直線與平面垂直的判定生活中有很多直線與平面垂直的實(shí)例，你能舉出幾個(gè)嗎？實(shí)例引入旗桿與底面垂直大橋的橋柱與水面垂直生活中有很多直線與平面垂直的實(shí)例，你能舉出幾個(gè)嗎？實(shí)例引入一條直線與一個(gè)平面垂直的意義是什么？BA問題引入新課在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子．你能發(fā)現(xiàn)旗桿所在直線與它的影子所在直線的位置關(guān)系嗎？BAC問題實(shí)例感受

隨著時(shí)間的變化，盡管影子的位置在移動(dòng)，但是旗桿所在所在直線AB始終與影子所在直線BC垂直．

也就是說，旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條過點(diǎn)B的直線垂直．

事實(shí)上，旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點(diǎn)B的直線B’C’也是垂直的．BAC直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線．問題引入新課一條直線與一個(gè)平面垂直的意義是什么？BAC問題引入新課一條直線與一個(gè)平面垂直的意義是什么？如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直？直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線．BAC問題引入新課一條直線與一個(gè)平面垂直的意義是什么？如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直？直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線．不一定如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，記作．平面的垂線直線l的垂面垂足定義直線與平面垂直過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直．

過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直．畫法直線與平面垂直畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示．直線與平面的一條邊垂直問題直線與平面垂直除定義外，如何判斷一條直線與平面垂直呢？如圖，準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，做一個(gè)試驗(yàn)：過的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC于桌面接觸）．（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直．探究直線與平面垂直當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，AD所在直線與桌面所在平面垂直．探究直線與平面垂直（1）有人說，折痕AD所在直線與桌面所在平面上的一條直線垂直，就可以判斷AD垂直平面，你同意他的說法嗎？（2）如圖，由折痕，翻折之后垂直關(guān)系不變，即，．由此你能得到什么結(jié)論？思考直線與平面垂直一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．作用：判定直線與平面垂直．直線與平面垂直直線與直線垂直思想：直線與平面垂直判定定理能否說成“一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則該直線與此平面垂直．”直線與平面垂直判定定理思考證明：

g與m,n不重合時(shí)，在直線m上O點(diǎn)兩側(cè)取A、B兩點(diǎn)，使OA=OB；在直線n上O點(diǎn)兩側(cè)取C、D兩點(diǎn)，使OC=OD；∵l⊥m,l⊥n∴PA=PB，PC=PD∵∠AOD=∠BOC∴AD=BC，∠OAF=∠OBE，又∵△PAD≌△PBC（SSS）∴∠PAF=∠PBE又∵∠AOF=∠BOE，OA=OB∴△PAF≌△PBE（SAS）∴PF=PE∴PO⊥EF，即l⊥g∵g

是α內(nèi)任意一條直線∴l(xiāng)

⊥α∴△AOF≌△BOE（ASA）∴OF=OEOlαnmgABCDEFP∴△AOD≌△BOC（SAS）只要證明l,g都過點(diǎn)O的情況，且g與m,n重合時(shí)易證。

例1

一旗桿高8m，在它的頂點(diǎn)處系兩條長(zhǎng)10m的繩子，拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(diǎn)（與旗桿腳不在同一條直線上）．如果這兩點(diǎn)與旗桿腳距6m，那么旗桿就與地面垂直．為什么？BAPO解：如圖，旗桿PO=8m，兩繩長(zhǎng)PA=PB=10m，OA=OB=6m.因?yàn)锳，O，B三點(diǎn)不共線，所以A，O，B三點(diǎn)確定平面．又因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?所以:因此，旗桿OP與地面垂直．典型例題例2

如圖，已知，求證根據(jù)直線與平面垂直的定義知又因?yàn)樗杂质莾蓷l相交直線，所以證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線m，n．因?yàn)橹本€，典型例題如圖，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱成為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時(shí)，？底面四邊形對(duì)角線相互垂直．探究隨堂練習(xí)

