2008

年

4月第一章

1.1解⑴

記9件合格品分別為正

1正2?6?7正

9記不合格品為次則

Ω正

1正

2正

1正

3正

1正4?6?7正1正9正1次正2正3正2正4?6?7正2正9正2次正3正4?6?7正3正9正3次?6?7正8正9正8次正9次A正1次正2次正3次?6?7正9次⑵記2個(gè)白球分別為w1w23個(gè)黑球分別為b1b2b34個(gè)紅球分別為r1r2r3r4。則Ωw1w2b1b2b3r1r2r3r4ⅰAw1w2。ⅱBr1r2r3r4。1.2解⑴事件ABC表示該生是三年級(jí)男生但不是運(yùn)動(dòng)員。ABCC等價(jià)于CAB表示全系運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)的男生。⑶當(dāng)全系運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生時(shí)。⑷當(dāng)全系女生都在三年級(jí)而且三年級(jí)學(xué)生都是女生時(shí)。1.3解⑴1niiA22221222211nCDniCDiCDCDnCDACDCD⑶11nnijijjiAA⑷原事件即“最罕有兩個(gè)部件是合格品”可表為1nijijijAA。1.4解1—4明顯5和6的證法分別近似于課文第10—12頁(yè)1.5式和1.6式的證法。1.5解樣本點(diǎn)總數(shù)為28A8×7。所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)一定分子分母或?yàn)?1113中的兩個(gè)或246812中的一個(gè)和71113中的一個(gè)組合所以事件A“所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)”包括28A218A×15A3×22×3×52×3×6個(gè)樣本點(diǎn)。于是PA23698714。

1.6解樣本點(diǎn)總數(shù)為

5310。所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形這三條線段一定是

3、5、7

或

5、7、9。所以事件

A“所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形

”包括

3個(gè)樣本點(diǎn)于是

PA310。

17解明顯樣本點(diǎn)總數(shù)為

13事件

A“恰好構(gòu)成MATHEMATICIAN”包括3222個(gè)樣本點(diǎn)。所以3222481313PA18解任意固定紅“車(chē)”的地點(diǎn)黑“車(chē)”可處在9×10-189個(gè)不一樣地點(diǎn)當(dāng)它處于和紅“車(chē)”同行或同列的9817個(gè)地點(diǎn)之一時(shí)正好相互“吃掉”。故所求概率等于1789。19解每個(gè)乘客可在除基層外的9層中任意一層走開(kāi)電梯現(xiàn)有7位乘客所以樣本點(diǎn)總數(shù)為79。事件A“沒(méi)有兩位及兩位以上乘客在同一層走開(kāi)”和相當(dāng)于“從9層中任取7層各有一位乘客走開(kāi)電梯”。所以A包括79A個(gè)樣本點(diǎn)于是7979APA110解用A表示“牌照號(hào)碼中有數(shù)字8”明顯44991000010PA所以491110PAPA。111解1參看何聲武《概率論習(xí)題解法商討》例5。答案為1/5。2當(dāng)該數(shù)的末位數(shù)是1379之一時(shí)其四次方的末位數(shù)為1所以答案為42105。3一個(gè)正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字所以樣本空間包含210個(gè)點(diǎn)。用A表示事件“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1”則該數(shù)的最后一位數(shù)字一定是

