與圓有關(guān)的計(jì)算與圓有關(guān)的計(jì)算一、正多邊形和圓1.正多邊形的定義：各邊_____，各角也_____的多邊形是正多邊形.2.正多邊形和圓的關(guān)系：把一個(gè)圓______，依次連結(jié)_______可作出圓的內(nèi)接正n邊形.相等相等n等分各分點(diǎn)一、正多邊形和圓相等相等n等分各分點(diǎn)二、弧長公式在半徑為r的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長為l=

.三、扇形的面積公式在半徑為r的圓中，①圓心角是n°的扇形面積S=

，②弧長為l的扇形面積S=

.二、弧長公式四、圓錐的側(cè)面積和全面積1.圓錐的有關(guān)概念：(1)母線：圓錐_________上任意一點(diǎn)與圓錐_____的連線叫做圓錐的母線.(2)高：連結(jié)_____與底面_____的線段叫做圓錐的高.2.面積公式：如圖：母線長為l，底面半徑為r的圓錐：S側(cè)=_____，S全=_________.底面圓周頂點(diǎn)頂點(diǎn)圓心πrlπrl+πr2四、圓錐的側(cè)面積和全面積底面圓周頂點(diǎn)頂點(diǎn)圓心πrlπrl+π【思維診斷】(打“√”或“×”)1.將一個(gè)圓分成4份，依次連接各分點(diǎn)所得的四邊形為正方形.()2.正五邊形的中心角等于72°.

()3.正六邊形外接圓的半徑等于其邊長.

()4.扇形的面積公式是S=.

()5.半徑為3cm，圓心角為60°的弧長為cm.

()6.圓錐的底面周長等于展開圖中扇形的弧長.

()√√××√×【思維診斷】(打“√”或“×”)√√××√×熱點(diǎn)考向一正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算

【例1】如圖，要擰開一個(gè)邊長為a=6mm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為(

)A.6mm

B.12mm

C.6mm

D.4mm熱點(diǎn)考向一正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算

【思路點(diǎn)撥】作輔助線→一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)→利用解直角三角形的知識(shí)求b的值.【思路點(diǎn)撥】作輔助線→一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)→利用解直角三角形的知識(shí)【自主解答】選C.連接AC，過B作BD⊥AC于點(diǎn)D.∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD.∵此多邊形為正六邊形，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB·cos30°=6×=3(mm)，∴b=2AD=6mm.【自主解答】選C.【規(guī)律方法】正多邊形的有關(guān)計(jì)算的常用公式(1)有關(guān)角的計(jì)算：①正n邊形的內(nèi)角和=(n-2)180°，外角和=360°.②正n邊形的每個(gè)內(nèi)角=，每個(gè)外角=.③正n邊形的中心角=.【規(guī)律方法】正多邊形的有關(guān)計(jì)算的常用公式(2)有關(guān)邊的計(jì)算：①r2+=R2(r表示邊心距，R表示半徑，a表示邊長).②l=na(l表示周長，n表示邊數(shù)，a表示邊長).③S正n邊形=lr(l表示周長，r表示邊心距).(2)有關(guān)邊的計(jì)算：【真題專練】1.正六邊形的邊心距為，則該正六邊形的邊長是(

)A. B.2 C.3 D.2【解析】選B.正六邊形的邊心距為，每條邊所對(duì)的中心角為60°，設(shè)正六邊形的邊長為x，則cos30°=，解得x=2.【真題專練】【解析】選B.正六邊形的邊心距為，每條邊所2.已知☉O的面積為2π，則其內(nèi)接正三角形的面積為(

)A.3B.3 C. D.2.已知☉O的面積為2π，則其內(nèi)接正三角形的面積為()【解析】選C.如圖，由☉O的面積為2π，可得圓的半徑OC=，所以弦心距OE=，EC=，所以內(nèi)接△ABC的面積=【解析】選C.如圖，由☉O的面積為2π，可得圓的半徑OC=【知識(shí)歸納】與正n邊形有關(guān)的常用計(jì)算公式設(shè)邊長為a，半徑為R，中心角αn=；邊長an=2Rsin；邊心距rn=Rcos；外接圓半徑R=；周長pn=nan；面積Sn=an·rn·n=pn·rn.【知識(shí)歸納】與正n邊形有關(guān)的常用計(jì)算公式3.正六邊形的邊心距與邊長之比為(

)A.∶3

B.∶2

C.1∶2

D.∶2【解析】選B.如圖，OB⊥EF，EF為正六邊形的邊長，O為正六邊形的中心，∴△OEF是等邊三角形，EF=OE，∴=sin∠OEF，∴.3.正六邊形的邊心距與邊長之比為()4.正八邊形的一個(gè)內(nèi)角是