例3、在正方體

中，取的中

點(diǎn)E，AB和CD交于O點(diǎn)，求證：

ABA1DCC1B1D1EO如圖,在空間四邊形ABCD中,

AB＝AD,CB＝CD,K是BD的中點(diǎn)。求證：BD⊥平面ACK⑷在⑴中，若E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的動(dòng)點(diǎn)，

問EF能與AC垂直嗎？練習(xí)1BACD·K變式：⑴在空間四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求證：BD⊥AC；⑵在⑴中，若E、F分別是BC、CD

的中點(diǎn)，求證：EF⊥AC；⑶在⑵的條件下，有人說“AC⊥BD，AC⊥EF，

∴AC⊥平面BCD”，對(duì)嗎？BACDEF如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC，PB=PD。求證：PO平面ABCD提示ABCDOP

AO=CO，PA=PC，

POAC。同理POBD，又ACBD=O，

PO平面ABCD。練習(xí)2

練習(xí)3（課本67頁）VABC

1、如果平面外的一條直線上有兩點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等，則這條直線和平面的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交C.平行或相交練習(xí)42、在空間，下列命題（1）平行于同一直線的兩條直線互相平行；（2）垂直于同一直線的兩條直線互相平行；（3）平行于同一平面的兩條直線互相平行；（4）垂直于同一平面的兩條直線互相平行。正確的是（）A.(1)(3)(4)B.(1)(4)C.(1)D.四個(gè)命題都正確。CB3、判斷題：(2)

已知：平面=AB，PC，PD，垂足分別是C、D，CQAB于Q。求證：DQAB。PABCDQ練習(xí)5

小結(jié)直線與平面垂直的判定定義法間接法直接法

如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面。

如果一條直線垂于一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線此直線垂直于這個(gè)平面判定定理如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么此直線垂直于這個(gè)平面。線面垂直最重要X斜線在平面上的射影直線和平面所成的角pO自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影；這個(gè)點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段。Q一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足。斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段。ACB過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影；垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面上的射影。斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在斜線的射影上。ACBDE垂線段比任何一條斜線段都短

從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段AB、AC、AD、AE…中，哪一條最短？ACBOOB=OCAB=ACOB＞OCAB＞ACAB=AC

OB=OCAB＞ACOB＞OC射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)ACBO

定理

從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)（2）相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)（3）垂線段比任何一條斜線段都短

1.點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且P點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，則P點(diǎn)在△ABC所在平面上的射影是△ABC的

心。PCBAO練習(xí)外練習(xí)2.判斷下列說法是否正確（1）兩條平行直線在同一平面內(nèi)的射影一定是平行直線（）（2）兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影一定是相交直線（）（3）兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影要么是平行直線，要么是相交直線（）（4）若斜線段長(zhǎng)相等，則它們?cè)谄矫鎯?nèi)的射影長(zhǎng)也相等（）平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0的角。直線和平面所成角的范圍是[0，90]。AlBODl是平面的斜線，A是l上任意一點(diǎn)，AB是平面的垂線，B是垂足，OB是斜線l的射影，θ是斜線l與平面所成的角.θ與∠AOD的大小關(guān)系如何？CAlBODθ與∠AOD的大小關(guān)系如何？在Rt△AOB中，在Rt△AOC中，∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD∴θ＜∠AOD斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角。斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)任意的直線所成的一切角中最小的角。C最小角原理例題例1.如圖，AO是平面π的斜線，AB⊥平面π于B，OD是π內(nèi)不與OB重合的直線，∠AOB=

