第三節(jié)

斐波那契數(shù)列與黃金分割1我們先來做一個游戲！2十秒鐘加數(shù)請用十秒，計(jì)算出左邊一列數(shù)的和。 1

2

3

5

8

13

21

34

55

+ 89 ??時間到！答案是231。3十秒鐘加數(shù)再來一次！ 34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????時間到！答案是6710。4這與“斐波那契數(shù)列”有關(guān)若一個數(shù)列，前兩項(xiàng)等于1，而從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)是其前兩項(xiàng)之和，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列。即：1,1,2,3,5,8,13,……5

一、兔子問題和斐波那契數(shù)列

1．兔子問題1）問題——取自意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算盤書》（1202年）

(L.Fibonacci,1170-1250）

6兔子問題假設(shè)一對初生兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那么，由一對初生兔子開始，12個月后會有多少對兔子呢？7解答

1月

1對8解答

1月 1對

2月 1對9解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對10解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對11解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對

5月 5對12解答

1月 1對

2月 1對

3月 2對

4月 3對 5月 5對

6月 8對13解答

1月 1對

2月 1對 3月 2對

4月 3對

5月 5對

6月 8對

7月 13對14解答可以將結(jié)果以列表形式給出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契問題的答案是144對。以上數(shù)列，即“斐波那契數(shù)列”15

兔子問題的另外一種提法：第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔對數(shù)1123581321345589144小兔對數(shù)01123581321345589

到十二月時有大兔子144對，小兔子89對，共有兔子144+89=233對。規(guī)律16

2．斐波那契數(shù)列1）公式用表示第個月大兔子的對數(shù)，則有二階遞推公式

17

2）斐波那契數(shù)列令n=1,2,3,…依次寫出數(shù)列，就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…這就是斐波那契數(shù)列。其中的任一個數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。

18[思]：請構(gòu)造一個3階遞推公式。19

二、相關(guān)的問題

斐波那契數(shù)列是從兔子問題中抽象出來的，如果它在其它方面沒有應(yīng)用，它就不會有強(qiáng)大的生命力。發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列確實(shí)在許多問題中出現(xiàn)。201．跳格游戲

21如圖，一個人站在“梯子格”的起點(diǎn)處向上跳，從格外只能進(jìn)入第1格，從格中，每次可向上跳一格或兩格，問：可以用多少種方法，跳到第n格？解：設(shè)跳到第n格的方法有種。由于他跳入第1格，只有一種方法；跳入第2格，必須先跳入第1格，所以也只有一種方法，從而22

而能一次跳入第n格的，只有第和第兩格，因此，跳入第格的方法數(shù)，是跳入第格的方法數(shù)，加上跳入第格的方法數(shù)之和。即。綜合得遞推公式

容易算出，跳格數(shù)列就是斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…232．連分?jǐn)?shù)

這不是一個普通的分?jǐn)?shù)，而是一個分母上有無窮多個“1”的繁分?jǐn)?shù)，我們通常稱這樣的分?jǐn)?shù)為“連分?jǐn)?shù)”。24

上述連分?jǐn)?shù)可以看作是中，把的表達(dá)式反復(fù)代入等號右端得到的；例如，第一次代入得到的是

反復(fù)迭代，就得到上述連分?jǐn)?shù)。25上述這一全部由1構(gòu)成的連分?jǐn)?shù)，

是最簡單的一個連分?jǐn)?shù)。26

通常，求連分?jǐn)?shù)的值，如同求無理數(shù)的值一樣，我們常常需要求它的近似值。如果把該連分?jǐn)?shù)從第條分?jǐn)?shù)線截住，即把第條分?jǐn)?shù)線上、下的部分都刪去，就得到該連分?jǐn)?shù)的第次近似值，記作。27對照可算得

28發(fā)現(xiàn)規(guī)律后可以改一種方法算，

例如順序排起來，這個連分?jǐn)?shù)的近似值逐次為

293．黃金矩形1）定義：一個矩形，如果從中裁去一個最大的正方形，剩下的矩形的寬與長之比，與原矩形的一樣（即剩下的矩形與原矩形相似），則稱具有這種寬與長之比的矩形為黃金矩形。黃金矩形可以用上述方法無限地分割下去。3031

