝－eq\f(1，2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.命題角度2有關兩平行線間距離的最值例4兩條互相平行的直線分別過點A（6，2），B(－3，－1)，并且各自繞著點A，B旋轉,如果兩條平行直線間的距離為d。（1）求d的取值范圍；(2）求d取最大值時，兩條直線的方程．解（1)設經過點A和點B的直線分別為l1，l2，顯然當eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(l1⊥AB，，l2⊥AB)）時,l1和l2的距離最大,且最大值為｜AB|＝eq\r（－3－62＋－1－22）＝3eq\r(10)，∴d的取值范圍為（0，3eq\r(10）］．(2)由（1)知,dmax＝3eq\r(10），此時k＝－3，兩直線的方程分別為3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0。反思與感悟兩平行線間的距離可轉化為兩點間的距離,通過兩點間的距離利用數形結合思想得到兩平行線間距離的最值．跟蹤訓練4已知P,Q分別是直線3x＋4y－5＝0與6x＋8y＋5＝0上的動點，則｜PQ｜的最小值為（）A．3B。eq\r(3）C。eq\f（\r（3)，2)D。eq\f（3,2）答案D解析兩平行線間的距離就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化為6x＋8y－10＝0，則｜PQ｜＝eq\f(|5－－10｜,\r（62＋82))＝eq\f(3，2）.1．已知點(a，1）到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為（)A．1B．－1C.eq\r（2）D．±eq\r（2)答案D解析由題意知，eq\f（｜a－1＋1｜,\r（12＋12）)＝1，即｜a｜＝eq\r（2),∴a＝±eq\r(2).2．直線x－2y－1＝0與直線x－2y－C＝0的距離為2eq\r（5)，則C的值為（)A．9 B．11或－9C．－11 D．9或－11答案B解析兩平行線間的距離為d＝eq\f(｜－1－－C|,\r(12＋－22))＝2eq\r(5)，解得C＝－9或11.3．已知點M（1，2)，點P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上,則|MP|的最小值是（）A。eq\r(10）B.eq\f(3\r（5),5）C.eq\r(6）D．3eq\r（5)答案B解析點M到直線2x＋y－1＝0的距離，即為｜MP|的最小值,所以｜MP｜的最小值為eq\f（|2＋2－1|，\r（22＋12）)＝eq\f（3\r(5),5).4．兩平行直線3x＋4y＋5＝0與6x＋ay＋30＝0間的距離為d，則a＋d＝________。答案10解析由兩直線平行知,a＝8，d＝eq\f（｜15－5｜，5)＝2，∴a＋d＝10.5．直線3x－4y－27＝0上到點P（2,1）距離最近的點的坐標是________________．答案（5，－3）解析由題意知過點P作直線3x－4y－27＝0的垂線，設垂足為M,則｜MP｜為最小，直線MP的方程為y－1＝－eq\f(4,3）（x－2），解方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x－4y－27＝0，，y－1＝－\f(4,3)x－2,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,，y＝－3）)∴所求點的坐標為(5，－3）．1．點到直線的距離即是點與直線上點連線的距離的最小值，利用點到直線的距離公式，解題時要注意把直線方程化為一般式．當直線與坐標軸垂直時可直接求之．2．利用點到直線的距離公式可求直線的方程，有時需結合圖形，數形結合,使問題更清晰．3．已知兩平行直線，其距離可利用公式d＝eq\f(｜C1－C2｜，\r(A2＋B2））求解，也可在已知直線上取一點，轉化為點到直線的距離.一、選擇題1．點（1，－1)到直線y＝1的距離是（）A。eq\r（2）B。eq\f（\r（2)，2）C．3D．2答案D解析d＝eq\f(｜－1－1|,\r（1＋0)）＝2，故選D.2．兩平行線3x－4y－7＝0和6x－8y＋3＝0之間的距離為（）A。eq\f（4，5)B．2C.eq\f（17，10)D.eq\f（17,5）答案C解析3x－4y－7＝0可化為6x－8y－14＝0，由兩平行線間的距離公式，可得d＝eq\f(｜3＋14|,\r（62＋82）)＝eq\f(17,10)。3．已知點A（－3,－4）,B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數a的值等于(）A.eq\f(7，9) B．－eq\f(1，3）C．－eq\f(7，9）或－eq\f（1，3） D．－eq\f（7,9）或eq\f(1，3)答案C解析由點到直線的距離公式,可得eq\f(｜－3a－4＋1|,\r（a2＋1））＝eq\f（|6a＋3＋1｜，\r(a2＋1))，化簡，得｜3a＋3｜＝|6a＋4｜，解得a＝－eq\f（7，9)或a＝－eq\f（1,3）.故選C.4．到直線2x＋y＋1＝0的距離等于eq\f（\r（5）,5)的直線方程為（）A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0答案D解析根據題意可設所求直線方程為2x＋y＋C＝0,因為兩直線間的距離等于eq\f(\r(5),5)，所以d＝eq\f（｜C－1|,\r(22＋12））＝eq\f（\r(5)，5），解得C＝0或C＝2,故所求直線方程為2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.5．點P（2，3)到直線ax＋(a－1）y＋3＝0的距離d最大時，d與a的值依次為（）A．3，－3 B．5,2C．5,1 D．