，∠BOD=

，∠AOD=，求證：cos

=coscos

ABODC練習(xí)3.AO與平面斜交，O為斜足，AO與平面成角，B是A在上的射影,OD是內(nèi)的直線，∠BOD=30，∠AOD=60，則sin=

。練習(xí)5.兩條平行直線和一個(gè)平面所成的角相等嗎？4.已知斜線段的長(zhǎng)是它在平面β上射影的2倍，求斜線和平面β所成的角。βABO如圖，斜線段AB是其射影OB的兩倍，求AB與平面β所成的角。如果兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，它們平行嗎？例2.線段MN長(zhǎng)6厘米，M到平面β的距離是1厘米，N到平面β的距離是4厘米，求MN與平面β所成角的余弦值。βMNM'N'βMNM'N'OO∠MOM'就是MN與β所成的角移出圖移出圖MNN'M'O614M'MON'N614例3AA1DCBD1C1B1正方體，求面對(duì)角線A1B與平面BB1D1D所成的角。解題關(guān)鍵關(guān)鍵是確定點(diǎn)A1在面BB1D1D內(nèi)射影的位置。如果點(diǎn)A1的射影位置不易確定，可用向量法解決。E例4、如圖：等腰Rt△ABC的斜邊為BC，兩直角邊和平面α所成角分別為450和300求斜邊上的高AD和平面α所成的角αBCAE450F300DO如何找線面角?1)確定斜足；2)找(作)線面垂直；3)指出射影，確定線面角；4)求解。AB解題規(guī)律：求斜線與平面所成的角一般步驟（三步曲）是（1）作圖。作（或找）出斜線在平面上的射影，將空間角（斜線和平面所成的角）轉(zhuǎn)化為平面角（兩條相交直線所成的銳角）。作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線。（2）證明。證明某平面角就是斜線和平面所成的角。（3）計(jì)算。通常在垂線段，斜線段和射影所組成的直角三角形中計(jì)算。課后研究：請(qǐng)說出下列各角的范圍1、兩條相交直線的夾角。2、兩條相交直線的到角。3、直線的傾斜角。4、兩條異面直線所成的角。5、任意兩條直線所成的角。6、兩個(gè)向量的夾角。7、斜線和平面所成的角。ABaaaabbbbAGFEDCBHHC與FG在平面ABCD上的射影分別是什么？FG與EA在平面ABCD上的射影分別是什么？BC與A點(diǎn)DC與BCHC與EF在平面ABCD上的射影分別是什么？DC與ABABONM從平面內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的斜線段，長(zhǎng)度雖然相等，但射影不一定相等。從平面外不同點(diǎn)發(fā)出的斜線段，長(zhǎng)度雖然相等，但射影不一定相等。如圖5所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)。（Ⅰ）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；

(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F//平面A1BE？證明你的結(jié)論。

ADBCA1D1B1C1E圖5正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為

B

C

DAABCDA1B1C1D1O如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，.求直線與平面所成的角的大小.三垂線定理及三垂線定理的逆定理OaAP

已知PO、PA分別是平面的垂線、斜線，OA是PA在平面上的射影。a，a⊥OA。求證：a⊥PA

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。三垂線定理三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。OaAP證明：a⊥PAPO⊥

a

OA⊥aa⊥平面PAOPA平面PAOPO⊥a123PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：

①相交直線

②異面直線使用三垂線定理應(yīng)注意些什么？解題指導(dǎo)三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件PAOaα解題指導(dǎo)例1、道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測(cè)角器和皮尺作測(cè)量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？解：在道邊取一點(diǎn)C，使BC與道邊所成水平角等于90°，再在道邊取一點(diǎn)D，使水平角CDB等于45°，測(cè)得C、D的距離等于20mBAC90°D⌒45°三垂線定理BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC

∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m∴BC=20m，在直角三角形ABC中AC2=AB2+BC2，AC=152+202=25(m)答：電塔頂與道路的距離是25m。因此斜線AC的長(zhǎng)度就是電塔頂與道路的距離。三垂線定理PCBAO例

2、已知P是平面ABC外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，

AC⊥BC，

求證：PC⊥BC證明：∵P是平面ABC外一點(diǎn)

PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC

且AC⊥BC∴由三垂線定理得

PC⊥BC例3直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)

已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)求證：PO⊥BD，PC⊥BD(3)已知：在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，求證：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD證明:∵ABCD為正方形

