..六萬有引力和天體運動開普勒行星定律第一定律——軌道定律所有行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓,太陽處于所有橢圓的一個焦點上。因此地球公轉時有近日點和遠日點第二定律——面積定律太陽和行星的連線在相等的時間內掃過的面積相等。因此行星的公轉速率是不均勻的,在近日點最快,在遠日點最慢。第三定律——周期定律所有行星橢圓軌道的半長軸R的三次方與公轉周期T的平方的比值都相等。eq\f<R3,T2>＝kk是與行星無關,而與太陽有關的量。若公轉軌道為圓,那么R就是指半徑。第三定律針對的是繞同一中心天體運動的各星體,若中心天體不同,不能死套周期定律：例如比較地球和火星,就有eq\f<R地3,T地2>＝eq\f<R火3,T火2>＝kk是一個與中心天體太陽有關的常數(shù),與行星無關。例如比較月球和人造衛(wèi)星,就有eq\f<R月3,T月2>＝eq\f<R衛(wèi)3,T衛(wèi)2>＝k′k′是一個與中心天體地球相關的常數(shù),與衛(wèi)星無關。例如行星的衛(wèi)星并非主要繞太陽運動,不能直接和行星比較,即eq\f<R地3,T地2>≠eq\f<R月3,T月2>已知日地距離為1.5億千米,火星公轉周期為1.88年,據(jù)此可推算得火星到太陽的距離約為A.1.2億千米B.2.3億千米C.4.6億千米D.6.9億千米解：B萬有引力定律基本概念表述：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的——引力普遍存在；引力的大小跟這兩個物體的質量的乘積成正比,跟它們的距離的二次方成反比——F萬∝eq\f<m1m2,R2>公式：F萬＝Geq\f<m1m2,R2>其中G稱為引力常量,適用于任何物體,由卡文迪許首先測出。它在數(shù)值上等于兩個質量都是1kg的質點相距1m時的相互作用力：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。定律的適用范圍：①定律只適用于質點間的相互作用,公式中的R是所研究的兩質點間的距離。②定律還可用于兩均勻球體間的相互作用,公式中的R是兩球心間的距離。③定律還可用于一均勻球體和球體外另一質點間的相互作用,公式中的R是球心與質點間的距離。已知月球中心到地球中心的距離約是地球半徑的60倍,兩者質量之比M月∶M地＝1∶81。問由地球飛往月球的飛船距月球中心多遠時,地球與月球對飛船的萬有引力的合力恰好為零？解：設飛船質量為m,所求距離為d,據(jù)平衡條件有Geq\f<M月m,d2>＝Geq\f<M地m,<60R地－d>2>解得d＝6R地萬有引力和重力地面上物體的重力mg是地球對該物體的萬有引力的一個分力。隨著緯度的升高,物體所需向心力減小,物體的重力逐漸增大。事實上,地球表面的物體受到的萬有引力和重力十分接近。例如,在赤道上的一個質量為1kg的物體,用F萬＝Geq\f<Mm,R2>計算出來的萬有引力是9.830N,用F向＝meq\f<4π2,T2>R計算出來的的向心力是0.034N,那么物體受到的重力是mg＝F萬－F向＝9.796N。因此在地面及附近,可認為mg＝Geq\f<Mm,R2>那么重力加速度g＝Geq\f<M,R2>——黃金代換已知地球的半徑約為R,地球表面的重力加速度為g,月球繞地球運動的周期為T。又知月球的公轉可看做勻速圓周運動,試用上述物理量表達出地月距離L〔L遠大于R。解：L遠大于R,可將地球和月球視為質點,由萬有引力定律和牛頓第二定律有Geq\f<Mm月,L2>＝m月eq\f<4π2,T2>L①在地球表面,有m物g＝Geq\f<Mm物,R2>②聯(lián)立①、②式解得L＝eq\r<3,\f<gR2T2,4π2>>地球表面附近高度為h〔hR的地方,仍可視為重力等于萬有引力：mg′＝Geq\f<Mm,<R＋h>2>故距地面高度為h的地方,重力加速度g′＝eq\f<GM,<R＋h>2>＝eq\f<R2,<R＋h>2>g可見,隨高度的增大,重力加速度迅速減小。