數(shù)學(xué)第七章圖形與變換第八章統(tǒng)計與概率專題一數(shù)學(xué)思想方法專題二規(guī)律探索題專題三動手操作與方案設(shè)計專題四實際應(yīng)用型問題專題五圖形運動型問題專題六二次函數(shù)和幾何綜合題第七章圖形與變換第一節(jié)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與對稱知識點1:圖形的對稱1.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別:軸對稱圖形是對于

個圖形而言,軸對稱是對于

個圖形而言.

2.中心對稱與中心對稱圖形區(qū)別:中心對稱圖形是對于

個圖形而言,中心對稱是對于

個圖形而言.

一兩兩一3.中心對稱的性質(zhì):在成中心對稱的兩個圖形中,連接對應(yīng)點的線段都經(jīng)過

且被

平分.

4.常見的軸對稱圖形有

、

、

、

、

等;常見的中心對稱圖形有

、

、

、

的正n邊形等;有些圖形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形,如

、

、

、

等.

對稱中心對稱中心等腰三角形矩形菱形等腰梯形正多邊形平行四邊形矩形菱形邊數(shù)為偶數(shù)圓矩形菱形正n邊形(n為偶數(shù))知識點2:圖形的平移與旋轉(zhuǎn)1.圖形的平移是由

和

所決定.

2.圖形的旋轉(zhuǎn)是由

、

和

所決定.

3.平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的聯(lián)系與區(qū)別.(1)聯(lián)系:這三種變換都是全等變換.(2)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的區(qū)別:平移變換旋轉(zhuǎn)變換軸對稱運動方式將圖形沿某一個方向平行移動一定的距離將圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度將圖形沿著某條直線折疊對應(yīng)線段、對應(yīng)角之間的關(guān)系平移變換前后圖形的對應(yīng)線段平行(或在一條直線上)且相等,對應(yīng)點所連的線段平行且相等;對應(yīng)角相等旋轉(zhuǎn)變換前后圖形的任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角軸對稱的對應(yīng)線段或延長線相交,交點在對稱軸上,成軸對稱的兩個圖形對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分平移的方向平移的距離旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)角知識點3:圖形變換與坐標(云南考情:2014昆明第12題4分)1.橫(縱)坐標不變,縱(橫)坐標按照比例增大或減小時,圖形“拉長”或“壓縮”.2.縱坐標不變,橫坐標增加(減少),則圖形沿x軸方向向

平移;反之,橫坐標不變,縱坐標增加(減少),圖形沿y軸方向向

平移.

知識點4:網(wǎng)格作圖(對稱、平移、旋轉(zhuǎn))1.對稱作圖的方法和步驟:(1)找出原圖形的關(guān)鍵點;(2)作出關(guān)鍵點關(guān)于對稱軸(或?qū)ΨQ中心)的對稱點;(3)按照原圖形依次連接得到的各關(guān)鍵點的對應(yīng)點,即得到對稱后的圖形.2.平移作圖的方法和步驟:(1)確定平移的方向和平移的距離;(2)確定關(guān)鍵點,將各關(guān)鍵點按照要求的平移方向與距離作圖;(3)按原圖形的順序連接平移后的關(guān)鍵點即得到平移后的圖形.3.旋轉(zhuǎn)作圖的方法和步驟:(1)根據(jù)題意,確定旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角;(2)找出原圖形的關(guān)鍵點;(3)連接關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心,按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn),得到各關(guān)鍵點的對應(yīng)點;(4)按原圖形依次連接得到的各關(guān)鍵點的對應(yīng)點,得到旋轉(zhuǎn)后的圖形.右(左)上(下)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念(2013·泰州)下列標志圖中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是(

)【分析】(1)把所要判斷的圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合的圖形是軸對稱圖形.(2)把所要判斷的圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合的圖形是中心對稱圖形.【解】B圖形的折疊與軸對稱(2013·河南)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點E是BC邊上一點,連接AE,把∠B沿AE折疊,使點B落在點B'處.當(dāng)△CEB'為直角三角形時,BE的長為

.

【分析】有兩種情況,△CEB'中,很顯然∠ECB'為銳角,當(dāng)∠EB'C=90°時,∠AB'E=90°,則A、B'、C共線,點B'在對角線AC上,可得B'C=2.Rt△CEB'中由勾股定理可求B'E=BE=,當(dāng)∠B'EC=90°時,可得四邊形ABEB'為矩形,又AB=AB',則四邊形ABEB'為正方形,則EB=3.【解】或3如圖,正方形ABCD的邊長是3,點P是直線BC上一點,連接PA,將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,在直線BA上取點F,使BF=BP,且點F與點E在BC同側(cè),連接EF、CF.(1)如圖①,當(dāng)點P在CB延長線上時,求證:四邊形PCFE是平行四邊形;(2)如圖②,當(dāng)點P在線段BC上時,四邊形PCFE是否是平行四邊形,說明理由;(3)在(2)的條件下,四邊形PCFE的面積是否有最大值?若有,請求出面積的最大值及此時BP的長;若沒有,請說明理由.【分析】(1)通過△FBC≌△PBA易證FC=AP=PE,FC∥EP.(2)與(1)方法類似.(3)設(shè)BP=x,則BF=x,CP=3-x,設(shè)面積為y,可得y=x(3-x)=-x2+3x(0<x<3).由二次函數(shù)性質(zhì)易求最大值.