O為BD的中點(diǎn)∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD

同理，AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影PC⊥BDPMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMBC⊥AM證明:∵PB=PCM是BC的中點(diǎn)PM

⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影(3)在正方體AC1中，求證：A1C⊥BC1

，A1C⊥B1D1

∵在正方體AC1中

A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1證明：CBA1B1C1ADD1同理可證，

A1C⊥B1D1由三垂線定理知

A1C⊥BC1

PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我們要學(xué)會(huì)從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧，怎么找？直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥時(shí)，

b⊥OA注意：如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP解題回顧√×⑴若a是平面α的斜線，直線b垂直于

a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑷若a是平面α的斜線,b∥α,直線

b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（

）⑶若a是平面α的斜線，直線bα

且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的射影則a⊥b

（）⑵若a是平面α的斜線，平面β內(nèi)的直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）練習(xí)：判斷下列命題的真假：面ABCD→面α直線A1C→斜線a直線B1B→垂線b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直線A1C→斜線a直線AB→垂線b面ABCD→面α直線A1C→斜線a直線B1B→垂線bPAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理

一個(gè)平面(垂面）四條直線（垂線，斜線，射影，直線）PAOaα線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理：

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直

線斜垂直定理逆定理三垂線定理及其逆定理的比較相同點(diǎn)(1)結(jié)構(gòu)相同，都是由線線垂直推證線線垂直；(2)證明方法相同，都采用了線面垂直法.不同點(diǎn)(1)用途不同，原定理用來證明空間兩線垂直；而逆定理用來證明同一平面上兩直線垂直；(2)條件與結(jié)論不同，原定理是：“與射影垂直與斜線垂直”；逆定理是：“與斜線垂直與射影垂直”.若∠COA=∠COB①若一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等,則這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上結(jié)論：②過角的頂點(diǎn)的射線和角的兩邊的夾角相等,則這條射線在平面內(nèi)的射影是角平分線CAOB則CO在平面AOB內(nèi)的射影為角AOB的平分線例3如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。已知：∠BAC在平面內(nèi)，點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：∠BAO=∠CAO分析：要證∠BAO=∠CAO只須證OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???證明：∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在內(nèi)的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥ABOE⊥AB同理可得OF⊥AC結(jié)論成立思考題：在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求證：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.證明：作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O，連接BO，CO，DO，則BO，CO，DO分別為AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCB∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，練習(xí)：在平行六面體中，底面ABCD為矩形，∠A1AB＝∠A1AD＝600，求AA1與底面所成的角練習(xí):

下面錐體中PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則有幾個(gè)直角三角形?Rt△PADRt△PABRt△PBCRt△PDCBCPDA練習(xí)：（1）在四面體ABCD中，對(duì)棱互相垂直，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的

心。ADCBO（3）在四面體ABCD中，AB=AC=AD，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的

心。（4）在四面體ABCD中，頂點(diǎn)A到BC、CD、DB的距離相等，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的

心。垂外內(nèi)（2）在四面體ABCD中，AB、ＡＣ、ＡＤ互相垂直，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的

