2022-2023學(xué)年浙江省杭師大附中高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)向量平行的規(guī)則計(jì)算即可.【詳解】依題意，，；故選：C.2．橢圓上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】利用橢圓的定義可得解.【詳解】根據(jù)橢圓的定義知，，因?yàn)?，所以．故選：B.3．棱長為1的正四面體的高為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出棱長為1的正四面體，作的中心，并連接和，根據(jù)正四面體的性質(zhì)和勾股定理即可求解.【詳解】作出正四面體，設(shè)棱長為1，如圖所示：作的中心，并連接和，即是邊長為的等邊三角形，則是的外接圓半徑，所以；由正四面體的性質(zhì)可知：平面，所以正四面體的高為，又平面，所以，則，故選：D.4．已知空間中，是兩條不同直線，是平面，則（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】根據(jù)線面關(guān)系和直線與平面垂直的性質(zhì)定理逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】對于A，B，直線m，n可能平行、相交或異面，A，B錯誤；對于C，D，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理易得C正確，D錯誤，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，熟記空間中直線與平面的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題..5．是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，則直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將三條射線截取出來放在正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】如圖所示，把放在正方體中，的夾角均為．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，所以，設(shè)平面的法向量，則令，則，所以，所以．設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以．故選：D．6．平行六面體中，，則的長為（

）A．10 B． C． D．【答案】B【分析】由，兩邊平方，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，，，，，，．，，，即的長為.故選：B．7．己知三點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動，則的最大值是（

）A．144 B．88 C．72 D．32【答案】B【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，再由點(diǎn)P在圓上運(yùn)動，化簡為求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，三點(diǎn)，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上運(yùn)動，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，取的最大值88，故選：B8．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則面截此正方體所得截面面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正方體的棱是3組每組互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出截面的位置，確定截面為一個(gè)正六邊形，邊長是面的對角線的一半，求面積得結(jié)果.【詳解】正方體的所有棱，實(shí)際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，只需從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱與面所成角相等即可.在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，由正方體的對稱性，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)平行平面與中間，過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長為，如圖所示，所以其面積為，故選：B.二、多選題9．下列直線互相垂直的是（

）A．的斜率為，經(jīng)過點(diǎn)，B．的傾斜角為，經(jīng)過點(diǎn)C．經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)D．的斜率為2，經(jīng)過點(diǎn)【答案】ABC【分析】由傾斜角與斜率的關(guān)系求出直線斜率，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線斜率，分別判斷兩直線斜率之積是否為，從而可選出正確答案.【詳解】的斜率為，因?yàn)?，所以成立，故A正確；的斜率為，的斜率為，由，則成立，故B正確；的斜率為，的斜率為，由則成立，故C正確；的斜率為，由，所以不成立，故D錯誤.故選：ABC．10．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得出，再由焦點(diǎn)在軸上得出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，所以，故，因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓焦點(diǎn)為和.故選：AB11．在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)到直線的距離為 B．直線到直線的距離為C．點(diǎn)到平面的距離為 D．直線到平面的距離為【答案】BD【分析】建立坐標(biāo)系，求出向量在單位向量上的投影，結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)到直線的距離，判斷A；先證明再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解，判斷B；求解平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解，判斷C；把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，利用法向量進(jìn)行求解，判斷D.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)?，所?所以點(diǎn)到直線的距離為，故A錯誤；因?yàn)樗裕此渣c(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，，所以直線到直線的距離為，故B正確；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，.由令，則，即.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為，故C錯誤；因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離.，由（3）得平面的一個(gè)法向量為，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為，故D正確.故選：BD12．己知，圓上恰有兩點(diǎn)M，N使得的面積為4，則r的可能取值為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】AB【分析】求出的值，得出兩點(diǎn)到直線的距離，寫出的直線方程，根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線的距離，求出的取值范圍，即可得答案.【詳解】由題意可得，因?yàn)榈拿娣e為4，所以兩點(diǎn)到直線的距離均為，因?yàn)?，所以直線的方程為，即，若圓上只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離為，解得，若圓上只有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離為，解得，所以當(dāng)時(shí)，圓上恰有兩點(diǎn)M，N使得的面積為4，所以AB選項(xiàng)滿足，CD不滿足，故選：AB.三、填空題13．過點(diǎn)P（2，3）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是______【答案】或【分析】分別求直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)的方程即可.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)為，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，解得，故直線為.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)為，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，解得，即直線為.綜上直線方程為或.故答案為：或14．已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的比為，則點(diǎn)的軌跡方程為_____．【答案】【分析】本題首先可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式寫出點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離，最后通過距離的比為即可列出算式并得出結(jié)果．【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的比為，所以，，，，化簡得，故點(diǎn)的軌跡方程為．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，能否明確題目中所給出的條件并通過相關(guān)公式將其展示出來是解決本題的關(guān)鍵，考查兩點(diǎn)間距離公式，是基礎(chǔ)題．15．曲線圍成的圖形的面積是__________．【答案】【詳解】當(dāng)，時(shí)，已知方程是，即．它對應(yīng)的曲線是第一象限內(nèi)半圓?。òǘ它c(diǎn)），它的圓心為，半徑為.同理，當(dāng)，；，；，時(shí)對應(yīng)的曲線都是半圓?。ㄈ鐖D）．它所圍成的面積是.