2）試求黃金矩形的寬與長之比（也稱為黃金比）解：設(shè)黃金比為，則有將變形為，解得，其正根為。

323）與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系

為討論黃金矩形與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系，我們把黃金比化為連分?jǐn)?shù)，去求黃金比的近似值。化連分?jǐn)?shù)時，沿用剛才“迭代”的思路：

33

反復(fù)迭代，得

34它竟然與我們在上段中研究的連分?jǐn)?shù)一樣！因此，黃金比的近似值寫成分?jǐn)?shù)表達(dá)的數(shù)列，也是，其分子、分母都由斐波那契數(shù)列構(gòu)成。并且，這一數(shù)列的極限就是黃金比。35三、黃金分割

1．定義：把任一線段分割成兩段，使，這樣的分割叫黃金分割，這樣的比值叫黃金比。（可以有兩個分割點(diǎn)）1小段大段362．求黃金比解：設(shè)黃金比為，不妨設(shè)全段長為1，則大段=，小段=。故有，

解得，其正根為AB

小段大段37

3．黃金分割的尺規(guī)作圖

設(shè)線段為。作，且，連。作交于，再作交于，則，即為的黃金分割點(diǎn)。38證：不妨令，則，，，

證完。394.黃金分割的美黃金分割之所以稱為“黃金”分割，是比喻這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的因素之一。認(rèn)為它表現(xiàn)了恰到好處的“合諧”。例如:401）人體各部分的比肚臍：（頭—腳）印堂穴：（口—頭頂）肘關(guān)節(jié)：（肩—中指尖）膝蓋：（髖關(guān)節(jié)—足尖）412）著名建筑物中各部分的比

如埃及的金字塔，高（137米）與底邊長（227米）之比為0.629古希臘的巴特農(nóng)神殿，塔高與工作廳高之比為340∶553≈0.61542

3）美觀矩形的寬長比如國旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具）

4）風(fēng)景照片中，地平線位置的安排

435）正五角星中的比

446）舞臺報(bào)幕者的最佳站位在整個舞臺寬度的0.618處較美7）小說、戲劇的高潮出現(xiàn)

在整個作品的0.618處較好45

四、優(yōu)選法

1．華羅庚的優(yōu)選法（“0.618法”）二十世紀(jì)六十年代，華羅庚創(chuàng)造了并證明了優(yōu)選法，還用很大的精力去推廣優(yōu)選法。“優(yōu)選法”，即對某類單因素問題，用最少的試驗(yàn)次數(shù)找到“最佳點(diǎn)”的方法。46

例如，煉鋼時要摻入某種化學(xué)元素加大鋼的強(qiáng)度，摻入多少最合適？假定已經(jīng)知道每噸鋼加入該化學(xué)元素的數(shù)量大約應(yīng)在1000克到2000克之間，現(xiàn)求最佳加入量，誤差不得超過1克。最“笨”的方法是分別加入100克，1002克，…，1000克，做1千次試驗(yàn)，就能發(fā)現(xiàn)最佳方案。47

一種動腦筋的辦法是二分法，取1000克2000克的中點(diǎn)1500克。再取進(jìn)一步二分法的中點(diǎn)1250克與1750克，分別做兩次試驗(yàn)。如果1750克處效果較差，就刪去1750克到2000克的一段，如果1250克處效果較差，就刪去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中點(diǎn)做試驗(yàn)，比較效果決定下一次的取舍，這種“二分法”會不斷接近最好點(diǎn)，而且所用的試驗(yàn)次數(shù)與上法相比，大大減少。48表面上看來，似乎這就是最好的方法。但華羅庚證明了，每次取中點(diǎn)的試驗(yàn)方法并不是最好的方法；每次取試驗(yàn)區(qū)間的0.618處去做試驗(yàn)的方法，才是最好的，稱之為“優(yōu)選法”或“0.618法”。華羅庚證明了，這可以用較少的試驗(yàn)次數(shù)，較快地逼近最佳方案。492．黃金分割點(diǎn)的再生性和“折紙法”

①黃金分割點(diǎn)的再生性50即：如果是的黃金分割點(diǎn)，是的黃金分割點(diǎn)，與當(dāng)然關(guān)于中點(diǎn)對稱。特殊的是，又恰是的黃金分割點(diǎn)。同樣，如果是的黃金分割點(diǎn)，則又恰是的黃金分割點(diǎn)，等等，一直延續(xù)下去。再生51

