第五章矩陣對角化問題精選ppt對階矩陣，1.方陣對角化的概念尋找相似變換矩陣，使這就稱為把方陣對角化.說明如果能找到可逆矩陣，使，則可對角化；如果找不到這樣可逆矩陣，則不可對角化.精選ppt2.定理的引入設有可逆矩陣，使為對角陣.

下面回答能否由確定.精選ppt這表明的第個列向量是的對應于特征值的特征向量，因而由和確定，也就是由確定. 由于特征向量不是惟一的，所以矩陣也不是惟一確定的.精選ppt反過來，是依次與之對應的特征向量，則設矩陣的個特征值為，當可逆，即線性無關時，有這表明方陣能否對角化完全可用的特征值和特征向量來刻畫.精選ppt由定理證明可知,如果矩陣A相似于對角矩陣,設則矩陣P的列是A的線性無關的特征向量,對角矩陣的對角元素是P中列向量對應的矩陣A的特征值.若則的主對角元素即為的特征值，精選ppt3.方陣可對角化的充要條件定理4階矩陣與對角陣相似(即能對角化)的充要條件是有個線性無關的特征向量.推論

若階矩陣的個特征值互不相等，則與對角陣相似.(逆命題不一定成立）說明當?shù)奶卣鞣匠逃兄馗鶗r，不一定有個線性無關的特征向量，從而不一定能對角化；但是，有重根時，也有可能能對角化.所以特征值互不相等只是與對角陣相似的充分條件.精選ppt下述定理可將關于可對角化條件更精細地刻畫出來.定理:設是n階方陣A的全部不同的特征值,其重數(shù)分別為則A可以對角化的充分必要條件為對應有個線性無關的特征向量.注:對應于的所有線性無關特征向量的基是的基礎解系.個向量,故n階方陣A可對角化當且僅當對A的每一個重特征根的基礎解系恰有當且僅當精選ppt例

判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解:得精選ppt得基礎解系當時，齊次線性方程組為當時，齊次線性方程組為精選ppt得基礎解系線性無關即A有3個線性無關的特征向量，所以A可以對角化。精選ppt得基礎解系所以不能化為對角矩陣.當時，齊次線性方程組為精選ppt例設問為何值時，矩陣能對角化？解:

析：此例是定理的應用.定理表明：

階矩陣可對角化有個線性無關特征向量.由此可推得另一個充要條件：對的每個不同的特征值，的重數(shù)=對應于的線性無關特征向量的個數(shù)精選ppt所以的特征值為1(二重)，.對應于單根，可求得線性無關的特征向量1個；對應于二重特征值1，若能對角化，則精選ppt要使，則即說明解答此題的關鍵是將取值條件“可對角化”轉化為“二重特征值1應滿足”，從而求得.矩陣能否對角化，取決于它的線性無關特征向量的個數(shù)，而與的秩，的行列式都無關.精選ppt四.矩陣對角化的實現(xiàn)的步驟:若矩陣A可以對角化,(1)求出A的所有特征值其重數(shù)分別為(2)對每一個,求出的基礎解系,從而得對應的個線性無關的特征向量(3)用(2)中求得的特征向量形成矩陣則有精選ppt練習:精選ppt