在地球某處海平面上測得物體自由下落高度h時所經(jīng)歷的時間為t。在某高山頂上測得物體下落同樣的高度所需時間增加了Δt。已知地球半徑為R,試用上述各量表達山的高度H。解：設地面的重力加速度為g,據(jù)直線運動規(guī)律有g＝eq\f<2h,t2>設高山頂上的重力加速度為g′,同理有g′＝eq\f<2h,<t＋Δt>2>則eq\f<g,g′>＝<eq\f<t＋Δt,t>>2①在地面附近,可認為重力等于萬有引力,有mg＝Geq\f<Mm,R2>mg′＝Geq\f<Mm,<R＋H>2>則eq\f<g,g′>＝<eq\f<R＋H,R>>2②聯(lián)立①②式得eq\f<t＋Δt,t>＝eq\f<R＋H,R>解得H＝eq\f<Δt,t>R利用萬有引力定律測量天體質量和密度以天體表面的物體為研究對象設星球半徑為R,在天體表面有：mg＝Geq\f<Mm,R2>得M＝eq\f<gR2,G>；而V＝eq\f<4,3>πR3,則ρ＝eq\f<M,V>＝eq\f<3g,4πGR>已知地球表面的重力加速度為9.8m/s2,地球半徑為6.4×103km,引力常量為6.67×10－11N·m2/kg解：設地面上有一質量為m的物體,它所受到的地球引力近似等于它的重力：mg＝Geq\f<Mm,R2>得M地＝eq\f<gR2,G>ρ地＝eq\f<M地,V地>＝eq\f<3g,4πGR>＝eq\f<3×9.8,4×3.14×6.67×10－11×6.4×106>kg/m3＝5.48×103kg/m3ρ核＝eq\f<0.34M地,0.16V地>＝eq\f<17,8>ρ地＝11.6×103kg/m3宇航員在地球表面以一定的初速度豎直上拋一小球,經(jīng)過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球,需經(jīng)過5t的時間后小球才落回原處〔地球重力加速度取g＝10m/s2,空氣阻力不計,求：〔1該星球表面附近的重力加速度；〔2已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4,求該星球的質量和地球質量之比。解：物體作豎直上拋運動時,上升時間t＝eq\f<v,a>則a∝eq\f<1,t>即eq\f<g星,g地>＝eq\f<t,5t>得g星＝2m/s2在星球表面有mg＝Geq\f<Mm,R2>,故有M∝gR2即eq\f<M星,M地>＝eq\f<g星R星2,g地R地2>＝eq\f<1,80>以繞中心天體運動的物體為研究對象設物體的軌道半徑為r,由牛頓第二定律及萬有引力定律有F萬＝F向Geq\f<Mm,r2>＝meq\f<v2,r>＝mω2r＝mvω＝meq\f<4π2,T2>r＝m4π2f2r得M＝eq\f<v2,G>r＝eq\f<4π2,GT2>r3；若已知中心天體的半徑R,V＝eq\f<4,3>πR3,則ρ＝eq\f<M,V>特別地,若物體是在中心天體表面附近飛行,則有R＝r一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行,測得飛船繞行一周所需時間為T,若該行星的密度可視為是均勻的,求該行星密度的表達式?！惨ΤＡ繛镚解：據(jù)萬有引力和牛頓第二定律有Geq\f<Mm,r2>＝meq\f<4π2,T2>r得M＝eq\f<4π2,GT2>r3由于飛船是在行星表面附近飛行,可認為軌道半徑r與星球半徑R相等,有V＝eq\f<4,3>πr3則ρ＝eq\f<M,V>＝eq\f<3π,GT2>人造衛(wèi)星人造衛(wèi)星的發(fā)射所謂"發(fā)射速度"并非指火箭的起飛速度,而是衛(wèi)星脫離火箭進入軌道時的速度。