第九章期權定價2023/1/139.1期權價格的特性

一、期權價格的構成期權價格等于期權的內在價值加上時間價值。

１，內在價值內在價值是指期權持有者立即行使該期權合約所賦予的權利時所能獲得的總收益?？礉q期權的內在價值為max{S-X,0}看跌期權的內在價值為max{X-S,0}2023/1/13

按照有無內在價值，期權可呈現(xiàn)三種狀態(tài)：實值期權、虛值期權和平價期權。把Ｓ>Ｘ（S<X）時的看漲(跌)期權稱為實值期權；把Ｓ＝Ｘ的看漲（跌）期權稱為平價期權；把S<X（Ｓ>Ｘ）時的看漲(跌)期權稱為虛值期權；2023/1/132，期權的時間價值

期權的時間價值（TimeValue）是指在期權有效期內標的資產價格波動為期權持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標的資產價格的波動率越高，期權的時間價值就越大。X時間價值圖9.1看漲期權時間價值與|S-X|的關系Ｓ到期日時間價值5432102023/1/133,期權價格與內在價值和時間價值間的關系

期權合約的價值是由期權價格決定的，即由內在價值和時間價值所決定。三者之間的關系如圖9-2所示。2023/1/13ATM期權費變動曲線OTMITMXIVTVTVTV0標的資產市價S期權費圖9.2看漲期權的期權費、內在價值、時間價值的關系2023/1/13二、期權價格的影響因素（一）標的資產的市場價格與期權的協(xié)議價格對于看漲期權而言，標的資產的價格越高、協(xié)議價格越低，看漲期權的價格就越高。對于看跌期權而言，標的資產的價格越低、協(xié)議價格越高，看跌期權的價格就越高。2023/1/13

（二）期權的有效期

對于美式期權而言，由于它可以在有效期內任何時間執(zhí)行，有效期越長，多頭獲利機會就越大，而且有效期長的期權包含了有效期短的期權的所有執(zhí)行機會，因此有效期越長，期權價格越高。對于歐式期權而言，由于它只能在期末執(zhí)行，有效期長的期權就不一定包含有效期短的期權的所有執(zhí)行機會。這就使歐式期權的有效期與期權價格之間的關系顯得較為復雜。

2023/1/13

但在一般情況下（即剔除標的資產支付大量收益這一特殊情況），由于有效期越長，標的資產的風險就越大，空頭虧損的風險也越大，因此即使是歐式期權，有效期越長，其期權價格也越高，即期權的邊際時間價值（MarginalTimeValue）為正值。

我們應注意到，隨著時間的延長，期權時間價值的增幅是遞減的。這就是期權的邊際時間價值遞減規(guī)律。

2023/1/13（三）標的資產價格的波動率

標的資產價格的波動率是用來衡量標的資產未來價格變動不確定性的指標。由于期權多頭的最大虧損額僅限于期權價格，而最大盈利額則取決于執(zhí)行期權時標的資產市場價格與協(xié)議價格的差額，因此波動率越大，對期權多頭越有利，期權價格也應越高。

在定價時，波動性只能通過人們對未來的價格波動程度的估計求得，主要有兩種方法：歷史波動法和隱含波動法。2023/1/13（四）無風險利率

從比較靜態(tài)的角度看。無風險利率越高，看跌期權的價值越低；而看漲期權的價值則越高。從動態(tài)的角度看，當無風險利率提高時，看漲期權價格下降，而看跌期權的價格卻上升。2023/1/13（五）標的資產的收益由于標的資產分紅付息等將減少標的資產的價格，而協(xié)議價格并未進行相應調整，因此在期權有效期內標的資產產生收益將使看漲期權價格下降，而使看跌期權價格上升。

2023/1/13期權價格的影響因素

變量歐式看漲歐式看跌美式看漲美式看跌標的資產的市價＋－＋－期權協(xié)議價格－＋－＋期權的有效期？？＋＋波動率＋＋＋＋無風險利率？？？？標的資產的收益－＋－＋注：＋：互補關系：－：抵消關系；？：關系不明確。2023/1/13我們首先將本章后面所用到的符號及其含義開列如下：X：期權的執(zhí)行價格；T：期權的到期時刻；t：現(xiàn)在的時刻；S：標的資產在t時的市場價格；ST：標的資產在T時的市場價格；C：美式看漲期權的價格；c：歐式看漲期權的價格；P：美式看跌期權的價格；p：歐式看跌期權的價格；r：t到T期間的市場無風險利率（連續(xù)復利）；三、期權價格的上下限