心垂1.已知PA、PB、PC兩兩垂直，求證：P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心。CBPAH2.經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線和這個(gè)角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個(gè)角的平分線所在的直線。3.在ABCD—A1B1C1D1中，求證：AC1⊥平面BC1DD1DCBAC1B1A1練習(xí)：三垂線定理總結(jié)（1）定理涉及到的五個(gè)元素是（2）三垂線定理（或逆定理），實(shí)質(zhì)上是平面的一條斜線（或其射影）和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是相交直線，也可以是異面直線（3）定理的證明思路是：線線垂直線面垂直線線垂直“一面四線”（4）三垂線定理是研究空間線面位置關(guān)系的關(guān)鍵性定理，承上啟下，涉及與“垂直”有關(guān)的幾乎所有領(lǐng)域（5）三垂線定理或其逆定理主要應(yīng)用于：解決垂直問題與空間圖形度量（如角和距離）問題。三垂線定理（或其逆定理）的基本模式導(dǎo)析1、一面四線基礎(chǔ)平面“一面四線”的不同情況2、正方體模式圖1圖2抽象出“一面四線”3、正四棱柱4、底面為菱形的四棱柱D類似地，下面兩種情況也可得出“一面四線”之說例在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P為DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，求證B1O⊥PA誰是基礎(chǔ)平面呢？PO導(dǎo)析：正方體中有眾多的線面垂直，為我們使用“三垂線定理”提供了極為便利的條件。若以平面BB1D1D為基礎(chǔ)面，可有如下的證明方法，如圖六因?yàn)锳O⊥BD，而BB1⊥面ABCD，從而有AO⊥BB1，得AO⊥平面BB1D1D，故PO就是AP在平面BB1D1D上的射影若以平面A1ADD1為基礎(chǔ)面，顯然B1A1⊥平面A1ADD1，只須作出O點(diǎn)在平面A1ADD1上的射影即可得到斜線B1O在平面A1ADD1上的射影。如圖，O點(diǎn)在平面A1ADD1上的射影恰為AD的中點(diǎn)M，只要證明A1M⊥AP即可。這在正方形A1ADD1中是顯然的結(jié)論?；A(chǔ)平面解題小結(jié)：不同的選擇，使問題的解決過程有難有易，由此也體現(xiàn)出靈活性并非能輕而易舉地獲得，所以要加強(qiáng)訓(xùn)練。

F有趣的是，在線段A1B1上任取一點(diǎn)F，結(jié)論都能有FO⊥AP。原因何在？1．如圖，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求點(diǎn)P到直線BC的距離．設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連結(jié)PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即PD的長(zhǎng)度就是P到直線BC的距離．而PD＝13．2、Rt△ABC在平面α內(nèi)，∠C＝90°，AC＝16，P為α外一點(diǎn)，PA＝PB＝PC，如果P到BC的距離為17，求點(diǎn)P到平面α的距離．解：作PO⊥平面α，∵

PA＝PB＝PC，∴

OA＝OB＝OC．∴

O為Rt△ABC的外心．取BC中點(diǎn)D，連結(jié)PD、OD．則OD是△ABC中位線．由三垂線定理知PD⊥BC，即PD＝17，在Rt△ABC中，OP＝思考題：研究題：已知矩形ABCD中，AB=3,BC=a,PA平面ABCD，在BC邊上取點(diǎn)E,使PEDE,則滿足條件的點(diǎn)E有２個(gè)時(shí)，求a的取值范圍。如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓Ｏ平面，Ｃ為圓Ｏ上任一點(diǎn)（異于Ａ，Ｂ），試判斷圖中共有幾個(gè)直角三角形，并說明理由。二面角二面角復(fù)習(xí)回顧1.在平面幾何中"角"是怎樣定義的？O2.在立體幾何中,"異面直線所成的角"是怎樣定義的？3.在立體幾何中,"直線和平面所成的角"是怎樣定義的？aba’b’三維空間的角平面角新課引入攔洪壩水平面L半平面半平面新課講解

一條直線上的一個(gè)點(diǎn)把這條直線分成兩個(gè)部分，其中的每一部分都叫做射線。

一個(gè)平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中的每一部分都叫做半平面。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱。這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。棱為l

，兩個(gè)面分別為α，β的二面角記為：α－

l

－β１、二面角的定義及表示法一、二面角角BAO邊邊頂點(diǎn)從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。定義構(gòu)成射線—點(diǎn)—射線（頂點(diǎn)）表示法∠AOB二面角AB面面棱l從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。半平面—直線—半平面（棱）二面角—l—或二面角—AB—圖形２、平面角、二面角的類比lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOBABCEFDABCD平臥式直立式３、二面角的畫法如何度量二面角的大小？能否轉(zhuǎn)化為平面角來處理？