.【解析】根據(jù)內(nèi)角和公式(n-2)·180°=(8-2)·180°=1080°，1080°÷8=135°.答案：135°4.正八邊形的一個(gè)內(nèi)角是.【一題多解】360°÷8=45°，180°-45°=135°.答案：135°【一題多解】360°÷8=45°，180°-45°=135°5.如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，四邊形BCFG的面積為20cm2，則正八邊形的面積為

cm2.5.如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，四邊形BCFG的面積【解析】連接AD，HE，則△AOB，△CDP，△EFN，△HGM均為全等的等腰直角三角形，四邊形BCPO、四邊形GFNM為全等的矩形.設(shè)正八邊形的邊長為a，則OA=OB=a，則AD=a+a，∴S矩形ADEH=S矩形BCFG=a(a+a)=20(cm2).即a2+a2=20(cm2)，而(S△AOB+S△CDP+S△EFN+S△HGM)+S矩形BCPO+S矩形GFNM=a2+2×a·a=a2+a2=20(cm2)，故正八邊形的面積為20+20=40(cm2).答案：40【解析】連接AD，HE，則△AOB，△CDP，熱點(diǎn)考向二弧長公式的應(yīng)用

【例2】如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線l上進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是(

)A.π B.13π C.25π D.25熱點(diǎn)考向二弧長公式的應(yīng)用

【思路點(diǎn)撥】確定點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑為圓弧，根據(jù)勾股定理和弧長公式計(jì)算即可.【思路點(diǎn)撥】確定點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑為圓弧，根據(jù)勾股定理和弧長【自主解答】選A.連接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴

∵

∴點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是

【自主解答】選A.連接BD，B′D，【規(guī)律方法】弧長公式的應(yīng)用對(duì)于弧長公式l=，可變形為：n=或R=，在三個(gè)量l，n，R中，若已知其中兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)量.注意：在計(jì)算過程中，l與R的單位要統(tǒng)一.【規(guī)律方法】弧長公式的應(yīng)用【真題專練】1.已知扇形的圓心角為45°，半徑長為12，則該扇形的弧長為(

)A. B.2π C.3π D.12π【解析】選C.根據(jù)弧長公式得l==3π.【真題專練】【解析】選C.根據(jù)弧長公式得l==2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，將△ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′B′C，則點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長為(

)A. B.C. D.π2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，【解析】選B.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，所以AC=1，由勾股定理得，BC=，由旋轉(zhuǎn)知，∠B′CB=60°，點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長為.【解析】選B.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，【變式訓(xùn)練】如圖，AB切☉O于點(diǎn)B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧長為

.(結(jié)果保留π)【變式訓(xùn)練】如圖，AB切☉O于點(diǎn)B，OA=2，∠OAB=30【解析】連接OB，OC，∵AB為☉O的切線，∴∠ABO=90°.在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°.∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC為等邊三角形，∴∠BOC=60°，則劣弧長為

答案：【解析】連接OB，OC，∵AB為☉O的切線，∴∠ABO=903.如圖，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，則弧AB的長l=

.3.如圖，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，則弧AB的長l=【解析】由題干圖可得∠AOB＝90°，OA＝OB＝

，∴l(xiāng)＝答案：【解析】由題干圖可得∠AOB＝90°，OA＝OB＝熱點(diǎn)考向三扇形面積公式的應(yīng)用

【例3】如圖，將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，三角板一邊與量角器的零刻度線所在直線重合，重疊部分的量角器弧AB對(duì)應(yīng)的圓心角(∠AOB)為120°，OC的長為2cm，則三角板和量角器重疊部分的面積為

.熱點(diǎn)考向三扇形面積公式的應(yīng)用

【思路點(diǎn)撥】重疊部分由扇形AOB和Rt△BOC組成，求出它們各自的面積再求和.【思路點(diǎn)撥】重疊部分由扇形AOB和Rt△BOC組成，求出它們【自主解答】由圖知三角板和量角器重疊部分由扇形AOB和Rt△BOC組成，在Rt△BOC中，因?yàn)椤螦OB為120°，OC的長為2cm，所以∠COB=60°，OB=2OC=4，BC=2，所以扇形AOB的面積=，Rt△BOC的面積=×2×2=2，所以三角板和量角器重疊部分的面積為cm2.答案：cm2【自主解答】由圖知三角板和量角器重疊部分由扇形AOB和【規(guī)律方法】扇形面積公式的選擇1.當(dāng)已知半徑R和圓心角的度數(shù)求扇形的面積時(shí)，選用公式S扇形=.2.當(dāng)已知半徑R和弧長求扇形的面積時(shí)，應(yīng)選用公式S扇形=lR.3.扇形面積公式S扇形=lR與三角形面積公式十分類似，為了便于記憶，只要把扇形看成一個(gè)曲邊三角形，把弧長l看成底，R看成底邊上的高即可.【規(guī)律方法】扇形面積公式的選擇【真題專練】1.在圓心角為120°的扇形AOB中，半徑OA=6cm，則扇形AOB的面積是(

)A.6πcm2

B.8πcm2

C.12πcm2

D.24πcm2【解析】選C.S==12π(cm2).【真題專練】【解析】選C.S=2.如果一個(gè)扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”.則半徑為2的“等邊扇形”的面積為(

)A.π B.1 C.2 D.π【解析】選C.根據(jù)扇形的面積公式，得S=lr=×2×2=2.2.如果一個(gè)扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形3.如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D，E.若DE=1，則扇形OAB的面積為

