2022-2023學(xué)年福建省永春第一中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列是（

）A．以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 B．以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列C．以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 D．以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列【答案】A【分析】由通項(xiàng)公式可知，這是等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的定義求出首項(xiàng)和公比即可.【詳解】因?yàn)?，，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.故選：A2．已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)線線平行公式可得，再根據(jù)平行線間的距離公式求解即可.【詳解】直線與直線平行，∴，解得，故直線為直線，化簡得，∴它們之間的距離為．故選：B．3．設(shè)點(diǎn)是關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)特點(diǎn)得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可得.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)是關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)，所以所以.故選：A.4．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，為的重心，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線焦半徑公式和重心的坐標(biāo)表示可直接求得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知：；設(shè)，，，則；為的重心，，則，.故選：C.5．關(guān)于的方程有唯一解，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與只有一個(gè)交點(diǎn)，然后利用數(shù)形結(jié)合處理．【詳解】因?yàn)榉匠逃形ㄒ唤?，即有唯一解，即與的圖象有唯一交點(diǎn)，又，即表示圓心為，半徑為1的上半圓（包括和，而是過定點(diǎn)的直線，如圖：當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離公式得：，解得又，由圖象可知，當(dāng)或或時(shí)，與的圖象有唯一交點(diǎn)．故選：D6．已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由結(jié)合求出，從而求得，由此求出的表達(dá)式，利用基本不等式即可求得答案．【詳解】各項(xiàng)為正的數(shù)列，，時(shí)，，即，化為：，，，又，解得，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為2．故選：D．7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段的中點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】由題意可得為直角三角形，再結(jié)合A為線段的中點(diǎn)，可得AO垂直平分，可表示出直線，再聯(lián)立漸近線方程可以得到，，的關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線離心率【詳解】由題意可知，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)分別在第二和第三象限時(shí)不符合，A為線段的中點(diǎn)，當(dāng)交點(diǎn)在軸上方或軸下方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性結(jié)果是一樣的，選擇一種即可，如圖.根據(jù)雙曲線可得，，，兩條漸近線方程，，為的中點(diǎn)，，又A為線段BF1的中點(diǎn)，垂直平分，可設(shè)直線為①，直線為②，直線為③，由②③得，交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)還在直線上，，可得，，所以雙曲線C的離心率，故選：B8．在正三棱柱中，所有棱長之和為定值，當(dāng)正三棱柱外接球的表面積取得最小值時(shí)，正三棱柱的側(cè)面積為（

）A．12 B．16 C．24 D．18【答案】D【分析】根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)、正弦定理、二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合球的性質(zhì)、球的表面積公式、棱柱的側(cè)面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，，為正實(shí)數(shù)，設(shè)，為正常數(shù)，，設(shè)正三棱柱外接球的半徑為，底面外接圓半徑為，由正弦定理得，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以正三棱柱外接球的表面積的最小值，．則，此時(shí)正三棱柱的側(cè)面積為．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用二次函數(shù)的項(xiàng)點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、多選題9．已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C．直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)D．若圓與圓恰有三條公切線，則【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，將直線變形，即可得到直線過的定點(diǎn).B選項(xiàng)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，可得到結(jié)果.C選項(xiàng)，由定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可求解.D選項(xiàng)，由公切線條數(shù)可確定兩圓位置關(guān)系，根據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系來求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線，所以，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線為：，則圓心到直線的距離為，，所以圓上只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn).故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，由圓的方程可得，，所以圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，則，解得，故D選項(xiàng)正確.故選：AD10．已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，則的值可能是（