緩慢打開教室的門，門打開的角度可以用哪個(gè)角來表示？找一個(gè)能變化的平面角∠AOB,把它放入二面角的模型內(nèi),將頂點(diǎn)O放在棱上,兩邊緊貼在兩個(gè)面上。A

O⊥l，B

O⊥lAOBAOBAOBlll怎樣才能找到這樣的一個(gè)角，它的大小唯一，且由二面角的大小決定？OA,OB不可隨意，要使∠AOB唯一確定，只有OA,OB與棱垂直。1、二面角的平面角的定義

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.角的平面角

一個(gè)平面垂直于二面角的棱，并與兩半平面分別相交于射線PA、PB垂足為P，則∠APB叫做二面ABPγβαι定義二：PA⊥l，PB

⊥lABαβιp定義一：二、二面角的平面角

平面角是直角的二面角叫做直二面角.相交成直二面角的兩個(gè)平面,叫做互相垂直的平面.二面角的平面角的三個(gè)特征:1.點(diǎn)在棱上2.邊在面內(nèi)3.邊與棱垂直二面角的大小:AOBlA

O⊥l，B

O⊥l

二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個(gè)二面角是多少度.二面角的大小的范圍:互相垂直的平面:AOBαβ二面角的計(jì)算：1、找到或作出二面角的平面角2、證明某角就是所求的角3、計(jì)算出此角的大小一“作”二“證”三“計(jì)算”小結(jié)1.線線角，用平移，妙選頂點(diǎn)。2.線面角，作射影，二足相連。3.二面角，求法多，擇優(yōu)運(yùn)用。4.作，證，算，三環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相連。兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)一、二面角的定義：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的計(jì)算：二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、根據(jù)定義作出來2、利用直線和平面垂直作出來3、借助三垂線定理或其逆定理作出來1、找到或作出二面角的平面角2、證明1中的角就是所求的角3、計(jì)算所求的角一“作”二“證”三“計(jì)算”從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱。這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。221、二面角的平面角必須滿足三個(gè)條件2、二面角的平面角的大小與其頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)3、二面角的大小用它的平面角的大小來度量你發(fā)現(xiàn)了什么？觀察生活[情境問題]

（1）豎電線桿時(shí)，電線桿所在的直線與地面應(yīng)滿足怎樣的位置呢？

（2）為了讓一面墻砌得穩(wěn)固，不易倒塌，墻面所在的平面與地面又應(yīng)該滿足怎樣的位置關(guān)系呢？

容易得出結(jié)論：電線桿與地面應(yīng)該垂直，否則容易傾倒；如果墻面發(fā)生傾斜，墻就容易倒塌，所以砌墻時(shí)，不能讓墻面傾斜．建筑工人砌墻時(shí)，如何使所砌的墻和水平面垂直？應(yīng)用于生活如果一個(gè)平面經(jīng)過了另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.猜想：

如果一個(gè)平面經(jīng)過了另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

已知：AB⊥β，AB∩β=B，ABα求證：α⊥β.∪證明：αβCDABE在平面β內(nèi)過B點(diǎn)作直線BE⊥CD，則∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，設(shè)α∩β=CD,則B∈CD.∪∵AB⊥β，CDβ，∴AB⊥CD.∪∵AB⊥β，BEβ，∴AB⊥BE.∴二面角α--CD--β是直二面角，∴α⊥β.兩個(gè)平面垂直的判定定理：線線垂直線面垂直面面垂直如果一個(gè)平面經(jīng)過了另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直面面垂直的判定定理線面垂直面面垂直證明兩個(gè)平面垂直有那些方法？1.定義法2.兩平面垂直的判定定理線線垂直符號(hào)表示：ABC例題解析ABCD1A1B1C1D在正方體ABCD-A1B1C1D1中求證：平面A1C1CA平面B1D1DB兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理[情境問題]：為什么墻面和地面垂直的時(shí)候，墻體就不容易倒塌呢？將一本書放置在桌面上，且使書所在平面與桌面垂直．當(dāng)書面沿書面與桌面的交線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它會(huì)怎么樣呢？[探索研究