.3.如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是上【解析】連接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂徑定理得到D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，即ED為三角形ABC的中位線，由DE=1，∴AB=2，∵∠AOB=90°，利用勾股定理求出OA的長為，根據(jù)扇形的面積公式，可得扇形的面積為.答案：【解析】連接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，熱點(diǎn)考向四圓錐的側(cè)面積、全面積

【例4】已知直角三角形ABC的一條直角邊AB=12cm，另一條直角邊BC=5cm，則以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圓錐的表面積是(

)A.90πcm2

B.209πcm2

C.155πcm2

D.65πcm2熱點(diǎn)考向四圓錐的側(cè)面積、全面積

【思路點(diǎn)撥】利用圓錐側(cè)面積+圓錐底面積=圓錐表面積求得；圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，先根據(jù)勾股定理求圓錐的母線長，再利用圓錐側(cè)面積=πrl，其中r是底面圓的半徑，l是母線長；再加上底面積即可.【思路點(diǎn)撥】利用圓錐側(cè)面積+圓錐底面積=圓錐表面積求得；圓錐【自主解答】選A.∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，∴AC=13.側(cè)面積S=πrl=5×13π=65π(cm2)，底面積S=πr2=25π(cm2)，圓錐的表面積=65π+25π=90π(cm2).【自主解答】選A.∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，【規(guī)律方法】圓錐和其側(cè)面展開圖(扇形)之間的等量關(guān)系(1)h2+r2=l2.(2)的長=☉O周長=.(3)S扇形ABC==πrl.【規(guī)律方法】圓錐和其側(cè)面展開圖(扇形)之間的等量關(guān)系【備選例題】如圖，從半徑為9cm的圓形紙片上剪去圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐(接縫處不重疊)，那么這個(gè)圓錐的高為

cm.【備選例題】如圖，從半徑為9cm的圓形紙片上剪去圓周的【解析】圓心角是360°×=240°，則弧長是=12π(cm)，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2πr=12π，解得r=6.則圓錐的高是(cm).答案：3【解析】圓心角是360°×=240°，【真題專練】1.如果圓錐的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是(

)A.10cm2

B.10πcm2

C.20cm2

D.20πcm2【解析】選B.圓錐的側(cè)面積S=πrl，r是底面半徑，l是母線長.∴S=π×2×5=10π(cm2).【真題專練】【解析】選B.圓錐的側(cè)面積S=πrl，r是底面半2.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為90°的扇形，則該圓錐的底面周長為(

)A.π B.π C. D.【解析】選B.扇形的弧長為

，所以圓錐的底面周長為π.2.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為90°的扇形，3.一個(gè)底面直徑是80cm，母線長為90cm的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為

.【解析】圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，則扇形的弧長為80πcm，半徑為90cm，由弧長公式得80π=，所以圓心角的度數(shù)n=160°.答案：160°3.一個(gè)底面直徑是80cm，母線長為90cm的圓錐的側(cè)面展開【知識(shí)歸納】有關(guān)圓錐計(jì)算的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1.圓錐的母線長為圓錐側(cè)面展開圖的半徑.2.圓錐底面圓的周長等于圓錐側(cè)面展開圖的弧長.3.圓錐的母線長l、底面半徑r、高h(yuǎn)之間具有關(guān)系：r2+h2=l2.注意：計(jì)算時(shí)圓錐側(cè)面展開圖的半徑是圓錐的母線，注意與底面半徑的區(qū)分.【知識(shí)歸納】有關(guān)圓錐計(jì)算的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)4.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求母線AB與高AO的夾角.參考公式：圓錐的側(cè)面積S=πrl，其中r為底面半徑，l為母線長.4.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求母線AB與高AO的夾【解析】∵2πr=πl(wèi)，∴l(xiāng)=2r，∴sin∠BAO=∴∠BAO=30°，∴母線AB與高AO的夾角為30°.【解析】∵2πr=πl(wèi)，∴l(xiāng)=2r，∴sin∠BAO=【知識(shí)歸納】學(xué)習(xí)圓錐的側(cè)面積與全面積需注意的兩個(gè)問題1.弄清圓錐的底面半徑、高、母線之間的關(guān)系：圓錐的軸截面是等腰三角形.2.與圓錐側(cè)面積有關(guān)的幾何體的表面積的計(jì)算：一是分析清楚幾何體表面的構(gòu)成，二是弄清圓錐與其側(cè)面展開扇形各元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【知識(shí)歸納】學(xué)習(xí)圓錐的側(cè)面積與全面積需注意的兩個(gè)問題熱點(diǎn)考向五與圓有關(guān)的陰影面積的計(jì)算

【例5】如圖，CD為☉O的直徑，CD⊥AB，垂足為F，AO⊥BC，垂足為點(diǎn)E，AO=1.(1)求∠C的大小.(2)求陰影部分的面積.熱點(diǎn)考向五與圓有關(guān)的陰影面積的計(jì)算

