初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識講義第一講和絕對值有關(guān)的問題知識結(jié)構(gòu)框圖：數(shù)絕對值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。(2)代數(shù)意義：①正數(shù)的絕對值是它的本身；②負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；③零的絕對值是零。也可以寫成：說明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一個非負(fù)數(shù)；（Ⅱ）|a|概念中蘊含分類討論思想。典型例題例1．（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（A）A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符號時，必須先確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例2．已知：，，且，則的值（C）A．是正數(shù)B．是負(fù)數(shù)C．是零D．不能確定符號解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：所以分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了x、y、z三個數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識。例3．（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)，兩點之間的距離為8，求這兩個數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負(fù)。則究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y由題意得：，（1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側(cè)：若x在原點左側(cè)，y在原點右側(cè)，即x<0，y>0，則4y=8，所以y=2,x=-6若x在原點右側(cè)，y在原點左側(cè)，即x>0，y<0，則-4y=8，所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)：若x、y在原點左側(cè)，即x<0，y<0，則-2y=8，所以y=-4,x=-12若x、y在原點右側(cè)，即x>0，y>0，則2y=8，所以y=4,x=12例4．（整體的思想）方程的解的個數(shù)是（D）A．1個B．2個C．3個D．無窮多個分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題的答案為D。例5．（非負(fù)性）已知|ab－2|與|a－1|互為相互數(shù)，試求下式的值．分析：利用絕對值的非負(fù)性，我們可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2于是在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果．同學(xué)們可以再深入思考，如果題目變成求值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例6．（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離4與，3與5，與，與3.并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：____相等.（2）若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x，點B表示的數(shù)為―1，則A與B兩點間的距離可以表示為．分析：點B表示的數(shù)為―1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點B所在的位置。則點A呢？因為x可以表示任意有理數(shù)，所以點A可以位于數(shù)軸上的任意位置。則，如何求出A與B兩點間的距離呢？結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進行討論。當(dāng)x<-1時，距離為-x-1,當(dāng)-1<x<0時，距離為x+1，當(dāng)x>0，距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為（3）結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為5，取得最小值時x的取值范圍為-3≤x_≤2______.分析：即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：圖1圖2圖3圖2符合題意（4）滿足的的取值范圍為x<-4或x>-1分析：同理表示數(shù)軸上x與-1之間的距離，表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本題即求，當(dāng)x是什么數(shù)時x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便。事實上，表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點之間的距離。這是一個很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了（3）、（4）這兩道難題。小結(jié)1．理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以和絕對值的非負(fù)性2．體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識鏈接1．