）A． B． C．6 D．36【答案】AD【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程，分情況明確，結(jié)合長軸長與短軸長的定義，建立方程，可得答案.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，則，，由題意，，可得，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，，由題意，，可得，解得，符合題意.故選：AD.11．已知正方體棱長為，為棱的中點(diǎn)，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在唯一點(diǎn)，使得C．當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡長度為D．當(dāng)為底面的中心時(shí)，三棱錐的外接球體積為【答案】BCD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，由可知A錯(cuò)誤；利用向量垂直的坐標(biāo)表示可求得時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)點(diǎn)的軌跡方程，可知BC正確；根據(jù)垂直關(guān)系可知三棱錐外接球球心為中點(diǎn)，半徑為，由球的體積公式可求得D正確.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得：，即，，即存在點(diǎn)，使得，B正確；對(duì)于C，，，由得：，即，點(diǎn)軌跡是連接棱中點(diǎn)與棱中點(diǎn)的線段，其長度為線段的一半，點(diǎn)軌跡長為，C正確；對(duì)于D，平面，平面，，由B知：，中點(diǎn)到的距離相等，即三棱錐外接球球心為中點(diǎn)，半徑為，三棱錐外接球體積，D正確.故選：BCD.12．將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣：……已知從第二行開始每一行比上一行多兩項(xiàng)，第一列數(shù)成等差數(shù)列，且．從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則（）A． B．在第85列 C． D．【答案】ACD【分析】由已知，根據(jù)條件，選項(xiàng)A，設(shè)第一列數(shù)所組成的等差數(shù)列公差為d，根據(jù)求解公差，然后再求解即可驗(yàn)證；根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律，先計(jì)算第行共有項(xiàng)，然后再總結(jié)前行共有項(xiàng)，先計(jì)算前44行共有項(xiàng)，然后用，即可判斷選項(xiàng)B；選項(xiàng)D，先計(jì)算第一列數(shù)所組成的等差數(shù)列第行的第一項(xiàng)為：，然后再根據(jù)每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解通項(xiàng)；選項(xiàng)C，先表示出，，然后可令、，分別判斷數(shù)列的單調(diào)性，求解出對(duì)應(yīng)的最大值與最小值，比較即可判斷.【詳解】由已知，第一列數(shù)成等差數(shù)列，且，設(shè)第一列數(shù)所組成的等差數(shù)列公差為d，則，所以，選項(xiàng)A正確；第一行共有1項(xiàng)，第二行共有3項(xiàng)，第三行共有5項(xiàng)，，第行共有項(xiàng)，所以前一行共有項(xiàng)，前二行共有項(xiàng)，前三行共有項(xiàng)，，前行共有項(xiàng)，所以前44行共有項(xiàng)，而，所以位于第45行86列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；第一列數(shù)所組成的等差數(shù)列第行的第一項(xiàng)為：，且每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，所以第行的數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，故選項(xiàng)D正確；因?yàn)榈谝涣袛?shù)所組成的等差數(shù)列第行的第一項(xiàng)為：，所以，令，所以，當(dāng)且時(shí)，，所以，所以，而令，在上單調(diào)遞增，所以，所以成立，選項(xiàng)C正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】在處理等差等比數(shù)列交叉的數(shù)陣問題時(shí)，可根據(jù)條件說明，或者數(shù)陣行、列的規(guī)律總結(jié)、類比出等差、等比數(shù)列，需要注意的是，不要把求通項(xiàng)和求和的式子混淆了.三、填空題13．在等差數(shù)列中，如果前5項(xiàng)的和為，那么等于______．【答案】4【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)求解即可.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列前5項(xiàng)的和，所以，所以故答案為：414．已知直線過點(diǎn)，它的一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)到直線AB的距離為___________.【答案】2【分析】利用空間中點(diǎn)到直線的距離公式求解即可【詳解】因?yàn)?，，點(diǎn)到直線AB方向上的投影為，所以點(diǎn)到直線AB的距離為，故答案為：215．設(shè)，其中，，，成公差為d的等差數(shù)列，，，成公比為3的等比數(shù)列，則d的最小值為______.【答案】【分析】由已知利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)可知，進(jìn)而得解.【詳解】，設(shè)，則又，，，成公差為d的等差數(shù)列，，，成公比為3的等比數(shù)列，即，可得，只需即可，所以.當(dāng)m取最小值時(shí)，由不等式組得，故d的最小值為.故答案為：四、雙空題16．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程___________.若過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，則面積的最大值___________.【答案】

