第一章極限與連續(xù)第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在點(diǎn)x0處的連續(xù)性

定義1.

設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)有定義，且x1

、x2

∈（a，b），當(dāng)自變量x由x1變化到x2時(shí),稱x2-

x1為自變量的增量，記為x=x2-

x1，相應(yīng)地函數(shù)值的改變量稱為函數(shù)的增量，記為y

=

f

（x2）-f（

x1）例1

設(shè)y

=

f（x）=3x

2-1，在下列條件下，求自變量x的增量和函數(shù)y的增量，以及函數(shù)的平均變化率：解（1）x

=1.5-1=0.5；

y

=f（1.5）-f（1）=5.75-2=3.75

y/

x

=3.75/0.5=7.5（1）當(dāng)x

從1變到1.5時(shí)；（2）當(dāng)x

從1變到0.5時(shí)；（3）當(dāng)x

從x0

變到x1時(shí)。

（2）x

=0.5-1=-0.5；

y

=f（0.5）-f（1）=-0.25-2=-2.25

y/

x

=-2.25/（-0.5）=4.5

（3）x

=x1-x0

；

y

=f（x1）-f（x0）=f（x0

+x）-f（x0）=3x（2x0+x）

y/

x

=3（2x0+x）=3（x0+x1）

定義2

設(shè)函數(shù)y=

f（x）在點(diǎn)x0處及其左、右近旁有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0的增量x趨近于零時(shí)，函數(shù)y=

f（x）相應(yīng)的增量y=f（x0

+x)-f（x0）也趨近于零，即=0，則稱函數(shù)y=

f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)。例2

證明函數(shù)y=sinx在點(diǎn)x=

x0處連續(xù)證：設(shè)自變量在點(diǎn)x=

x0處有增量x

，則函數(shù)相應(yīng)增量為

于是由于當(dāng)x→0

時(shí)因此，函數(shù)y=sinx在點(diǎn)x=

x0處連續(xù)所以由無(wú)窮小的性質(zhì)2知

定義3

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0處及其左、右近旁有定義，如果當(dāng)x→x0時(shí)，f（x）的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)

x0處連續(xù)。

定義說(shuō)明了函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)要滿足三個(gè)條件。（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)

x0處及左、右近旁有定義。（2）當(dāng)x→x0時(shí)，f（x）的極限存在。（3）極限值等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f（x0）例3證明函數(shù)f（x）=2x2+1在點(diǎn)x

=2處連續(xù)解因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，故f（x）在點(diǎn)x

=2處及其近旁有定義，又因?yàn)樗詅（x）=2x2+1在點(diǎn)x

=2處連續(xù)

的圖象，并討論函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=1處的連續(xù)性。

解

函數(shù)f（x）在[0，+∞）內(nèi)有定義，f（x）的圖象如圖所示例4作出函數(shù)0-1-111因?yàn)樗詅（x）在點(diǎn)x=1處的連續(xù)性。于是有

2.函數(shù)

y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的連續(xù)性

定義4

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都是連續(xù)的，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，區(qū)間（a，b）稱為函數(shù)y=f（x）的連續(xù)區(qū)間。

例5.證明冪函數(shù)f（x）=xn（n∈Z+）是（-∞，+∞）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

解因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=xn的定義域?yàn)椋?∞，+∞）設(shè)x0為（-∞，+∞）內(nèi)任意點(diǎn)，于是，因此

可以證明：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)的。

這就證明了f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)。又由x0取值的任意性知，f（x）=

xn是（-∞，+∞）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。定理1

設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)x0處也連續(xù)。定理2

設(shè)函數(shù)u=(x)

在x0

處連續(xù)，且u0=(x0)，函數(shù)y=f(u)

在u0

處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]

在x0

處連續(xù)

.結(jié)論

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)。

3.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6求函數(shù)極限

由定理1、2可知，若函數(shù)f（x）是初等函數(shù)，且x0是其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則有解（1）函數(shù)f（x）=lnsinx的定義域?yàn)橐虼耍?）（3）雖然x=4不是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)，不能用函數(shù)連續(xù)性將x=4代入函數(shù)計(jì)算。但當(dāng)x≠4時(shí)，可將f（x）變形為連續(xù)函數(shù)后，再用函數(shù)連續(xù)性求極限。定理3