“代數(shù)式”是用運算符號把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點掌握的內(nèi)容之一。2．用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3．求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識打下基礎(chǔ)。二、典型例題例1．若多項式的值與x無關(guān)，求的值.分析：多項式的值與x無關(guān)，即含x的項系數(shù)均為零因為所以m=4將m=4代人，利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2．x=-2時，代數(shù)式的值為8，求當(dāng)x=2時，代數(shù)式的值。分析：因為當(dāng)x=-2時，得到，所以當(dāng)x=2時，=例3．當(dāng)代數(shù)式的值為7時,求代數(shù)式的值.分析：觀察兩個代數(shù)式的系數(shù)由得，利用方程同解原理，得整體代人，代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點問題，它的運算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法就是其中之一。例4．已知，求的值.分析：解法一（整體代人）：由得所以：解法二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由，得，所以：解法三（降次、消元）：（消元、、減項）例5．（實際應(yīng)用）A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實際收入（元）第一年：A公司10000；B公司5000+5050=10050第二年：A公司10200；B公司5100+5150=10250第n年：A公司10000+200(n-1）；B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永遠比A公司多50元，如不細心考察很可能選錯。例6．三個數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，則的值是_______。解：因為abc<0，所以a、b、c中只有一個是負(fù)數(shù)，或三個都是負(fù)數(shù)又因為a+b+c>0，所以a、b、c中只有一個是負(fù)數(shù)。不妨設(shè)a<0，b>0，c>0則ab<0，ac<0，bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為1。同理，當(dāng)b<0，c<0時，x=0。另：觀察代數(shù)式，交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改變，這樣的代數(shù)式成為輪換式，我們不用對a、b、c再討論。有興趣的同學(xué)可以在課下查閱資料，看看輪換式有哪些重要的性質(zhì)。1172839410511612規(guī)律探索問題：例7．如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射線____“2008”在射線___________上（2）若n為正整數(shù)，則射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含n的代數(shù)式表示為__________________________．分析：OA上排列的數(shù)為：1，7，13，19，…觀察得出，這列數(shù)的后一項總比前一項多6，歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n-5因為17=3×6-1，所以17在射線OE上。因為2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射線OD上例8．將正奇數(shù)按下表排成5列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在A．125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找第三列數(shù)：3，11，19，27，規(guī)律為8n-5因為2007=250×8+7=251×8-1所以，2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列又因為第251行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開始從小到大排列，所以2007應(yīng)該在第251行第5列例9．（2006年嘉興市）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n＋5；②當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復(fù)進行．例如，取n＝26，則：2626134411第一次F②第二次F①第三次F②…若n＝449，則第449次“F運算”的結(jié)果是__________．分析：問題的難點和解題關(guān)鍵是真正理解“F”的第二種運算，即當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個運算才能結(jié)束。449奇數(shù)，經(jīng)過“F①”變?yōu)?352；1352是偶數(shù)，經(jīng)過“F②”變?yōu)?69，169是奇數(shù)，經(jīng)過“F①”變?yōu)?12，512是偶數(shù)，經(jīng)過“F②”變?yōu)?，1是奇數(shù)，經(jīng)過“F①”變?yōu)?，8是偶數(shù)，經(jīng)過“F②”變?yōu)?，我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過多次運算，它的結(jié)果將出現(xiàn)1、8的交替循環(huán)。再看運算的次數(shù)是449，奇數(shù)次。因為第四次運算后都是奇數(shù)次運算得到8，偶數(shù)次運算得到1，所以，結(jié)果是8。