②尋找最優(yōu)方案的“折紙法”

根據(jù)黃金分割點(diǎn)的再生性，我們可以設(shè)計(jì)一種直觀的優(yōu)選法——“折紙法”。仍以上邊“在鋼水中添加某種元素”的問題為例。

52

用一個有刻度的紙條表達(dá)1000克—2000克。在這紙條長度的0.618的地方劃一條線，在這條線所指示的刻度上做一次試驗(yàn)，也就是按1618克做第一次試驗(yàn)。然后把紙條對折，前一條線落在下一層紙的地方，再劃一條線（黃金分割點(diǎn)），這條線在1382克處，再按1382克做第二次試驗(yàn)。53

把兩次試驗(yàn)結(jié)果比較，如果1618克的效果較差，我們就把1618克以外的短的一段紙條剪去（如果1382克的效果較差，就把1382克以外的一段紙條剪去）。再把剩下的紙條對折，紙條上剩下的那條線落在下一層紙的地方，再劃一條線（黃金分割點(diǎn)），這條線在1236克處。54按1236克做第三次試驗(yàn)，再和1382克的試驗(yàn)效果比較，如果1236克的效果較差，我們就把1236克以外的短的一段紙條剪去。再對折剩下的紙條，找出第四次試驗(yàn)點(diǎn)是1472克。

55按1472克做試驗(yàn)后，與1382克的效果比較，再剪去效果較差點(diǎn)以外的短的一段紙條，再對折尋找下一次試驗(yàn)點(diǎn)，一次比一次接近我們的需要，直到達(dá)到我們滿意的精確度。56

注意，每次剪掉的都是效果較差點(diǎn)以外的短紙條，保留下的是效果較好的部分，而每次留下紙條的長度是上次長度的0.618倍。因此，紙條的長度按0.618的k次方倍逐次減小，以指數(shù)函數(shù)的速度迅速趨于0。所以，“0.618法”可以較快地找到滿意的點(diǎn)。事實(shí)上，當(dāng)紙條長度已經(jīng)很小時，紙條上的任一個點(diǎn)都可以作為“滿意”的點(diǎn)了，因?yàn)樽顑?yōu)點(diǎn)就在紙條上，你取的點(diǎn)與最優(yōu)點(diǎn)的誤差一定小于紙條的長。570.618這個“黃金比”能產(chǎn)生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。583．最優(yōu)化數(shù)學(xué)

生活和生產(chǎn)中提出了大量的優(yōu)化問題，它們共同的追求目標(biāo)是：最多、最快、最好、最省。這發(fā)展成一門“最優(yōu)化數(shù)學(xué)”，包括規(guī)化論（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)則、隨機(jī)規(guī)劃等）、統(tǒng)籌學(xué)、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（優(yōu)選法、多因素正交實(shí)驗(yàn)法、分批實(shí)驗(yàn)法），組合最優(yōu)化等等。59

用導(dǎo)數(shù)的方法求極值是用連續(xù)的手段處理最優(yōu)化問題，優(yōu)選法“0.618法”則是用離散的手段處理最優(yōu)化問題。應(yīng)當(dāng)看到，提出和解決最優(yōu)化問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用到實(shí)踐中去的一條經(jīng)常的重要的途徑。我們以后將要做的“找次品”趣題，也是要最大限度地發(fā)揮天平的作用，用最少的次數(shù)找出次品來，也是一個最優(yōu)化問題。60五、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美數(shù)學(xué)中，“從不同的范疇，不同的途徑，得到同一個結(jié)果”的情形是屢見不鮮的。這反映了客觀世界的多樣性和統(tǒng)一性，也反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。黃金分割點(diǎn)0.618的得到，是一個能說明問題的例子61

從不同途徑導(dǎo)出黃金比

1．黃金分割：線段的分割點(diǎn)滿足

，這一比值正是。

2．斐波那契數(shù)列組成的分?jǐn)?shù)數(shù)列的極限正是。62

3．方程的正根是4．黃金矩形的寬長之比正是5．連分?jǐn)?shù)的值正是6．優(yōu)選法的試驗(yàn)點(diǎn)，正是

我們看到了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。63

六、斐波那契協(xié)會和《斐波那契季刊》

1．斐波那契協(xié)會和《斐波那契季刊》

斐波那契1202年在《算盤書》中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并沒有進(jìn)一步探討此序列，并且在19世紀(jì)初以前，也沒有人認(rèn)真研究過它。沒想到過了幾百年之后，十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)，這一問題派生出廣泛的應(yīng)用，從而突然活躍起來，成為熱門的研究課題。64