【解】(1)證明:如圖①,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠PBA=90°.又∵BP=BF,∴△PBA≌△FBC,∴PA=FC,∠PAB=∠FCB.又∵PA=PE,∴PE=FC.∵∠PAB+∠APB=90°,∴∠FCB+∠APB=90°.又∵∠EPA=90°,∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°,即∠EPC+∠PCF=180°.∴EP∥FC,∴四邊形PCFE是平行四邊形.

(2)解:結(jié)論:四邊形PCFE是平行四邊形.如圖②,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠CBF=90°.又∵BP=BF,∴△PBA≌△FBC.∴PA=FC,∠PAB=∠FCB.又∵PA=PE,∴PE=FC.∵∠FCB+∠BFC=90°,∠EPB+∠APB=90°,∴∠BPE=∠FCB,∴EP∥FC,∴四邊形EPCF是平行四邊形.軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)綜合將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起,它們的較短直角邊長為3.(1)將△ECD沿直線l向左平移到圖2的位置,使E點落在AB上,則CC'=

.

(2)將△ECD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置,使點E落在AB上,則△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)=

.

(3)將△ECD沿直線AC翻折到圖4的位置,ED'與AB相交于點F,求證:AF=FD'.

【分析】(1)求出AE的長,然后在Rt△AE'E中求出EE'的長.(2)△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)即∠ECE'的度數(shù).(3)證△AEF≌△D'BF,進而得出AF=FD'.【解】(1)CC'=3-.理由如下:∵EC=3,∠A=30°,∴AC=3,∴AE=3-3,∴CC'=EE'=AE·tan30°=3-.(2)△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)即∠ECE'的度數(shù).∵∠ABC=60°,BC=CE',AB=6,∴△E'BC是等邊三角形,∴∠BCE'=60°,∴∠ECE'=90°-∠BCE'=30°.(3)在△AEF和△D'BF中,∵AE=AC-EC,D'B=D'C-BC.又AC=D'C,EC=BC,∴AE=D'B.又∠AEF=∠D'BF=180°-60°=120°,∠A=∠CD'E=30°,∴△AEF≌△D'BF,∴AF=FD'.【方法歸納】軸對稱變換、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換都屬于全等變換,即變換前后的兩個圖形,位置改變,形狀、大小不變.網(wǎng)格作圖(2013·眉山節(jié)選)如圖,在11×11的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都為1,網(wǎng)格中有一個格點△ABC(即三角形的頂點都在格點上).(1)在圖中作出△ABC關(guān)于直線l對稱的△A1B1C1.(要求A與A1,B與B1,C與C1相對應(yīng))(2)作出△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C.【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于直線l的對稱點A1、B1、C1的位置,然后順次連接即可.(2)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后的A2、B2的位置,然后順次連接即可.【解】(1)△A1B1C1如圖所示.(2)△A2B2C如圖所示.第二節(jié)相似形知識點1:比例線段及其性質(zhì)1.如果=,那么

,反之也成立;

2.對于四條線段a,b,c,d,如果=

,那么這四條線段

.

ad=bc成比例知識點2:相似多邊形的定義及性質(zhì)如果兩個多邊形的角分別

,邊

,那么這兩個多邊形叫做

.

相似多邊形的對應(yīng)角

,對應(yīng)邊

.

相等成比例相似多邊形相等成比例知識點3:平行線分線段成比例性質(zhì)1.兩條直線被一組平行線所截,所得

成比例.

2.平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應(yīng)線段

.

知識點4:相似三角形的判定1.如果兩個三角形的三個角分別

,三邊

,那么這兩個三角形相似.

2.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形

.

3.三邊

的兩個三角形相似.

4.兩邊

且

相等的兩個三角形相似.

5.兩角

的兩個三角形相似.

6.斜邊和一直角邊

的兩個直角三角形相似.

對應(yīng)線段成比例相等成比例相似成比例成比例夾角分別相等成比例知識點5:相似三角形的性質(zhì)(云南考情:2014年曲靖第22題10分、2014年昆明第14題3分、2014年曲靖第6題3分、2014年云南第23(2)4分)1.相似三角形的對應(yīng)角

,對應(yīng)邊

.

2.相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于

,即相似三角形對應(yīng)線段的比等于

.

3.相似三角形周長的比等于

面積之比等于

.