三、小結(jié)用字母代數(shù)實現(xiàn)了我們對數(shù)認(rèn)識的又一次飛躍。希望同學(xué)們能體會用字母代替數(shù)后思維的擴展，體會一些簡單的數(shù)學(xué)模型。體會由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三講：與一元一次方程有關(guān)的問題一、知識回顧一元一次方程是我們認(rèn)識的第一種方程，使我們學(xué)會用代數(shù)解法解決一些用算術(shù)解法不容易解決的問題。一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它既是對前面所學(xué)知識——有理數(shù)部分的鞏固和深化，又為以后的一元二次方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下堅實的基礎(chǔ)。典型例題：二、典型例題例1．若關(guān)于x的一元一次方程=1的解是x=-1，則k的值是（）A．B．1C．-D．0分析：本題考查基本概念“方程的解”因為x=-1是關(guān)于x的一元一次方程=1的解，所以，解得k=-例2．若方程3x-5=4和方程的解相同，則a的值為多少？分析：題中出現(xiàn)了兩個方程，第一個方程中只有一個未知數(shù)x，所以可以解這個方程求得x的值；第二個方程中有a與x兩個未知數(shù)，所以在沒有其他條件的情況下，根本沒有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因為兩個方程的解相同，所以可以把第一個方程中解得x代入第二個方程，第二個方程也就轉(zhuǎn)化為一元一次方程了。解：3x-5=4，3x=9，x=3因為3x-5=4與方程的解相同所以把x=3代人中即得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2例3.（方程與代數(shù)式聯(lián)系）a、b、c、d為實數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運算.（1）則的值為；（2）當(dāng)時，=.分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，因為，所以=2-（-2）=4（2）由得：10-4（1-x）=18所以10-4+4x=18，解得x=3例4．（方程的思想）如圖，一個瓶身為圓柱體的玻璃瓶內(nèi)裝有高厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面高為h厘米，則瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的（）不考慮瓶子的厚度.不考慮瓶子的厚度.A．B．C．D．分析：左右兩個圖中墨水的體積應(yīng)該相等，所以這是個等積變換問題，我們可以用方程的思想解決問題解：設(shè)墨水瓶的底面積為S，則左圖中墨水的體積可以表示為Sa設(shè)墨水瓶的容積為V，則右圖中墨水的體積可以表示為V-Sb于是，Sa=V-Sb，V=S(a+b)由題意，瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的比為例5．小杰到食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊的人一樣多，就站在A窗口隊伍的里面，過了2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人。此時，若小李迅速從A窗口隊伍轉(zhuǎn)移到B窗口后面重新排隊，將比繼續(xù)在A窗口排隊提前30秒買到飯，求開始時，有多少人排隊。分析：“B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人”相當(dāng)于B窗口前的隊伍每分鐘減少1人，題中的等量關(guān)系為：小李在A窗口排隊所需時間=轉(zhuǎn)移到B窗口排隊所需時間+解：設(shè)開始時，每隊有x人在排隊，2分鐘后，B窗口排隊的人數(shù)為：x-6×2+5×2=x-2根據(jù)題意，可列方程：去分母得3x=24+2(x-2)+6去括號得3x=24+2x-4+6移項得3x-2x=26解得x=26所以，開始時，有26人排隊。課外知識拓展：一、含字母系數(shù)方程的解法：思考：是什么方程？在一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式、最簡形式中都要求a≠0，所以不是一元一次方程我們把它稱為含字母系數(shù)的方程。例6．解方程解：（分類討論）當(dāng)a≠0時，當(dāng)a=0，b=0時，即0x=0，方程有任意解當(dāng)a=0，b≠0時，即0x=b，方程無解即方程的解有三種情況。例7．問當(dāng)a、b滿足什么條件時，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有無數(shù)解；（3）無解。分析：先解關(guān)于x的方程，把x用a、b表示，最后再根據(jù)系數(shù)情況進行討論。解：將原方程移項得2x+bx=1+a-5，合并同類項得：(2+b)x=a-4當(dāng)2+b0，即b-2時，方程有唯一解，當(dāng)2+b=0且a-4=0時，即b=-2且a=4時，方程有無數(shù)個解，當(dāng)2+b=0且a-4≠0時，即b=-2且a≠4時，方程無解，例8．解方程分析：根據(jù)題意，ab≠0，所以方程兩邊可以同乘ab去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b去括號，得bx-b-a+ax=a+b移項，并項得(a+b)x=2a+2b當(dāng)a+b≠0時，=2當(dāng)a+b=0時，方程有任意解說明：本題中沒有出現(xiàn)方程中的系數(shù)a=0，b≠0的情況，所以解的情況只有兩種。二、含絕對值的方程解法例9．