第一章數(shù)列1.2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式(2)教學目標教學目標1.理解等差數(shù)列的概念，會求兩個數(shù)的等差中項；2.理解數(shù)列的函數(shù)特性，掌握等差數(shù)列的增減性，并能運用等差數(shù)列的性質解決問題；3.通過等差數(shù)列的性質的探究性應用，培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng).教學重難點教學重難點重點：會求兩個數(shù)的等差中項．難點：會運用等差數(shù)列的性質解決問題．教學過程教學過程一、新課導入回顧：前面我們學習了等差數(shù)列，能說出等差數(shù)列的概念及通項公式嗎？概念：對于一個數(shù)列，如果從第2項起，每一項與它的前一項的差都是同一個常數(shù)，那么稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列，稱這個常數(shù)為等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.an+通項公式：首項為a1，公差為d的等差數(shù)列an的通項公式為二、新知探究問題1：我們知道，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，觀察等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d追問1：在通項公式an=a答案：a1和d是常量，an和追問2：變量之間有什么變化關系？答案：an隨n的變化而變化，且每一個n的值對應一個an.所以an小結：將an=a1+(n-1)d整理一下，可得an=a1（1）當公差d=0時，f（n）是常數(shù)函數(shù)，此時數(shù)列a（2）當公差d≠0時，問題2：你能畫出等差數(shù)列an的圖象嗎追問1：an的圖象與一次函數(shù)y答案：等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)圖象的一個子集，是圖象上一些間隔的點．追問2：公差d的幾何意義是什么？答案：公差d是對應直線y=dx追問3：d的取值對圖象的增減性是否有影響？答案：有，分d＞0，d＜小結：等差數(shù)列an的圖象是斜率為d，截距為a總結：等差數(shù)列的增減性當d＞0時，數(shù)列當d＜0時，數(shù)列當d=0時，數(shù)列問題3：在如下的兩個數(shù)中插入一個什么數(shù)，能讓這三個數(shù)變成等差數(shù)列？（1）2，（），6；（2）0，（（3）a，（答案：（1）4；（2）-2.追問1：數(shù)列（3）中，中間這個數(shù)與前后兩個數(shù)之間有什么關系？答案：設中間這個數(shù)是A，則A-a=b-A，整理得總結：如果在a與b之間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項.如果A是a與b的等差中項，那么A-a=b-A，所以條件：如果a，A，b成等差數(shù)列.結論：那么A叫做a與b的等差中項.滿足的關系式：a+b=2顯然，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮等差數(shù)列的末項除外）都是它的前一項和后一項的等差中項.想一想：你能表達等差數(shù)列中任意連續(xù)三項之間的數(shù)量關系嗎？答案：設等差數(shù)列an中任意連續(xù)三項為a則2an=an小結：如果一個數(shù)列中，中間的每一項都是它的前一項與后一項的等差中項，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列．設計意圖：通過分析、歸納出等差中項及其滿足的關系式，增強學生對等差數(shù)列的理解.【概念鞏固】思考：判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)數(shù)列an的通項公式為an=3n+5，則數(shù)列a(2)等差數(shù)列an的單調性與公差d(3)若三個數(shù)a，b，c滿足(4)任意兩個實數(shù)都有等差中項．()答案:（1）√；（2）√；（3）√；（4）√.三、應用舉例例1已知（1，1），（3，5）是等差數(shù)列an圖象上的兩點（1）求數(shù)列an（2）畫出數(shù)列an（3）判斷數(shù)列an思考：由圖象上的兩點可以得到數(shù)列的哪兩項？解：（1）因為（1，1），（3，5）是等差數(shù)列an所以a1=1由a3=a1+于是an（2）數(shù)列an的圖象是直線y=2x（3）由（1）可知d＞0，所以數(shù)列a例2一個木制梯形架的上、下兩底邊分別為33cm，75cm，把梯形的兩腰各6等分，用平行木條連接各對應分點，構成梯形架的各級.試計算梯形架間各級的寬度.思考：1.各級的寬度構成的數(shù)列是特殊的數(shù)列嗎？2.如何計算？解：記梯形架自上而下各級寬度所構成的數(shù)列為an，則由梯形中位線的性質，易知相鄰三項均成等差數(shù)列，即數(shù)列aa1=33cm，現(xiàn)要求a2，a3，…，a6，即中間依等差數(shù)列的定義，有d=a7所以a2=33+7=40(cm)，a3=40+7=47(cm)，a4=47+7=54(cm)，a5=54+7=61(cm)，a因此，梯形架中間各級的寬度自上而下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm.思考：還有其它方法能求出梯形的中位線長度？分析：連接梯形兩腰中點的線段叫作梯形的中位線，梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.中位線長度為上、下兩底邊長的等差中項，即a4的值解：根據(jù)等差中項的性質可得a4=a例3已知數(shù)列{an求證：ap解：設數(shù)列{an}ap=aas=a所以，ap因為p+q=追問1：你能歸納和表達出例題中等差數(shù)列的性質嗎？答案：當?shù)炔顢?shù)列中兩項角標和相等時，這兩項的和相等.追問2：等差中項的性質可以用上述性質解釋嗎？答案：當p+q=2s時，ap問：在等差數(shù)列an中，已知a4+答案：16.設計意圖：通過例題，對等差數(shù)列的性質及應用進行練習，掌握從函數(shù)的角度研究等差數(shù)列，運用等差數(shù)列的性質解決問題．四、課堂練習1.已知點(1，5)，(2，3)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點，則數(shù)列{aA．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．無法確定2.若5，x，y，z，21成等差數(shù)列，則x＋y＋z的值是()A．26B．29C．39D．523.已知(2，1)，(4，5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點．(1)求這個數(shù)列的通項公式；(2)判斷(n，17)是否是{an}圖象上的點，若是，求出n的值，若不是，說明理由；(3)判斷這個數(shù)列的增減性，并求其最小正數(shù)項．參考答案：1.等差數(shù)列{an}的圖象所在直線的斜率k＝5-32.因為5，x，y，z，21成等差數(shù)列，所以y既是5和21的等差中項也是x和z的等差中項，所以5＋21＝2y，∴y＝13，∴x＋z＝2y＝26∴x＋y＋z＝39.故選C.3.(1)設等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝dn＋b，由(2，1)，(4，5)是等差數(shù)列圖象上的兩點，可得2d+b=1，4d+b=5(2)(n，17)是{an}圖象上的