知識點6:位似1.兩個多邊形不僅

,而且對應(yīng)頂點的連線

,對應(yīng)邊

,這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這點叫做

,這兩個圖形關(guān)于這點

。

2.在平面直角坐標系中,如果以原點為位似中心,新圖形與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(x,y)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標為或

相等成比例相似比相似比相似比相似比的平方相似相交于一點互相平行位似中心位似(kx,ky)(-kx,-ky)比例的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)【方法歸納】此題是由相似三角形性質(zhì)與勾股定理相結(jié)合求邊的長度.位似圖形的作圖及位似圖形的性質(zhì)如圖,在所給網(wǎng)格圖(每小格均為邊長是1的正方形)中完成下列各題.(1)圖形ABCD與圖形A1B1C1D1關(guān)于直線MN成軸對稱,請在圖中畫出對稱軸并標注上相應(yīng)字母M、N;(2)以圖中O點為位似中點,將圖形ABCD放大,得到放大后的圖形A2B2C2D2,則圖形ABCD與圖形A2B2C2D2的對應(yīng)邊的比是多少?(注:只要寫出對應(yīng)邊的比即可)(3)求圖形A2B2C2D2的面積.【分析】(1)對稱軸為對應(yīng)點連線的垂直平分線;(2)可根據(jù)勾股定理求邊長然后計算比值;第三節(jié)銳角三角函數(shù)及解直角三角形知識點1:銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a,b,c,則sinA=

,cosA=

,tanA=

.

2.特殊角的三角函數(shù)值αsin

αcos

αtan

α30°45°160°

3.直角三角形的邊角關(guān)系在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a,b,c.(1)三邊關(guān)系:勾股定理

;

(2)三角關(guān)系:

;

(3)邊角之間的關(guān)系:

sinA==cosB,cosA==sinB,tanA=

.

a2+b2=c2∠A+∠B=∠C=90°知識點2:解直角三角形在直角三角形中,由已知元素求

的過程叫做解直角三角形.其余未知元素

常見類型:已知條件解法一邊一角已知斜邊c和一個銳角A①∠B=90°-∠A②a=③b=已知一條直角邊a和一個銳角A①∠B=90°-∠A②c=③b=兩邊已知斜邊c和一條直角邊a①b=②利用sinA=,求∠A③∠B=90°-∠A已知兩條直角邊a,b①c=②利用

,求∠A③∠B=90°-∠Ac·sinAc·cosAa/sinAtanA=知識點3:解直角三角形的實際應(yīng)用(云南考情:2014年云南第21題6分,2014年昆明第20題6分)1.仰角、俯角2.坡角、坡度(1)坡角即α;(2)坡比(坡度):i=

=.

3.有關(guān)方位角問題(航海問題)的表示方法(如圖)tanα知識點4:解直角三角形實際應(yīng)用的方法解直角三角形或構(gòu)造直角三角形解決實際問題一般先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,若題中無直角三角形,需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形,再利用解直角三角形的知識求解,而需要注意的是在解直角三角形中,銳角三角函數(shù)起著橋梁作用.銳角三角函數(shù)及特殊角三角函數(shù)值由已知條件解直角三角形如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠BAC的平分線AD=,求∠B的度數(shù)及邊長BC、AB的長.【分析】在Rt△ABC中,已知AC,則需再設(shè)法找出另一條件.可先解Rt△ACD,求出∠DAC,從而求出∠BAC,這樣就可解直角三角形ABC.【方法歸納】在解直角三角形時,要注意靈活地運用已知的邊和角求未知的邊和角.解直角三角形的實際應(yīng)用2013·眉山)如圖,某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處長500m,高10m背水坡的坡角為45°的防洪大堤(橫斷面為梯形ABCD)急需加固.經(jīng)調(diào)查論證,防洪指揮部專家組制定的加固方案是:背水坡面用土石進行加固,并使上底加寬3m,加固后背水坡EF的坡比i=1∶.(1)求加固后壩底增加的寬度AF.(2)求完成這項工程需要土石多少立方米?(結(jié)果保留根號)【分析】(1)分別過點E、D作AB的垂線,設(shè)垂足分別為G、H.在Rt△EFG中,根據(jù)坡面的鉛直高度(即壩高)及坡比,即可求出水平寬FG的長;同理可在Rt△ADH中求出AH的長;由AF=FG+GH-AH求出AF的長.(2)已知梯形AFED的上下底和高,易求得其面積.梯形AFED的面積乘以壩長即為所需的土石的體積.第四節(jié)視圖與投影知識點1:三視圖(云南考情:2014年云南第4題3分,2014年曲靖第3題3分,2014年昆明第2題3分)1.三視圖:從正面看到的圖形稱為

;從上面看到的圖形稱為

;從左側(cè)面看到的圖形稱為

.

