本試卷共有23道試題，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．一、填空題(本大題共有14題，滿分56分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得4分，否則一律得零分．1．【2013上海,文1】不等式＜0的解為______．【答案】0＜x＜【解析】x(2x－1)＜0x(0，)．【考點(diǎn)定位】分式不等式解集【名師點(diǎn)睛】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元二次不等式，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0，計(jì)算相應(yīng)的判別式，當(dāng)Δ≥0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根，根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖像，寫出不等式的解集．2．【2013上海,文2】在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，則a2＋a3＝______.【答案】153．【2013上海,文3】設(shè)mR，m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m＝______.【答案】－2【解析】m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數(shù)m＝－2.【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)概念【名師點(diǎn)睛】(1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復(fù)數(shù)的模：向量OZ→的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).4．【2013上海,文4】已知＝0，＝1，則y＝______.【答案】1【解析】已知＝x－2＝0x＝2，又＝x－y＝1聯(lián)立上式，解得x＝2，y＝1.【考點(diǎn)定位】行列式【名師點(diǎn)睛】行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的，，區(qū)別絕對值符號.5．【2013上海,文5】已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.若a2＋ab＋b2－c2＝0，則角C的大小是______．【答案】6．【2013上海,文6】某學(xué)校高一年級男生人數(shù)占該年級學(xué)生人數(shù)的40%.在一次考試中，男、女生平均分?jǐn)?shù)分別為75、80，則這次考試該年級學(xué)生平均分?jǐn)?shù)為______．【答案】78【解析】平均成績＝＝78.【考點(diǎn)定位】平均數(shù)【名師點(diǎn)睛】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)7．【2013上海,文7】設(shè)常數(shù)aR.若的二項(xiàng)展開式中x7項(xiàng)的系數(shù)為－10，則a＝______.【答案】－2【解析】＝－10x7r＝1，＝－105a＝－10，a＝－2【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理【名師點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)r＋1，代回通項(xiàng)公式即可．8．【2013上海,文8】方程＝3x的實(shí)數(shù)解為______．【答案】log349．【2013上海,文9】若cosxcosy＋sinxsiny＝，則cos(2x－2y)＝______.【答案】【解析】cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝cos2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝.【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)恒等變換【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則(1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”；(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式要通分”等．10．【2013上海,文10】已知圓柱Ω的母線長為l，底面半徑為r，O是上底面圓心，A、B是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，BC是母線，如圖．若直線OA與BC所成角的大小為，則＝______.【答案】【解析】由題知，.【考點(diǎn)】圓柱的性質(zhì)，圓柱的母線與高線所成的角，.【名師點(diǎn)睛】圓柱的母線與高線所成的角為圓柱軸截面的頂角的一半，通過直角三角形可求得之間關(guān)系.11．【2013上海,文11】盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7的七個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號之積為偶數(shù)的概率是______(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)．【答案】12．【2013上海,文12】設(shè)AB是橢圓Γ的長軸，點(diǎn)C在Γ上，且∠CBA＝.若AB＝4，BC＝，則Γ的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為______．【答案】【解析】如下圖所示．設(shè)D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝，∠CBA＝45°CD＝1，DB＝1，AD＝3C(1,1)2a＝4，把C(1,1)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得＝1，a2＝b2＋c2b2＝，c2＝2c＝.【考點(diǎn)定位】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程【名師點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程13．【2013上海,文13】設(shè)常數(shù)a＞0.若9x＋≥a＋1對一切正實(shí)數(shù)x成立，則a的取值范圍為______．【答案】[，＋∞)14．【2013上海,文14】已知正方形ABCD的邊長為1.記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為a1、a2、a3；以C為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為c1、c2、c3.若i，j，k，l{1,2,3}且i≠j，k≠l，則(ai＋aj)·(ck＋cl)的最小值是______．【答案】－5【解析】根據(jù)對稱性，當(dāng)向量(ai＋aj)與(ck＋cl)互為相反向量，且它們的模最大時(shí)，(ai＋aj)(ck＋cl)最小。這時(shí)ai＝，aj＝，ck＝，cl＝，(ai＋aj)(ck＋cl)＝－|ai＋aj|2＝－5.【考點(diǎn)定位】向量數(shù)量積．【名師點(diǎn)睛】向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos<a，b>．(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.運(yùn)用兩向量的數(shù)量積可解決長度、夾角、垂直等問題，解題時(shí)應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解．二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分)每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．15．【2013上海,文15】函數(shù)f(x)＝x2－1(x≥0)的反函數(shù)為f－1(x)，則f－1(2)的值是()A． B． C． D．【答案】A16．