故答案為16．設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，則橢圓C的離心率的取值范圍是_______________.【答案】【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為E,連AE,BE,依題意可得四邊形AEFB為矩形,根據(jù)橢圓定義,勾股定理以及已知不等式列式可解得.【詳解】畫出圖形設(shè)左焦點(diǎn)為E，連接AE，BE,依據(jù)題意可得四邊形AEFB為矩形故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的對稱性和平面向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的知識,求出橢圓離心率的解析式,再求得離心率的取值范圍，屬于一般性題目。四、解答題17．平行四邊形的四邊所在的直線分別是：，，(1)求直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求平行四邊形的面積．【答案】(1)；(2)9.【分析】（1）聯(lián)立直線方程求出交點(diǎn)的坐標(biāo);（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出一條邊的長度，再根據(jù)兩平行直線之間的距離公式可求平行四邊形的高，從而求得平行四邊形的面積．【詳解】（1）設(shè)和的交點(diǎn)為A，由，解得；（2）如圖，易知∥，∥，設(shè)和的交點(diǎn)為B，由，解得，由（1）知，∴．與的距離，∴平行四邊形的面積為．18．如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上，且．（1）求證：；（2）求EF與C1G所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，直接利用向量法證明；（2）直接利用向量法求EF與CG所成角的余弦值【詳解】（1）建立以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，則，，所以，即，所以.（2）由（1）知，，，則，因?yàn)镋F與CG所成角的范圍為，所以其夾角余弦值為.19．（1）圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)，求圓C的方程；（2）圓C經(jīng)過三點(diǎn)，求圓C的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的中垂線方程，再求出其與x軸的交點(diǎn)，從而可得圓心坐標(biāo)，然后可求出圓的半徑，進(jìn)而可求出圓的方程；（2）設(shè)圓的方程為，然后將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出的值，從而可求出圓的方程.【詳解】（1）的中點(diǎn)為，因?yàn)椋跃€段的中垂線的斜率為，所以線段的中垂線的方程為，當(dāng)時(shí)，，則圓心為，所以圓的半徑為，所以所求圓的方程為；（2）設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為.20．四棱柱中，底面為正方形，面，點(diǎn)M，N，Q分別為棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面∥平面；(2)若，棱上存在點(diǎn)P，使得二面角的余弦值為，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先證明分別與面平行，再由面面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）∵分別為棱中點(diǎn)，，，四邊形MQBD為平行四邊形，，又平面，平面，平面，∵N為棱AD的中點(diǎn)，，又，，∵平面，平面，平面.又，平面，平面∥平面.（2）由題意知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，方向分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)（），，則，故，，設(shè)，則由可得，，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，設(shè)平面MNQ的一個(gè)法向量為，則，取，則，由題知，解得或（與矛盾，舍去），故，即.21．已知點(diǎn)，圓上存在點(diǎn)M．(1)求的最小值；(2)點(diǎn)M滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1);(2).【分析】（1）判斷點(diǎn)A在圓外，再由圓的幾何性質(zhì)得出的最小值；（2）求出點(diǎn)M的軌跡方程，再由兩圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閳A的圓心，半徑為，所以，即點(diǎn)在圓C外部，又點(diǎn)M在圓C上，所以，當(dāng)時(shí)等號成立，即的最小值為.（2）設(shè)，因?yàn)?，圓上存在點(diǎn)，滿足條件，所以，即，所以點(diǎn)在圓心為，半徑為的圓上，又點(diǎn)在圓上，所以圓與圓有公共點(diǎn)，因?yàn)閳A的圓心，半徑為，所以，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．設(shè)橢圓左右焦點(diǎn)為上頂點(diǎn)為,離心率為且.（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)是軸正半軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)任作直線與相交于兩點(diǎn)，如果，是定值，試確定點(diǎn)的位置，并求的最大值.【答案】(1