有人比喻說，“有關(guān)斐波那契數(shù)列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長得還快”，以致1963年成立了斐波那契協(xié)會，還出版了《斐波那契季刊》。

652．斐波那契生平斐波那契（Fibonacci.L,1175—1250）出生于意大利的比薩。他小時候就對算術(shù)很有興趣。后來，他父親帶他旅行到埃及、敘利亞、希臘（拜占庭）、西西里和普羅旺斯，他又接觸到東方國家的數(shù)學(xué)。斐波那契確信印度—阿拉伯計(jì)算方法在實(shí)用上的優(yōu)越性。1202年，在回到家里不久，他發(fā)表了著名的《算盤書》。66

斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重視，因而被邀請到宮廷參加數(shù)學(xué)競賽。他還曾向官吏和市民講授計(jì)算方法。他的最重要的成果在不定分析和數(shù)論方面，除了《算盤書》外，保存下來的還有《實(shí)用幾何》等四部著作。673．自然界中的斐波那契數(shù)

斐波那契數(shù)列中的任一個數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。斐波那契數(shù)是大自然的一個基本模式，它出現(xiàn)在許多場合。下面舉幾個例子。68

1）花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)

大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)。例如，蘭花、茉利花、百合花有3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，紫菀屬植物有21個花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個花瓣。69花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目海棠（2）鐵蘭（3）70洋紫荊（5）蝴蝶蘭（5）黃蟬（5）花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目71花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目雛菊（13）雛菊（13）722）樹杈的數(shù)向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)74

75向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線排列的，有順時針轉(zhuǎn)和逆時針轉(zhuǎn)的兩組對數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個斐波那契數(shù)。76松果種子的排列77松果種子的排列78松果種子的排列79菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）80這一模式幾個世紀(jì)前已被注意到，此后曾被廣泛研究，但真正滿意的解釋直到1993年才給出。這種解釋是：這是植物生長的動力學(xué)特性造成的；相鄰器官原基之間的夾角是黃金角——137.50776度；這使種子的堆集效率達(dá)到最高。81

4）斐波那契數(shù)與音樂32538285834．科學(xué)中的斐波那契數(shù)列

1）電路中的斐波那契數(shù)列如下圖那樣專門設(shè)計(jì)的電路，表示的都是1歐姆的電阻，最后一個分支中的電流為1安培，則加在電阻上的電壓（從右至左）恰好是斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…84加在電阻上的電壓，從右至左，恰是斐波那契數(shù)列

1，1，2，3，5，8，13，21,…………85

2）通過面對面的玻璃板的斜光線的

不同路線條數(shù)

反射次數(shù)為0的光線以唯一的一種路線通過玻璃板；反射次數(shù)為1的光線可以以2種路線通過玻璃板；反射次數(shù)為2的光線可以以3種路線通過玻璃板；反射次數(shù)為3的光線可以以5種路線通過玻璃板；反射次數(shù)為的光線可以以種路線通過玻璃板；86

3）股票指數(shù)增減的“波浪理論”

①完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相繼兩斐波那契數(shù)；②每次股指增長幅度（8，13等）或回調(diào)幅度（8，5），常是相繼兩斐波那契數(shù)。股指變化有無規(guī)律？回答是肯定的。8788

1934年美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家艾略特在通過大量資料分析、研究后，發(fā)現(xiàn)了股指增減的微妙規(guī)律，并提出了頗有影響的“波浪理論”。該理論認(rèn)為：股指波動的一個完整過程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的5（或8）個波組成，其中3上2下（或5上3下），如圖，無論從小波還是從大波波形上看，均如此。注意這兒的2、3、5、8均系斐波那契數(shù)列中的數(shù)。89同時，每次股指的增長幅度常循斐波那契數(shù)列中數(shù)字規(guī)律完成。比如：如果某日股指上升8點(diǎn)，則股指下一次攀升點(diǎn)數(shù)為13；若股指回調(diào)，其幅度應(yīng)在5點(diǎn)左右。顯然，5、8、13為斐氏數(shù)列的相鄰三項(xiàng)。9091可以說，斐波那契以他的兔子問題，猜中了大自然的奧秘，而斐波那契數(shù)列的種種應(yīng)用，是這個奧秘的不同體現(xiàn)。妙哉數(shù)學(xué)！925．推廣的斐波那契數(shù)列—盧卡斯數(shù)列