]：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在第一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線，是否垂直于第二個(gè)平面呢？由物理學(xué)原理知，它會(huì)倒塌．如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線是否一定垂直于另一個(gè)平面？想一想你得到了什么？如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直面面垂直的判定定理如果兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面面面垂直的性質(zhì)定理ABC你能證明嗎？P兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理如圖2，α⊥β，AB?α，AB⊥CD，α∩β=CD，求證：AB⊥β。[分析]

在β內(nèi)作BE⊥CD。要證AB⊥β，只需證AB垂直于β內(nèi)的兩條相交直線就行。而我們已經(jīng)有AB⊥CD，只需尋求另一條就夠了。而我們還有α⊥β這個(gè)條件沒使用，由α⊥β定義，則∠ABE為直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，問題也就得到解決．

兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)[兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理1]

如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．[兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理2]

如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)．已知：α⊥β，P∈α,P∈a,a⊥β求證：aα求證:如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)Pab例題解析［總結(jié)提煉］

☆已知面面垂直易找面的垂線☆在解題時(shí)注意應(yīng)用☆證明面面垂直要從尋找面的垂線入手☆理解面面垂直的判定與性質(zhì)都要依賴面面垂直的定義☆

定義面面垂直是在建立在二面角的平面角的基礎(chǔ)上的練才是硬道理判斷下列命題是否正確123兩個(gè)平面垂直應(yīng)用舉例例1

如圖4，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于⊙O所在平面，D、E分別是VA、VC的中點(diǎn)，直線DE與平面VBC有什么關(guān)系？試說明理由．解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即∠ACB是二面角A-VC-B的平面角．由∠ACB是直徑上的圓周角，知∠ACB=90°。

因此，平面VAC⊥平面VBC．由DE是△VAC兩邊中點(diǎn)連線，知DE∥AC，故DE⊥VC．由兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，知直線DE與平面VBC垂直。注意：本題也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC，推出上面的結(jié)論。例2、如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn),求證:平面PAC⊥平面PBC.

證明:設(shè)已知⊙O平面為α探究1：ACBDA1C1B1D1如圖為正方體,請(qǐng)問哪些平面與垂直?面面垂直線面垂直線線垂直例3、正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中點(diǎn).求證：平面AH⊥平面DF請(qǐng)問哪些平面互相垂直的,為什么?探究2：ABCD例4.在正方體ABCD—A1B1C1D1中,求證：平面A1C⊥平面B1DACDA1C1D1EFＢB1E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，求證：平面A1C1FE⊥平面B1DG是BB1的中點(diǎn)求證：平面A1C1G⊥平面B1D

GGGGDMECAB解（1）∵平面AED⊥平面ABCD又CD⊥AD∴CD⊥平面AED∵AE在平面AED內(nèi)∴CD⊥EA2）過E作EM⊥AD于點(diǎn)M，連MC∵平面AED⊥平面ABCD∴EM⊥平面ABCD∴∠AMC即為直線EC與平面ABCD所成的角BACDE證明：（1）∵平面ABC⊥平面DBC又DC⊥BC∴DC⊥平面ABC∵AB在面ABC內(nèi)∴DC⊥AB又AB⊥AC，AC∩CD=C，AC，AD在面ACD內(nèi)∵AB⊥平面ACD而AB在平面ABD，∴平面ABD⊥平面CAD（2）過C作CE⊥AD于點(diǎn)E∵平面ABD⊥平面CAD∴CE⊥平面CAD即C到平面BAD的距離為BACDEDCEABMN課堂練習(xí)：1.如果平面α內(nèi)有一條直線垂直于平面β內(nèi)的一條直線，則α⊥β.（）3.如果平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線,則α⊥β.（）一、判斷：××4.若m⊥α，mβ，則α⊥β.()∪√