【解題探究】(1)題目已知條件中，沒有已知角的度數(shù)，如何求∠C的大小？提示：可根據(jù)垂徑定理及推論得出CD⊥AB，

，得出∠C=∠AOD.再根據(jù)對(duì)頂角相等，得出∠AOD=∠COE，得出∠C與∠COE的關(guān)系，在Rt△COE中，根據(jù)兩銳角互余，求出∠C的大小.【解題探究】(2)陰影部分的面積等于哪些圖形的和差，怎樣求出？提示：S陰影=S扇形OAB-S△OAB.由(1)所求得的∠C度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，即可求出∠AOB的度數(shù)，再利用30°的直角三角形邊角關(guān)系，求出OF，AB的長度，利用扇形面積公式S扇形=πR2和三角形面積公式，可求出S扇形OAB-S△OAB.(2)陰影部分的面積等于哪些圖形的和差，怎樣求出？【嘗試解答】(1)∵CD為☉O的直徑，CD⊥AB，∴

，∴∠C=∠AOD.∵∠AOD=∠COE，∴∠C=∠COE.∵AO⊥BC，∴∠C=30°.(2)連接OB.由(1)知∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF=，OF=，∴AB=.∴S陰影=S扇形OAB-S△OAB=×12×π-【嘗試解答】(1)∵CD為☉O的直徑，CD⊥AB，【規(guī)律方法】求圓中有關(guān)陰影部分面積的方法1.求不規(guī)則圖形的面積，常轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和差，然后求出各圖形的面積，通過面積的和差求出結(jié)果.2.求陰影部分面積的“五種常見方法”：(1)公式法.(2)割補(bǔ)法.(3)拼湊法.(4)等積變形法.(5)構(gòu)造方程法.【規(guī)律方法】求圓中有關(guān)陰影部分面積的方法【備選例題】如圖，AB是☉O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點(diǎn)C，AD⊥EF于點(diǎn)D，∠DAC=∠BAC.(1)求證EF是☉O的切線.(2)求證AC2=AD·AB.(3)若☉O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積.【備選例題】如圖，AB是☉O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點(diǎn)【解析】(1)連接OC，∵AD⊥EF，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵∠DAC=∠BAC，∴∠CAD=∠ACO，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD+∠ACO=90°，即∠OCD=90°，∴EF是☉O的切線.【解析】(1)連接OC，∵AD⊥EF，(2)連接BC.∵CD是☉O的切線，∴∠OCD=90°，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°.∴∠ACD+∠OCA=90°，∠OCA+∠OCB=90°，∴∠ACD=∠OCB.∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∴∠B=∠ACD.在Rt△ACD與Rt△ACB中，∵∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，∴△ABC∽△ACD，∴

，即AC2=AB·AD.(2)連接BC.【一題多解】(銳角三角函數(shù)法)∵cos∠BAC=cos∠CAD，∴

，即AC2=AB·AD.(3)∵CD是☉O的切線，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，∵∠ACD=30°，∴∠ACO=60°.∵OC=OA，∴△ACO是等邊三角形，∴AC=OC=2，∠AOC=60°，在Rt△ADC中，∵∠ACD=30°，∴AD=1，CD=，S陰影=S梯形OCDA-S扇形OCA=【一題多解】(銳角三角函數(shù)法)∵cos∠BAC=cos∠CA【真題專練】1.如圖，已知扇形的圓心角為60°，半徑為則圖中弓形的面積為(

)A.

B.C. D.【解析】選C.S=【真題專練】【解析】選C.S=2.如圖，已知圓O的半徑是2，∠AOB=60°，則陰影部分的面積為

(結(jié)果可用π表示).2.如圖，已知圓O的半徑是2，∠AOB=60°，則陰影部分的【解析】∵圓O的半徑是2，∠AOB=60°，∴S扇形ABO=，∵OA=OB=2，∠AOB=60°，∴S△ABO=×2×=，∴S陰影=S扇形ABO-S△ABO=π-.答案：π-【解析】∵圓O的半徑是2，∠AOB=60°，3.如圖，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為4，點(diǎn)C在上，CD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，當(dāng)△OCD的面積最大時(shí)，圖中陰影部分的面積為

.3.如圖，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為4，點(diǎn)C【解析】∵OC=4，點(diǎn)C在上，CD⊥OA，∴DC=，∴S△OCD=∴S△OCD2=

OD2·(16-OD2)=-

OD4+4OD2=-

(OD2-8)2+16，∴當(dāng)OD2=8，即OD=2

時(shí)△OCD的面積最大，∴DC=

=2

，【解析】∵OC=4，點(diǎn)C在上，CD⊥OA，∴∠COA=45°，∴陰影部分的面積=扇形AOC的面積-△OCD的面積==2π-4.答案：2π-4∴∠COA=45°，【知識(shí)歸納】求陰影部分面積的四種方法1.面積的和差：把不規(guī)則圖形陰影部分的面積通過平移、翻折，或?qū)⑺o圖形中的某一部分繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和差.2.等積變形法：把不易或難以求出的不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為與其相等的規(guī)則圖形面積.【知識(shí)歸納】求陰影部分面積的四種方法3.整體思想：把分散的幾個(gè)陰影部分的面積，通過整體考慮，拼在一起用整體的方法求解.4.代數(shù)法：分析題設(shè)中幾何圖形的條件，再轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，設(shè)出未知數(shù)，然后列方程求解.3.整體思想：把分散的幾個(gè)陰影部分的面積，通過整體考慮，拼在4.如圖，點(diǎn)D在☉O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在☉O上，AC=CD，∠ACD=120°.(1)求證：CD是☉O的切線.(2)若☉O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積.4.如圖，點(diǎn)D在☉O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在☉O上，AC【解析】(1)連接OC.∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°，∴∠OCD=90°，∴CD是☉O的切線.(2)∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°，∴S扇形BOC=在Rt△OCD中，∵=tan60°，【解析】(1)連接OC.∵AC=CD，∠ACD=120°，∴CD=2，∴SRt△OCD=OC×CD=×2×2=2，∴圖中陰影部分的面積為