1）盧卡斯數(shù)列盧卡斯（Lucas，F(xiàn).E.A.1824-1891）構(gòu)造了一類更值得研究的數(shù)列，現(xiàn)被稱為“推廣的斐波那契數(shù)列”，93即從任何兩個正整數(shù)開始，往后的每一個數(shù)是其前兩個數(shù)之和，由此構(gòu)成無窮數(shù)列。此即，二階遞推公式中，遞推式與前面一樣，而起始整數(shù)可任取。94

斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，…是這類數(shù)列中最簡單的一個，起始整數(shù)分別取為1、1。次簡單的為1，3，4，7，11，18，…現(xiàn)稱之為盧卡斯數(shù)列。盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式是

95

推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列一樣，與黃金分割有密切的聯(lián)系：該數(shù)列相鄰兩數(shù)之比，交替地大于或小于黃金比；并且，兩數(shù)之比的差隨項(xiàng)數(shù)的增加而越來越小，趨近于0，從而這個比存在極限；而且這個比的極限也是黃金比。

96類似于前面提到的數(shù)列

其極限也是972）用斐波那契數(shù)列及其推廣變魔術(shù)

①讓觀眾從你寫出的斐波那契數(shù)列中任意選定連續(xù)的十個數(shù)，你能很快說出這些數(shù)的和。

其實(shí)有公式：這個和，就是所選出的十個數(shù)中第七個數(shù)的11倍。1123581321345589144233377610987…98“十秒鐘加數(shù)”的秘密數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：連續(xù)10個斐波那契數(shù)之和，必定等于第7個數(shù)的11倍！ 1

2

3

5

8

13

21

34

55

+ 89 ??所以右式的答案是： 2111=23199“十秒鐘加數(shù)”的秘密又例如：右式的答案是： 34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ???? 61011=6710100

②讓觀眾從你寫出推廣的斐波那契數(shù)列中任何地方劃一條線，你能迅速說出“這條線之前所有各數(shù)”的和。其實(shí)有公式：前項(xiàng)和=表示盧卡斯數(shù)列的第項(xiàng)。

(請大家課下自己制作)101

6．斐波那契數(shù)列的一些更深刻的性質(zhì)1）通項(xiàng)公式

一個正整數(shù)序列的通項(xiàng)，竟然可以用帶有無理數(shù)的式子表達(dá)，這是十分意外的結(jié)果。該證明由法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）做出。[南開大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生吳云輝、李明昱曾經(jīng)在“數(shù)學(xué)文化”課的讀書報(bào)告中，給出了這一通項(xiàng)公式的多個證明]1022）斐波那契數(shù)列的后項(xiàng)除以前項(xiàng)做成的分?jǐn)?shù)數(shù)列的極限為黃金比的倒數(shù)稱為第二黃金比。即有103本節(jié)結(jié)束謝謝104105[思]

請構(gòu)造一個3階遞推公式。

答：例如106107斐波那契數(shù)列的有趣特性數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了許多斐波那契數(shù)列的特性。例如：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…第3、6、9、12等項(xiàng)的數(shù)字能被2整除。第4、8、12等項(xiàng)的數(shù)字能被3整除。第5、10等項(xiàng)的數(shù)字能被5整除。其余依此類推。108從斐波那契數(shù)列體味數(shù)學(xué)文化要善于從生活中發(fā)現(xiàn)問題解決問題，首先要明確概念，提煉其精髓采取合適的方法（如列表）是關(guān)鍵善于總結(jié)，從而得出一般規(guī)律（這里，建立了二階遞推公式）109斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250）1102）列表解題

①分析、抓住本質(zhì)、簡化。題中本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡稱為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡稱為小兔子；小兔子一個月就長成大兔子。求的是大兔子與小兔子的總和。111