2.如果平面α內(nèi)有一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條直線，則α⊥β.（）√1.過平面α的一條垂線可作_____個(gè)平面與平面α垂直.2.過一點(diǎn)可作_____個(gè)平面與已知平面垂直.二、填空題：3.過平面α的一條斜線，可作____個(gè)平面與平面α垂直.4.過平面α的一條平行線可作____個(gè)平面與α垂直.一無數(shù)無數(shù)一1．給出下列四個(gè)命題：

①垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行；

②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；

③垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；

④垂直于同一條直線的兩條直線平行．

其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4兩個(gè)平面垂直課堂練習(xí)B

2．給出下列四個(gè)命題：（其中a，b表直線，α，β，γ表平面）

①若a⊥b，a∥α，則b⊥α；

②若a∥α，α⊥β，則a⊥β；

③若β∥γ，α∥γ，則α⊥β；

④若α⊥β，a⊥β，則a∥α。

其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4D3．在二面角α-l-β的一個(gè)面α內(nèi)有一條直線AB，若AB與棱l的夾角為45°，AB與平面β所成的角為30°，則此二面角的大小是（

）

A.30°，B.30°或150°，C.45°，D.45°或135°AαBβOC如圖，過A點(diǎn)作AO⊥β于O，在α內(nèi)作AC垂直棱于C，連OB、OC，則∠ABC=45°，∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面角。設(shè)AB=a,則AC=，AO=則sin∠ACO=∴∠ACO=45°兩個(gè)平面垂直課堂練習(xí)D4．線段AB長(zhǎng)為2a，兩端點(diǎn)A，B分別在一個(gè)直二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且AB與兩個(gè)面所成的角分別為30°和45°，設(shè)A，B兩點(diǎn)在棱上的射影分別為A′，B′，則A′B′長(zhǎng)等于（

）．

αβAA′BB′C提示：利用直線與平面所成用的定義和垂直關(guān)系得：∠BAB′=30°，∠ABA′=45°∴在Rt△BB′A中，BB′=AB/2=a，在Rt△BB′A′中，在Rt△BA′A中歸納小結(jié)：

(1)判定面面垂直的兩種方法：

①定義法②根據(jù)面面垂直的判定定理(2)面面垂直的判定定理不僅是判定兩個(gè)平面互相垂直的依據(jù)，而且是找出垂直于一個(gè)平面的另一個(gè)平面的依據(jù)；(3)從面面垂直的判定定理我們還可以看出面面垂直的問題可以轉(zhuǎn)化為線面垂直的問題來解決.(4)已知面面垂直易找面的垂線課堂小結(jié)面面關(guān)系線面關(guān)系線線關(guān)系面面平行線面平行線線平行面面垂直線面垂直線線垂直

空間直角坐標(biāo)系大家好！上課了！問題引入

1．?dāng)?shù)軸Ox上的點(diǎn)M，用代數(shù)的方法怎樣表示呢？

2．直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M，怎樣表示呢？

數(shù)軸Ox上的點(diǎn)M，可用與它對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)x表示；

直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M，可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x，y)表示．xOyAOxxM(x,y)xy問題問題引入

3．怎樣確切的表示室內(nèi)燈泡的位置？問題問題引入

4．空間中的點(diǎn)M用代數(shù)的方法又怎樣表示呢？

當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)M，可以用有序?qū)崝?shù)（x，y，z）表示．問題OyxzMxyz（x，y，z）yxz

如圖，是單位正方體．以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線OA,OC,的方向?yàn)檎较颍跃€段OA,OC,的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸．這時(shí)我們說建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)O

叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸．通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy

平面、yOz平面、zOx平面．空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)BCO

右手直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．空間直角坐標(biāo)系

設(shè)點(diǎn)M是空間的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸、y軸和z軸于點(diǎn)P、Q和R．空間直角坐標(biāo)系yxzM’O

設(shè)點(diǎn)P、Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)分別是x，y和z，那么點(diǎn)M就對(duì)應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組（x，y，