7,1答案C解析直線恒過點A(－3,3),根據已知條件可知當直線ax＋(a－1)y＋3＝0與AP垂直時,距離最大，最大值為5，此時a＝1.故選C.6．兩平行線分別經過點A（3，0）,B（0,4)，它們之間的距離d滿足的條件是（)A．0〈d≤3 B．0<d≤5C．0<d<4 D．3≤d≤5答案B解析當兩平行線與AB垂直時，兩平行線間的距離最大為|AB｜＝5，所以0<d≤5.7．過兩直線x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交點，并與原點的距離等于1的直線共有(）A．0條B．1條C．2條D．3條答案B解析聯立eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－y＋1＝0，，x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0,，y＝1，））∴兩直線的交點為(0，1),由交點到原點的距離為1，故只有1條．8．若動點A（x1，y1），B（x2，y2)分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值是(）A．3eq\r(2）B．2eq\r（3）C．3eq\r(3）D．4eq\r（2）答案A解析由題意知,點M的軌跡為平行于直線l1,l2且到l1，l2距離相等的直線l，其方程為x＋y－6＝0，∴點M到原點的距離的最小值為d＝eq\f(6,\r(2）)＝3eq\r(2）.二、填空題9．點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，則x2＋y2的最小值是________．答案8解析由x2＋y2的實際意義可知，它代表直線x＋y－4＝0上的點到原點的距離的平方,它的最小值即為原點到該直線的距離的平方,所以(x2＋y2）min＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（｜1×0＋1×0－4|，\r（2)）））2＝8.10．經過點P(－3,4)，且與原點的距離等于3的直線l的方程為________．答案x＝－3或7x＋24y－75＝0解析(1）當直線l的斜率不存在時，原點到直線l:x＝－3的距離等于3,滿足題意;(2）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－4＝k(x＋3），即kx－y＋3k＋4＝0。原點到直線l的距離d＝eq\f(｜3k＋4｜，\r（k2＋－12））＝3,解得k＝－eq\f(7,24)。所以直線l的方程為7x＋24y－75＝0。綜上,直線l的方程為x＝－3或7x＋24y－75＝0.11．在坐標平面內,與點(1，2）的距離為1，且與點B（3，1)的距離為2的直線共有________條．答案2解析由題意可知，所求直線顯然不與y軸平行，∴可設直線為y＝kx＋b,即kx－y＋b＝0.∴d1＝eq\f（｜k－2＋b｜，\r(k2＋1)）＝1，d2＝eq\f（｜3k－1＋b|,\r(k2＋1)）＝2，兩式聯立，解得b1＝3，b2＝eq\f（5,3），∴k1＝0,k2＝－eq\f(4，3)。故所求直線共有兩條．三、解答題12．如圖，已知直線l1:x＋y－1＝0,現將直線l1向上平移到直線l2的位置,若l2、l1和坐標軸圍成的梯形面積為4，求l2的方程．解設l2的方程為y＝－x＋b(b>1），則圖中A(1,0），D（0，1）,B(b，0），C（0,b），∴｜AD|＝eq\r(2）,｜BC｜＝eq\r（2)b。梯形的高h就是點A到直線l2的距離，故h＝eq\f（｜1＋0－b|,\r(2）)＝eq\f(｜b－1｜，\r（2）)＝eq\f（b－1,\r(2))（b>1），由梯形面積公式，得eq\f(\r（2）＋\r（2）b，2)×eq\f（b－1，\r(2））＝4,∴b2＝9，b＝±3。但b>1,∴b＝3.從而得到直線l2的方程是x＋y－3＝0.13．已知A（4，－3），B(2,－1)和直線l：4x＋3y－2＝0，求一點P，使｜PA|＝｜PB|，且點P到l的距離等于2。解AB的中點坐標為(3，－2)，kAB＝eq\f(－3＋1，4－2)＝－1,所以線段AB的垂直平分線方程為y＋2＝x－3，即x－y－5＝0,設點P(a，b），則點P在直線x－y－5＝0上，故a－b－5＝0。又eq\f（｜4a＋3b－2｜,\r（42＋32））＝2，解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,，b＝－4））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f(27,7）,,b＝－\f(8,7),)）故所求的點為P（1，－4)或Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（27,7），－\f(8,7)））.四、探究與拓展14．如果點P到點Aeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）,0）)，點Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)，3))及直線x＝－eq\f（1,2)的距離都相等,那么滿足條件的點P有(）A．0個 B．1個C．2個 D．無數個答案B解析因為點P到點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2),0）),點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2),3））的距離相等,所以點P在線段AB的垂直平分線y＝eq\f(3,2）上．直線AB與直線x＝－eq\f（1,2)平行，且兩平行線間的距離為1.又1＜eq\f（|AB|,2）＝eq\f（3，2），所以滿足條件的點P有1個．15．已知三條直線:l1：2x－y＋a＝0（a＞0);l2：－4x＋2y＋1＝0;l3：x＋