第五章方差分析第一節(jié)概述前面介紹了兩樣本均數(shù)比較的t檢驗(yàn)，但在實(shí)際研究中經(jīng)常需要多組均數(shù)的比較。如:例5.1患有某種腫瘤的大白鼠接受不同實(shí)驗(yàn)處理后（對(duì)照未服藥；服抗癌A藥；服抗癌B藥；服抗癌C藥），2周后體內(nèi)存活的腫瘤細(xì)胞數(shù)如表5.1所示，比較不同實(shí)驗(yàn)處理后的平均存活腫瘤細(xì)胞數(shù)是否有差異。表5.1不同實(shí)驗(yàn)處理后存活腫瘤細(xì)胞數(shù)（有絲分裂細(xì)胞／10個(gè)高倍鏡視野）對(duì)照服抗癌A藥服抗癌B藥服抗癌C藥合計(jì)48452355051206464722052481924847212504N565622x48.8048.0021.003.1733.45s2.282.191.582.2320.14本例中共有4種實(shí)驗(yàn)處理，在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中稱(chēng)為一個(gè)因素中的4個(gè)水平:第一個(gè)水平為對(duì)照處理；第二個(gè)水平為服用A藥處理；第三個(gè)水平為服用B藥處理；第四個(gè)水平為服用C藥處理。根據(jù)本例的研究問(wèn)題，相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)為H。：叫=巴=巴=巴vsHr叫，巴，巴，巴不全相同不能用t檢驗(yàn)進(jìn)行兩兩比較，第一類(lèi)錯(cuò)誤會(huì)增大。由于本例共有4組的均數(shù)需要比較。如果用t檢驗(yàn)進(jìn)行兩兩比較，共要進(jìn)行C2二6次4t檢驗(yàn)。如果每次t檢驗(yàn)犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為0.05,則不犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為0.95,6次都不犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為0.956二0.7351，因此在6次t檢驗(yàn)中至少有一次犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為1-0.956二0.2649>>0.05。由此可見(jiàn)用t檢驗(yàn)進(jìn)行多組均數(shù)的比較會(huì)增大犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率。要用方差分析或多組的秩和檢驗(yàn)（KruskalWallistest）的方法進(jìn)行多組比較：方差分析的英文全稱(chēng)為AnalysisofVariance，縮寫(xiě)簡(jiǎn)稱(chēng)為AN0VA。統(tǒng)計(jì)分析策略■如果每一組資料服從正態(tài)分布（或大樣本），并且方差齊性，則可以用方差分析的方法進(jìn)行比較?！鋈绻讲畈积R或小樣本而非正態(tài)分布，則用KruskalWallis進(jìn)行檢驗(yàn)。第二節(jié)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的方差分析一、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)表5.1不同實(shí)驗(yàn)處理后存活腫瘤細(xì)胞數(shù)(有絲分裂細(xì)胞／10個(gè)高倍鏡視野)對(duì)照(i=l)服抗癌A藥(1=2)服抗癌B藥(1=3)服抗癌C藥(1=4)合計(jì)48452355051206464722052481924847212504n565622X 48.8048.0021.003.1733.45s 2.282.191.582.2320.14例5.1就是完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的資料。該例中的處理因素是不同的實(shí)驗(yàn)處理(即服用不同藥物情況)，共有4個(gè)水平，對(duì)照未服藥、服抗癌A藥、服抗癌B藥和服抗癌C藥，觀察指標(biāo)是大白鼠體內(nèi)存活腫瘤細(xì)胞數(shù)，觀察結(jié)果及部分描述統(tǒng)計(jì)量見(jiàn)表5.1。二、變異的分解(以本例為例)組間變異SS =n(X-X)+n(X-X)+n(X-X)+n(X-X)組間1 1 2 2 3 3 4 4其中X,X,X,X為第1組，第2組，第3組和第4組的樣本均數(shù)，X為所有數(shù)據(jù)1234的平均數(shù)。自由度v=4—1=3組內(nèi)變異SS=(n-1)S2+(n-1)S2+(n-1)S2+(n-1)S2組內(nèi)1 1 2 2 3 3 4 4S,S,S,S為各組的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。