∴CD=2，【巧思妙解】巧用轉(zhuǎn)化思想解題【典例】如圖，以等腰直角△ABC兩銳角頂點(diǎn)A，B為圓心作等圓，☉A與☉B(tài)恰好外切，若AC=2，那么圖中兩個(gè)扇形(即陰影部分)的面積之和為(

)A.π

B.π

C.π

D.π【巧思妙解】巧用轉(zhuǎn)化思想解題【常規(guī)解法】選B.∵在等腰直角三角形ABC中AC=2，∴AB=2，∠A=∠B=45°，∴圓的半徑為，∴S扇形=【常規(guī)解法】【巧妙解法】選B.∵在等腰直角三角形ABC中AC=2，∴AB=2，∴圓的半徑為，又∵∠A+∠B=90°，∴S扇形=【巧妙解法】【解法對(duì)比】1.本題若分別求出兩個(gè)扇形的面積，再求陰影部分的面積計(jì)算量較大且容易出錯(cuò).2.觀察兩個(gè)扇形(即陰影部分)的面積之和，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為求圓心角為90°扇形的面積，步驟簡單且運(yùn)算量小.【解法對(duì)比】1.本題若分別求出兩個(gè)扇形的面積，再求陰影部分的【技巧點(diǎn)撥】轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的重要思想方法，在求陰影部分的面積時(shí)經(jīng)常用到.利用轉(zhuǎn)化思想常能解決求陰影部分的面積的三類問題：1.能轉(zhuǎn)化為圓心角為60°，90°扇形的面積的題目.2.能轉(zhuǎn)化為半圓，圓的面積的題目.3.能轉(zhuǎn)化為圓心角為60°，90°扇形的面積和特殊的三角形(等邊三角形，等腰直角三角形)和差等的題目.【技巧點(diǎn)撥】轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的重要思想方法，在求陰影部分的面積與圓有關(guān)的計(jì)算與圓有關(guān)的計(jì)算一、正多邊形和圓1.正多邊形的定義：各邊_____，各角也_____的多邊形是正多邊形.2.正多邊形和圓的關(guān)系：把一個(gè)圓______，依次連結(jié)_______可作出圓的內(nèi)接正n邊形.相等相等n等分各分點(diǎn)一、正多邊形和圓相等相等n等分各分點(diǎn)二、弧長公式在半徑為r的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長為l=

.三、扇形的面積公式在半徑為r的圓中，①圓心角是n°的扇形面積S=

，②弧長為l的扇形面積S=

.二、弧長公式四、圓錐的側(cè)面積和全面積1.圓錐的有關(guān)概念：(1)母線：圓錐_________上任意一點(diǎn)與圓錐_____的連線叫做圓錐的母線.(2)高：連結(jié)_____與底面_____的線段叫做圓錐的高.2.面積公式：如圖：母線長為l，底面半徑為r的圓錐：S側(cè)=_____，S全=_________.底面圓周頂點(diǎn)頂點(diǎn)圓心πrlπrl+πr2四、圓錐的側(cè)面積和全面積底面圓周頂點(diǎn)頂點(diǎn)圓心πrlπrl+π【思維診斷】(打“√”或“×”)1.將一個(gè)圓分成4份，依次連接各分點(diǎn)所得的四邊形為正方形.()2.正五邊形的中心角等于72°.

()3.正六邊形外接圓的半徑等于其邊長.

()4.扇形的面積公式是S=.

()5.半徑為3cm，圓心角為60°的弧長為cm.

()6.圓錐的底面周長等于展開圖中扇形的弧長.

()√√××√×【思維診斷】(打“√”或“×”)√√××√×熱點(diǎn)考向一正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算

【例1】如圖，要擰開一個(gè)邊長為a=6mm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為(

)A.6mm

B.12mm

C.6mm

D.4mm熱點(diǎn)考向一正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算

【思路點(diǎn)撥】作輔助線→一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)→利用解直角三角形的知識(shí)求b的值.【思路點(diǎn)撥】作輔助線→一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)→利用解直角三角形的知識(shí)【自主解答】選C.連接AC，過B作BD⊥AC于點(diǎn)D.∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD.∵此多邊形為正六邊形，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB·cos30°=6×=3(mm)，∴b=2AD=6mm.【自主解答】選C.【規(guī)律方法】正多邊形的有關(guān)計(jì)算的常用公式(1)有關(guān)角的計(jì)算：①正n邊形的內(nèi)角和=(n-2)180°，外角和=360°.②正n邊形的每個(gè)內(nèi)角=，每個(gè)外角=.③正n邊形的中心角=.【規(guī)律方法】正多邊形的有關(guān)計(jì)算的常用公式(2)有關(guān)邊的計(jì)算：①r2+=R2(r表示邊心距，R表示半徑，a表示邊長).②l=na(l表示周長，n表示邊數(shù)，a表示邊長).③S正n邊形=lr(l表示周長，r表示邊心距).(2)有關(guān)邊的計(jì)算：【真題專練】1.正六邊形的邊心距為，則該正六邊形的邊長是(

