..摘要隨機(jī)變量的獨(dú)立性是統(tǒng)計(jì)學(xué)概率論中最基本的概念之一,通過對(duì)它的研究可使很多實(shí)際問題的具體計(jì)算得到簡(jiǎn)化,所以關(guān)于隨機(jī)變量獨(dú)立性的研究構(gòu)成了概率論的重要課題．本論文首先對(duì)隨機(jī)變量獨(dú)立性進(jìn)行定義,然后分別對(duì)離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性進(jìn)行研究分析,同時(shí)得出了一些相關(guān)的推論,然后對(duì)獨(dú)立隨機(jī)變量與數(shù)字特征之間的關(guān)系以及獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布進(jìn)行論述證明．最后本論文對(duì)隨機(jī)變量獨(dú)立性的一些應(yīng)用進(jìn)行了整合分析．關(guān)鍵詞:隨機(jī)變量;獨(dú)立性;數(shù)字特征ABSTRACTTheindependenceoftherandomvariableisoneofthemostbasicconceptintheoryofprobabilitystatistics.Throughthestudyofitcanmakemanysimplifiesthecalculationoftheactualproblem.Studyofindependentrandomvariablesconstitutestheimportantsubjectofprobabilitytheory.Thispaperfirstindependenceofrandomvariablesaredefined.Thenrespectivelytothediscreterandomvariableandcontinuousrandomvariablesindependenceforthispaper.Somerelevantinferencesaredrawnatthesametime,andthentherelationshipbetweenthecharacteristicsofindependentrandomvariableswithdigitalandindependentrandomvariablesanddiscussesthedistributionofthecertificate.Finallythisthesisontheindependenceofrandomvariableapplicationintegrationanalysis.Keywords：Randomvariable;independence;numericalcharacteristics目錄摘要2ABSTRACT3前言5第一章隨機(jī)變量獨(dú)立性及其判定61.1隨機(jī)變量獨(dú)立性定義6隨機(jī)變量及隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義6隨機(jī)變量獨(dú)立性的兩個(gè)簡(jiǎn)單定理71.2離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定8離散型隨機(jī)變量判別法一8離散型隨機(jī)變量判別法二111.3連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定14連續(xù)型隨機(jī)變量判別法一14連續(xù)型隨機(jī)變量判別法二15第二章隨機(jī)變量獨(dú)立性的性質(zhì)與應(yīng)用172.1隨機(jī)變量與數(shù)字特征17隨機(jī)變量獨(dú)立性與數(shù)學(xué)期望17隨機(jī)變量獨(dú)立性與方差18隨機(jī)變量獨(dú)立性與協(xié)方差19隨機(jī)變量獨(dú)立性與相關(guān)系數(shù)192.2隨機(jī)變量和的分布21獨(dú)立離散型隨機(jī)變量和的分布21獨(dú)立連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布222.2.3獨(dú)立的離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布232.3隨機(jī)變量獨(dú)立性的應(yīng)用25應(yīng)用一利用離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性確定分布中的參數(shù).25應(yīng)用二求離散型獨(dú)立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列262.3.3應(yīng)用三利用連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性求常用分布函數(shù)的聯(lián)合概率密度27總結(jié)29致謝30參考文獻(xiàn)31前言概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支,而隨機(jī)現(xiàn)象是相對(duì)于決定性現(xiàn)象而言的．由于隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性,使得其在現(xiàn)實(shí)生活中具有極其廣泛的應(yīng)用,特別是在科學(xué)技術(shù)、工業(yè)和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等方面．而隨機(jī)變量則是指隨機(jī)事件的數(shù)量表現(xiàn),隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率統(tǒng)計(jì)中最基本的概念之一,無論在科學(xué)理論研究還是在社會(huì)生產(chǎn)、生活等實(shí)際的應(yīng)用中都具有非常重要的意義．