2.畫三視圖方法:(1)觀察方向:正面、左側(cè)面、上面;(2)視圖特點:

對正,

平齊,

相等;

(3)注意實線與虛線的畫法.知識點2:平行投影中心投影平行投影中心投影性質(zhì)(1)投射線相互平行;(2)得到的投影能夠反映物體實際的形狀和大小.(1)投射線相交于一點;(2)得到的投影放大(位似變換).主視圖俯視圖左視圖長高寬判斷方法分別自物體的兩個邊界點及其影子的對應(yīng)兩個邊界點作兩條直線,若兩直線平行,則為平行投影.分別自物體的兩個邊界點及其影子的兩個對應(yīng)邊界點作兩條直線,若兩直線相交,則為中心投影,其交點是光源的位置.常見例子陽光下物體的影子

燈光下的影子知識點3:立體圖形的展開與折疊1.正方體的展開圖是

個正方形(如圖所示,共有11種展開圖,自己試試看).

2.圓柱的展開圖是兩個

與一個

.

3.圓錐的展開圖是一個

與一個

.

六圓矩形圓扇形投影的識別(1)小華拿一個矩形木框在陽光下玩,矩形木框在地面上形成的投影不可能的是(

)(2)在同一時刻的陽光下,小明的影子比小強的影子長,那么在同一路燈下(

)A.小明的影子比小強的影子長B.小明的影子比小強的影子短C.小明的影子和小強的影子一樣長D.無法判斷誰的影子長【分析】運用平行投影性質(zhì)及變化規(guī)律.(1)矩形木框在地面上形成的投影是平行投影,應(yīng)是平行四邊形或一條線段,即相對的邊平行或重合,故不會是梯形;(2)路燈下形成的投影是中心投影.在同一路燈下由于位置不同,影長也不同,所以無法判斷誰的影子長.【解】(1)A

(2)D(2013·揚州)如圖,下列四個幾何體中,它們各自的三視圖(主視圖、左視圖、俯視圖)中有兩個相同,而另一個不同的幾何體是(

)A.①②B.②③C.②④D.③④【分析】本題考查根據(jù)幾何體判斷三視圖.正方體的三個視圖均為正方形;圓柱的主視圖和左視圖都是長方形,俯視圖是圓;圓錐的左視圖和主視圖都是三角形,俯視圖是帶圓心的圓;球的三個視圖都是圓.【解】B由三視圖推測數(shù)量及計算面積或體積下圖是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三視圖.(1)請在幾何體的俯視圖中用數(shù)字標上各個位置上的小立方體的個數(shù),并說明原幾何體中小立方體的總個數(shù);(2)若以上每一個小正方形的面積為1,則整個幾何體的表面積為多少?【分析】由俯視圖確定幾何體的上、下底面積,再由主視圖、左視圖確定前、后側(cè)及左、右側(cè)的表面積.【解】(1)該幾何體的俯視圖上每個小立方體的個數(shù)應(yīng)如圖所示,搭成這個幾何體的小立方體的個數(shù)為8;(2)整個幾何體的表面積為30.【方法歸納】確定一個幾何體由多少個小立方體組成,往往需要把三個視圖組合起來綜合考慮,并把結(jié)果在某一視圖中表現(xiàn)出來.此類型題考查空間想象能力和分析問題的能力.第八章統(tǒng)計與概率第一節(jié)統(tǒng)計及其應(yīng)用知識點1:數(shù)據(jù)的收集方式數(shù)據(jù)的收集方式有

、

.知識點2:總體、個體、樣本和樣本容量1.所要考察對象的

稱為總體,而組成總體的

稱為個體,從總體中抽取的

叫做總體的一個樣本,樣本中

叫做樣本容量.

2.用樣本估計總體時,樣本容量越大,樣本對總體的估計也就越精確.3.用樣本估計總體實際調(diào)查中常常采用抽樣調(diào)查的方式獲取數(shù)據(jù),用

估計總體是統(tǒng)計的基本思想.

抽樣調(diào)查全面調(diào)查(普查)全體每一個考察對象一部分個體個體的數(shù)目樣本知識點3:頻數(shù)頻率1.頻數(shù):對總的數(shù)據(jù)按某種標準進行分組,統(tǒng)計各組內(nèi)含有的

叫做頻數(shù).

2.頻率:每個小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這組數(shù)據(jù)的頻率,即:頻率=

,頻率反映了各組頻數(shù)的大小在總數(shù)中所占的分量,所有頻率之和等于

.

知識點4:統(tǒng)計圖(云南考情:2014年昆明第18題6分,2014年曲靖第11題3分,2014年云南第18題7分)1.常見的統(tǒng)計圖有:

、

、

,

.

2.統(tǒng)計圖的選擇(1)條形圖能夠顯示

;

(2)扇形圖能夠顯示

;(3)折線圖能夠顯示

;

(4)直方圖能夠顯示

.