解下列方程解法1：（分類討論）當(dāng)5x-2>0時，即x>，5x-2=3，5x=5，x=1因為x=1符合大前提x>，所以此時方程的解是x=1當(dāng)5x-2=0時，即x=，得到矛盾等式0=3，所以此時方程無解當(dāng)5x-2<0時，即x<，5x-2=-3，x=因為x=符合大前提x<，所以此時方程的解是x=綜上，方程的解為x=1或x=注：求出x的值后應(yīng)注意檢驗x是否符合條件解法2：（整體思想）聯(lián)想：時，a=±3類比：，則5x-2=3或5x-2=-3解兩個一元一次方程，方程的解為x=1或x=例10．解方程解：去分母2|x-1|-5=3移項2|x-1|=8|x-1|=4所以x-1=4或x-1=-4解得x=5或x=-3例11．解方程分析：此題適合用解法2當(dāng)x-1>0時，即x>1，x-1=-2x+1，3x=2，x=因為x=不符合大前提x>1，所以此時方程無解當(dāng)x-1=0時，即x=1，0=-2+1，0=-1，此時方程無解當(dāng)x-1<0時，即x<1，1-x=-2x+1，x=0因為x=0符合大前提x<1，所以此時方程的解為x=0綜上，方程的解為x=0三、小結(jié)1、體會方程思想在實際中的應(yīng)用2、體會轉(zhuǎn)化的方法，提升數(shù)學(xué)能力第四講：圖形的初步認(rèn)識一、相關(guān)知識鏈接：1．認(rèn)識立體圖形和平面圖形我們常見的立體圖形有長方體、正方體、球、圓柱、圓錐，此外，棱柱，棱錐也是常見的幾何體。我們常見的平面圖形有正方形、長方形、三角形、圓立體圖形和平面圖形關(guān)系立體圖形問題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究，常常會采用下面的作法（1）畫出立體圖形的三視圖立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得到的三個平面圖形。（2）立體圖形的平面展開圖常見立體圖形的平面展開圖圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）二、典型問題：（一）正方體的側(cè)面展開圖（共十一種）分類記憶：第一類，中間四連方，兩側(cè)各一個，共六種。第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個，共三種。第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個，只有一種。第四類，兩排各三個，只有一種?；疽螅?.在右面的圖形中是正方體的展開圖的有（C）（A）3種（B）4種（C）5種（D）6種2．下圖中,是正方體的展開圖是(B)ABCD3．如圖四個圖形都是由6個大小相同的正方形組成，其中是正方體展開圖的是（D

）A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②④1123645較高要求：4．下圖可以沿線折疊成一個帶數(shù)字的正方體，每三個帶數(shù)字的面交于正方體的一個頂點，則相交于一個頂點的三個面上的數(shù)字之和最小是(A)A．7B．8C．9D．105．一個正方體的展開圖如右圖所示，每一個面上都寫有一個自然數(shù)并且相對兩個面所寫的兩個數(shù)之和相等，則a+b-2c=（B）A．40B.38C.36D.分析：由題意8+a=b+4=c+25所以b=4+ac=a-17所以a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=386．將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是（C）A．B．C．D．7．下圖是某一立方體的側(cè)面展開圖，則該立方體是（D）A．B．A．B．C．D．還原正方體，正確識別正方體的相對面。（二）常見立體圖形的平面展開圖8．下列圖形是四棱錐的展開圖的是（C）（A）（B）（C）（D）9．下面是四個立體圖形的展開圖，則相應(yīng)的立體圖形依次是(A)A．正方體、圓柱、三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱C．正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐10．下列幾何體中是棱錐的是（B）A.B.C.D.11．如圖是一個長方體的表面展開圖，每個面上都標(biāo)注了字母，請根據(jù)要求回答問題：（1）如果A面在長方體的底部，則哪一個面會在上面？（2）若F面在前面，B面在左面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）（3）若C面在右面，D面在后面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）答案：（1）F；（2）C，A（三）立體圖形的三視圖12．如圖，從正面看可看到△的是(C)13．對右面物體的視圖描繪錯誤的是（C）14．如圖的幾何體，左視圖是（B）15．如圖，是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個俯視圖左視圖主視圖俯視圖左視圖主視圖A．3B．4C．5D．6（四）新穎題型16.正方體每一面不同的顏色對應(yīng)著不同的數(shù)字，將四個這樣的正方體如圖拼成一個水平放置的長方體，則長方體的下底面數(shù)字和為.分析：正面—黃，右面—紅，上面—藍，后面—紫，下面—白，左面—綠所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫數(shù)字和為：4+6+2+5=1717．觀察下列由棱長為1的小正方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖⑴所示共有1個小立方體，其中1個看得見，0個看不見；如圖⑵所示：共有8個小立方體，其中7個看得見，1個看不見；如圖⑶所示：共有27個小立方體，其中19個看得見，8個看不見……（1）寫出第⑹個圖中看不見的小立方體有125個；（2）猜想并寫出第(n)個圖形中看不見的小立方體的個數(shù)為____(n-1)3______個.分析：11=10=0328=231=13327=338=23464=4327=33nn3(n-1)3第五講：線段和角一、知識結(jié)構(gòu)圖二、典型問題：（一）數(shù)線段——數(shù)角——數(shù)三角形問題1、直線上有n個點，可以得到多少條線段？