1.6 利用三角函數(shù)測(cè)高第一章 直角三角形的邊角關(guān)系北師大版數(shù)學(xué)

九年級(jí)下冊(cè)能夠設(shè)計(jì)活動(dòng)方案、自制測(cè)傾器和運(yùn)用測(cè)傾器進(jìn)行實(shí)地測(cè)量以及撰寫(xiě)活動(dòng)報(bào)告的過(guò)程；能夠?qū)λ玫臄?shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和矯正；(重點(diǎn))能夠綜合運(yùn)用直角三角形邊角關(guān)系的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入新課如果不告訴你這些高樓大廈的高度，你能想到辦法測(cè)出它們的高度嗎？通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，相信你就行.情境引入講授新課303060609090問(wèn)題1：如何測(cè)量?jī)A斜角？測(cè)量?jī)A斜角可以用測(cè)傾器，----簡(jiǎn)單的側(cè)傾器由度盤(pán)、鉛錘和支桿組成P Q度盤(pán)0鉛錘支桿測(cè)量?jī)A斜角03030606090901.把支架豎直插入地面，使支架的中心線、鉛垂線和度盤(pán)的0°刻度線重合，這時(shí)度盤(pán)的頂線PQ在水平位置.P Q問(wèn)題2：如何使用測(cè)傾器？03030606090902.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，使度盤(pán)的直徑對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)M，記下此時(shí)鉛垂線所指的度數(shù).M30°ACMNE問(wèn)題1：如何測(cè)量旗桿的高度？在現(xiàn)實(shí)生活中，我們可以直接在旗桿下來(lái)回行走，所以只需測(cè)量一次角度（如圖中的α）就可以確定旗桿的高度.α所謂“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無(wú)障礙地直接測(cè)得測(cè)點(diǎn)與被測(cè)物體的底部之間的距離，如圖CE的長(zhǎng)度.測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度ACMNEα問(wèn)題2：測(cè)量旗桿的高度的步驟是怎么樣的呢？在測(cè)點(diǎn)A安置測(cè)傾器，測(cè)得M的仰角∠MCE=α；量出測(cè)點(diǎn)A到物體底部N的水平距離AN=l；量出測(cè)傾器的高度AC=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=l·tanα+a例1

如圖，某中學(xué)在主樓的頂部和大門(mén)的上方之間掛一些彩旗．經(jīng)測(cè)量，得到大門(mén)的高度是５m，大門(mén)距主樓的距離是30m，在大門(mén)處測(cè)得主樓頂部的仰角是30°，而當(dāng)時(shí)側(cè)傾器離地面1.4m,求學(xué)校主樓的高度(精確到0.01m).首頁(yè)典例精析解：如圖，作EM垂直CD于M點(diǎn),根據(jù)題意，可知∠DEM=30°,BC=EM=30m,CM=BE=1.4mM在Rt△DEM中，DM=EMtan30°≈30×0.577=17.32(m)，CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m).所謂“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測(cè)得測(cè)點(diǎn)與被測(cè)物體的底部之間的距離，如圖中的AN或BN的長(zhǎng)度.ABENC α Dβ問(wèn)題1：在黃浦江的另一端，你能否測(cè)量東方明珠的高度呢？在現(xiàn)實(shí)生活中，我們不可以直接從測(cè)點(diǎn)到達(dá)被測(cè)點(diǎn)的腳下，這時(shí)我們能利用兩次測(cè)量仰角（圖中α和β），再結(jié)合解三角形的知識(shí)來(lái)求出東方明珠的高度.M測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度問(wèn)題2：測(cè)量東方明珠的高度的步驟是怎么樣的呢？ACBDMENα在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)M的仰角∠MCE=α；在測(cè)點(diǎn)A與物體之間的B處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)M的仰角∠MDE=β；β3.量出測(cè)傾器的高度AC=BD=a，以及測(cè)點(diǎn)A,B之間的距離AB=b.根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù),可求出物體MN的高度.MEtan

tan

ME

b,MN

ME

a例2

下表是小亮所填實(shí)習(xí)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)求大樓的高.課題在平面上測(cè)量地王大廈的高AB測(cè)量示意圖E αCFDβAGB測(cè)得數(shù)據(jù)(測(cè)傾器高度為1m)測(cè)量項(xiàng)目∠α∠βCD的長(zhǎng)第一次30°