)A. B.2 C.3 D.2【解析】選B.正六邊形的邊心距為，每條邊所對(duì)的中心角為60°，設(shè)正六邊形的邊長為x，則cos30°=，解得x=2.【真題專練】【解析】選B.正六邊形的邊心距為，每條邊所2.已知☉O的面積為2π，則其內(nèi)接正三角形的面積為(

)A.3B.3 C. D.2.已知☉O的面積為2π，則其內(nèi)接正三角形的面積為()【解析】選C.如圖，由☉O的面積為2π，可得圓的半徑OC=，所以弦心距OE=，EC=，所以內(nèi)接△ABC的面積=【解析】選C.如圖，由☉O的面積為2π，可得圓的半徑OC=【知識(shí)歸納】與正n邊形有關(guān)的常用計(jì)算公式設(shè)邊長為a，半徑為R，中心角αn=；邊長an=2Rsin；邊心距rn=Rcos；外接圓半徑R=；周長pn=nan；面積Sn=an·rn·n=pn·rn.【知識(shí)歸納】與正n邊形有關(guān)的常用計(jì)算公式3.正六邊形的邊心距與邊長之比為(

)A.∶3

B.∶2

C.1∶2

D.∶2【解析】選B.如圖，OB⊥EF，EF為正六邊形的邊長，O為正六邊形的中心，∴△OEF是等邊三角形，EF=OE，∴=sin∠OEF，∴.3.正六邊形的邊心距與邊長之比為()4.正八邊形的一個(gè)內(nèi)角是

.【解析】根據(jù)內(nèi)角和公式(n-2)·180°=(8-2)·180°=1080°，1080°÷8=135°.答案：135°4.正八邊形的一個(gè)內(nèi)角是.【一題多解】360°÷8=45°，180°-45°=135°.答案：135°【一題多解】360°÷8=45°，180°-45°=135°5.如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，四邊形BCFG的面積為20cm2，則正八邊形的面積為

cm2.5.如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，四邊形BCFG的面積【解析】連接AD，HE，則△AOB，△CDP，△EFN，△HGM均為全等的等腰直角三角形，四邊形BCPO、四邊形GFNM為全等的矩形.設(shè)正八邊形的邊長為a，則OA=OB=a，則AD=a+a，∴S矩形ADEH=S矩形BCFG=a(a+a)=20(cm2).即a2+a2=20(cm2)，而(S△AOB+S△CDP+S△EFN+S△HGM)+S矩形BCPO+S矩形GFNM=a2+2×a·a=a2+a2=20(cm2)，故正八邊形的面積為20+20=40(cm2).答案：40【解析】連接AD，HE，則△AOB，△CDP，熱點(diǎn)考向二弧長公式的應(yīng)用

【例2】如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線l上進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是(

)A.π B.13π C.25π D.25熱點(diǎn)考向二弧長公式的應(yīng)用

【思路點(diǎn)撥】確定點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑為圓弧，根據(jù)勾股定理和弧長公式計(jì)算即可.【思路點(diǎn)撥】確定點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑為圓弧，根據(jù)勾股定理和弧長【自主解答】選A.連接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴

∵

∴點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是

【自主解答】選A.連接BD，B′D，【規(guī)律方法】弧長公式的應(yīng)用對(duì)于弧長公式l=，可變形為：n=或R=，在三個(gè)量l，n，R中，若已知其中兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)量.注意：在計(jì)算過程中，l與R的單位要統(tǒng)一.【規(guī)律方法】弧長公式的應(yīng)用【真題專練】1.已知扇形的圓心角為45°，半徑長為12，則該扇形的弧長為(

)A. B.2π C.3π D.12π【解析】選C.根據(jù)弧長公式得l==3π.【真題專練】【解析】選C.根據(jù)弧長公式得l==2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，將△ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′B′C，則點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長為(

)A. B.C. D.π2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，【解析】選B.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，所以AC=1，由勾股定理得，BC=，由旋轉(zhuǎn)知，∠B′CB=60°，點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的路徑長為.【解析】選B.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，【變式訓(xùn)練】如圖，AB切☉O于點(diǎn)B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧長為

.(結(jié)果保留π)【變式訓(xùn)練】如圖，AB切☉O于點(diǎn)B，OA=2，∠OAB=30【解析】連接OB，OC，∵AB為☉O的切線，∴∠ABO=90°.在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°.∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC為等邊三角形，∴∠BOC=60°，則劣弧長為

答案：【解析】連接OB，OC，∵AB為☉O的切線，∴∠ABO=903.如圖，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，則弧AB的長l=

.3.如圖，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，則弧AB的長l=【解析】由題干圖可得∠AOB＝90°，OA＝OB＝

