學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1.1.3圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球?qū)W習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)組成我們生活世界的各種各樣的旋轉(zhuǎn)體.2.認(rèn)識(shí)和把握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球體的幾何結(jié)構(gòu)特征．知識(shí)點(diǎn)一圓柱、圓錐、圓臺(tái)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征(1）定義eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（圓柱,圓錐，圓臺(tái)))分別看作以eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(矩形的一邊，直角三角形的一直角邊,直角梯形中垂直于底邊的腰))所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(矩形，直角三角形,直角梯形))分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體→這類(lèi)幾何體叫旋轉(zhuǎn)體．(2)相關(guān)概念①高:在軸上的這條邊（或它的長(zhǎng)度）．②底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面．③側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面．④母線：繞軸旋轉(zhuǎn)的邊．（3)圖形表示知識(shí)點(diǎn)二球1．定義：一個(gè)球面可以看作半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，球面圍成的幾何體叫做球．2．相關(guān)概念（1)球心:形成球的半圓的圓心；球的半徑：連接球心和球面上一點(diǎn)的線段．（2)球的直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且通過(guò)球心的線段．(3)球的大圓:球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓．（4)球的小圓：球面被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓．(5）兩點(diǎn)的球面距離：在球面上，兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離．3．球形表示特別提醒:球與球面是完全不同的兩個(gè)概念，球指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分．知識(shí)點(diǎn)三旋轉(zhuǎn)體1．定義：由一個(gè)平面圖形繞著一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面所圍成的幾何體．2．軸：這條直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．知識(shí)點(diǎn)四組合體思考組合體是由簡(jiǎn)單幾何體堆砌（或疊加）而成的嗎？答案不是，組合體的組合方式有多種，可以堆砌，可以挖空等．梳理由柱、錐、臺(tái)、球等基本幾何體組合而成的幾何體叫做組合體．1．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)．（√）2．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體是一圓柱．(×）3．半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球．(×）類(lèi)型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1下列命題正確的是________．（填序號(hào))①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；⑤半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球；⑥用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面．答案④⑤⑥解析①以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；③它們的底面為圓面;④⑤⑥正確．反思與感悟（1）判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成．②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．（2）簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用①簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量．②在軸截面中解決簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．跟蹤訓(xùn)練1下列命題:①圓柱的軸截面是過(guò)母線的截面中最大的一個(gè)；②用任意一個(gè)平面去截圓錐得到的截面一定是一個(gè)圓;③圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線,可能相交也可能不相交；④球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線段．其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案C解析②錯(cuò)誤，截面可能是一個(gè)三角形；③錯(cuò)誤，圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn);①④正確．故選C。類(lèi)型二簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征例2如圖所示，已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰．分別以AB，CD，AD為軸旋轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征．解(1）以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，如圖(1)所示．(2)以CD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一組合體:上部為圓錐,下部為圓臺(tái)，再挖去一個(gè)小圓錐．如圖（2）所示．(3)以AD邊為軸旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)組合體,它是一個(gè)圓柱上部挖去一個(gè)圓錐．如圖(3)所示．反思與感悟（1)平面圖形以一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí),要過(guò)有關(guān)頂點(diǎn)向軸作垂線，然后想象所得旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)和組成．(2）必要時(shí)作模型,培養(yǎng)動(dòng)手能力．跟蹤訓(xùn)練2如圖（1)、（2)所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？