第4章第1講一、選擇題1．2022·課標(biāo)，

4曲線＝3－2＋1在點(diǎn)

1,0

處的切線方程為A．＝－1

B．＝－＋

1C．＝2－2

D．＝－2＋2[剖析]

＝f′1＝32－2|＝1＝1，由點(diǎn)斜式得直線方程為＝－

1，應(yīng)選

A[答案]

A2．若函數(shù)

f＝2＋b＋c的圖象的極點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)

f′的圖象是[剖析]f′＝2＋＝2＋＋c圖象極點(diǎn)在第四象限，則－錯(cuò)誤!＞0，即b＜0，應(yīng)選Ab[答案]A3．曲線＝錯(cuò)誤!3＋在點(diǎn)1，錯(cuò)誤!處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是[剖析]∵′＝2＋1，∴′|＝1＝2，∴在點(diǎn)1，錯(cuò)誤!處的切線為－錯(cuò)誤!＝2－1．從而在軸，軸上的截距分別是錯(cuò)誤!與－錯(cuò)誤!因此所求面積S＝錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤![答案]A4．若曲線＝22的一條切線與直線＋4－8＝0垂直，則切線的方程為A．4－－2＝0B．＋4－9＝0C．4－＋3＝0D．＋4＋3＝0[剖析]與直線＋4－8＝0垂直的直線為4－＋m＝0即＝22在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而′＝4，因此＝22在1,2處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為4－－2＝0，應(yīng)選A[答案]A5．正弦曲線＝in上一點(diǎn)2f2f2f2f錯(cuò)誤!的值為________．[剖析]由定義，知i錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＝－2i錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＝－2f′1＝－20[答案]－208．在曲線＝3＋32＋6－10的切線中，斜率最小的切線方程為________．[剖析]′＝32＋6＋6＝3＋12＋3≥3，當(dāng)＝－1時(shí)，′最小值為3，當(dāng)＝－1時(shí)，＝－14，因此斜率最小的切線方程為－－14＝3＋1，即3－－11＝0[答案]3－－11＝09．2022·江蘇直線＝錯(cuò)誤!＋b是曲線＝n＞0的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝________[剖析]本小題觀察導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法．′＝錯(cuò)誤!，令錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!得＝2，故切點(diǎn)2，n2代入直線方程，得，因此b＝n2－1[答案]n2－110．2022·福建若曲線f＝a3＋n存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________．[剖析]由題意可知f′＝2a2＋錯(cuò)誤!，又因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線，因此2a2＋錯(cuò)誤!＝0?a＝－錯(cuò)誤!＞0?a∈－∞，0．[答案]－∞，0三、解答題11．求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1＝錯(cuò)誤!；2＝錯(cuò)誤!＋1錯(cuò)誤!－1；3＝－in錯(cuò)誤!·co錯(cuò)誤!；4＝錯(cuò)誤!；理＝in2錯(cuò)誤![解]1∵＝錯(cuò)誤!＝3＋1＋錯(cuò)誤!，∴′＝32－錯(cuò)誤!；2∵＝錯(cuò)誤!＋1錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!－1＝－錯(cuò)誤!＋－錯(cuò)誤!，∴′＝－錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!；3∵＝－in錯(cuò)誤!·co錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!in，∴′＝1－錯(cuò)誤!co；4化簡(jiǎn)函數(shù)＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝－co－in，∴′＝－co′－in′＝in－co解法一：設(shè)＝u2，u＝inv，v＝2＋錯(cuò)誤!，則′＝u′·uv′·v′＝2u·cov·24inv·cov＝2in2v＝2in錯(cuò)誤!解法二：′＝錯(cuò)誤!′2in錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!′2in錯(cuò)誤!·co錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!′4in錯(cuò)誤!co錯(cuò)誤!2in錯(cuò)誤!12．2022·海南、寧夏設(shè)函數(shù)f＝－錯(cuò)誤!，曲線＝f在點(diǎn)2，2處的切線方程為7－4af12＝01求＝f的剖析式；2證明：曲線＝f上任一點(diǎn)處的切線與直線＝0和直線＝所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．[解]1方程7－4－12＝0可化為＝錯(cuò)誤!－3當(dāng)＝2時(shí)，＝錯(cuò)誤!又f′＝a＋錯(cuò)誤!，于是錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤!故f＝－錯(cuò)誤!2設(shè)P0，0為曲線上任一點(diǎn)，由′＝1＋錯(cuò)誤!知曲線在點(diǎn)P0，0處的切線方程為－0＝1＋錯(cuò)誤!－0，即－0－錯(cuò)誤!＝1＋錯(cuò)誤!－0．令＝0得＝－錯(cuò)誤!，從而得切線與直線＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為0，－錯(cuò)誤!．令＝得＝＝20，從而得切線與直線＝的交點(diǎn)坐標(biāo)為20,20．因此點(diǎn)P，處的切線與直線＝0，