，∴l(xiāng)＝答案：【解析】由題干圖可得∠AOB＝90°，OA＝OB＝熱點(diǎn)考向三扇形面積公式的應(yīng)用

【例3】如圖，將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，三角板一邊與量角器的零刻度線所在直線重合，重疊部分的量角器弧AB對(duì)應(yīng)的圓心角(∠AOB)為120°，OC的長為2cm，則三角板和量角器重疊部分的面積為

.熱點(diǎn)考向三扇形面積公式的應(yīng)用

【思路點(diǎn)撥】重疊部分由扇形AOB和Rt△BOC組成，求出它們各自的面積再求和.【思路點(diǎn)撥】重疊部分由扇形AOB和Rt△BOC組成，求出它們【自主解答】由圖知三角板和量角器重疊部分由扇形AOB和Rt△BOC組成，在Rt△BOC中，因?yàn)椤螦OB為120°，OC的長為2cm，所以∠COB=60°，OB=2OC=4，BC=2，所以扇形AOB的面積=，Rt△BOC的面積=×2×2=2，所以三角板和量角器重疊部分的面積為cm2.答案：cm2【自主解答】由圖知三角板和量角器重疊部分由扇形AOB和【規(guī)律方法】扇形面積公式的選擇1.當(dāng)已知半徑R和圓心角的度數(shù)求扇形的面積時(shí)，選用公式S扇形=.2.當(dāng)已知半徑R和弧長求扇形的面積時(shí)，應(yīng)選用公式S扇形=lR.3.扇形面積公式S扇形=lR與三角形面積公式十分類似，為了便于記憶，只要把扇形看成一個(gè)曲邊三角形，把弧長l看成底，R看成底邊上的高即可.【規(guī)律方法】扇形面積公式的選擇【真題專練】1.在圓心角為120°的扇形AOB中，半徑OA=6cm，則扇形AOB的面積是(

)A.6πcm2

B.8πcm2

C.12πcm2

D.24πcm2【解析】選C.S==12π(cm2).【真題專練】【解析】選C.S=2.如果一個(gè)扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”.則半徑為2的“等邊扇形”的面積為(

)A.π B.1 C.2 D.π【解析】選C.根據(jù)扇形的面積公式，得S=lr=×2×2=2.2.如果一個(gè)扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形3.如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D，E.若DE=1，則扇形OAB的面積為

.3.如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是上【解析】連接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂徑定理得到D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，即ED為三角形ABC的中位線，由DE=1，∴AB=2，∵∠AOB=90°，利用勾股定理求出OA的長為，根據(jù)扇形的面積公式，可得扇形的面積為.答案：【解析】連接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，熱點(diǎn)考向四圓錐的側(cè)面積、全面積

【例4】已知直角三角形ABC的一條直角邊AB=12cm，另一條直角邊BC=5cm，則以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圓錐的表面積是(

)A.90πcm2

B.209πcm2

C.155πcm2

D.65πcm2熱點(diǎn)考向四圓錐的側(cè)面積、全面積

【思路點(diǎn)撥】利用圓錐側(cè)面積+圓錐底面積=圓錐表面積求得；圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，先根據(jù)勾股定理求圓錐的母線長，再利用圓錐側(cè)面積=πrl，其中r是底面圓的半徑，l是母線長；再加上底面積即可.【思路點(diǎn)撥】利用圓錐側(cè)面積+圓錐底面積=圓錐表面積求得；圓錐【自主解答】選A.∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，∴AC=13.側(cè)面積S=πrl=5×13π=65π(cm2)，底面積S=πr2=25π(cm2)，圓錐的表面積=65π+25π=90π(cm2).【自主解答】選A.∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，【規(guī)律方法】圓錐和其側(cè)面展開圖(扇形)之間的等量關(guān)系(1)h2+r2=l2.(2)的長=☉O周長=.(3)S扇形ABC==πrl.【規(guī)律方法】圓錐和其側(cè)面展開圖(扇形)之間的等量關(guān)系【備選例題】如圖，從半徑為9cm的圓形紙片上剪去圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐(接縫處不重疊)，那么這個(gè)圓錐的高為

cm.【備選例題】如圖，從半徑為9cm的圓形紙片上剪去圓周的【解析】圓心角是360°×=240°，則弧長是=12π(cm)，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2πr=12π，解得r=6.則圓錐的高是(cm).答案：3【解析】圓心角是360°×=240°，【真題專練】1.如果圓錐的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是(

)A.10cm2

B.10πcm2

C.20cm2

D.20πcm2【解析】選B.圓錐的側(cè)面積S=πrl，r是底面半徑，l是母線長.∴S=π×2×5=10π(cm2).【真題專練】【解析】選B.圓錐的側(cè)面積S=πrl，r是底面半2.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為90°的扇形，則該圓錐的底面周長為(

)A.π B.π C. D.【解析】選B.扇形的弧長為

，所以圓錐的底面周長為π.2.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為90°的扇形，3.一個(gè)底面直徑是80cm，母線長為90cm的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為

