各位老師光臨指導

主講人：許昌高級中學鄧煥迎§6三垂線定理9.4直線與平面垂直的判定和性質——————————————————————教學目的掌握三垂線定理及逆定理運用三垂線定理及逆定理解決數(shù)學問題在實際生活中運用三垂線定理及逆定理重點與難點三垂線定理及逆定理的適用條件三垂線定理及逆定理的應用復習提問1.直線和平面垂直的判定定理。2.平面的斜線段的長與射影長的關系。一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。這個結論是如何得到呢？？？？一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：已知：AC和AB分別是平面的垂線和斜線，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求證：

aAB。

在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面如果和這個平面的一條斜線那么它已知：AC和AB分別是平面的垂線和斜線，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求證：

aAB。內的一條直線，的射影垂直，也和這條斜線垂直。一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面如果和這個平面的一條斜線那么它已知：AC和AB分別是平面的垂線和斜線，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求證：

aAB。證明：∵AC面，內的一條直線，的射影垂直，也和這條斜線垂直。一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面如果和這個平面的一條斜線那么它已知：AC和AB分別是平面的垂線和斜線，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求證：

aAB。證明：∵AC面，內的一條直線，的射影垂直，也和這條斜線垂直。一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面如果和這個平面的一條斜線那么它已知：AC和AB分別是平面的垂線和斜線，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求證：

aAB。證明：∵AC面，∴ACaa面內的一條直線，的射影垂直，也和這條斜線垂直。一、三垂線定理aABC1.三垂線定理：在平面如果和這個平面的一條斜線那么它已知：AC和AB分別是平面的垂線和斜線，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求證：

aAB。證明：∵AC面，∴ACaa面∵BCa，AC∩BC＝C∴a平面ACB∵AB面ACB∴aAB內的一條直線，的射影垂直，也和這條斜線垂直。注意：三垂線定理中的“三垂”指的是平面中的三個垂直關系——1、線和面垂直：AC和垂直2、線和射影垂直：a和BC垂直3、線和斜線垂直：a和AB垂直aABC？？？那么，什么是三垂線定理的逆定理呢？2.三垂線定理的逆定理aABC在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直那么它也和這條斜線的射影2.三垂線定理的逆定理aABC在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直那么它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理和逆定理的關鍵在于應用，這也是我們本節(jié)課的重點和難點！

先看一例生活中的數(shù)學問題——二、應用AB例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。AB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。AEFB

？怎樣才能求出—旗桿頂部A到樓底部的距離呢？二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。AEFB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。AEFB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，AEFCB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，AEFCB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFACAEFCB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFACAEFCB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFACAEFCB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFACAEFCB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFACAEFCB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFAC所以AC是A到EF的距離，AEFCB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFAC所以AC是A到EF的距離，AEFCB二、應用例1.已知學校的旗桿高20米，測量得旗桿底部B到樓底部的距離為8米，求旗桿頂部A到樓底部的距離。解：過B作樓底部所在直線EF的垂線BC垂足為C，由三垂線定理知EFAC所以AC是A到EF的距離，由勾股定理得：（米）答：旗桿底部B到樓底部的距離為米。AEFCB感覺不錯吧！再來看一個例子：例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BACABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BACABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BACABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BACABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BACABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BACABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BACABCPOEF

喲，這個有點難，動動腦筋吧！例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BAC證明：連接OE，連接OF，它們分別是PE．ABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BAC證明：連接OE，連接OF，它們分別是PE．PFABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BAC證明：連接OE，連接OF，它們分別是PE．PFABCPOEF在平面內的射影。例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BAC證明：連接OE，連接OF，它們分別是PE．PF在平面內的射影。

∵PE＝PFABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BAC證明：連接OE，連接OF，它們分別是PE．PF在平面內的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．

PO平面ABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BAC證明：連接OE，連接OF，它們分別是PE．PF在平面內的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．

PO平面ABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BAC證明：連接OE，連接OF，它們分別是PE．PF在平面內的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．