【分析】根據(jù)題意計(jì)算得到，得到橢圓方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，，表示出，換元，計(jì)算可解得答案.【詳解】依題意有解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是;由題意直線的斜率不能為，設(shè)直線的方程為，由方程組得，設(shè)，，所以，，所以，所以，令（），則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值為.故答案為：，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.五、解答題17．若是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式列方程求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法，可求和.【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，，所以，整理得：，解得.故.（2）由（1）得：，.18．如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）依題意可得，再由，即可得到，從而得證；（2）由題意，利用等體積法，通過計(jì)算三棱錐的體積，可得答案．【詳解】（1）證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，又，所以，平面，平面，所以平面．（2）解：因?yàn)榈酌?，，，所以，，，所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，則，解得．19．已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，．(1)求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由圓與直線相切結(jié)合點(diǎn)線距離公式可得半徑，即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別討論直線l與x軸垂直與否，設(shè)出直線方程，結(jié)合垂徑定理、點(diǎn)線距離公式列方程即可解得參數(shù).【詳解】（1）設(shè)圓A半徑為R，由圓與直線相切得，∴圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）i.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，即，此時(shí)，符合題意；ii.當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)方程為，即，Q是MN的中點(diǎn)，，∴，即，解得，∴直線l為：.∴直線l的方程為或.20．如圖，在四棱椎中，底面為平行四邊形，平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且.(1)若，求直線與平面所成角的正弦值；(2)若直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，從而求得平面的法向量與，由此可求得直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)，從而分別求得平面與平面的法向量與及，從而由題意條件求得，進(jìn)而可求得平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，即，又因?yàn)槠矫?，所以，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為..（2）設(shè)，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，故，易得平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，即，解得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，因?yàn)?，所以，則，故，即.所以平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍為.21．已知數(shù)列滿足，，.(1)若，寫出所有可能的值；(2)若數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，求的值；(3)若，且是嚴(yán)格遞增數(shù)列，是嚴(yán)格遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)；(2)；(3)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，先求，再求，再求，可得答案；（2）由，計(jì)算得，，根據(jù)，，成等差數(shù)列，構(gòu)造方程可解得的值；（3）由是嚴(yán)格遞增數(shù)列，是嚴(yán)格遞減數(shù)列，推導(dǎo)可得，累加后得到和，根據(jù)的值，討論可得答案.【詳解】（1）由題意，可得或，若，則，所以或，若，則，所以或，故或或，若，則，所以或，若，則，所以或，若，則，所以或，綜上，有可能的值為；（2）因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以.而，所以，，又，，成等差數(shù)列，所以，代入整理得.解得或，當(dāng)時(shí)，，這與是嚴(yán)格遞增數(shù)列矛盾，所以；（3）因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，所以，①但，，，所以②由①，②知，，所以，③因?yàn)槭沁f減數(shù)列，同理可得，所以，④聯(lián)立③，④得，相加可得，累加得于是由③得，.即，故，且所以由，得或，于是當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，其中.【點(diǎn)睛】本題為帶絕對(duì)值的遞推公式求通項(xiàng)公式的綜合問題，第一問求，根據(jù)絕對(duì)值的含義，按部就班，逐步討論，先求，再求，再求，第三問，根據(jù)是嚴(yán)格遞增數(shù)列，是嚴(yán)格遞減數(shù)列，得到，進(jìn)行累加得是解題的關(guān)鍵.22．已知拋物線C：，點(diǎn).(1)設(shè)斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為，求直線l的方程；(2)是否存在定圓M：，使得過曲線C上任意一點(diǎn)Q作圓M的兩條切線，與曲線C交于另外兩點(diǎn)A，B時(shí)，總有直線AB也與圓M相切？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切．【分析】（1）設(shè)直線的