.【解析】圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，則扇形的弧長為80πcm，半徑為90cm，由弧長公式得80π=，所以圓心角的度數(shù)n=160°.答案：160°3.一個(gè)底面直徑是80cm，母線長為90cm的圓錐的側(cè)面展開【知識(shí)歸納】有關(guān)圓錐計(jì)算的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1.圓錐的母線長為圓錐側(cè)面展開圖的半徑.2.圓錐底面圓的周長等于圓錐側(cè)面展開圖的弧長.3.圓錐的母線長l、底面半徑r、高h(yuǎn)之間具有關(guān)系：r2+h2=l2.注意：計(jì)算時(shí)圓錐側(cè)面展開圖的半徑是圓錐的母線，注意與底面半徑的區(qū)分.【知識(shí)歸納】有關(guān)圓錐計(jì)算的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)4.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求母線AB與高AO的夾角.參考公式：圓錐的側(cè)面積S=πrl，其中r為底面半徑，l為母線長.4.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求母線AB與高AO的夾【解析】∵2πr=πl(wèi)，∴l(xiāng)=2r，∴sin∠BAO=∴∠BAO=30°，∴母線AB與高AO的夾角為30°.【解析】∵2πr=πl(wèi)，∴l(xiāng)=2r，∴sin∠BAO=【知識(shí)歸納】學(xué)習(xí)圓錐的側(cè)面積與全面積需注意的兩個(gè)問題1.弄清圓錐的底面半徑、高、母線之間的關(guān)系：圓錐的軸截面是等腰三角形.2.與圓錐側(cè)面積有關(guān)的幾何體的表面積的計(jì)算：一是分析清楚幾何體表面的構(gòu)成，二是弄清圓錐與其側(cè)面展開扇形各元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【知識(shí)歸納】學(xué)習(xí)圓錐的側(cè)面積與全面積需注意的兩個(gè)問題熱點(diǎn)考向五與圓有關(guān)的陰影面積的計(jì)算

【例5】如圖，CD為☉O的直徑，CD⊥AB，垂足為F，AO⊥BC，垂足為點(diǎn)E，AO=1.(1)求∠C的大小.(2)求陰影部分的面積.熱點(diǎn)考向五與圓有關(guān)的陰影面積的計(jì)算

【解題探究】(1)題目已知條件中，沒有已知角的度數(shù)，如何求∠C的大?。刻崾荆嚎筛鶕?jù)垂徑定理及推論得出CD⊥AB，

，得出∠C=∠AOD.再根據(jù)對(duì)頂角相等，得出∠AOD=∠COE，得出∠C與∠COE的關(guān)系，在Rt△COE中，根據(jù)兩銳角互余，求出∠C的大小.【解題探究】(2)陰影部分的面積等于哪些圖形的和差，怎樣求出？提示：S陰影=S扇形OAB-S△OAB.由(1)所求得的∠C度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，即可求出∠AOB的度數(shù)，再利用30°的直角三角形邊角關(guān)系，求出OF，AB的長度，利用扇形面積公式S扇形=πR2和三角形面積公式，可求出S扇形OAB-S△OAB.(2)陰影部分的面積等于哪些圖形的和差，怎樣求出？【嘗試解答】(1)∵CD為☉O的直徑，CD⊥AB，∴

，∴∠C=∠AOD.∵∠AOD=∠COE，∴∠C=∠COE.∵AO⊥BC，∴∠C=30°.(2)連接OB.由(1)知∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF=，OF=，∴AB=.∴S陰影=S扇形OAB-S△OAB=×12×π-【嘗試解答】(1)∵CD為☉O的直徑，CD⊥AB，【規(guī)律方法】求圓中有關(guān)陰影部分面積的方法1.求不規(guī)則圖形的面積，常轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和差，然后求出各圖形的面積，通過面積的和差求出結(jié)果.2.求陰影部分面積的“五種常見方法”：(1)公式法.(2)割補(bǔ)法.(3)拼湊法.(4)等積變形法.(5)構(gòu)造方程法.【規(guī)律方法】求圓中有關(guān)陰影部分面積的方法【備選例題】如圖，AB是☉O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點(diǎn)C，AD⊥EF于點(diǎn)D，∠DAC=∠BAC.(1)求證EF是☉O的切線.(2)求證AC2=AD·AB.(3)若☉O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積.【備選例題】如圖，AB是☉O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點(diǎn)【解析】(1)連接OC，∵AD⊥EF，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵∠DAC=∠BAC，∴∠CAD=∠ACO，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD+∠ACO=90°，即∠OCD=90°，∴EF是☉O的切線.【解析】(1)連接OC，∵AD⊥EF，(2)連接BC.∵CD是☉O的切線，∴∠OCD=90°，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°.∴∠ACD+∠OCA=90°，∠OCA+∠OCB=90°，∴∠ACD=∠OCB.∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∴∠B=∠ACD.在Rt△ACD與Rt△ACB中，∵∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，∴△ABC∽△ACD，∴

，即AC2=AB·AD.(2)連接BC.【一題多解】(銳角三角函數(shù)法)∵cos∠BAC=cos∠CAD，∴

，即AC2=AB·AD.(3)∵CD是☉O的切線，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，∵∠ACD=30°，∴∠ACO=60°.∵OC=OA，∴△ACO