分析：點線段2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5……n1+2+3+…+(n-1)=問題2．如圖，在∠AOB內(nèi)部從O點引出兩條射線OC、OD，則圖中小于平角的角共有（D）個(A)3(B)4(C)5(D)6拓展：1、在∠AOB內(nèi)部從O點引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個？射線角13=1+226=1+2+3310=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n+1)=類比：從O點引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個？射線角2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n-1)=類比聯(lián)想：如圖，可以得到多少三角形？（二）與線段中點有關(guān)的問題線段的中點定義：文字語言：若一個點把線段分成相等的兩部分，則這個點叫做線段的中點圖形語言：幾何語言：∵M是線段AB的中點∴，典型例題：1．由下列條件一定能得到“P是線段AB的中點”的是（D）（A）AP=AB（B）AB＝2PB（C）AP＝PB（D）AP＝PB=AB2．若點B在直線AC上，下列表達式：①；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是線段AC的中點的有（A

）A．1個

B．2個

C．3個

D．4個3.如果點C在線段AB上,下列表達式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表示C是AB中點的有(C)A.1個B.2個C.3個D.4個4．已知線段MN，P是MN的中點，Q是PN的中點，R是MQ的中點，則MR=______MN．分析：據(jù)題意畫出圖形設(shè)QN=x，則PQ=x，MP=2x，MQ=3x，所以，MR=x，則5．如圖所示，B、C是線段AD上任意兩點，M是AB的中點，N是CD中點，若MN=a，BC=b，則線段AD的長是（）A2（a-b）B2a-bCa+bDa-b分析：不妨設(shè)CN=ND=x，AM=MB=y因為MN=MB+BC+CN所以a=x+y+b因為AD=AM+MN+ND所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）與角有關(guān)的問題1．已知：一條射線OA，若從點O再引兩條射線OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，則∠AOC=____80°或40°________度（分類討論）2．A、O、B共線，OM、ON分別為∠AOC、∠BOC的平分線，猜想∠MON的度數(shù)，試證明你的結(jié)論．猜想：_90°______證明：因為OM、ON分別為∠AOC、∠BOC的平分線所以∠MOC=∠AOC，∠CON=∠COB因為∠MON=∠MOC+∠CON所以∠MON=∠AOC+∠COB=∠AOB=90°3．如圖，已知直線和相交于點，是直角，平分，，求的度數(shù)．分析：因為是直角，，所以∠EOF=56°因為平分所以∠AOF=56°因為∠AOF=∠AOC+∠COF所以∠AOC=22°因為直線和相交于點所以=∠AOC=22°4．如圖，BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，（1）若∠A=60°，求∠O；（2）若∠A=100°，∠O是多少？若∠A=120°，∠O又是多少？（3）由（1）、（2）你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當(dāng)∠A的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結(jié)論仍成立嗎？（提示：三角形的內(nèi)角和等于180°）答案：（1）120°；（2）140°、150°（3）∠O=90°+∠A5．如圖，O是直線AB上一點,OC、OD、OE是三條射線,則圖中互補的角共有（B）對(A)2(B)3(C)4(D)56．互為余角的兩個角

（B）（A）只和位置有關(guān)（B）只和數(shù)量有關(guān)（C）和位置、數(shù)量都有關(guān)（D）和位置、數(shù)量都無關(guān)7．已知∠1、∠2互為補角，且∠1＞∠2，則∠2的余角是（C）A.（∠1＋∠2）B.∠1C.（∠1－∠2）D.∠2分析：因為∠1＋∠2=180°，所以（∠1＋∠2）=90°90°-∠2=（∠1＋∠2）-∠2=（∠1－∠2）第六講：相交線與平行線一、知識框架二、典型例題1.下列說法正確的有(B)①對頂角相等;②相等的角是對頂角;③若兩個角不相等,則這兩個角一定不是對頂角;④若兩個角不是對頂角,則這兩個角不相等.A.1個B.2個C.3個D.4個2.如圖所示,下列說法不正確的是(D)A.點B到AC的垂線段是線段AB;B.點C到AB的垂線段是線段ACC.線段AD是點D到BC的垂線段;D.線段BD是點B到AD的垂線段3.下列說法正確的有(C)①在平面內(nèi),過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線;②在平面內(nèi),過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線;③在平面內(nèi),過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線;④在平面內(nèi),有且只有一條直線垂直于已知直線.A.1個B.2個C.3個D.4個4．一學(xué)員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（A）A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°第二次向左拐130°C.第一次向右拐50°第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°第二次向左拐130°5．