1234自由度v=22—4=18可以證明：H:卩二卩二卩二卩成立時(shí)，SS較小0 1 2 3 4 組間H:卩二卩二卩二卩不成立時(shí)，SS較大0 1 2 3 4 組間H屮=卩=卩=卩是否成立與組內(nèi)變異SS士無(wú)關(guān)。0 1 2 3 4 組內(nèi)SS=SS＋SS，其中總 組間 組內(nèi)SS=(x-X)2+(x-X)2++(x-X)2+(x-X)2++(x-X)2總1121511264=荒(x-X)2 … …ijj=1i其中X表示所有資料的平均數(shù)，用N表示總樣本量(本例N=5+6+5+6=22)。資料乂彳越離散，SS越大，反之亦然。ijSS還與樣本的自由度(degreeoffreedom)=N—1有關(guān)(N為總樣本量)，自由度增大,SS增大。組內(nèi)變異自由度為v組內(nèi)=N-k由于組間變異和組內(nèi)變異與自由度有關(guān)，所以不能直接比較離均差平方和。將各部分的離均差平方和除以各自的自由度，得到相應(yīng)的平均變異指標(biāo)：均方(meansquare，記為MS)。組間變異和組內(nèi)變異的均方可通過(guò)公式5.7和公式5.8計(jì)算得到。MS組間SS= ■組間v組間(5.7)SSMS= ■組內(nèi)(5.8)組內(nèi)v組內(nèi)均方消除了自由度的影響，因而可以進(jìn)行比較。將組間均方除以組內(nèi)均方，就得到方差分析的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F。MSF=組間 (5.9)MS組內(nèi)可以證明，當(dāng)H成立時(shí)，貝yF服從自由度為k-1和N-k的F分布；若H不成立，則F00不服從F分布，且大多數(shù)情況下，F(xiàn)遠(yuǎn)大于1。因此，可通過(guò)F的大小判斷H。的成立與否。三、方差分析的步驟建立假設(shè)并確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)根據(jù)例5.1的題意，可作如下假設(shè)：H：不同實(shí)驗(yàn)組大白鼠體內(nèi)存活的腫瘤細(xì)胞數(shù)的總體均數(shù)相同，即卩=卩=卩=卩；01234H1：不同實(shí)驗(yàn)組大白鼠體內(nèi)存活的腫瘤細(xì)胞數(shù)的總體均數(shù)不全相同。檢驗(yàn)水準(zhǔn)：a=0.052、 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量根據(jù)表5.3的計(jì)算公式，可計(jì)算各變異部分的離均差平方和、自由度、均方和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值。表5.3完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料方差分析的計(jì)算公式(k個(gè)樣本)

變異來(lái)源離均差平方和(SS)自由度(u)均方(MS)F值組間變異工n(xj.j-X)2k-1SS組間VMS組間MSj組間組內(nèi)組內(nèi)變異莎 (xij—X)2.jN-kSS組內(nèi)Vji組內(nèi)總變異莎(xij-X)2N-1本例計(jì)算為用Stata軟件計(jì)算如下groupx148150146152148245251247248247250323320322319321454640424244由于本例樣本量較少，正態(tài)性檢驗(yàn)有些困難。可以采用各組資料減去相應(yīng)的樣本均數(shù)，然后再檢驗(yàn)。因此先計(jì)算各組的樣本均數(shù)，Stata命令tabgroup,su(x)

| Summaryofxgroup| MeanStd.Dev. Freq. + 1|48.82.280350952|482.190890263|211.581138854|3.16666672.2286026 + Total| 29.818182 20.136762 22gend=0replaced=x-48.8ifgroup==1replaced=x-48ifgroup==2replaced=x-21ifgroup==3replaced=x-3.166667ifgroup==4d稱(chēng)為殘差。進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)sktestdjoint Prob>chi20.3633joint Prob>chi20.3633Variable|Pr(Skewness)Pr(Kurtosis)adjchi2(2) + d| 0.853 0.181 2.03沒(méi)有證據(jù)認(rèn)為資料偏態(tài)分布。