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文檔簡介

§5.2拉普拉斯變換一、定義設(shè)函數(shù)當(dāng)時有定義，且積分

在S的某一域內(nèi)收斂,則

稱為函數(shù)的拉氏變換，記為

LL稱為的拉氏變換(像函數(shù))。

拉氏變換的存在定理若函數(shù)滿足：

1)在t≥0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；

使得時

成立，則的拉氏變換

在半平面Re(s)>c上一定存在，此時右端積分絕對且一致收斂，在此平面內(nèi)F(s)為解析函數(shù)。

證明（略）若F(s)是f(t)的拉氏變換，可推出

此積分沿著任一直線稱此式為的拉氏逆變換（反演公式），記為

L稱為的像原函數(shù)。

例1

求下列幾個初等函數(shù)的拉氏變換

LLLLLL二、拉氏變換的性質(zhì)１、線性性質(zhì)：若為常數(shù)LLLL2、相似性質(zhì)LLL例2．

如果,利用相似性質(zhì)有L如果則有LL3、位移性質(zhì)LLL如果，則有

LLL例3.如果，則有4、延遲性質(zhì)若為非負(fù)實數(shù)，有LL拉氏逆變換有

L5、微分性質(zhì)設(shè)分段連續(xù)，則LLLL其中,這是由于

推論：若,則有LL特別，當(dāng)初值有L象函數(shù)的微分性質(zhì)，若,則LLL一般地，有

L例4若，則有LL6.積分性質(zhì)若則LL同理由，可得

LL由微分性質(zhì)有

又

LLLLLL故L推論

L7、卷積性質(zhì)卷積定義：若滿足拉氏變換存在條件，稱積分為的卷積。記為，即實質(zhì)上傅氏變換的卷積與拉氏變換的卷積的定義一致。

這是因為

卷積滿足交換律、結(jié)合律和分配律，即

卷積定理若則LLL或

LL一般若,則LL卷積性質(zhì)在求拉氏逆變換時，起著十分重要的作用。

例5

若，求.

解：因

根據(jù)卷積的性質(zhì)，得

而LL在運(yùn)用拉氏變換求解定解問題時，需要由像函數(shù)求它的像原函數(shù)，即利用公式右端積分稱為拉氏反演積分。下面的定理將提供計算這種反演積分的方法。

定理：若是函數(shù)的所有奇點(diǎn)

（適當(dāng)選取，使這些奇點(diǎn)全在的范圍內(nèi)），且當(dāng)

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