如圖，若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，則下列結(jié)論必定成立的是（C）A.CD>ADB.AC<BCC.BC>BDD.CD<BD分析：考察垂線段的性質(zhì)、基本圖形——“雙垂直”圖形6．如圖,已知AB∥CD,直線EF分別交AB,CD于E,F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,則∠2=____54°___.7．如圖,AB∥EF∥CD,EG∥BD,則圖中與∠1相等的角(∠1除外)共有(C)A.6個B.5個C.4個D.3個8．如圖，直線l1、l2、l3交于O點，圖中出現(xiàn)了幾對對頂角，若n條直線相交呢？答案：3對，n(n+1)9.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的大小關(guān)系是_________．1123答案：∠1=∠2>∠310.如圖所示,L1,L2,L3交于點O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度數(shù).(方程思想)答案：36°11．如圖所示,已知AB∥CD,分別探索下列四個圖形中∠P與∠A,∠C的關(guān)系,請你從所得的四個關(guān)系中任選一個加以說明.(1)(2)(3)(4)（1）分析：過點P作PE//AB∠APE+∠A+∠C=360°（2）∠P=∠A+∠C（3）∠P=∠C-∠A,（4）∠P=∠A-∠C12．如圖，若AB//EF，∠C=90°，求x+y-z度數(shù)。分析：如圖，添加輔助線證出：x+y-z=90°13．已知：如圖，求證：分析：法一法二：由AB//CD證明PAB=APC，所以EAP=APF所以AE//FP所以第七講：平面直角坐標(biāo)系一、知識要點：1、特殊位置的點的特征（1）各個象限的點的橫、縱坐標(biāo)符號（2）坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)：軸上的點的坐標(biāo)為,即縱坐標(biāo)為0;軸上的點的坐標(biāo)為，即橫坐標(biāo)為0;2、具有特殊位置的點的坐標(biāo)特征設(shè)、、兩點關(guān)于軸對稱，且;、兩點關(guān)于軸對稱，且;、兩點關(guān)于原點軸對稱，且。3、距離（1）點A到軸的距離：點A到軸的距離為||；點A到軸的距離為||；（2）同一坐標(biāo)軸上兩點之間的距離：A、B，則；A、B，則；二、典型例題1、已知點M的坐標(biāo)為（x，y），如果xy<0,則點M的位置()(A)第二、第三象限(B)第三、第四象限(C)第二、第四象限(D)第一、第四象限2．點P（m，1）在第二象限內(nèi)，則點Q（-m，0）在（）A．x軸正半軸上B．x軸負(fù)半軸上C．y軸正半軸上D．y軸負(fù)半軸上3．已知點A（a，b）在第四象限，則點B（b，a）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4．點P（1，-2）關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)是（）A．（-1，-2）B．（1，2）C．（-1，2）D．（-2，1）5．如果點M（1-x，1-y）在第二象限，則點N（1-x，y-1）在第象限，點Q（x-1，1-y）在第象限。6．如圖是中國象棋的一盤殘局，如果用(4，o)表示帥的位置，用(3，9)表示將的位置，則炮的位置應(yīng)表示為A．(8，7)B．(7，8)C．(8，9)D．(8，8)7．在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標(biāo)分別為（0，0），（5，0），（2，3）則頂點C的坐標(biāo)為（）A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）8．已知點P（x,），則點P一定（）A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x軸上方D．不在x軸下方9．已知長方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥x軸，若點A的坐標(biāo)為（－2，4），則點C的坐標(biāo)為___(3,-4)(-7,-4)(3,12)(-7,12)______。10．三角形ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），將三角形ABC向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則平移后三個頂點的坐標(biāo)是（C）A．（2，2），（3，4），（1，7）B．（-2，2），（4，3），（1，7）C．（-2，2），（3，4），（1，7）D．（2，-2），（3，3），（1，7）11．“若點P、Q的坐標(biāo)是（x1，y1）、（x2，y2），則線段PQ中點的坐標(biāo)為（，）．”已知點A、B、C的坐標(biāo)分別為（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述結(jié)論求線段AC、BC的中點D、E的坐標(biāo)，并判斷DE與AB的位置關(guān)系．解：由“中點公式”得D（-2，2），E（2，2），DE∥AB．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點坐標(biāo)為，將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標(biāo)是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．分析：13．如圖，三角形AOB中，A、B兩點的坐標(biāo)分別為（-4，-6），（-6，-3），求三角形AOB的面積解：做輔助線如圖．S△AOB=S梯形BCDO-（S△ABC+S△OAD）=×（3+6）×6-（×2×3+×4×6）=27-（3+12）=12．14．如圖，四邊形ABCD各個頂點的坐標(biāo)分別為（–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）。