Stata命令：oneway觀察變量分組變量，t本例命令：onewayxgroup,tonewayxgroup,t| Summaryofxgroup| MeanStd.Dev. Freq. + 1|48.82.280350952|482.190890263|211.581138854|3.16666672.2286026 + Total| 29.818182 20.136762 22AnalysisofVarianceSource SS dfMS FProb>FBetweengroups 8435.63939 3 2811.8798 635.59 0.0000Withingroups 79.6333333 18 4.42407407Total 8515.27273 21 405.489177Bartlett'stestforequalvariances:chi2(3)= 0.5947Prob〉chi2=0.898藍(lán)色處為方差齊性檢驗(yàn)。P=0.898〉0.1,所以不能認(rèn)為方差不齊。均數(shù)的比較的P值〈0.0001,因此拒絕H0卩二卩二卩二卩，并可以認(rèn)為各組均數(shù)不全相01234等。因此需用進(jìn)一步組間兩兩比較,以確定那些組之間確有差異。兩兩比較有許多方法,此處近介紹兩種方法：lsd方法和Bonferroni方法lsd稱(chēng)為最小差異檢驗(yàn),適用于探索性研究。命令如下：lsdxgroupLSD方法進(jìn)行兩兩均數(shù)比較輸入效應(yīng)變量分組變量mean1-mean2=0.800000P-value=0.537814mean1-mean3=27.800000P-value=0.000000mean1-mean4=45.633333P-value=0.000000mean2-mean3=27.000000P-value=0.000000mean2-mean4=44.833333P-value=0.000000mean3-mean4=17.833333P-value=0.000000mean1-mean2=0.800000P-value=0.537814mean1-mean3=27.800000P-value=0.000000mean1-mean4=45.633333P-value=0.000000mean2-mean3=27.000000P-value=0.000000mean2-mean4=44.833333P-value=0.000000mean3-mean4=17.833333P-value=0.000000因此第1組和第2組之間的差異沒(méi)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(nosignificant),第1組和第2組的平均存活腫瘤細(xì)胞數(shù)分別高于第3組和第4組，第3組的平均存活腫瘤細(xì)胞數(shù)也高于第4組，差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。(thedifferencesarestatisticallysignificant)。Bonferroni是一種比較保守的兩兩比較方法，通常用于比較慎重的研究結(jié)果。命令如下：onewayxgroup,bAnalysisofVarianceSourceSSdfMSProb>FBetweengroups8435.639392811.8798635.590.0000Withingroups79.633333318 4.42407407Total8515.2727321 405.489177SourceSSdfMSProb>FBetweengroups8435.639392811.8798635.590.0000Withingroups79.633333318 4.42407407Total8515.2727321 405.489177Bartlett'stestforequalvariances:chi2(3)= 0.5947Prob〉chi2=0.898Comparisonofxbygroup(Bonferroni)RowMean-|ColMean| 1 2 3 + 2|-.8||1.0003|-27.8-27||0.0000.0004|-45.6333-44.8333-17.8333|0.0000.0000.000紅色處為P值。本例結(jié)果與LSD相同。Bonferroni方法計(jì)算的P值=min（LSD的P值X比較次數(shù)，1）本例的比較次數(shù)為3,所以Bonferroni方法計(jì)算的P值=LSD的P值X3但是，第一組與第二組比較的LSD的P值X3>1,所以Bonferroni方法計(jì)算的P值=1。單因素多組資料的秩和檢驗(yàn)成組設(shè)計(jì)多組計(jì)量資料的處理效應(yīng)的比較，如果資料不滿足完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析的應(yīng)用條件，可用Kruskal-WallisH檢驗(yàn)（Kruskal-WallisHtest）。