當(dāng)前概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)很多已有的研究成果都是在隨機(jī)變量獨(dú)立性的前提下得到的,因而對(duì)隨機(jī)變量獨(dú)立性的研究具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義．隨機(jī)變量獨(dú)立性的研究經(jīng)歷著緩慢的發(fā)展過程．在上世紀(jì)九十年代后,有關(guān)隨機(jī)變量獨(dú)立性的研究進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)期,將隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量,然后分別對(duì)其進(jìn)行定向判定研究,并對(duì)隨機(jī)變量的應(yīng)用也展開了一個(gè)新的局面．本文將在此基礎(chǔ)上對(duì)隨機(jī)變量獨(dú)立性判定做詳細(xì)、全面的論述,并對(duì)隨機(jī)變量獨(dú)立性在求數(shù)字特征中的應(yīng)用和獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布等方面做詳細(xì)的介紹．第一章隨機(jī)變量獨(dú)立性及其判定1.1隨機(jī)變量獨(dú)立性定義在我們研究隨機(jī)變量獨(dú)立性判定時(shí),首先我們需要了解什么是隨機(jī)變量獨(dú)立獨(dú)立性,當(dāng)然在此之前我們需要了解一個(gè)更為具體的概念,即什么是隨機(jī)變量．隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的實(shí)值單值函數(shù)．如某一時(shí)間段經(jīng)過火車站安全門的人數(shù),機(jī)在一定時(shí)間內(nèi)收到的次數(shù)等等,都是關(guān)于隨機(jī)變量的實(shí)例．1.1.1隨機(jī)變量及隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義設(shè)為概率空間,為上定義的實(shí)值函數(shù),如果有則稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量是上關(guān)于可測(cè)的實(shí)值函數(shù)．一般我們省略,將等簡(jiǎn)寫成等．隨機(jī)變量在不同條件下因?yàn)榕既灰蛩氐挠绊?其取值可能不同,即隨機(jī)變量具有不確定性、隨機(jī)性．定義1.1.2設(shè)為概率空間上的個(gè)隨機(jī)變量,若其聯(lián)合分布函數(shù)等于各自的邊緣分布函數(shù)之積,即稱相互獨(dú)立．1.1.2隨機(jī)變量獨(dú)立性的兩個(gè)簡(jiǎn)單定理定理1.1.1如果隨機(jī)變量相互獨(dú)立,則其中任何一部分隨機(jī)變量仍然獨(dú)立．證明如果相互獨(dú)立,考慮其任意部分隨機(jī)變量組成的子向量,在中令與子向量無干的所有,則左邊可化為其子向量的邊緣分布函數(shù),同樣右邊相應(yīng)地化為子向量的各分量的邊緣分布函數(shù)之積,故定理1.1.1得證．隨機(jī)變量相互獨(dú)立,當(dāng)且僅當(dāng)證明充分性中僅僅是上式中的特殊情況,充分性得證．必要性先固定,記則由定理1.1.1知易見,為代數(shù),故.因而在固定,記同樣地有且為代數(shù),故,必要性得證．綜上,隨機(jī)變量相互獨(dú)立,當(dāng)且僅當(dāng)1.2離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定受偶然因素影響,隨機(jī)變量在不同的條件下可能取各種隨機(jī)變量不同的值,即其具有不確定性、隨機(jī)性,但這些取值在某個(gè)范圍的概率是確定的．隨機(jī)變量既可以是離散型的,也可以是連續(xù)型的．同時(shí)在研究隨機(jī)變量的獨(dú)立性時(shí),我們也可分為離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性和連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性兩種分別進(jìn)行研究,首先我們對(duì)離散型隨機(jī)變量進(jìn)行探討研究,當(dāng)然在此之前我們要知道什么樣的隨機(jī)變量才是離散型隨機(jī)變量．定義1.2.1設(shè)為概率空間上的隨機(jī)變量,如果存在數(shù)列和滿足使得則稱隨機(jī)變量〔及概率分布為離散型的．1.2.1離散型隨機(jī)變量判別法一定理設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為的邊際分布列為的邊際分布列為則和相互獨(dú)立的充要條件是:對(duì)所有的取值有證明充分性如果則對(duì)任意的,因?yàn)槭请x散型隨機(jī)變量,所以即和是相互獨(dú)立的,充分性得證.必要性如果和相互獨(dú)立,不妨設(shè)于是對(duì)任意,有即當(dāng)時(shí),有即亦即當(dāng)時(shí),有由得如此下去,可得一般地有同樣,如果取,可得出最后可得即有充分性得證．綜上所述,定理得證.由定理1.2.1可以判定,對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量,等式成立與等式成立是等價(jià)的.因此可以直接用來判定二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性。定理1.2.1是對(duì)二維離散型隨機(jī)變量取有限個(gè)點(diǎn)時(shí)對(duì)獨(dú)立性的判定.從定理1.2.1的證明我們可以看出,如果取無限多個(gè)點(diǎn),結(jié)論也是成立的.因此定理1.2.1可推廣為:定理1.2.2設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為和的邊際分布列分別為則和相互獨(dú)立的充要條件為對(duì)所有的取值有1.2.2離散型隨機(jī)變量判別法二設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合概率分布列可以用下表所示表SEQ表格\*ARABIC2····························································且稱矩陣為的聯(lián)合概率分布矩陣,其行向量記作記的聯(lián)合分布列.