（1）確定這個四邊形的面積，你是怎么做的（2）如果把原來ABCD各個頂點縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)增加2，所得的四邊形面積又是多少？分析：（2）面積不變15．如圖，已知A1(1,0)、A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、A5（2，-1），…，則點A2007的坐標(biāo)為______________________.答案：(-502,502)第八講：與三角形有關(guān)的線段一、相關(guān)知識點1．三角形的邊三角形三邊定理：三角形兩邊之和大于第三邊即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（兩點之間線段最短）由上式可變形得到：a>c－b，b>a－c，c>b－a即有：三角形的兩邊之差小于第三邊高由三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。中線：連接三角形的頂點和它對邊的中點的線段，稱為三角形的中線角平分線三角形一個內(nèi)角的角平分線與這個角對邊的交點和這個角的頂點之間線段稱為三角形的角平分線二、典型例題（一）三邊關(guān)系1．已知三角形三邊分別為2,a-1,4,則a的取值范圍是()A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<62．小穎要制作一個三角形木架，現(xiàn)有兩根長度為8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長度是整數(shù)小穎有幾種選法？可以是多少？分析：設(shè)第三根木棒的長度為x，則3<x<13所以x=4,5,6,7,8,9,10,11,123：已知：△ABC中，AD是BC邊上的中線求證：AD+BD>（AB+AC）分析：因為BD+AD>AB、CD+AD>AC所以BD+AD+CD+AD>AB+AC因為AD是BC邊上的中線，BD=CD所以AD+BD>（AB+AC）（二）三角形的高、中線與角平分線問題：（1）觀察圖形，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線？（2）圖中存在哪些相等角？注意基本圖形：雙垂直圖形4．如圖，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜邊上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個數(shù)是（）A．5B．4C．3D．2分析：5．如圖，⊿ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度數(shù)。分析：∠CED=40°+34°=74°所以∠CDF=74°6．一塊三角形優(yōu)良品種試驗田，現(xiàn)引進四種不同的種子進行對比試驗，需要將這塊地分成面積相等的四塊，請你設(shè)計出四種劃分方案供選擇，畫圖說明。分析：7．⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O。（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，則∠BOC=。（2）若∠ABC+∠ACB=116°，則∠BOC=。（3）若∠A=76°，則∠BOC=。（4）若∠BOC=120°，則∠A=。（5）你能找出∠A與∠BOC之間的數(shù)量關(guān)系嗎？8．已知:BE,CE分別為△ABC的外角∠MBC,∠NCB的角平分線,求:∠E與∠A的關(guān)系分析：∠E=90°-∠A9．已知:BF為∠ABC的角平分線,CF為外角∠ACG的角平分線,求:∠F與∠A的關(guān)系分析：∠F=∠A思考題：如圖：∠ABC與∠ACG的平分線交于F1；∠F1BC與∠F1CG的平分線交于F2；如此下去,∠F2BC與∠F2CG的平分線交于F3；…探究∠Fn與∠A的關(guān)系（n為自然數(shù)）第九講：與三角形有關(guān)的角一、相關(guān)定理（一）三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°（二）三角形的外角性質(zhì)定理：三角形的任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和三角形的任意一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角（三）多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為多邊形外角和定理：多邊形的外角和為360°二、典型例題問題1：如何證明三角形的內(nèi)角和為180°？1．如圖,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE的度數(shù).分析：∠CDE=∠ADC-∠2∠1=∠B+40°-∠2∠1=∠B+40°-（∠1+∠C）2∠1=40°∠1=20°2．如圖：在△ABC中，∠C>∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC求證：∠EAD＝（∠C－∠B）3．已知：CE是△ABC外角∠ACD的角平分線，CE交BA于E求證：∠BAC>∠B分析：問題2：如何證明n邊形的內(nèi)角和為4．多邊形內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和是1350°，求多邊形的邊數(shù)。5．科技館為某機器人編制一段程序，如果機器人在平地上按照圖4中的步驟行走，則該機器人所走的總路程為（）A.6米 B.8米C.12米D.不能確定第十講：二元一次方程組一、相關(guān)知識點二元一次方程的定義：經(jīng)過整理以后，方程只有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)都不為0，這樣的整式方程稱為二元一次方程。2、二元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)式：一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對和的值，叫做這個方程的一個解。