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第二節(jié)冪級數(shù)復(fù)變函數(shù)論多媒體教學(xué)課件1一、冪級數(shù)的斂散性1定義具有形式的級數(shù),稱為冪級數(shù).其中22阿貝爾(Abel)定理(1)定理4.10證明從而它的各項(xiàng)必有界,即有正數(shù)M,使3為收斂的等比級數(shù),這樣即有45(2)推論4.11(3)(4.3)收斂情況(1)對所有的復(fù)數(shù)除z=a外都發(fā)散.此時(shí),級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除點(diǎn)a外處處發(fā)散.例如,級數(shù)通項(xiàng)不趨于零,故級數(shù)發(fā)散.6例如,級數(shù)對任意固定的z,從某個(gè)n開始,總有于是有故該級數(shù)對任意的z均收斂.(2)對所有的復(fù)數(shù)都收斂由Abel定理知:級數(shù)在復(fù)平面上處處絕對且內(nèi)閉一致收斂.7(3)既存在使級數(shù)發(fā)散的復(fù)數(shù),也存在使級數(shù)收斂的復(fù)數(shù).如圖:冪級數(shù)的收斂范圍是以點(diǎn)a為中心的圓域...收斂圓收斂半徑8答案:冪級數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問題1:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問題2:冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?9例如,級數(shù):收斂圓周上無收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂.10(4)收斂半徑的定義注:一個(gè)冪級數(shù)在收斂圓周上有三種情況(1)處處收斂;(2)處處發(fā)散;(3)既有收斂點(diǎn),也有發(fā)散點(diǎn).11二

收斂半徑的求法定理4.1212由上節(jié)定理,證明由于收斂.13所以收斂半徑為[證畢]即假設(shè)不成立.據(jù)阿貝爾定理,14例1求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(2)或解(1)因?yàn)樗允諗堪霃?5(2)(3)16定理4.13(1)冪級數(shù)三冪級數(shù)和的解析性(4.6)與(4.5)有相同的收斂半徑;17證明由Abel定理,冪級數(shù)故由Weierstrass定理,18注1(4.5)可沿K內(nèi)曲線C逐項(xiàng)積分,且收斂半徑與(4.5)相同.簡言之:在收斂圓內(nèi),冪級數(shù)的和函數(shù)解析;冪級數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分.(常用于求和函數(shù))即19例2

求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:所以20例3

求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解21作業(yè)P178習(xí)題(一)2(2),3,422

本節(jié)未結(jié)束

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