Kruskal-WallisH檢驗(yàn)用于推斷計(jì)量資料或等級(jí)資料的多個(gè)獨(dú)立樣本所來(lái)自的多個(gè)總體的分布是否相同。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法、步驟和基本思想見(jiàn)例8.4。（一）計(jì)量資料的多個(gè)樣本比較例8.4研究單味中藥對(duì)小鼠細(xì)胞免疫機(jī)能的影響，把40只小鼠隨機(jī)分為4組，每組10只，雌雄各半，用藥15天后，測(cè)定E-玫瑰結(jié)形成率（X：%）,結(jié)果見(jiàn)表8.4第（1）、（3）、（5）、（7）欄。問(wèn)：?jiǎn)挝吨兴帉?duì)E-玫瑰結(jié)形成率有無(wú)影響？表8.4四組E-玫瑰結(jié)形成率（X：%）比較對(duì)照組黨參組黃芪組淫羊霍組XXXX(1)(2)(3)(4)1421243510242027121822331617182913221731

141921401218183510232230132019289182336本例為百分率資料，不符合正態(tài)分布，現(xiàn)用Kruskal-WallisH檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)分析步驟如下：檢驗(yàn)假設(shè)：H:四組E-玫瑰結(jié)形成率的總體分布相同0H]:四組E-玫瑰結(jié)形成率的總體分布不全相同a二0.05編秩:把四個(gè)樣本數(shù)據(jù)混合從小到大編秩次，求秩和并確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:分組求秩和，按下式求檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量H值。TOC\o"1-5"\h\z12y__ 12 VR2H二 乙n(R-R)2二 (乙十)-3(N+1) (85)N(N+1) ii N(N+1) ni如果H成立，各個(gè)總體相同，各組的平均秩R應(yīng)該非常接近總的平均秩R，即：在通常情0i況下，統(tǒng)計(jì)量H應(yīng)該比較小，在樣本量比較大時(shí)，近似服從咒2分布(Chi—Square)。反之，H不成立時(shí)，各個(gè)總體不相同，各組的平均秩斤應(yīng)遠(yuǎn)離總的平均秩R，統(tǒng)計(jì)量H值會(huì)增大。用Stata軟件進(jìn)行檢驗(yàn)如下Stata格式如下:gx11411011211611311411211011319221224218217

222219218223220218324320322318317321318322319323435427433429431440435430428436Stata命令kwallis觀察變量，by（分組變量）本例：kwallisx,by(g)kwallisx,by(g)Test:Equalityofpopulations(Kruskal-Wallistest)g_Obs_RankSum11055.00210200.00310210.00410355.00chi-squared=32.963bability二0.0001chi-squaredwithties=33.072bability二0.0001Kruskal-Wallis檢驗(yàn)的P值=0.0001〈,所以可以認(rèn)為四組樣本所在總體不全相同。進(jìn)一步檢驗(yàn)可以用兩組比較的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，結(jié)合Bonferroni校正P值的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，但要根據(jù)研究問(wèn)題，有選擇地進(jìn)行比較，僅可能地減少比較的次數(shù)。第二節(jié)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的方差分析隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是每個(gè)區(qū)組內(nèi)的k個(gè)受試對(duì)象有較好的同質(zhì)性，組間均衡性較好，與完全隨機(jī)設(shè)計(jì)相比，可以較好地減少非研究因素對(duì)觀察結(jié)果的影響（稱(chēng)為偏倚，Bias）；缺點(diǎn)是要求區(qū)組內(nèi)受試對(duì)象數(shù)與處理數(shù)相等，實(shí)驗(yàn)結(jié)果中若有數(shù)據(jù)缺失，統(tǒng)計(jì)分析較麻煩。在醫(yī)學(xué)科學(xué)研究中的隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)主要有以下幾種情況：1.