引理設(shè)為非零向量,并且和線性相關(guān),則可以由線性表示出.證明因?yàn)楹褪蔷€性相關(guān)的,所以存在不全為零的兩個(gè)數(shù)和,使得又因?yàn)槭欠橇阆蛄?如果,則,故,所以即可由線性表示.定理如果,則與相互獨(dú)立的充要條件是聯(lián)合概率矩陣的任意兩個(gè)行向量<或列向量>線性相關(guān).證明充分性如果中任意的兩個(gè)行向量線性相關(guān),由可知中至少有一個(gè)元素不為零,即至少有一個(gè)非零行向量,假設(shè)是非零向量,由引理可知都可以由線性表示出,則且這里且又由于的邊緣分布分別為:因此即相互獨(dú)立．必要性若相互獨(dú)立,由,則中的任意兩個(gè)行向量可寫為顯然與線性相關(guān).推論1如果,那么與相互獨(dú)立的充要條件為矩陣A的任意兩行<或兩列>對(duì)應(yīng)元素成比例.推論2如果,那么與不相互獨(dú)立的充要條件為存在矩陣A的任意兩個(gè)列向量<或行向量>線性無關(guān).推論3如果,那么與不相互獨(dú)立的充要條件為存在矩陣A的任意兩列<或兩行>對(duì)應(yīng)元素不成比例.推論4如果,那么與相互獨(dú)立的充要條件是矩陣A的秩為1.推論5如果,那么與不相互獨(dú)立的充要條件是矩陣A的秩大于1.推論6如果中有某個(gè),但元素所在的行和列的所有元素不全為零,則與不相互獨(dú)立.1.3連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定在上節(jié)中我們系統(tǒng)研究了離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定問題,本章節(jié)我們研究另一種隨機(jī)變量——連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定問題．同樣首先我們需要知道什么樣的隨機(jī)變量是連續(xù)型的．連續(xù)型定義：設(shè)為概率空間上的隨機(jī)變量,如果存在函數(shù),滿足使得的分布函數(shù)可表示為的形式,稱〔及其概率分布是連續(xù)型的,為的密度函數(shù)．1.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量判別法一定設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量,如果其聯(lián)合密度函數(shù)和邊際密度函數(shù)都是除面積為零的區(qū)域外的連續(xù)函數(shù),則和相互獨(dú)立的充要條件是:除面積為零的區(qū)域外,恒有證明充分性設(shè),則對(duì)任意的實(shí)數(shù),有所以,和相互獨(dú)立.必要性假設(shè)和相互獨(dú)立,有因?yàn)樯鲜綄?duì)任意的都成立,于是有綜上所述,定理得證.1.3.2連續(xù)型隨機(jī)變量判別法二定理設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其聯(lián)合密度函數(shù)為,則隨機(jī)變量和相互獨(dú)立的充要條件為:〔1存在連續(xù)函數(shù)使；〔2為分別和無關(guān)的常數(shù).證明充分性首先分別求的邊際密度函數(shù),由于為分別和無關(guān)的常數(shù),所以上式積分中的結(jié)果與是分別和無關(guān)的常數(shù),分別記為進(jìn)一步由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)有即由定理得相互獨(dú)立,充分性得證.必要性若相互獨(dú)立,由定理得,必有取則有,于是條件〔1成立.用反證法證明條件〔2,如果中至少有一個(gè)是與或有關(guān)的函數(shù),不妨設(shè),因?yàn)槭顷P(guān)于的邊際密度函數(shù),則必有,而是一個(gè)與有關(guān)的不恒等于1的函數(shù)矛盾,因而必有與無關(guān).進(jìn)一步得都與無關(guān),因此必要性得證.第二章隨機(jī)變量獨(dú)立性的性質(zhì)與應(yīng)用在上一章,論文主要對(duì)隨機(jī)變量及隨機(jī)變量獨(dú)立性進(jìn)行了闡述說明,并系統(tǒng)的研究分析了隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定問題．本章節(jié)將從獨(dú)立隨機(jī)變量與數(shù)字特征關(guān)系和獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布兩方面進(jìn)行具體敘述獨(dú)立隨機(jī)變量的性質(zhì)．2.1隨機(jī)變量與數(shù)字特征本節(jié)具體研究獨(dú)立隨機(jī)變量與數(shù)字特征之間的關(guān)系,即隨機(jī)變量與數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系．隨機(jī)變量獨(dú)立性與數(shù)學(xué)期望定理2.1.1設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,則證明設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布列為和的邊際分布列為因?yàn)橄嗷オ?dú)立,所以則有同理,設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,分別是的密度函數(shù),為的密度函數(shù),因?yàn)榕c相互獨(dú)立,所以有于是綜上可所述,定理得證.