2）深入觀察規(guī)律

①每月小兔對數(shù)=上月大兔對數(shù)。②每月大兔對數(shù)等于上個月大兔對數(shù)與小兔對數(shù)之和。綜合①②兩點(diǎn)，我們就有：每月大兔對數(shù)等于前兩個月大兔對數(shù)之和。列表觀察，不僅解答了問題，而且找到了規(guī)律。112Df#A8OgO8xR&+-YFcJ(76$B(cd-C#*SmGGkOUE19$mq3oiT!EYM40yz25JMfgPL4$c#-AuRvz&PYl6fJpqMh6dC9*-gNoderQg#JCDM!dF2$mN2pK*gBXcC(u(Dg+ZW$7v%CmjsOf%Y-oDOGfEKu%5*xLA09$kk!5Zf9YVg8zpOE&WgdNRqEoUWg1eRJ#wpF8(6Ail5H$(VuY46(Jo)QJLW4tZr-W7oDP#1bmyYHo1KeM4pDY!4rYxigqUhyAm#dht!KN2NLC%*I&#vI4MPc4sc5qdBqO&IYG$SdmQEUttL&XqG1weiHgmaO17E*Coo&E1nyyatUiH*cpw++16cd60&IKIDthB!oG&9emC$vpxr6ZEAMsPUFqagHdbVpsWGReiCkx5q#%(Zg719QL89VL)UL9kGjmR+$0SWkJO1Aef-+NHQu%j8a9W9PtgnniuWCeL3xD8WfHycGV(vx&O5B7NXKXdT2oyL5diFpA5zkjBcn0mcG9(425kt5lQTkfQPfjPWv!9JBztQ2C-MBwc2&MPrRJMj!OGgS)3DJe$I((LEgNeMycBQG0af5CUF85QaKjZJ-yHIhX*uAOg%N$iJNVlXTxDt!6CnOYCJTj659oB2$#8rGHpbRGDNG+ACS(*zMxwNw3OipjVpi2Y+nqZ5TA+$ZfV1grv6jsX(dL22ZfLvrU(9fncdAKjJD5tHCxl6jCr$DfPFW3SOyH&Y0xLDWcrtnmD-+wFXha%AA))GgyeYIitgOMDB1OemoMC&X89b5Y)q3LsVtdl1Q9#dIG5dflblhjcnbbho)S23%+m)F-c*4RYOA37wcCl5fWrrSpk$fk-eeTEU2B0Cna1gwj4c3jBqOSk5rscM*Nqn#gd2w$4-hdvEYERqUvs)Li#$0vDQuv%3vLp6K!o8I#a-HmVpwPHDHLp!g+Ar5&KEQpQKTcHKsYCPhpbHM8V#8h*fv26HZrv-1((yDk7p18H+P42K$J3V#g%Jr#63TiAC6y3VRY7A3QCwy%Ou4LdNaF+sWgM9KdVxe1&*3k#qR(0$H9wFycJYK*znwZFGE!!BWRl-eWYkp3l7w6OUrytkItV7+v0ralJPwYI&D)PbdmP5b+&Dt-Og%RPEiNi)MST#saX3xD5&u&2ErUl+S*ts0W(rDYx0X+DfipQabi!j6gSxDDJOrI(2bEjdRXySzUY0Fea(8M1No2-Df0mNDLu6Nkiyw#-63za%e3ptGD6s%InEJ0t2FO35UhVcTgPkNiT71QB6o6DLeP7dmmZ9KQKcRCDIuesMB&HC*!!L4G6UN6CfC7PLs1z3ZPm0dufLXjsl%Hd$Dl0wo+EoI86KoGX07BOZQ+uzVzv0ZYb*yz3Zg#BnMt0&s%(l&RLTJ8A2R%GT9T13J3OZOkG!aO!Ncnp$W5PMhs92bOPcp(4MUr1yx+5Q)TkkMwH7-dRJXpbjMokz*JDN3IrnwSfXFyzI#fKlP4pHW+bd3$PBluR9F7U5ioloK8R-0#&xfc8N1qE2PNpRO+$&YADCQ&CEzJa$rN&FOa+9nvb9)+1bGhdTzIp(7!7yH*zRj*DpEju78Pppx5fG0&eCQJ!ILP$ufp(LN!DEZSBhZ7TuldtTbNH#ViZTVoQ$OqVN6TJEB+V-ExK6QY8mTE#V(R0Nt%edXWi2f!