16'45°

35'60.11m第二次29°

44'44°

25’'59.89m平均值30°45°60m解：由表格中數(shù)據(jù)，得α=30°

，β=45°

,Qtan

AG,tan

AG

,EGAG

AGAG

AG

EG

FG

3AG,FG

AG,tan

tan

30tan

tan

45CD

EF

EG

FG

(3

1)AG

,3

1)

1

(

3

03

3

1)(

m

)

.CD

60

AG

30( 3

1)(m),3

1 3

1Q

C

D 6

0

m

,B

G

=

E

C

=

1

m

,

A

B

A

G

B

G

30

(答：大樓高度為

(30 3

31)m

.1.如圖所示，在離上海東方明珠塔1000m的A處，用儀器測(cè)得塔頂?shù)难鼋恰螧AC為25°(在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫作仰角，在水平線下方的叫作俯角)，儀器距地面高為1.7m.求上海東方明珠塔的高BD.（結(jié)果精確到1m.）當(dāng)堂練習(xí)解：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m，從而 BC=1000×tan25°≈466.3（m）因此，上海東方明珠塔的高度BD=466.3+1.7=468（m）答：上海東方明珠塔的高度BD為468

m.因此B

C B

CA

C 1

0

0

0tan2

5

2.如圖，小明想測(cè)量塔AB的高度.他在D處仰望塔頂，測(cè)得仰角為30°，再往塔的方向前進(jìn)50m至C處.測(cè)得仰角為60°，小明的身高為1.5

m. 你能幫小明算出該塔有多高嗎?

(結(jié)果精確到1m)AB′BD′DC′C解：如圖，由題意可知， ∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m.∴∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m，設(shè)AB′=xm

x

tan

60

x

tan

30

505

0

x

2

5 3

4

3

.

3

(

m

)t

a

n 60

t

a

n 30

x 43

.

3 1

.

5 44

.

8 45(m

)tan

D

'

AB

'

D

'

B

'

,

tan

C

'

AB

'

C

'

B

'x x

D

B

x

tan 60

,C

B

x

tan 30 AB′BD′DC′C3.目前世界上最高的電視塔是廣州新電視塔．如圖所示，新電視塔高AB為610米，遠(yuǎn)處有一棟大樓，某人在樓底C處測(cè)得塔頂B的仰角為45°，在樓頂D處測(cè)得塔頂B的仰角為39°．（tan39°≈0.81）求大樓與電視塔之間的距離AC；求大樓的高度CD（精確到1米）D

EBE

，解：（1）由題意，AC＝AB＝610（米）；（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝故BE＝DEtan39°．

因?yàn)镃D＝AE，所以CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）（參考數(shù)據(jù)：1

1s

i

n 48

o1

01

0sin3

7

o tan3

7

o

）73

，53

，4，tan4

8

o 4.小明家所在居民樓的對(duì)面有一座大廈AB，AB＝80米．為測(cè)量居民樓與這座大廈之間的距離，小明從自己家的窗戶C處測(cè)得大廈頂部A的仰角為37°，大廈底部B的俯角為48°．求小明家所在居民樓與大廈的距離CD的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留整數(shù)）∵AD＋BD=

AB，∴C

D解：設(shè)CD

=x

米．在Rt△ACD中，

t

a

n 3

7

A

D ，3 x

1

1

x

80

.4 1

0C

D解得：x≈43．答：小明家所在居民樓與大廈的距離CD大約是43米．11

BD10 x1

0B