隨機(jī)變量獨(dú)立性與方差定理2.1.2設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,則證明因?yàn)橄嗷オ?dú)立,所以也獨(dú)立,所以有從而推論設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,則有例設(shè)相互獨(dú)立,且,的數(shù)學(xué)期望和方差.解因?yàn)橄嗷オ?dú)立,所以由期望、方差的性質(zhì)以及定理2.1.2有隨機(jī)變量獨(dú)立性與協(xié)方差定理設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,則必不相關(guān),即,而不相關(guān),則不一定相互獨(dú)立.證明因相互獨(dú)立,所以,于是而對(duì)不相關(guān),就不一定會(huì)相互獨(dú)立,下見反例.例設(shè)隨機(jī)變量,令,則不獨(dú)立.此時(shí)的協(xié)方差為即有不相關(guān),但不相互獨(dú)立.隨機(jī)變量獨(dú)立性與相關(guān)系數(shù)定理設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,則.證明因?yàn)橄嗷オ?dú)立,則,則例若,則相互獨(dú)立的充要條件是.證明充分性若,此時(shí)所以相互獨(dú)立.必要性因?yàn)橄嗷オ?dú)立,且均為連續(xù)函數(shù),所以對(duì)一切恒有取則有,即從而.2.2隨機(jī)變量和的分布如果離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為的廣義導(dǎo)數(shù)稱為離散型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)．若的聯(lián)合分布函數(shù)為：則稱廣義導(dǎo)數(shù)為的聯(lián)合概率密度函數(shù)．2.2.1獨(dú)立離散型隨機(jī)變量和的分布設(shè)與是相互獨(dú)立的非負(fù)整值隨機(jī)變量,其分布分別為與,則其和有分布證明因?yàn)榕c相互獨(dú)立,把作為分割點(diǎn),利用全概率公式,對(duì)任何有定理得證．上式稱為離散場(chǎng)合下的卷積公式．2.2.2獨(dú)立連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布定理2.2.2如果隨機(jī)向量有聯(lián)合密度,則它們的和仍為連續(xù)型,具有密度證明的分布函數(shù)為即的分布函數(shù)可表為的變上限積分,于是仍然為連續(xù)型,密度如所示,改變積分次序可以得到,定理得證．當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)同樣可以寫為稱這一運(yùn)算是函數(shù)與的卷積,上式即為連續(xù)型場(chǎng)合的卷積公式．把此式與離散型卷積公式統(tǒng)一用相應(yīng)的分布函數(shù)可以寫成簡(jiǎn)寫為.2.2.3獨(dú)立的離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布定義2.2.2性質(zhì)如果是離散型隨機(jī)變量,概率密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度函數(shù)為,并且相互獨(dú)立,則的聯(lián)合密度函數(shù)為：證明如果的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,則由相互獨(dú)立,可知其聯(lián)合分布函數(shù)<對(duì)任意實(shí)數(shù)>為所以由定義2.2.2知進(jìn)一步利用廣義導(dǎo)數(shù)概念,可得獨(dú)立隨機(jī)變量和的定理．設(shè)為離散型隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為,且相互獨(dú)立,則的概率密度函數(shù)為：即的卷積．證明設(shè)的分布函數(shù)為,則作變換則故證畢.2.3隨機(jī)變量獨(dú)立性的應(yīng)用2.3.1應(yīng)用一利用離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性確定分布中的參數(shù).例設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為XY01201ab問其中取什么值時(shí),獨(dú)立？解的分布列：X01的分布列：Y012即分布列：分布列：由于邊緣分布律必滿足及.又與相互獨(dú)立的等價(jià)條件為,可知2.3.2應(yīng)用二求離散型獨(dú)立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列已知相互獨(dú)立,求的分布列．解例設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量與的分布列分別為求隨機(jī)變量的分布列．解因?yàn)橄嗷オ?dú)立,所以得XY2410.180.1230.420.28和P0.18<1,2>30.12<1,4>50.42<3,2>50.28<3,4>7所以357P0.180.540.282.3.3應(yīng)用三利用連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性求常用分布函數(shù)的聯(lián)合概率密度例1設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立,且服從,在上服從均勻分布,求解的聯(lián)合概率密度．解由于與相互獨(dú)立,所以又得聯(lián)合概率密度為其中當(dāng)時(shí),即例2設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量與均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,試求的概率密度．解由于由卷積公式得令,則即服從分布．總結(jié)本論文在