數(shù)據(jù)的個數(shù)1條形統(tǒng)計圖折線統(tǒng)計圖扇形統(tǒng)計圖頻數(shù)分布直方圖每組中的具體數(shù)據(jù)部分在總體中所占的百分比數(shù)據(jù)的變化趨勢數(shù)據(jù)的分布情況3.統(tǒng)計圖表中信息的獲取條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖是統(tǒng)計圖綜合考查的常見形式,它主要體現(xiàn)的是:頻數(shù)、頻率、總數(shù)三者之間的關(guān)系.從條形統(tǒng)計圖中可顯示每組的具體數(shù)據(jù)(即頻數(shù));從扇形統(tǒng)計圖中可以看出部分在總體中所占的百分比(即頻率).知識點5:數(shù)據(jù)的分析(如表)(云南考情:2014年曲靖第5題3分,2014年昆明第11題3分,2014年云南第8題3分)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的意義及計算(1)(2013·濱州)如表是晨光中學(xué)男子籃球隊隊員的年齡統(tǒng)計,他們的平均年齡是

.

年齡13141516人數(shù)1551

(2)小明在九年級進行的六次數(shù)學(xué)測驗成績?nèi)缦?單位:分):76、82、91、85、84、85,則這六次數(shù)學(xué)測驗成績的眾數(shù)和中位數(shù)分別為(

)A.91,88

B.85,88C.85,85 D.85,84.5【分析】(1)按加權(quán)平均數(shù)的算法算出平均年齡.他們的平均年齡是:(13×1+14×5+15×5+16×1)÷12=14.5(歲).(2)在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);若x1<x2<…<xn,當(dāng)n為偶數(shù)時,中位數(shù)是;當(dāng)n為奇數(shù)時,中位數(shù)是.所以選D.

【解】(1)14.5歲(2)D極差、方差、標準差的意義及計算(1)(2013·呼和浩特)一個樣本為1,3,2,2,a,b,c.已知這個樣本的眾數(shù)為3,平均數(shù)為2,那么這個樣本的方差為

.

(2)在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運動員10次射擊的平均成績都是7環(huán),其中甲的成績的方差為1.21,乙的成績的方差為3.98,由此可知(

)A.甲比乙的成績穩(wěn)定B.乙比甲的成績穩(wěn)定C.甲、乙兩人成績一樣穩(wěn)定D.無法確定誰的成績更穩(wěn)定【分析】(1)由眾數(shù)為3,則a、b、c中,可能有兩個數(shù)為3,再由平均數(shù)為2,則第三個數(shù)為0,依方差公式可求方差為;(2)方差大則波動大,故選A.【解】(1)

(2)A常見統(tǒng)計圖的綜合應(yīng)用為擴大內(nèi)需,國務(wù)院決定在全國實施“家電下鄉(xiāng)”政策.第一批列入家電下鄉(xiāng)的產(chǎn)品為彩電、冰箱、洗衣機和手機四種產(chǎn)品.某縣一家家電商場,今年一季度對以上四種產(chǎn)品的銷售情況進行了統(tǒng)計,繪制了如下的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中信息解答下列問題:(1)該商場一季度彩電銷售的數(shù)量是

臺;

(2)請補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.【分析】(1)由條形統(tǒng)計圖可直接看出彩電銷售的數(shù)量.(2)由手機200臺、占總數(shù)的40%可求出四種產(chǎn)品的銷售總量為500臺,從而求出冰箱數(shù)量及彩電和洗衣機占總數(shù)的百分比.【方法歸納】本題兩個圖是互補型的,由手機具體數(shù)量和占總體百分比為突破口,其余問題便迎刃而解.【解】(1)150

(2)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖結(jié)果如圖.頻數(shù)分布直方圖的應(yīng)用濟南以“泉水”而聞名,為造福子孫后代,濟南市積極開展“節(jié)水保泉”活動.寧寧利用課余時間對某小區(qū)200戶居民的用水情況進行了統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)5月份各戶居民的用水量均比4月份有所下降,寧寧將5月份每戶居民的節(jié)水量繪制成不完整的統(tǒng)計圖表,如下圖所示:節(jié)水量(米3)頻數(shù)(戶數(shù))頻率1500.251.5x0.12.580y30.25合計200

(1)頻數(shù)分布表中的x=

,y=

;

(2)200戶居民5月份節(jié)水量的中位數(shù)是

米3;

(3)補全頻數(shù)分布直方圖;(4)該小區(qū)200戶居民5月份平均每戶節(jié)約用水

米3.【分析】(1)由頻率=,可求得x=20和節(jié)水量3米3的戶數(shù)為50,由頻率之和等于1,得y=0.4.(2)由中位數(shù)概念得.(4)由平均數(shù)公式可得.【解】(1)20

0.4

(2)2.5

(3)略(4)2.15【方法歸納】各小組頻數(shù)之和=數(shù)據(jù)總數(shù);各小組頻率之和等于1;頻率=.