【2013上海,文16】設(shè)常數(shù)aR，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}．若A∪B＝R，則a的取值范圍為()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)【答案】B【解析】方法一：代值排除法。當(dāng)a＝1時(shí)，A＝R，符合題意；當(dāng)a＝2時(shí)，∵B＝[1，＋∞)，A＝(－∞，1]∪[2，＋∞)∴A∪B＝R，符合題意．綜上，選B.方法二：∵B＝[a－1，＋∞)，A∪B＝R，∴A(－∞，a－1)．由(x－1)(x－a)≥0當(dāng)a＝1時(shí)，xR，當(dāng)a＝1時(shí)符合題意；當(dāng)a＞1時(shí)x(－∞，1]∪[a，＋∞)，1≥a－1，解得1＜a≤2；當(dāng)a＜1時(shí)x(－∞，a]∪[1，＋∞)a≥a－1a＜1.綜上，a≤2，選B.【考點(diǎn)定位】集合運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系．?dāng)?shù)軸和Venn圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)集運(yùn)算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法，解題時(shí)要先把集合中各種形式的元素化簡，使之明確化，盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或Venn圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題．17．【2013上海,文18】錢大姐常說“好貨不便宜”，她這句話的意思是“好貨”是“不便宜”的()A．充分條件 B．必要條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A18．【2013上海,文18】記橢圓＝1圍成的區(qū)域(含邊界)為Ωn(n＝1，2，…)，當(dāng)點(diǎn)(x，y)分別在Ω1，Ω2，…上時(shí)，x＋y的最大值分別是M1，M2，…，則＝()A．0 B． ` C．2 D．【答案】D【解析】橢圓方程為：，聯(lián)立x2＋(u－x)2＝42x2－2ux＋u2－4＝0Δ＝4u2－8(u2－4)≥0u2－2(u2－4)≥08≤u2u[，]，所以x＋y的最大值為，選D.三、解答題(本大題共有5題，滿分74分)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．19．【2013上海,文19】如圖，正三棱錐O－ABC的底面邊長為2，高為1，求該三棱錐的體積及表面積．【答案】體積為，表面積為【解析】由已知條件可知，正三棱錐O－ABC的底面△ABC是邊長為2的正三角形，20．【2013上海,文20】甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每一小時(shí)可獲得的利潤是元．(1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為元；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤．【答案】(1)參考解析;(2)甲廠應(yīng)以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤為457500元【解析】(1)生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品，所用的時(shí)間是小時(shí)，所獲得的利潤為.所以，生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為元．(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品，獲得的利潤為，1≤x≤10.記f(x)＝＋5,1≤x≤10，則f(x)＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝6時(shí)取到最大值．獲得最大利潤90000×＝457500元．因此甲廠應(yīng)以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤為457500元．【考點(diǎn)定位】二次函數(shù)求最值【名師點(diǎn)睛】(1)數(shù)形結(jié)合是討論二次函數(shù)問題的基本方法．特別是涉及二次方程、二次不等式的時(shí)候常常要結(jié)合圖形尋找思路．(2)含字母系數(shù)的二次函數(shù)問題經(jīng)常使用的方法是分類討論．比如討論二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，討論二次方程根的大小等．21．【2013上海,文21】已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx)，其中常數(shù)ω＞0.(1)令ω＝1，判斷函數(shù)F(x)＝f(x)＋的奇偶性，并說明理由；(2)令ω＝2，將函數(shù)y＝f(x)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖像．對任意aR，求y＝g(x)在區(qū)間[a，a＋10π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值．【答案】(1)F(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù);(2)可能值為21或2010π]上有20個(gè)零點(diǎn)．綜上，y＝g(x)在[a，a＋10π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值為21或20.【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】1.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)(1)奇偶性：φ＝kπ時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)．(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小周期為T＝eq\f(2π,ω).(3)單調(diào)性：根據(jù)y＝sint和t＝ωx＋φ的單調(diào)性來研究，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z得單調(diào)增區(qū)間；由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z得單調(diào)減區(qū)間．(4)對稱性：利用y＝sinx的對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x.利用y＝sinx的對稱軸為x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得其對稱軸．2.由函數(shù)y＝sinx的圖像變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖像的兩種方法22．【2013上海,文22】已知函數(shù)f(x)＝2－|x|，無窮數(shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)，nN*.(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值；(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由．【答案】(1)a2＝2，a3＝0，a4＝2;(2)a1＝(舍去)或a1＝;(3)當(dāng)且僅當(dāng)a1＝1時(shí)，a1，a2，a3，…構(gòu)成等差數(shù)列23．【2013上海,文23】如圖，已知雙曲線C1：－y2＝1，曲線C2：|y|＝|x|＋1.P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與C1、C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1－C2型點(diǎn)”．(1)C1的左焦點(diǎn)是“C1－C2型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證)；(2)設(shè)直線y＝kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1－C2型點(diǎn)”；(