解圖（1）、圖（2）旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示分別是圖①、圖②。其中圖①是由一個(gè)圓柱O1O2和兩個(gè)圓臺(tái)O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個(gè)圓錐O5O4，一個(gè)圓柱O3O4及一個(gè)圓臺(tái)O1O3中挖去圓錐O2O1組成的．類(lèi)型三旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計(jì)算命題角度1有關(guān)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的計(jì)算例3一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2，求：（1）圓臺(tái)的高;（2)將圓臺(tái)還原為圓錐后，圓錐的母線長(zhǎng)．解(1)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD（如圖所示)．由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm.又由題意知，腰長(zhǎng)為12cm，所以高AM＝eq\r（122－5－22）＝3eq\r（15）（cm）．（2）如圖所示，延長(zhǎng)BA，OO1，CD交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為l,則由△SAO1∽△SBO，可得eq\f(l－12,l）＝eq\f(2，5)，解得l＝20cm。即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20cm.反思與感悟用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體,注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面（軸截面）的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為eq\r（3）的圓柱,求圓柱的底面半徑．解設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r,則由三角形相似，得eq\f（R－r,R)＝eq\f（\r（3）,\r（42－22)），即1－eq\f(r，2）＝eq\f（1，2)，解得r＝1.即圓柱的底面半徑為1.命題角度2球的截面的有關(guān)計(jì)算例4在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面面積分別為49πcm2和400πcm2，求此球的半徑．解①若兩截面位于球心的同側(cè)，如圖(1)所示的是經(jīng)過(guò)球心O的大圓截面,C，C1分別是兩平行截面的圓心,設(shè)球的半徑為Rcm,截面圓的半徑分別為rcm，r1cm。由πreq\o\al(2,1)＝49π,得r1＝7(r1＝－7舍去)，由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去）．在Rt△OB1C1中,OC1＝eq\r(R2－r\o\al（2，1))＝eq\r(R2－49），在Rt△OBC中，OC＝eq\r（R2－r2)＝eq\r(R2－400）.由題意可知OC1－OC＝9，即eq\r（R2－49）－eq\r（R2－400)＝9，解此方程，取正值得R＝25。②若球心在兩截面之間,如圖（2）所示，OC1＝eq\r（R2－49)，OC＝eq\r(R2－400)。由題意可知OC1＋OC＝9，即eq\r（R2－49)＋eq\r（R2－400）＝9.整理，得eq\r（R2－400)＝－15，此方程無(wú)解，這說(shuō)明第二種情況不存在．綜上所述,此球的半徑為25cm。引申探究若將把本例的條件改為“球的半徑為5,兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別為6π和8π”，則兩平行截面間的距離是________．答案1或7解析畫(huà)出球的截面圖,如圖所示．兩平行直線是球的兩個(gè)平行截面的直徑，有兩種情形：①兩個(gè)平行截面在球心的兩側(cè)，②兩個(gè)平行截面在球心的同側(cè)．對(duì)于①，m＝eq\r(52－32）＝4，n＝eq\r(52－42)＝3，兩平行截面間的距離是m＋n＝7；對(duì)于②，兩平行截面間的距離是m－n＝1。反思與感悟設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A，球心為O,截面圓心為O1,則△AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形，解答球的截面問(wèn)題時(shí),常用該直角三角形或者用過(guò)球心和截面圓心的軸截面求解．跟蹤訓(xùn)練4設(shè)地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)等于eq\f（\r（2），4）πR.求A，B兩地間的球面距離．解如圖所示，A，B是北緯45°圈上的兩點(diǎn)，AO′為它的半徑，O為地球的球心，∴OO′⊥AO′,OO′⊥BO′?！摺螼AO′＝∠OBO′＝45°，∴AO′＝BO′＝OA·cos45°＝eq\f(\r(2)，2）R。設(shè)∠AO′B的度數(shù)為α，則eq\f（απ,180°）·AO′＝eq\f（απ,180°）·eq\f（\r(2），2）R＝eq\f（\r(2）,4）πR，∴α＝90°.∴AB＝eq\r(AO′2＋BO′2）＝eq\r(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（2）,2）R））2＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(2）,2)R）)2）＝R.在△AOB中，AO＝BO＝AB＝R，則△AOB為正三角形，∴∠AOB＝60°。∴A,B兩地間的球面距離為eq\f（60°πR，180°）＝eq\f(π,3）R.1．下列幾何體是臺(tái)體的是(）考點(diǎn)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)圓臺(tái)的概念的應(yīng)用答案D解析臺(tái)體包括棱臺(tái)和圓臺(tái)兩種，A的錯(cuò)誤在于四條側(cè)棱沒(méi)有交于一點(diǎn)，B的錯(cuò)誤在于截面與圓錐底面不平行．C是棱錐，結(jié)合棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義可知D正確．2．下列選項(xiàng)中的三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，能得到如下圖中的幾何體的是(）答案B解析由題意知，所得幾何體是組合體，上、下各一圓錐，顯然B正確．3．下面幾何體的截面一定是圓面的是（）A．圓臺(tái)B．球C．圓柱D．棱柱答案B解析截面可以從各個(gè)不同的部位截取,截得的截面都是圓面的幾何體只有球．4．若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為eq\r（3)，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為_(kāi)_______．考點(diǎn)圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓錐有關(guān)的運(yùn)算答案2解析如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長(zhǎng)即為△ABC的邊長(zhǎng)，且S△ABC＝eq\f(\r（3)，4)AB2，∴eq\r(3）＝eq\f（\r(3),4)AB2，∴AB＝2.