人造衛(wèi)星的在軌運行很多人造地球衛(wèi)星進入軌道后,就以一穩(wěn)定的速度做勻速圓周運動,軌道中心在地心。其運動所需的向心力由地球對衛(wèi)星的萬有引力提供。于是有Geq\f<Mm,r2>＝meq\f<v2,r>＝mω2r＝meq\f<4π2,T2>r＝m4π2f2r其中r為軌道半徑,設地球半徑為R,衛(wèi)星距地面的高度為h,則r＝R地＋h。衛(wèi)星按照不同的用途被安排在距地高度不同的圓軌道上。比較不同軌道上的衛(wèi)星,它們的運行參數(shù)和軌道半徑間有下列關系：繞行速度v和半徑r：由Geq\f<Mm,r2>＝meq\f<v2,r>得v2∝eq\f<1,r>,可見r越大,繞行速度越小。即衛(wèi)星的軌道越高,其線速度越小。角速度ω和半徑r：由Geq\f<Mm,r2>＝mω2r得ω2∝eq\f<1,r3>可見r越大,角速度ω越小。環(huán)繞周期T和半徑r：由Geq\f<Mm,r2>＝meq\f<4π2,T2>r得T2∝r3可見r越大,周期T越大。衛(wèi)星的向心加速度a和半徑r：由Geq\f<Mm,r2>＝ma得a∝eq\f<1,r2>可見r越大,向心加速度a越小?；鹦怯袃深w衛(wèi)星,分別是火衛(wèi)一和火衛(wèi)二,它們的軌道近似為圓,已知火衛(wèi)一的周期為7h39min,火衛(wèi)二的周期是30h18min,那么兩顆衛(wèi)星相比較：火衛(wèi)一距火星表面近火衛(wèi)二的角速度較大火衛(wèi)一的運動速度較大火衛(wèi)二的向心加速度較大解：AC三種宇宙速度第一宇宙速度衛(wèi)星脫離火箭,被火箭發(fā)射到軌道上時,有一個最小發(fā)射速度,若衛(wèi)星脫離火箭時的速度比它還小,衛(wèi)星將象炮彈一樣落回地面。這一最小發(fā)射速度稱為第一宇宙速度,記為vⅠ。衛(wèi)星以該速度運行時,處于最低的近地軌道,如果軌道再低,衛(wèi)星的運行將受到空氣阻力的影響,會墜落回地面。此時軌道距地面約200km,其軌道半徑可視為地球半徑。vⅠ是衛(wèi)星的最小發(fā)射速度,若發(fā)射速度達不到vⅠ,衛(wèi)星將墜回地面。vⅠ是衛(wèi)星軌道為圓形時的最大繞行速度,若速度再增大,軌道將不再是圓。已知地球半徑為R,地球表面的重力加速度為g,不考慮地球自轉的影響,〔1試推導第一宇宙速度v1的表達式。〔2若某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動,運行軌道距地面高度為h,求衛(wèi)星的運行周期T。解：〔1衛(wèi)星繞地運動時,設軌道半徑為r,據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：Geq\f<Mm,r2>＝meq\f<vⅠ2,r>由于衛(wèi)星此時在地表附近飛行,有mg＝Geq\f<Mm,r2>r＝R聯(lián)立可解得vⅠ＝eq\r<gR地>＝7.9km/s〔2據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：Geq\f<Mm,<R＋h>2>＝meq\f<4π2,T2><R＋h>對于地面上的物體,有m物g＝Geq\f<Mm物,R2>聯(lián)立可解得T＝2πeq\f<R＋h,R>eq\r<\f<R＋h,g>>第二宇宙速度和第三宇宙速度如果第三級火箭進入圓軌道后,發(fā)動機繼續(xù)工作,使得衛(wèi)星的發(fā)射速度大于7.9km/s,那么衛(wèi)星將沿橢圓軌道運行；若衛(wèi)星的發(fā)射速度進一步增大,達到11.2km/s時,衛(wèi)星就會脫離地球的引力而不再繞地運行。此后衛(wèi)星將成為繞太陽運行的人造行星或者向其它行星飛去。