配對(duì)或配伍的k（k±2）個(gè)受試對(duì)象分別接受k種處理（即一個(gè)處理因素的k個(gè)水平）之后的數(shù)據(jù)；2.同一樣品用k種方法（或儀器等）檢驗(yàn)的結(jié)果；3.同一受試對(duì)象k個(gè)部位的數(shù)據(jù)。對(duì)于隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的統(tǒng)計(jì)分析，根據(jù)資料性質(zhì)（定量或分類(lèi)資料）、處理組數(shù)以及符合的統(tǒng)計(jì)分析條件，可選用配對(duì)t檢驗(yàn)，配對(duì)秩和檢驗(yàn)，配對(duì)卡方檢驗(yàn)，隨機(jī)區(qū)組的方差分析，隨機(jī)區(qū)組的秩和檢驗(yàn)等。例1：某研究者將24名貧血患兒按年齡及貧血程度分成8個(gè)區(qū)組（b=8）,每個(gè)區(qū)組的3個(gè)對(duì)象的年齡非常接近并且貧血程度也非常接近，每區(qū)組中三名兒童用隨機(jī)的方式分配給A、B和C三種不同的治療方法（處理組，k=3）。治療后血紅蛋白含量的增加量（g/L）列表如下（倪宗瓚，《醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)》第二版P84）表1貧血患兒不同療法治療后血紅蛋白含量的增加量（g/L）區(qū)組A療法B療法C療法1161818215162031927354131323511141761081275388-2-23隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)要求每個(gè)處理組內(nèi)的研究對(duì)象個(gè)數(shù)必須是相同的，并且每個(gè)區(qū)組的觀察例數(shù)也是相同的。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的觀察資料一般形式如表5.6所示的二、變異分解根據(jù)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的性質(zhì)，在例5.2中，血紅蛋白含量增加量的變異除了總變異、處理組間變異（不同治療方案之間）和個(gè)體變異外，還有區(qū)組間變異（不同組年齡和貧血程度之間）。各種變異之間的關(guān)系可用公式5.10表示：SS=SS +SS +SS （5.10）總 處理組間 區(qū)組間誤差

1、處理組間變異描述了不同治療方案對(duì)應(yīng)的血紅蛋白含量增加量的樣本均數(shù)之間的差異 SS=n工(x—X)2 (5-11)處理 .jj其中x)為第j個(gè)處理組的樣本均數(shù)，自由度為v處理二k-1。如果3種治療效果相同，則對(duì)應(yīng)的總體均數(shù)應(yīng)該相同，各個(gè)樣本均數(shù)之間的差異一般會(huì)很小，所以SS處理較??；如果3種治療效果不同，對(duì)應(yīng)的總體均數(shù)不同，各個(gè)樣本均數(shù)之間處理的差異會(huì)較大，相應(yīng)的SS處理較大。處理3、區(qū)組間變異是指不同區(qū)組的血紅蛋白含量增加量樣本均數(shù)之間差異SS=k工(X—X)2 (5.12)區(qū)組 i.i由于同一區(qū)組的年齡和貧血程度非常接近，而不同年齡和貧血程度不同，它反映了不同年齡和貧血程度對(duì)血紅蛋白含量增加量樣本均數(shù)的影響。4、誤差是指總變異中排除了處理變異和區(qū)組變異外，僅僅由隨機(jī)誤差引起的變異。其SS誤差的計(jì)算公式可以根據(jù)公式(5.13)來(lái)獲得：誤差SS=SS-SS -SS (5.13)誤差 總 處理 區(qū)組其自由度為v誤差二(k-l)(n-l)根據(jù)計(jì)算所得的SS和自由度，可計(jì)算變異來(lái)源各部分的均方：MS處理MSMS處理MS區(qū)組MS、口Air誤差然后可以得到兩個(gè)F值：SS處理v處理SS―區(qū)組v區(qū)組SS、口Air 誤差v、口Air誤差(5.14)(5.15)(5.16)MSF二■處理處理MSF二■處理處理MS、口Air誤差MSF二區(qū)組區(qū)組MS、口Air誤差然后用F分布進(jìn)行檢驗(yàn)。(5.17)(5.18)即：比完全隨機(jī)分組的方差分析多分離一個(gè)區(qū)組變異用Stata軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析如下數(shù)據(jù)格式gblockx1116211831181215221632201319232733351413241334231511251435171610268361217527337818-228-2383Stata命令：anova觀察變量處理變量區(qū)組變量本例命令anovaxgblockNumberofobs = 24 R-squared = 0.9427RootMSE = 2