第二節(jié)概率及其應(yīng)用知識點1:事件的分類1.確定事件:在一定條件下,有些事件發(fā)生與否可以事先

,這樣的事件叫做確定事件,其中

發(fā)生的叫做必然事件,

發(fā)生的叫做不可能事件.

2.隨機事件:在一定條件下,可能

也可能

的事件,稱為隨機事件.知識點2:概率1.在隨機現(xiàn)象中,一個事件發(fā)生的

大小叫做這個事件的概率.

2.必然事件發(fā)生的概率為

,不可能事件發(fā)生的概率為

,隨機事件發(fā)生的概率介于

與

之間.

確定一定不可能發(fā)生不發(fā)生可能性1001知識點3:概率的計算一般地,如果在一次試驗中,有n種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都

,事件A包含其中的m種結(jié)果,那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=知識點4:用頻率估計概率1.一般地,在大量重復(fù)試驗中,如果事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定在某個常數(shù)P附近,那么把這個常數(shù)P作為這一事件發(fā)生的概率的近似值,事件A的概率記作P(A)=

2.頻率與概率的關(guān)系:一個事件發(fā)生的頻率接近于概率,還需有

的實驗次數(shù),只有

重復(fù)試驗時的頻率,才能作為事件發(fā)生的

,但不能說頻率等于

,頻率是通過試驗得到的數(shù)據(jù),而概率是理論上事件發(fā)生的可能性.

大量大量概率的近似值概率相等知識點5:幾何概率用面積求概率:當(dāng)隨機事件的概率大小與幾何圖形的面積有關(guān)時,往往利用面積求概率,計算公式為:P(A)=.知識點6:用列表法或畫樹狀圖求概率(云南考情:2014年曲靖第20題9分,2014年云南第19題7分,2014年昆明第19題6分)1.概率的理論計算方法有:(1)樹狀圖;(2)列表法.2.用這兩種方法求概率時務(wù)必使各種情況出現(xiàn)的

.

3.列表法與樹狀圖法的選取當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時,為了不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用列表法.當(dāng)一次試驗要涉及三個或更多個因素時,為了不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用樹狀圖法.列表和畫樹狀圖的目的都是不重不漏地列舉所有可能性相等的結(jié)果,在很多問題中,二者是共通的.4.在列舉第二步可能結(jié)果的時候,需要注意是放回情形還是不放回情形.可能性相等知識點7:概率的應(yīng)用1.用計算概率來評判游戲是否公平.2.評判哪種方式更合算.事件的分類下列事件中,為必然事件的是(

)

A.購買一張彩票,中獎B.打開電視,正在播放廣告C.拋擲一枚硬幣,正面向上D.一個袋中只裝有5個黑球,從中摸出一個球是黑球【分析】“購買一張彩票,中獎”是隨機事件;“打開電視,正在播放廣告”是隨機事件;“拋擲一枚硬幣,正面向上”是隨機事件;“一個袋中只裝有5個黑球,從中摸出一個球是黑球”是必然事件.【解】D用樹狀圖或列表法求概率四張小卡片上分別寫有數(shù)字1、2、3、4,它們除數(shù)字外沒有任何區(qū)別,現(xiàn)將它們放在盒子里攪勻.(1)隨機地從盒子里抽取一張,求抽到數(shù)字2的概率;(2)隨機地從盒子里抽取一張,不放回再抽取第二張,請你用樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果,并求抽到的數(shù)字之和為5的概率.【分析】(1)可用樹狀圖法或列表法分別求出結(jié)果,先列舉所有等可能的情況有四種,再找出出現(xiàn)2的情況為一種,從而可得P(抽到數(shù)字為2)=.(2)也是用樹狀圖法或列表法分別求出結(jié)果,先列舉不放回所有等可能的情況共12種,而抽到的數(shù)字之和為5的情況有4種,從而得出概率.【解】(1)P(抽到數(shù)字為2)=.(2)列舉所有等可能的結(jié)果,畫樹狀圖:.