:標的股票價格的波動率，一般用標的股票連續(xù)復利收益率的年標準差表示。2023/1/13（一）期權價格的上限1,看漲期權價格的上限

對于美式和歐式看漲期權來說，標的資產價格就是看漲期權價格的上限：

其中，c代表歐式看漲期權價格，C代表美式看漲期權價格，S代表標的資產價格。（下同）（9.1）2023/1/13

2,看跌期權價格的上限

美式看跌期權價格（P）的上限為X：

其中，r代表T時刻到期的無風險利率，t代表現(xiàn)在時刻。（9.2）歐式看跌期權的上限為：（9.3）2023/1/13（二）期權價格的下限

1,歐式看漲期權價格的下限（1）無收益資產歐式看漲期權價格的下限

我們考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權加上金額為的現(xiàn)金組合B：一單位標的資產2023/1/13由于期權的價值一定為正，因此無收益資產歐式看漲期權價格下限為：

在T時刻，組合A的價值為：

由于，因此，在t時刻組合A的價值也應大于等于組合B，即:

或組合B的價值為ST。（9.4）2023/1/13例題

考慮一個不付紅利股票的歐式看漲期權，此時股票價格為20元，執(zhí)行價格為18元，期權價格為3元，距離到期日還有1年，無風險年利率10%。問此時市場存在套利機會嗎？如果存在，該如何套利？（2）有收益資產歐式看漲期權價格的下限（9.5）

我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為，其中D為期權有效期內資產收益的現(xiàn)值，并經過類似的推導，就可得出有收益資產歐式看漲期權價格的下限為：2023/1/132,歐式看跌期權價格的下限

（1）無收益資產歐式看跌期權價格的下限

考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權加上一單位標的資產

在T時刻，組合C的價值為：max（ST，X），組合D的價值為X。組合D：金額為的現(xiàn)金

2023/1/13

由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應大于等于組合D，即：

由于期權價值一定為正，因此無收益資產歐式看跌期權價格下限為：（9.6）2023/1/13（2）有收益資產歐式看跌期權價格的下限（9.7）

我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為就可得到有收益資產歐式看跌期權價格的下限為：

2023/1/13四、提前執(zhí)行美式期權的合理性

（一）提前執(zhí)行無收益資產美式期權的合理性

1,看漲期權

由于現(xiàn)金會產生收益，而提前執(zhí)行看漲期權得到的標的資產無收益，再加上美式期權的時間價值總是為正的，因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行無收益資產的美式看漲期權是不明智的。因此，C=c（9.8）2023/1/13

根據(jù)（9.4），我們可以得到無收益資產美式看漲期權價格的下限：

（9.9）2023/1/13是否提前執(zhí)行無收益資產的美式看跌期權，主要取決于期權的實值額（X-S）、無風險利率水平等因素。一般來說，只有當S相對于X來說較低，或者r較高時，提前執(zhí)行無收益資產美式看跌期權才可能是有利的。美式看跌期權的下限為：2,看跌期權2023/1/13（二）提前執(zhí)行有收益資產美式期權的合理性

1,看漲期權

由于提前執(zhí)行有收益資產的美式期權可較早獲得標的資產，從而獲得現(xiàn)金收益，而現(xiàn)金收益可以派生利息，因此在一定條件下，提前執(zhí)行有收益資產的美式看漲期權有可能是合理的。由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產的美式看漲期權價值大于等于歐式看漲期權，其下限為：2023/1/132,看跌期權

由于提前執(zhí)行有收益資產的美式看跌期權意味著自己放棄收益權，因此收益使美式看跌期權提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。由于美式看跌期權有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：2023/1/13

所謂看漲期權與看跌期權之間的平價關系是指看漲期權的價格與看跌期權的價格，必須維持在無套利機會的均衡水平的價格關系上。如果這一關系被打破，則在這兩種價格之間，就存在無風險的套利機會，而套利者的套利行為又必將這種不正常的價格關系拉回到正常水平。下面我們仍然用無套利均衡分析法來推導這一關系。五、看漲期權與看跌期權之間的平價關系

2023/1/13（一）歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系

1，無收益資產的歐式期權

考慮如下兩個組合：

組合B：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權相同的歐式看跌期權加上一單位標的資產組合A：一份歐式看漲期權加上金額為的現(xiàn)金2023/1/13

在期權到期時，兩個組合的價值均為max(ST,X)。由于歐式期權不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的價值，即：