1設(shè)最后第二位數(shù)字為

a則該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為

1和

3a

的個(gè)位數(shù)要使

3a

的個(gè)位數(shù)是1一定a7所以A所包括的樣本點(diǎn)只有71這一點(diǎn)于是1100PA。112解16根草的情況。取定一個(gè)頭它可與其余的5個(gè)頭之一相接最后將剩下的兩個(gè)頭相接故仇人而言有5·3·1種接法相同對(duì)尾也有5·3·1種接法所以樣本點(diǎn)總數(shù)為5·3·12。用A表示“6根草連接成一個(gè)環(huán)”這類(lèi)連接仇人而言仍有5·3·1種連接法而對(duì)尾而言任取一尾它只好與和它的頭未連接的另4根草的尾連接。再取另一尾它又只好和未與它的頭連接的另2根草的尾連接最后再將其余的尾連接成環(huán)故尾的連接法為4·2。所以A包括的樣本點(diǎn)數(shù)為5·3·14·2于是253142815532PA22n根草的情況和1近似得2221nPAn113解先求樣本點(diǎn)總數(shù)將N個(gè)盒子按必定序次擺列好再將n個(gè)球放入這些盒頂用ix表示第i個(gè)盒中的秋熟。樣本點(diǎn)總數(shù)等于方程120Ninnxxxx的解的個(gè)數(shù)它等于21Nnxxx的睜開(kāi)式中nx的系數(shù)而21111NNNnnxxxxx1111NnnNnxNxxn所以nx的系數(shù)為1Nnn1指定的盒中有k個(gè)球在其余N1個(gè)盒中放nk個(gè)球由上述求樣本點(diǎn)總數(shù)的結(jié)果知事件A“指定的盒中恰好有k個(gè)球”包括的樣本點(diǎn)數(shù)等于11Nnknk于是21NnknkPANnn2先求當(dāng)n≥N時(shí)勢(shì)件A“沒(méi)有空盒”的概率。A包括的樣本點(diǎn)數(shù)等于方程121Nixxxnxn的解的個(gè)數(shù)即等于2Nnxxx的睜開(kāi)式中nx的系數(shù)即11Nnxx中nNx的系數(shù)而11Nnxx1111111NNNnnnnxxxNxxN所以1111nNPANnN現(xiàn)求事件B“有m個(gè)空盒”的概率。先固定m個(gè)空盒而將n個(gè)球放入N-m個(gè)盒中且無(wú)一盒為空m個(gè)空盒的選擇有Nm種由上述結(jié)果得1111NnmNmPBNnN3用A“表示指定的m盒中正好有j個(gè)球”則另N-m個(gè)盒中有n-j個(gè)球。由1知j個(gè)球放入m盒共有11mjm種放法另n-j個(gè)球放入N-m個(gè)盒中有11NmnjNm種放法所以1111mjNmnjmnjPANnn。1.14解ACB025當(dāng)乘客在CB之間到達(dá)時(shí)候車(chē)時(shí)間不超出3分鐘所以所求概率等于CB的長(zhǎng)度35。1.15解截取CD’1nCD當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P落入CA’B’以內(nèi)時(shí)ABP與ABC的面積之比大于1nn所以所求概率等于ABCABC的面積的面積222221CDCDnCDCD21n。1.16解分別用x、y表示第一第二艘船到達(dá)泊位的時(shí)間。兩艘船到泊位時(shí)一定等候當(dāng)且僅當(dāng)0x-y20y-x1。xy落入暗影地域。所以所求概率等于A’BDD’AB’COEFCGHOBCD暗影地域的面積正方形的面積解1事件1A表示“1x位于2x和3x之間”事件2A表示“2x位于1x和3x之間”事件3A表示“3x位于1x和2x之間”由對(duì)稱(chēng)性知P1AP2AP3A.。2設(shè)線段AB的長(zhǎng)為1。A1xA2xA3x能構(gòu)成三角形當(dāng)且僅當(dāng)1x2x3x1x3x2x2x3x1x

即點(diǎn)

P落入六面體

ODEBA

以內(nèi)故所求概率等于

111313212ODEBAABCDEFOH

六面體的體積正方體的體積

OE24BFCGXYDHy-x1x-y2241.18

解分別用1A2A3A表示三角形的一個(gè)極點(diǎn)與平行線相合一條邊與平行線相合兩條邊與平行線訂交明顯P1AP2A0。所求概率等于P3A。分別用aAbAcAabAacAbcA表示邊abc二邊abacbc與平行線訂交則P3APabAacAbcA。明顯PaAPabAPacAPbAPabAPbcAPcAPacAPbcA。所以P3A12PaAPbAPcA22dabcabcd這里用到課文p.23----24例1.12的結(jié)果124解事件A表示訂甲報(bào)事件B表示訂乙報(bào)事件C表示訂丙報(bào)。E2XBC3XDFOHA1X11ACPABCPABCPABABCPABPABCPBACPBPABPBCPABCPCABPCPACPBCPAB先求3085320CBCBC_____________________所以PABCACABPABCPACPAB734PABCACBBCAPABCPACBPBCAPAB-PABCPAC-PABCPBC-PABC1085-33145PABC1-PABC1-9010125解ijiinijninpAPApApAApApApAApAnn用數(shù)學(xué)歸納法略由得1111111111nnnniijiiijninnnniijiinijnipApAApApApAApA126解用Ai表示“第i張簽沒(méi)有被抽到”i12...N。要求P1niiA。由上題1的結(jié)果先求ANNNPAANNNNNPANNNNNNPAANNpA所以111nniiNiN127解n階行列式的睜開(kāi)式中任一項(xiàng)略去符號(hào)不計(jì)都可表示為a1ia2iani當(dāng)且僅當(dāng)12n的擺列i1i2in中存在k使ikk時(shí)這一項(xiàng)包括主對(duì)角元素。用Ak表示事件“擺列中ikk”即第個(gè)主對(duì)角元素出現(xiàn)于睜開(kāi)式的某項(xiàng)中。則由題的得128解用Ai表示”第i袋的登記表及照片都裝對(duì)”則110...nPnPAAnnknkkknnnkknnknk2指定的r袋中登記表和照片裝對(duì)而其他的n-r袋中未裝對(duì)的概率等于011nrkknrnrnrknnnrk此中第一個(gè)因子表示指定的r袋中登記表裝對(duì)的概率第二個(gè)因子表示指定的