∴P(抽到數(shù)字和為5)=.游戲中的概率問題為了決定誰將獲得僅有的一張科普報告入場券,甲和乙設(shè)計了如下的一個游戲:口袋中有編號分別為1、2、3的紅球三個和編號為4的白球一個,四個球除了顏色或編號不同外,沒有任何別的區(qū)別,摸球之前將小球攪勻,摸球的人都蒙上眼睛.甲先摸兩次,每次摸出一個球;把甲摸出的兩個球放回口袋后,乙再摸,乙只摸一個球.如果甲摸出的兩個球都是紅色,甲得1分,否則,甲得0分;如果乙摸出的球是白色,乙得1分,否則,乙得0分;得分高的獲得入場券,如果得分相同,游戲重來.(1)運用列表或畫樹狀圖求甲得1分的概率;(2)這個游戲是否公平?請說明理由.【分析】(1)首先根據(jù)題意列出表格或畫出樹狀圖,然后求得所有等可能的結(jié)果與甲得1分的情況,然后利用概率公式求解即可求得答案.(2)由(1)求得乙的得分,比較概率不相等,即可得這個游戲不公平.【解】(1)列表得:12341—1分1分0分21分—1分0分31分1分—0分40分0分0分—【方法歸納】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率,概率相等就公平,否則就不公平.專題一數(shù)學(xué)思想方法分類討論思想(2013·涼山州)已知:如圖,O為坐標原點,四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),點D是OA的中點,點P在BC上運動,當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時,P點的坐標為多少?【分析】D點是定點,OD邊是定邊,根據(jù)△ODP是等腰三角形,從OD邊入手,進行分類討論.【解】∵A(10,0),C(0,4),點D是OA的中點,∴OD=5,OC=4.當(dāng)OD為腰時,①O為頂點時,OD=OP=5,此時P(3,4);②D為頂點時,DO=DP=5,此時P(2,4)或(8,4);當(dāng)OD為底時,OD=OP=DP=5,此時P點不在BC上.綜上所述:P(3,4)或(2,4)或(8,4).轉(zhuǎn)化思想(2013·東營)如圖,圓柱形容器中,高為1.2m,底面周長為1m,在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子,此時一只壁虎正好在容器外壁,離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處,則壁虎捕捉蚊子的最短距離為

m.(容器厚度忽略不計)

題圖答圖【分析】把立體圖形中兩點間的最短距離轉(zhuǎn)化為在平面展開圖形中求解.將容器側(cè)面展開,建立A關(guān)于EF的對稱點A',根據(jù)兩點之間線段最短可知A'B的長度即為所求.如圖,∵高為1.2m,底面周長為1m,在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子,此時一只壁虎正好在容器外壁,離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處,∴A'D=0.5m,BD=1.2m.∴將容器側(cè)面展開,作A關(guān)于EF的對稱點A'.連接A'B,則A'B即為最短距離,【解】1.3數(shù)形結(jié)合思想圖甲是水滴進玻璃容器的示意圖(滴水速度不變),圖乙是容器中水的高度隨滴水時間變化的圖象.圖甲圖乙給出下列對應(yīng):①a—e②b—f③c—h④d—g其中正確的是

.

【分析】通過觀察圖甲a,b,c,d,知a,b容器水上升的高度與時間成正比例關(guān)系,但a容器上升的速度快,所以應(yīng)是a對應(yīng)于g,b對應(yīng)于f;由c容器知水上升的高度是先慢后快,所以c對應(yīng)于h;同理d對應(yīng)于e,從而可判斷②③正確.【解】②③如圖,某運動員P從半圓跑道的A點出發(fā)沿勻速前進到達終點B,若以時間t為自變量,扇形OAP的面積S為函數(shù)的圖象大致是(

)專題二規(guī)律探索題數(shù)式規(guī)律2013·常德)小明在做數(shù)學(xué)題時,發(fā)現(xiàn)下面有趣的結(jié)果:3-2=1;8+7-6-5=4;15+14+13-12-11-10=9;24+23+22+21-20-19-18-17=16;…根據(jù)以上規(guī)律可知,第100行左起第一個數(shù)是

.

【分析】從每個等式的結(jié)果發(fā)現(xiàn)依次為12,22,32,42,…,再看每個等式的左邊規(guī)律.第100行為(1002+200)+…+(1002+101)-(1002+100)-…-(1002+2)-(1002+1)=1002.因此第100行左起第一個數(shù)是1002+200,即為10200.或:只看左邊第1個數(shù)會發(fā)現(xiàn):3=22-1,8=32-1,15=42-1,24=52-1,因此,第100行左邊第1個數(shù)是1012-1=10200.【解】10200圖形變化規(guī)律(2013·安徽)我們把正六邊形的頂點及其對稱中心稱作如圖①所示基本圖的特征點,顯然這樣的基本圖共有7個特征點.將此基本圖不斷復(fù)制并平移,使得相鄰兩個基本圖的一邊重合,這樣得到圖②,圖③,…(1)觀察以上圖形并完成下表:圖形的名稱基本圖的個數(shù)特征點的個數(shù)圖①17圖②212圖③317圖④4………

猜想:在圖

中,特征點的個數(shù)為

(用n表示);

(2)如圖,將圖

放在直角坐標系中,設(shè)其中第一個基本圖的對稱中心O1的坐標為(x1,2),則x1=

;圖

的對稱中心的橫坐標為

.