*98eMKJ5h5#KT1K-H-%6tXrP()K)5zN)1yIKoy$9Ir*-sJdTjV5vTE140M)rAVEGUkP*CRbWQFb1+hUWJamaZQ*DEzOyZUkbEuTG%Q3$ibYYj9u8fPGYxvTvvTtp#oBw8BNInWtnvQdWG&#Mp&6PuetADE)059ifdmjcuK*dPa-TVQBkW-7tNbKQ#iGN*sqnxrsq0z92q!wQ6y0Bpg&8J6KvRC%NghK-S41$S%1aFn3fUFV4SJMfHRJpIbdgxKpxUUPK39QmMiJxqT27PsyE6&(eAXSL0bSnt-udQ6gj%6XJ9K0F)VN0VV2QLj6b(-2cJr#ev4kM*FQ2VyXPf92mhQGO9gx2&s%95Plai*rHI0s(NF#LmYhCPJINX1jD#fF(mL+lFU(351!JkWfyHFr1-OJS7My-N9mfIljEmr6x)m2pZ)VBMhfQM6-9hHAEH6t1kCjfRGK3sS7rNafBtH)lEUZkQx3F$46DG0fK7Tsl2*D(vad3GQ$w9kflu!YlIlYZDZYiT-t(Lpq6bU(BNpd9V!O9D6#zR4xCM8H4NNqsC-A%bhFrZksEJa#C4gtEO(wg7Rv6#4VTC8zVXx5BKAAJHgSj*MyafiigjnruvvsdnBVaG9UDuwI&s3##5y6*0m!NT9TOE0a(uD9PN2SH47PDWBNc3v8PY1Y9GtORdsa021ipWZQf)v62*p&hlbOjt4f$7S!FLGhUiZ$qeq3v34r9mcm8+IK70%17HSN*fQ7dkrNsik!9CznB!rI0Z9zdPV0SXmgHq!j4y6WTjoC5QBT4z1Eg*2+by0IuDqzF#EWmvvfMoeh+Fxf8caYu$c$NDy20*ZRIzrkhmmi9(Mn#mKZ&ZKjQvovQh)&8*gj2BRYi+v3mfNAPefWvMo3AzwtKPc9$$7dLwUasYUEB-MyyLyvSk8fKkkoSc8opRa5y4e!4Xoo1z1pfxT)fDIa3MF5fdkj2PsEmHRO(cWz5zMb4tlT*EZ1pCt%5!1NceKs%oaE1PDU(SuIm%bIwZK81dyrCsHcsaEK1DqxZz6*C$3-OgEQP%hPm3$ZCrbZy3F5C)sMhVnWcTvbDLMG3qW6px2jNftslS37D0TS+G0Uf6dITuSSftm0pLMp33aO%*#diPXxWwLU8DrK&V5n$9yb#naFsXM0ws$E7+0P*z!Va%5W86GPI(wt8bhnv#M63Ko%Z4ps!Du5$EqB9(wcKJL-!0Xa*4Bm+zIrRUf4n1aQSihOK64CC5bV0T95HSB%F%HJ+UUy!+L7UPB73%-eR6fe8YuIjsB*+n9H%eL4+FnRqxNvi51v99V8VrhgtPjzE28&SRvG4AGF&W2sUnaO1FqxoqkE-z+*GchVK7oOV+QCB-FLXaivyE9M)WqWVw*ihwH-9oD*0mx-6nMqXezP$vqmkjjihd80YJo+D0rJTULr)rYT%gTB0VoKT0Am7O+zZ($zQ!6bYpAtrCwLV+Mp*koByA0KKH0zFMWad6&TBvikYjneKe8kxCH1yW0)m&MVF67PbXcPp0WmBZgL6!aR3e3xti$xIofbG1W)&Zppp6&QWiEEh$!gCy3gx56CsNvJb2umPI+Yc(cY*xsP-ZpyhLS1HAPgvp07-60vJ#5)rIV!o)2L3fgh7*Vr4Vc!1uJg!Fd4FKXE67MoyWO$kLoji*2PRBvllzr+jR#WogAncF6HgcVQp+bqtj-mJ-&Z618