r袋中照片裝對(duì)的概率第三個(gè)因子表示其余

n-r袋中沒(méi)有一袋登記表和照片都裝對(duì)的概率用

1.所以rnnrnrPnrnn001111nrkknrkknrknrknrknrk

因?yàn)?231123nkknknnnnk1nn

所以

0011111nkknknnPnnknn

又因0001111nnkkkknknkPnnknk這是因?yàn)楫?dāng)k增添時(shí)nknk是減少的。所以0111Pnn所以0lim1nPn。明顯0101nrkrknrknrPnnrkn因lim0nnrn所以lim0rnPn。1.29解用bg分別表示男孩和女孩。則樣本空間是bbbbbgbgbgbbbgggbgggbggg此中樣本點(diǎn)依年齡大小的性別擺列。A表示“有女孩”B表示“有男孩”則AbbgbgbgbbbgggbgggbgggABbbgbgbgbbbgggbgggb。所以6/867/87PABPBAPA1.30解1設(shè)A表示“所取產(chǎn)品中最罕有一件是不合格品”B表示“所取產(chǎn)品都是不合格品”則221212112mMPABPBmPBAPAPAMmmmMmM。2設(shè)C表示“所取產(chǎn)品中最罕有一件合格品”D表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品一件不合格品”。則112211122mMmMPCDPDmPDCPCPCMmmMmMmM。1.31解設(shè)iA表示“第i個(gè)人摸到”12n。1P11kkAAA1111knkn2PkAPkkAAAA121P1AP12AAP11kkAAA12111nnnnnk1n1.32解用Ak表示“母雞生k個(gè)蛋”B表示“母雞恰好有r個(gè)下一代”則PBkkkrPAPBA1111krkrkrkrkrkrrkrkrrprpkepprkekppkrkrpperkrpeerper1.33解用Ak表示“任選一名射手為k級(jí)”k1234表示“任選一名射手能進(jìn)入決賽”則41kkkPBPAPBA解用A1表示“任取一只產(chǎn)品系甲臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)”A2表示“任取一只產(chǎn)品系乙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)”A3表示“任取一只產(chǎn)品系丙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)”B表示“任取一只產(chǎn)品正是不合格品”。則PA125PA235PA34015PBA24PBA32PBA。由Bayes公式得11131kkkPAPBAPABPAPBA2552525535440269222312869kkkPAPBAPABPAPBA333311669kkkPAPBAPABPAPBA1.35解用A1表示“任取一只機(jī)床是車(chē)床”A2表示“任取一只機(jī)床是鉆床”A3表示“任取一只機(jī)床是磨床”A4表示“任取一只機(jī)床是刨床”B表示“任取一臺(tái)機(jī)床它需要維修”。則1915PA因9311152315PA3215PA4115PA117PBAk因12317227PBAk337PBAk417PBAk此中k是比率常數(shù)。由Bayes公式得解用A1表示“朋友乘火車(chē)來(lái)”A2表示“朋友乘輪船來(lái)”A3表示“朋友乘汽車(chē)來(lái)”A4表示“朋友乘飛機(jī)來(lái)”B表示“朋友遲到了”。則。由Bayes公式得1114112kkkPAPBAPABPAPBA1.37解:1PA∪BCPAC∪BCPACPBC-PABCPAPCPBPC-PAPBPCPAPB-PAPBPCPA∪BPC2PABCPAPBPCPABPC3PA-BCPA-ABCPAC-ABCPAC-PABCPAPC-PAPBPCPA-PAPBPCPA-PABPCPA-BPC1.38解:設(shè)則4164156411PABCPCPBPAP414141641CPBPAP但是.41416411BPAPPABP1.39解:1PnkKA1nkknkkpAP1112PnkknkknkkpApA1111113PnknkjjjknknkjjjknknkjjjkppAApAA11111111.40解:一方面PAPB≥0另一方面PAPBPAB0即PAPB中最罕有一個(gè)等于0所以解1從5個(gè)人任選2人為O型共有52種可能在其余3人中任選一人為A型共有3種可能在余下的2人中任選一人為B型共有2種可能另一人為AB型所以所需求的概率等于與1近似所需求的概率等于所求概率等于解用kA表示“第k門(mén)高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)”k12...。B表示“擊中飛機(jī)”。則PkA0.6k12...。1P1AUUnA1PnkKA11取n6。最少需要6門(mén)高射炮同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈可保證99的概率擊中飛機(jī)。1.43解:1靠譜性RPABCPAPBPCCBAppp2RPAUBUC1-PCBA1-PCPBPA1-1-11CBApppPR333221111111BAppBAPBAPBAP4111122121CBADppppDPCBAPDPDCBADPR由11.44解用A表示“在成功n次以前失敗了m次”B表示“在前nm-1次試驗(yàn)中失敗了m次”C表示“第nm次試驗(yàn)成功”則PAPBCPBPCpppmnmnm111mnmnmpp111.45解用iA表示“甲盒中尚余i根火柴”jB表示“乙盒中尚余j根火柴”CD分別表示“第2n-r次在甲盒中取”“第2n-r次在乙盒中取”0ACBr表示取了2n-r次火柴且在第2n-r次是從甲盒中取的即在前2n-r-