如果函數(shù)u=(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在且等于a，即，

而y=f(u)

在u=a處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]

當(dāng)x→x0

時(shí)的極限存在且等于f(a)。即例7求解特別地，當(dāng)a=e時(shí)，有例8證明證明（1）(2)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

定義

如果函數(shù)

y=f(x)在點(diǎn)

x0有下面下列情形之一：（1）在x=x0處沒(méi)有定義；（2）雖在x=x0處有定義，但極限不存在；（3）雖在x=x0處有定義，且極限存在，但不等于f(x0)

則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處不連續(xù)，而點(diǎn)x0稱為f(x)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。1.第一類間斷點(diǎn)若

x0為函數(shù)

y=f(x)的間斷點(diǎn)，則稱

x0為

f(x)的第一類間斷點(diǎn).即左、右極限都存在的間斷點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn)

.

例10證明x=0為函數(shù)

證

因?yàn)樵摵瘮?shù)在x=0處沒(méi)有定義,所以x=0是它的間斷點(diǎn)，又因?yàn)樗詘=0為該函數(shù)的第一類間斷點(diǎn).yxO例

11

證明函數(shù)在x=0處是第一類間斷點(diǎn).因此x=0是該函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)

.這類間斷點(diǎn)又稱為可移去間斷點(diǎn).

證即該函數(shù)在x=0處的左、右極限存在，但是由于1xyOp2p-p-2p因?yàn)?，如果修改定義f(0)=1，

所以，左、右極限存在且相等的間斷點(diǎn)稱為可移去間斷點(diǎn).在x=0連續(xù).則函數(shù)1xyOp2p-p-2p2.第二類間斷點(diǎn)若x0是函數(shù)y=f(x)的間斷點(diǎn)，

且在該點(diǎn)至少有一個(gè)單側(cè)極限不存在，

則稱x0為f(x)的第二類間斷點(diǎn).故x=0是該函數(shù)的間斷點(diǎn).

即該函數(shù)在x=0處的左、右極限都不存在，

所以x=0是該函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).例如，例12證明x=1是

證

所給函數(shù)在x=1處沒(méi)有定義，因此x=1是它的間斷點(diǎn)，又因?yàn)橐虼耍瑇=1為所給函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)

．間斷點(diǎn).的第二類三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

如果函數(shù)f(x)在[a，b]上有定義，在（a，b）內(nèi)連續(xù)，且在x=a處右連續(xù)，在點(diǎn)x=b處左連續(xù)，則稱f(x)在[a，b]上連續(xù)。定義如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a及右側(cè)近旁有定義且

，則稱f(x)在

a處右連續(xù)；

如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=b及左側(cè)近旁有定義且

，則稱f(x)在點(diǎn)

b處左連續(xù)。

如果函數(shù)

y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上一定有最大值和最小值。

如圖所示，函數(shù)在x=

x1處取得最大值f(x1);在點(diǎn)x=

x2

處取得最小值f(x2)。x1x2y=f(x)bayxO

定理4（最大最小值定理）

（1）若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則它在該區(qū)間內(nèi)未必能取得最大值和最小值，如函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,1)內(nèi)就沒(méi)有最大值和最小值

。如圖：注意：110（2）若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)有間斷點(diǎn)，則定理結(jié)論也不一定成立

.110如函數(shù)在[-1，+1]既無(wú)最大值，又無(wú)最小值。定理5（介值定理）

若f(x)

在

[a,b]

上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A，f(b)=B，C是A與B之間的一個(gè)實(shí)數(shù)，則在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x=ξ，使得f(ξ)=C（a＜ξ＜b）如圖所示：0幾何意義：

如圖所示：y=

f(x)

在

[a,b]

上連續(xù)，曲線與水平直線y=

C（A＜C＜B）至少相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（ξ，f(ξ)）。0推論（根的存在定理）若

f

(x)在[a,b]

上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則至少存在一個(gè)ξ

(a,b)，使得f(c)=0

。即方程f

(x)=0在（a,b）內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根ξ。abxyO