這就是無收益資產歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系（Parity）。

如果式（9.10）不成立，則存在無風險套利機會。套利活動將最終促使式（9.10）成立。（9.10）2023/1/13套利機會

市場情況：某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權的報價，股票市場價格為31美元，3個月期無風險年利率為10％，看漲期權和看跌期權的執(zhí)行價格都是30美元，3個月后到期。3個月期歐式看漲期權和歐式看跌期權的價格分別為3美元和2.25美元。策略：1，購買看漲期權；2，出售看跌期權；3，賣空一股股票。2023/1/13結果：這個策略給出的初始現(xiàn)金流為：31.00－3.00＋2.25＝30.25美元。將這筆資金按無風險利率投資3個月，3個月末本息和為30.25e0.1*0.25=31.02美元。在3個月末，有如下兩種可能：1，如果股票價格大于30美元，該投資者執(zhí)行看漲期權。即按照30美元價格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利＝31.02－30＝1.02美元。2，如果股票價格小于30美元，該投資者的對手執(zhí)行看跌期權。即按照30美元價格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利＝31.02－30＝1.02美元。2023/1/13練習：

若同樣的市場條件，但3個月期歐式看漲期權和歐式看跌期權的價格分別為3美元和1美元。問是否有套利的機會？若有，如何構筑套利策略？并分析套利結果。2023/1/132.有收益資產歐式期權（9.11）

在標的資產有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為，我們就可推導有收益資產歐式看漲期權和看跌期權的平價關系：2023/1/13（二）美式看漲期權和看跌期權之間的關系

1.無收益資產情形2.有收益資產情形2023/1/139.2期權的定價原理一，Black-Scholes期權定價公式（一）Black-Scholes模型的假設條件(1)期權的標的資產是股票，其現(xiàn)行價格為S。這種資產可以被自由買賣；(2)期權是歐式看漲期權，在期權有效期內其標的資產不存在現(xiàn)金股利的支付。其協(xié)定價格為X，期權期限為T（以年表示）；2023/1/13(3)市場不存在交易成本和稅收，所有證券均完全可以分割；(4)市場不存在無風險的套利機會；(5)市場提供了連續(xù)交易的機會;(6)存在著一個固定的、無風險的利率，投資者可以以此利率無限制地借入或貸出；(7)期權的標的股票的價格遵循幾何布朗運動，呈對數(shù)正態(tài)分布。2023/1/13

這就是著名的Black-Scholes微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。

2023/1/13（二）Black-Scholes歐式看漲期權定價公式2023/1/13由歐式看漲期權與看跌期權的平價關系，我們很容易推算出具有相同標的資產、相同到期日和相同執(zhí)行價格的歐式看跌期權的價格。2023/1/13例9.1

考慮一種期權，有效期為6個月，股票價格為42美元，期權的執(zhí)行價格為40美元，無風險年利率為10％，波動率為每年20％。即S=42，X＝40，2023/1/13并且因此，若該期權為歐式看漲期權，它的價格為：又因為N（0.7693）＝0.7791，N（0.6278）=0.7349所以c=4.762023/1/13二、波動率的確定方法

例9.2

假設一只股票當前的價格為30元，6個月期國債的年利率為3％，一投資者購買一份執(zhí)行價格為35元的6個月后到期的看漲期權，假設在6個月內股票不派發(fā)紅利。問題：他要支付多少期權費？由題設知：S=30，X＝35，但還需要知道一個無法直接得到的變量：波動率2023/1/13解題步驟：（1）波動率的計算方法一：從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中計算波動率。

假設在過去n周里的第t周股票收盤價為St，第t-1周的收盤價為St－1，則第t周的股票復利收益率為那么，周收益率的標準差可用下面的公式計算其中：表示這n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的標準差作為周波動率的估計值。由歷史的股價數(shù)據(jù)，設計算得到此股票的周波動率為0.045。2023/1/13我們取n＝50周，即1年的交易周數(shù)，可得年波動率或：方法二：把實際的市場期權價格代入B－S公式而計算出的波動率即隱含波動率。交易員通常從交易活躍的期權中計算隱含波動率，然后利用計算出的隱含波動率來估算基于同樣股票的不太活躍的期權的價格。更常見的是，可以同時得到基于同樣股票的幾種不同期權的幾個隱含波動率，然后對這些隱含波動率進行恰當?shù)募訖嗥骄涂梢杂嬎愠鲈摴善钡木C合隱含波動率。2023/1/13投資者可以通過對比當前市場的波動率與期權的隱含波動率的大小來進行期權交易。如果認為實際的市場波動率高于隱含波動率，那么當前的期權價格被低估了，可以買進期權。反之可以賣出期權。（2）計算N（d1）和N(d2)先計算：2023/1/13然后查正態(tài)分布累積概率表，得到和（3）計算期權價格C2023/1/13三、B-S公式的基本推廣（一）有收益資產歐式期權的定價公式（9.6）式是針對無收益資產歐式期權的，對于標的資產在期權到期日之前產生收益的情況，我們下面分兩種情況給予簡單分析。2023/1/131，標的資產產生已知收益的情況