PO平面由三垂線定的逆定理，有OEAB，ABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BAC證明：連接OE，連接OF，它們分別是PE．PF在平面內的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．

PO平面由三垂線定的逆定理，有OEAB，ABCPOEF例2.已知：P為∠BAC所在平面外一點，O為P在平面內的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求證：AO平分∠

BAC證明：連接OE，連接OF，它們分別是PE．PF在平面內的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．

PO平面由三垂線定的逆定理，有OEAB，ABCPOEF同理OFAC有OEAB，∴

AO為∠

BAC的平分線即AO平分∠

BAC學以致用——

下面幾道題要檢驗同學們聽講的效果三、練習1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個平面，它就垂直于這個平面內所有的直線（）？認真想一想線面垂直的定義三、練習1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個平面，它就垂直于這個平面內所有的直線（真）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線cb,那么ac（）abc三、練習1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個平面，它就垂直于這個平面內所有的直線（真）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線cb,那么ac（）abc三、練習1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個平面，它就垂直于這個平面內所有的直線（真）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線cb,那么ac（）abc三、練習1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個平面，它就垂直于這個平面內所有的直線（真）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線cb,那么ac（）abc三、練習1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個平面，它就垂直于這個平面內所有的直線（真）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線cb,那么ac（）abc三、練習1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個平面，它就垂直于這個平面內所有的直線（真）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線cb,那么ac（）abc

通過直線C的運動，我們可知這道題的答案應該是——三、練習1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個平面，它就垂直于這個平面內所有的直線（真）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線cb,那么ac（）abc三、練習1.判斷下列命題的真假：（1）一條直線垂直于一個平面，它就垂直于這個平面內所有的直線（真）（2）已知a是平面的斜線，b是a在平面上的射影，如果直線cb,那么ac（）abc假(3)已知a是平面的斜線，b是a在平面上旋轉一周一射影，是平面的垂線，如果直線ca，c

b,那么c。()abc(3)已知a是平面的斜線，b是a在平面上旋轉一周一射影，是平面的垂線，如果直線ca，c

b,那么c。()abc(3)已知a是平面的斜線，b是a在平面上旋轉一周一射影，是平面的垂線，如果直線ca，c

b,那么c。()abc(3)已知a是平面的斜線，b是a在平面上旋轉一周一射影，是平面的垂線，如果直線ca，c

b,那么c。()abc？？？這道題的答案應該是——(3)已知a是平面的斜線，b是a在平面上旋轉一周一射影，是平面的垂線，如果直線ca，c

b,那么c。()abc真2.正方體的邊長為5厘米，求點A到B’D’的距離。AA’BB’C’CDD’O注意：認真分析題目所給的條件2.正方體的邊長為5厘米，求點A到B’D’的距離。AA’BB’C’CDD’O2.正方體的邊長為5厘米，求點A到B’D’的距離。AA’BB’C’CDD’解：連接B’D’，連接A’C’，它們交于O，再連接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方體，∴A’C’B’D’即A’OB’D’O2.正方體的邊長為5厘米，求點A到B’D’的距離。AA’BB’C’CDD’解：連接B’D’，連接A’C’，它們交于O，再連接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方體，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AOO2.正方體的邊長為5厘米，求點A到B’D’的距離。AA’BB’C’CDD’解：連接B’D’，連接A’C’，它們交于O，再連接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方體，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AOO2.正方體的邊長為5厘米，求點A到B’D’的距離。AA’BB’C’CDD’解：連接B’D’，連接A’C’，它們交于O，再連接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方體，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AOO2.正方體的邊長為5厘米，求點A到B’D’的距離。AA’BB’C’CDD’解：連接B’D’，連接A’C’，它們交于O，再連接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方體，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影?！郆’D’AO即AO就是點A到B’D’的距離。O2.正方體的邊長為5厘米，求點A到B’D’的距離。AA’BB’C’CDD’解：連接B’D’，連接A’C’，它們交于O，再連接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方體，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上