【分析】(1)觀察圖形可知:圖①中特征點有7個,7=7+5×(1-1);圖②中特征點有12個,12=7+5×1;圖③中特征點有17個,17=7+5×2;所以圖④中特征點有7+5×3=22個;…【方法歸納】對于圖形規(guī)律探索題一般的解題步驟為:(1)標序數(shù):按圖號標序;(2)找關(guān)系:找后一個圖與前一個圖中所求量之間的關(guān)系(一般是通過作差或作商的形式觀察是否含有定量);(3)算結(jié)果:計算每個圖中所求量的個數(shù);(4)找規(guī)律:對求出的結(jié)果進行一定變形,使其呈現(xiàn)一定的規(guī)律;(5)歸納結(jié)果與序數(shù)之間的關(guān)系,即可得到第n個圖中所求量的個數(shù);(6)驗證:帶入序號驗證所歸納的式子是否正確.坐標變化規(guī)律(2013·湛江)如圖,所有正三角形的一邊平行于x軸,一頂點在y軸上.從內(nèi)到外,它們的邊長依次為2,4,6,8…,頂點依次用A1,A2,A3,A4,…表示,其中A1A2與x軸、底邊A1A2與A4A5,A4A5與A7A8,…均相距一個單位,則頂點A3的坐標是

,A92的坐標是

.

專題三動手操作與方案設(shè)計圖形的折疊動手操作:在矩形紙片ABCD中,AB=3,AD=5.如圖所示,折疊紙片,使點A落在BC邊上的A'處,折痕為PQ,當(dāng)點A'在BC邊上移動時,折痕的端點P,Q也隨之移動.若限定點P,Q分別在AB,AD邊上移動,則點A'在BC邊上可移動的最大距離為

.

【分析】本題關(guān)鍵在于找到兩個極端,即BA'取最大或最小值時,點P或Q的位置.經(jīng)實驗不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)點P與B重合時,BA'取最大值是3,當(dāng)點Q與D重合時(如圖),由勾股定理得A'C=4,此時BA'取最小值為1.則點A'在BC邊上移動的最大距離為3-1=2.【解】2網(wǎng)格中圖形的軸對稱、平移、位似變換的作圖與計算如圖,在平面直角坐標系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).(1)將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A1B1C;平移△ABC,若點A的對應(yīng)點A2的坐標為(0,-4),畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2;(2)若將△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2,請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標.題圖答圖【分析】(1)將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)180°,由于BC=2,則旋轉(zhuǎn)后點B與點O重合,點A1與點A關(guān)于y軸對稱,A1點坐標為(3,2),此時,連接A1C,B1C,A1B1即可;將△ABC平移后得△A2B2C2,由于點A與A2(0,-4)對應(yīng),故可知點A向右平移了3個單位,再向下平移了6個單位.可知點B、點C也同時向右平移3個單位,向下平移6個單位.連接A2B2、A2C2、B2C2即可.(2)連接A1A2、B1B2,則兩線的交點為旋轉(zhuǎn)中心,通過平行四邊形的性質(zhì)可知此交點坐標為OB2的中點坐標.專題四實際應(yīng)用型問題列方程(組)解應(yīng)用題(2013·長沙)為方便市民出行,減輕城市中心交通壓力,長沙市正在修建貫穿星城南北、東西的地鐵1,2號線.已知修建地鐵1號線24千米和2號線22千米共需投資265億元;若1號線每千米的平均造價比2號線每千米的平均造價多0.5億元.(1)求1號線、2號線每千米的平均造價分別是多少億元?(2)除1,2號線外,長沙市政府規(guī)劃到2018年還要再建91.8千米的地鐵線網(wǎng).據(jù)預(yù)算,這91.8千米地鐵線網(wǎng)每千米的平均造價是1號線每千米的平均造價的1.2倍,則還需投資多少億元?【分析】(1)題的等量關(guān)系是:①1號線、2號線的總造價是265億元;②1號線每千米的平均造價比2號線每千米的平均造價多0.5億元.(2)由第(1)題的結(jié)果直接計算.【解】(1)方法1:設(shè)1號線、2號線每千米的平均造價分別是x億元、y億元,則由題意可得解得方法2:設(shè)1號線每千米的平均造價是x億元,則2號線每千米的平均造價是(x-0.5)億元.由題意得24x+22(x-0.5)=265,解得x=6,則x-0.5=5.5.所以1號線、2號線每千米的平均造價分別為6億元、5.5億元.(2)由題意得91.8×1.2×6=660.96(億元),所以還需投資660.96億元.【方法歸納】列方程(組)解應(yīng)用題的關(guān)鍵是正確找出題目中存在的等量關(guān)系.二次函數(shù)及其最值的應(yīng)用(2013·烏魯木齊)某公司銷售一種進價為20元/個的計算器,其銷售量y(萬個)與銷售價格x(元/個)的變化如下表:價格x(元/個)…30405060…銷售量y(萬個)…5432…同時,銷售過程中的其他開支(不含進價)總計40萬元.(1)觀察并分析表中的y與x之間的對應(yīng)關(guān)系,用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識寫出y(萬個)與x(元/個)的函數(shù)解析式.(2)求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z(萬元)與銷售價格x(元/個)的函數(shù)解析式,銷售價格定為多少元時凈得利潤最大,