假設標的資產將在時刻產生已知現(xiàn)值為I的收益，且。這時，標的資產的價值可分解為兩個部分：發(fā)生在時刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產生收益后到T時刻時標的資產的價值的現(xiàn)值部分。其中后一部分是有風險的，記為于是我們可以直接利用（9.6）式來定價了，只要用來代替S即可，

2023/1/132，標的資產產生已知收益率的情況我們假定在任何時間段dt，標的資產都產生收益qSdt，這等價于在每一刻都將剩余股票價值的比例為qdt的部分分走。以連續(xù)復利計算，意味著在期權到期日，還剩下原來資產價值的。所以，在現(xiàn)在時刻t，標的資產的價值由兩部分組成：比例為的部分作為收益在到期日T之前發(fā)放，剩下比例為的部分是一單位標的資產在到期日T的價值的現(xiàn)值。2023/1/13我們可用來代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解2023/1/13

（二）期貨看漲期權的定價公式如果標的資產為各種期貨合約的話，上述期權定價公式必須做相應修正，因為現(xiàn)貨期權與期貨期權有著不同的交易規(guī)則。為此，我們設F為期貨價格，表示期貨價格的波動率，其他符號與上述相同，則只要期貨價格和標的資產價格一樣遵循幾何布朗運動的話，就有2023/1/13（三）美式期權價格的近似解

假定標的資產在時刻t1有收益，這里t＜t1＜T。美式看漲期權的多頭要么在臨近時刻t1執(zhí)行期權，要么在到期日時刻T執(zhí)行期權。因此，這個美式看漲期權的價值可以近似地看作兩個歐式看漲期權中較大的那一個。這兩個歐式看漲期權是

1）時刻t1到期的歐式看漲期權，標的資產無收益；

2）時刻T到期的歐式看漲期權，標的資產在時刻t1產生現(xiàn)值為I的收益2023/1/139.3期權定價的數(shù)值方法——二叉樹定價法

在很多情形中，我們無法得到期權價格的解析解，這時，人們經常采用數(shù)值方法為期權定價，其中包括二叉樹方法、蒙特卡羅模擬和有限差分方法。蒙特卡羅方法的實質是模擬標的資產價格在風險中性世界中的隨機運動，預測期權的平均回報，并由此得到期權價格的一個概率解。有限差分方法將標的變量滿足的偏微分方程轉化成差分方程來求解，具體的方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法等。2023/1/13一、單步二叉樹定價法

（一）一個簡單案例例9.3假設某只股票當前的市場價格為20元。投資者預期3個月后股價有可能是22元，也有可能是18元。再假設該股票不分紅利且無風險利率為10%。投資者打算對3個月后以21元執(zhí)行價格買入股票的歐式看漲期權進行估值。我們知道，若到期時股票價格為22元，期權的價值為1元；若股票價格為18元，期權的價值將是0。如圖9.3所示2023/1/13圖9.3股票價格與期權價格變動示意圖

182022C10在無套利假設下，二叉樹期權定價法的基本思路是：首先，以某種方式構造一個只包含股票和期權的無風險證券組合；其次，根據(jù)到期日的股票和期權價格得出組合的價值；再次，利用無風險組合的收益率只能是無風險收益率，得出構造該組合的初始成本，于是得出該期權的價格。2023/1/13我們首先假設無風險證券組合里包含一個股股票多頭頭寸和一單位看漲期權的空頭頭寸。根據(jù)假設，3個月后市場只會出現(xiàn)兩種可能結果：股票價格要么上升到22元要么下降到18元。如果股票價格上升到22元，期權的價值為1元，則組合的總價值為；如果股票價格下降到18元，期權的價值為0，則組合的總價值為。因為組合為無風險證券組合，到期日的價值是確定的。這意味著即2023/1/13因此，0.25股股票多頭和一單位看漲期權空頭就組成一個無風險的證券組合。在期權到期日，組合的價值總是=4.5元。根據(jù)無套利均衡原理，

由于當前的股價已知為20元，假設期權的價格為，則該組合當前的價值為2023/1/13（二）一般結論設看漲期權的標的資產的現(xiàn)行價格為S，在期權到期日，標的資產的價格要么上漲至現(xiàn)價的u倍，要么下跌至現(xiàn)價的d倍。這里u>1、d<1，如圖9.4所示。