二元一次方程組的定義：方程組中共含有兩個未知數(shù)，每個方程都是一次方程，這樣的方程組稱為二元一次方程組。二元一次方程組的解：使二元一次方程組的二個方程左右兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。二、典型例題1．下列方程組中，不是二元一次方程組的是（C）Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．有這樣一道題目：判斷是否是方程組的解？小明的解答過程是：將，代入方程，等式成立．所以是方程組的解．小穎的解答過程是：將，分別代入方程和中，得，．所以不是方程組的解．你認(rèn)為上面的解答過程哪個對？為什么？3．若下列三個二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，則k的取值應(yīng)是（B）A、k=-4B、k=4C、k=-3D、k=3分析：利用方程3x-y=7和2x+3y=1組成方程組，求出x、y，再代入y=kx-9求出k值。解得：將代入y=kx-9，k=44．解方程組方法一：（代入消元法）解：由（2），得把（3）代入（1），得把代入（3），得∴方法二：（加減消元法）解：（2）×2：6m+4n-20=0(3)(3)-(1):7n=21n=3把代入（3），得∴方法三：（整體代入法）解：由（1）得：由（2）得：把（4）代入（3），得把代入（4），得∴方法三：（整體代入法）解：由（1）得：由（2）代入（3），得把代入（2），得∴5．已知方程組的解是，則方程組的解是（ C）A．B．C．D．6．解：設(shè)，則原方程組可化為解得：∴7．解方程組解：（參數(shù)法）∵∴設(shè)。把代入（2），得：∴8．解三元一次方程組MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\h三元一次方程組分析：三元一次方程組轉(zhuǎn)化消元轉(zhuǎn)化消元消元消元一元一次方程組二元一次方程組一元一次方程組二元一次方程組轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化解：由（２）得：把（４）分別代入（1）、（3）得，由（6）得把（７）代入（５）得：把代入（７）得：把代入（4）得：∴9．字母系數(shù)的二元一次方程組（1）當(dāng)為何值時，方程組有唯一的解分析：（2）×2：6x+2y=6(3)(3)-(1):(6-a)x=5當(dāng)a≠6時，方程有唯一的解當(dāng)為何值時，方程組有無窮多解分析：（1）×2：2x+4y=2(3)(3)-(2):(4-m)y=04-m=0即m=4，有無窮多解10．一副三角板按如圖方式擺放，且的度數(shù)比的度數(shù)大，若設(shè)的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，則得到的方程組為A．B．C．D．11．為了改善住房條件，小亮的父母考察了某小區(qū)的A、B兩套樓房，A套樓房在第3層樓，B套樓房在第5層樓，B套樓房的面積比A套樓房的面積大24平方米，兩套樓房的房價相同。第3層樓和第5層樓的房價分別是平均價的1.1倍和0.9倍。為了計算兩套樓房的面積，小亮設(shè)A套樓房的面積為x平方米，B套樓房的面積為y平方米，根據(jù)以上信息列出下列方程組，其中正確的是（）A．B．C．D．12．某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表：購買香蕉數(shù)（千克）不超過20千克20千克以上但不超過40千克40千克以上每千克價格6元5元4元張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？分析：由題意知，第一次購買香蕉數(shù)小于25千克，則單價分為兩種情況進行討論。解：設(shè)張強第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉y千克，由題意0<x<25，（1）當(dāng)0<x≤20，y≤40時，由題意可得：，解得（2）當(dāng)0<x≤20，y>40時，由題意可得：，解得(不合題意，舍去)（3）當(dāng)20<x<25時，則25<y<30，由題意可得：，方程組無解由（1）（2）（3）可知，張強第一次、第二次分別購買香蕉14千克、36千克。第十一講：一元一次不等式一、知識鏈接：1．不等式的基本性質(zhì)通過對比不等式和方程的性質(zhì)，使學(xué)生學(xué)會用類比的方法看問題。性質(zhì)1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號方向不改變。若a>b，則a+c>b+c（a-c>b-c）。性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變。若a>b且c>0，則ac>bc。性質(zhì)3：不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變。若a>b且c<0，則ac<bc。2．同解不等式如果幾個不等式的解集相同，則這幾個不等式稱為同解不等式。3．一元一次不等式的定義：像，等只含有一個未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不為0，這樣的不等式叫做一元一次不等式。4．一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：（）或（）。5．一元一次不等式組的解集確定若a>b則（1）當(dāng)時，則，即“大大取大”（2）當(dāng)時，則，即“小小取小”（3）當(dāng)時，則，即“大小小大取中間”（4）當(dāng)時，則無解，即“大大小小取不了”二、典型例題：1．下列關(guān)系不正確的是（）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則2．已知且，為任意有理數(shù)，下列式子中正確的是（）A．B．C．D．3．下列判斷不正確的是（）A．若，，則B．若，則C．若，，則D．若，則4．若不等式ax＞b的解集是x＞，則a的范圍是（