這個速度是航天器能夠脫離地球引力的最小速度,稱為第二宇宙速度,記為vⅡ,也稱為地球表面的逃逸速度。如果發(fā)射速度進一步增大,達到16.7km/s以上時,航天器將脫離太陽引力束縛,飛到太陽系以外的宇宙中,不再返回太陽系或地球。這一速度稱為第三宇宙速度,記為vⅢ。地球同步靜止衛(wèi)星衛(wèi)星繞地球旋轉周期與地球自轉周期完全相同,相對位置保持不變。此衛(wèi)星在地球上看來是靜止地掛在高空,稱為地球同步靜止衛(wèi)星,簡稱同步衛(wèi)星或靜止衛(wèi)星。同步衛(wèi)星的特點①軌道為圓。如果它的軌道是橢圓,則地球應處于橢圓的一個焦點上,衛(wèi)星在繞地球運轉的過程中就必然會出現(xiàn)近地點和遠地點,當衛(wèi)星向近地點運行時,衛(wèi)星的軌道半徑將減小,地球對它的萬有引力就變大,衛(wèi)星的周期變?。环粗?當衛(wèi)星向遠地點運行時,衛(wèi)星的軌道半徑將變大,地球對它的萬有引力就減小,衛(wèi)星的周期變大,這也就不能保持同步了。所以同步衛(wèi)星軌道不是橢圓,而只能是圓。②軌道平面與赤道共面。假設衛(wèi)星發(fā)射在北緯某地的上空的B點,其受力情況如圖1所示,由于該衛(wèi)星繞地軸做圓周運動所需的向心力只能由萬有引力的一個分力F1提供,而萬有引力的另一個分力F2就會使該衛(wèi)星離開B點向赤道運動。所以衛(wèi)星若發(fā)射在赤道平面的上方<或下方>某處,則衛(wèi)星在繞地軸做圓周運動的同時,也向赤道平面運動,它的運動就不會穩(wěn)定,從而使衛(wèi)星不能與地球同步,所以要使衛(wèi)星與地球同步運行,必須要求衛(wèi)星的軌道與地球赤道共面。③高度固定。在赤道上空的同步衛(wèi)星,它受到的唯一的力——萬有引力提供衛(wèi)星繞地軸運轉所需的向心力。當衛(wèi)星離地面的高度h取某一定值時,衛(wèi)星繞地軸運轉就可以與地球自轉同步,兩者的周期均為T=24h。設地球質量為M,地球半徑為R,衛(wèi)星質量為m,離地面的高度為h,則有Geq\f<Mm,<R＋h>2>＝meq\f<4π2,T2><R＋h>得h＝eq\r<3,\f<GMT2,4π2>>－R將R=6400km,G=6.67×10-11N·m2/kg2,M=6.0×1024kg,h=3.6×10即同步衛(wèi)星距離地面的高度相同<均為h=3.6×104km同步衛(wèi)星的發(fā)射同步衛(wèi)星的發(fā)射,通常都采用變軌發(fā)射的方法。如圖所示,先是用運載火箭把衛(wèi)星送入近地圓軌道1,待衛(wèi)星運行狀態(tài)穩(wěn)定后,在近地點<a點>,衛(wèi)星的火箭開始點火加速,把衛(wèi)星送入橢圓軌道2<稱為轉移軌道>上,橢圓軌道的遠地點<b點>距地心距離等于同步軌道半徑。以后再在地面測控站的控制下,利用遙控指令選擇在遠地點啟動星載發(fā)動機點火加速,使衛(wèi)星逐步調整至同步圓軌道3運行。相反,對返回式衛(wèi)星<或飛船>在回收時,應在遠地點b和近地點a分別使衛(wèi)星<或飛船>減速,使衛(wèi)星從高軌道進入橢圓軌道,再回到近地軌道,最后進入大氣層,落回地面。試比較下列速度：衛(wèi)星在近地軌道上的繞行速度v1,衛(wèi)星在橢圓軌道近地點的速度v2,衛(wèi)星在遠地點的速度v3,衛(wèi)星在同步軌道上的繞行速度v4：據(jù)v＝eq\r<\f<GM,r>>可知,圓軌道半徑越大,繞行速度越小,故v1＞v4；衛(wèi)星在a點要點火加速,故v2＞v1；橢圓軌道上近地點速度要大于遠地點速度,故v2＞v3；衛(wèi)星在b點要點火加速,故v4＞v3。綜上所述有v2＞v1＞v4＞v3。雙星和多星系統(tǒng)宇宙中的那些相距較近,質量可以比擬的兩顆星球,它們