再設當前歐式看漲期權的價值為C、執(zhí)行價格為X，在標的資產價格的上述兩種變化下，其價值分別為、。如圖9.5所示。2023/1/13SuSdS圖9.4標的資產價格變動

C圖9.5

單期看漲期權的價值變動

顯然2023/1/13為確定唯一的未知量C，我們構造如下的一個投資組合：（a）以價格C賣出一份看漲期權；（b）買入h份標的資產。其中h為套期保值比率，其大小是要保證該投資組合成為一個無風險的投資組合。也就是說，不管市場如何變化，該投資組合在到期日是的價值是確定的。建立組合的初始成本是購買股票的成本hS減去賣出期權收到的期權費Ｃ，即。而標的資產價格上漲時，該投資組合的最終價值為；當價格下跌時，該投資組合的最終價值為。2023/1/13因為該投資組合為無風險投資組合。從而有：

即（9.12）如果期權的有效期限里的無風險利率為r，則以該組合的當前價值進行無風險投資到期權到期日的收益應和該投資組合的最終價值相等，即有

2023/1/13從而再將h代入，得（9.13）

其中（9.14）在市場無套利機會存在的前提下，一定有d<1+r<u，從而。另外，還可以看出，只與標的資產價格的上漲或下跌幅度有關，而與某一時刻標的資產價格的大小無關。

2023/1/13例9.4

接著例9.3（如圖9.3所示），已知u=1.1，d=0.9，r=0.1，T-t=0.25，Cu=1，Cd=0。由（9.14）式，我們得出由（9.13）式，我們得出

2023/1/13（三）風險中性概率如果我們將（9.14）式中的p解釋為標的資產價格上升的概率，于是1-p就是標的資產價格下降的概率，則標的資產在T時刻的預期值由下式給出再將（9.14）式中的p代入上式，化簡得2023/1/13（9.14）式的p就是的風險中性概率，而（9.13）式可以表述為：在風險中性世界里，期權的價值就是其未來預期值按無風險利率貼現(xiàn)的值。根據(jù)風險中性假設，風險中性世界里的無套利均衡價格也是真實世界里的均衡價格。因而，上述的二叉樹定價法就等價于風險中性定價法。在二叉樹定價中也沒有用到標的資產價格上升和下降的概率。當然，這并不意味期權定價與標的資產價格上升和下降的概率無關，事實上，標的資產價格未來上升和下降的概率已經包含在標的資產價格中了。2023/1/13

我們可以把一年分成4個3個月、或者12個1個月，或者365天……每一個時點上都對應一個單步二叉樹，然后做和單步二叉樹定價法相同的工作：建立不同的無風險資產組合或利用風險中性定價法求不同狀態(tài)下期權的收益，再從最終的結點一步一步逆推，最后計算出初始狀態(tài)下期權的價格。二、多步二叉樹定價法2023/1/13我們先將二叉樹從單步推廣到兩步，然后再推廣到多步情形。設標的資產的現(xiàn)價為S，每一期間均可能上漲至原來的u倍，或下跌至原來的d倍。這樣，在期權的有效期限內，看漲期限的價值及其變動如圖9.6所示：（一）兩步二叉樹定價法2023/1/13SuSdSu2SudSd2S圖9.6兩步二叉樹中的標的資產價格與期權價格變動

C2023/1/13由圖很容易得到：

我們將期權到期時標的資產價格的三種可能價位與看漲期權的三種可能價值對應起來，由前面同樣的方法，可以求出：

2023/1/13在求出Cu和Cd之后，我們可用相同的方法求出C，即

（9.15）

這就是兩步二叉樹定價公式。

例9.5

假設一只不分紅股票，其當前的市場價格為20元，在二叉樹中的任一步之間，股價要么上漲10%要么下跌10%。我們假設二叉樹中每一步的時間長度為3個月，市場的無風險利率為10%?，F(xiàn)在我們對執(zhí)行價格為21元的歐式看漲期權估值。2023/1/13圖9.7標的股票價格與期權價格變動示意圖20221824.219.816.2C3.20.00.02023/1/13由題設知，u=1.1，d=0.9，r=0.1，由（9.14）式，我們得出將上述所有參數(shù)代入（9.15）式，可得執(zhí)行價格為21元的歐式看漲期權的價值為2023/1/13按同樣的方法，我們可以把兩期的二叉樹模型擴展到多期的情況。隨著期數(shù)的增加，股價變化的可能范圍越來越大，越來越接近于實際情況，所以二叉樹模型的準確性也越來越高。若將期權的到期期限分割成n個小期間