平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1復(fù)習(xí)平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2

使a=λ1e1+λ2e22a=λ1e1+λ2e2復(fù)習(xí)(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1、e2唯一確定的數(shù)量。3G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解新課引入G與F1,F2有什么關(guān)系?類(lèi)似地，由平面向量的基本定理，對(duì)平面上的任意向量a，均可以分解為不共線的兩個(gè)向量λ1a1和λ2

a2,使a=λ1a1+λ2

a24把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解若兩個(gè)不共線向量互相垂直時(shí)aλ1a1λ2

a2F1F2G正交分解5思考：

我們知道，在平面直角坐標(biāo)系，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對(duì)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向量，如何表示？在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時(shí)，會(huì)為我們研究問(wèn)題帶來(lái)方便。6yOxji向量的坐標(biāo)表示分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.任作一個(gè)向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得a=x

i+y

j把(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)axiyj7向量的坐標(biāo)表示i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)（一）8yOxajixiyj相等的向量坐標(biāo)相同向量a、b有什么關(guān)系?a＝b能說(shuō)出向量b的坐標(biāo)嗎?b=(x,y)bxiyj9yxAa如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA=a，則點(diǎn)A的位置由a唯一確定。yxOjia(x,y)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示。反過(guò)來(lái)，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x,y)也就是向量OA的坐標(biāo)。設(shè)OA=xi+yj，則向量OA的坐標(biāo)（x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；10向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系向量P（x

，y）一一對(duì)應(yīng)11例1：如圖，用基底i，j分別表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標(biāo).AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1234-4-3-2-154321-1-2-3-4-5ji1234a=(2,3)由圖可知a=AA1+AA2=2i+3j,12已知，求的坐標(biāo).OxyB(x2,y2)A(x1,y1)結(jié)論1:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。13總結(jié):對(duì)向量坐標(biāo)表示的理解:(1)任一平面向量都有唯一的坐標(biāo);(2)向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量終點(diǎn)的坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).(3)相等的向量有相等的坐標(biāo).14練習(xí):在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出下列向量.解：15（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：結(jié)論2：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.結(jié)論3：實(shí)數(shù)與向量乘積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).1617例3,、（2008遼寧）已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A.（2，）B.（2，）C.（3，2）D.（1，3）A18解析：設(shè)D（x,y），得x=2,y=,故選A1920例5：已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。xyOA(-2,1)B(-1,3))C(3,4)D(x,y)21OyxABCD例5：已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).22變式：已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)。OyxABC解：當(dāng)平行四邊形為ADCB時(shí)，由得D1=(2,2)當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，得D2=(4,6)D1D2當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí)，得D3=(6,0)D323課堂小結(jié):1.向量的坐標(biāo)的概念:2.對(duì)向量坐標(biāo)表示的理解:3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:(1)任一平面向量都有唯一的坐標(biāo);(2)向量的坐標(biāo)與其起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系；(3)相等的向量有相等的坐標(biāo).4.能初步運(yùn)用向量解決平面幾何問(wèn)題:“向量”的思想242.若將向量圍繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到向量，則的坐標(biāo)為（）.1.若向量=（1，-2）的終點(diǎn)在原點(diǎn)，那么這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)是

．

（-1，2）課堂練習(xí)一254.已知A、B的坐標(biāo)分別為，與平行的向量的坐標(biāo)可以是____________.

（填寫(xiě)正確的序號(hào)）．3.已知點(diǎn)A(8,2)，點(diǎn)B(3,5)，將沿x軸向左平移5個(gè)單位得到向量，則①；②；③；④①②③265.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).設(shè)，填空：（1）（2）若用來(lái)表示，則：115354727（3）向量能否由表示出來(lái)？可以的話(huà)，如何表示？28隨堂練習(xí)二坐標(biāo)是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B標(biāo)坐標(biāo)為A、(x-2,y+1)B、