故圓錐的母線長(zhǎng)為2.5．湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后，將球取出,冰上留下一個(gè)直徑為24cm，深為8cm的空穴，則球的半徑為_(kāi)_______cm。答案13解析設(shè)球的半徑為Rcm，由題意知,截面圓的半徑r＝12cm，球心距d＝（R－8）cm,由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋（R－8)2，即208－16R＝0，解得R＝13cm.1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示．2．處理臺(tái)體問(wèn)題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想．3．處理組合體問(wèn)題常采用分割思想．4．重視圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面在解決幾何問(wèn)題中的特殊作用,切實(shí)體會(huì)空間幾何平面化的思想。一、選擇題1．下列幾何體中不是旋轉(zhuǎn)體的是（)答案D2．下列說(shuō)法正確的是（)A．到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球B．球面上不同的三點(diǎn)可能在同一條直線上C．用一個(gè)平面截球,其截面是一個(gè)圓D．球心與截面圓心（截面不過(guò)球心)的連線垂直于該截面考點(diǎn)球的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)球的概念的應(yīng)用答案D解析對(duì)于A，球是球體的簡(jiǎn)稱(chēng)，球體的外表面我們稱(chēng)之為球面，球面是一個(gè)曲面，是空心的,而球是幾何體，是實(shí)心的，故A錯(cuò)；對(duì)于B，球面上不同的三點(diǎn)一定不共線，故B錯(cuò);對(duì)于C，用一個(gè)平面截球，其截面是一個(gè)圓面，而不是一個(gè)圓，故C錯(cuò)，故選D。3．一個(gè)圓柱的母線長(zhǎng)為5,底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積為（）A．10B．20C．40D．15答案B4．一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為20cm，母線與軸的夾角為30°,則圓錐的高為（)A．10eq\r（3)cmB．20eq\r(3)cmC．20cmD．10cm答案A解析如圖所示，在Rt△ABO中,AB＝20cm，∠A＝30°，所以AO＝AB·cos30°＝20·eq\f（\r（3)，2)＝10eq\r（3）（cm)．5．如果圓臺(tái)兩底面的半徑分別是7和1，則與兩底面平行且等距離的截面面積是(）A．24π B．16πC．8π D．4π答案B解析截面圓的半徑為eq\f（7＋1，2）＝4,面積為πr2＝16π。

6.如圖所示的幾何體,關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是()A．該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的B．該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)C．該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形D．該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形,其余均為三角形答案D解析其中ABCD不是面，該幾何體有8個(gè)面．7．用一張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是（）A．2 B．2πC.eq\f（2,π）或eq\f（4，π) D。eq\f（π，2)或eq\f(π，4)答案C解析如圖所示，設(shè)底面半徑為r，若矩形的長(zhǎng)8為卷成圓柱底面的周長(zhǎng),則2πr＝8，所以r＝eq\f(4,π);同理，若矩形的寬4為卷成圓柱的底面周長(zhǎng),則2πr＝4，所以r＝eq\f(2，π）,故選C.8.如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為(）A．一個(gè)球體B．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱D．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長(zhǎng)方體答案B解析圓面繞著直徑所在的軸，旋轉(zhuǎn)而形成球，矩形繞著軸旋轉(zhuǎn)而形成圓柱。故選B。二、填空題9．正方形繞其一條對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是________．答案兩個(gè)圓錐解析連接正方形的兩條對(duì)角線知對(duì)角線互相垂直，故繞對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)底面相同的圓錐．10．若母線長(zhǎng)是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高是________．答案2eq\r（2)解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(42－r2)，∴由題意可知eq\f(1,2)·2r·h＝req\r(42－r2）＝8，∴r2＝8，∴h＝2eq\r(2）.11．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的高為_(kāi)_______．考點(diǎn)圓錐的結(jié)構(gòu)特征題點(diǎn)與圓錐有關(guān)的運(yùn)算答案eq\r（3)解析由題意知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2π的半圓面，因?yàn)?π＝πl(wèi)2,所以母線長(zhǎng)為l＝2，又半圓的弧長(zhǎng)為2π,圓錐的底面的周長(zhǎng)為2πr＝2π,所以底面圓半徑為r＝1,所以該圓錐的高為h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r（22－12）＝eq\r(3）.三、解答題12．A，B，C是球面上三點(diǎn)，已知弦（連接球面上兩點(diǎn)的線段）AB＝18cm，BC＝24cm，AC＝30cm,平面ABC與球心的距離恰好為球半徑R的一半，求球的半徑．解如圖所示，因?yàn)锳B2＋BC2＝AC2,所以△ABC是直角三角形．所以△ABC的外接圓圓心O1是AC的中點(diǎn)．過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面截球O得圓O1的半徑為r＝15cm.在Rt△OO1C中，R2＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(R,2))）2＋r2.所以R2＝eq\f（R2,4)＋152，所以R2＝300，所以R＝10eq\r(3）(cm）．即球的半徑為10eq\r(3）cm.13．圓臺(tái)側(cè)面的母線長(zhǎng)為2a，母線與軸的夾角為30°，一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍．求兩底面的半徑與兩底面面積之和．解設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r，則下底面半徑為2r,圓臺(tái)上底面面積為S1，下底面面積為S2，兩底面面積之和為S。如圖所示，∠ASO＝30°,在