習題與題解

（2）主講：趙青蘋王換招

目錄

第三篇中央處理器（CPU）

第六章計算機的運算方法計算機的運算方法第六章2.已知X=0.a1a2a3a4a5a6（ai為0或1），討論下列幾種情況時ai各取何值。

（1）X>1/2；（2）X1/8；

（3）1/4X>1/16

解：（1）若要X>1/2，只要a1=1，a2~a6不全為0即可（a2ora3ora4ora5ora6=1）；

（2）若要X1/8，只要a1~a3不全為0即可（a1ora2ora3=1），a4~a6可任取0或1；（3）若要1/4X>1/16，只要a1=0，a2可任取0或1；

當a2=0時，若a3=0，則必須a4=1，且a5、a6不全為0（a5ora6=1；若a3=1，則a4~a6可任取0或1；

當a2=1時，a3~a6可任取0或1。

3.設x為整數(shù)，[x]補=1，x1x2x3x4x5，若要求x<-16，試問x1~x5應取何值？

解：若要x<-16，需x1=0，x2~x5任意。（注：負數(shù)絕對值大的反而小。）4.設機器數(shù)字長為8位（含1位符號位在內），寫出對應下列各真值的原碼、補碼和反碼。

-13/64，29/128，100，-87

解：真值與不同機器碼對應關系如下：

真值十進制二進制原碼反碼補碼-13/64-0.0011011.00110101.11001011.110011029/1280.00111010.00111010.00111010.0011101

10011001000,11001000,11001000,1100100

-87-10101111,10101111,01010001,01010015.已知[x]補，求[x]原和x。

[x1]補=1.1100；[x2]補=1.1001；[x3]補=0.1110；

[x4]補=1.0000；[x5]補=1，0101；[x6]補=1，1100；

[x7]補=0，0111；[x8]補=1，0000；

解：[x]補與[x]原、x的對應關系如下：[x]補[x]原x（二進制）x（十進制）1.11001.0100-0.0100-1/41.10011.0111-0.0111-7/160.11100.1110+0.1110+7/81.0000無-1.0000-11，01011，1011-1011-111，11001，0100-0100-40，01110，0111+71，0000無-10000-166.設機器數(shù)字長為8位（含1位符號位在內），分整數(shù)和小數(shù)兩種情況討論真值x為何值時，[x]補=[x]原成立。

解：

當x為小數(shù)時，若x0，則

[x]補=[x]原成立；

若x<0，則當x=-1/2時，

[x]補=[x]原成立。

當x為整數(shù)時，若x0，則

[x]補=[x]原成立；

若x<0，則當x=-64時，

[x]補=[x]原成立。7.設x為真值，x*為絕對值，說明[-x*]補=[-x]補能否成立。

解：當x為真值，x*為絕對值時，[-x*]補=[-x]補不能成立。[-x*]補=[-x]補的結論只在x>0時成立。當x<0時，由于[-x*]補是一個負值，而[-x]補是一個正值，因此此時[-x*]補不等于[-x]補。

8.討論若[x]補>[y]補，是否有x>y？

解：若[x]補>[y]補，不一定有x>y。[x]補>[y]補時x>y的結論只在x>0、y>0，及x<0、y<0時成立。當x<0、y>0時，有x>y，但由于負數(shù)補碼的符號位為1，則[x]補<[y]補。同樣，當x<0、y>0時，有x<y，但[x]補>[y]補。9.當十六進制數(shù)9B和FF分別表示為原碼、補碼、反碼、移碼和無符號數(shù)時，所對應的十進制數(shù)各為多少（設機器數(shù)采用一位符號位）？

解：真值和機器數(shù)的對應關系如下：十六進制

真值無符號數(shù)原碼反碼補碼移碼9BH二進制十進制10011011155-11011-27-1100100-100-1100101-101

+27FFH二進制十進制11111111255-1111111-127-0000000-0-0000001-1

+12710.在整數(shù)定點機中，設機器數(shù)采用一位符號位，寫出±0的原碼、補碼、反碼和移碼，得出什么結論？

解：0的機器數(shù)形式如下：真值原碼補碼反碼

移碼+00，00…00，00…00，00…01，00…0

-01，00…00，00…01，11…11，00…011.已知機器數(shù)字長為4位（其中1位為符號位），寫出整數(shù)定點機和小樹定點機中原碼、補碼和反碼的全部形式，并注明其對應的十進制真值。解：機器數(shù)與對應的真值形式如下：真值（二進制）

真值（十進制）

原碼

反碼補碼整數(shù)

+111+110+101+100+011+010+001+000

+7+6+5+4+3+2+1+00，1110，1100，1010，1000，0110，0100，0010，000同原碼同原碼續(xù)表1：真值（二進制）

真值（十進制）

原碼

反碼補碼整數(shù)

-1000-111-110-101-100-011-010-001-000

-8-7-6-5-4-3-2-1-0

無1，1111，1101，1011，1001，0111，0101，0011，000無1，0001，0011，0101，0111，1001，1011，1101，1111，0001，0011，0101，0111，1001，1011，1101，1110，000續(xù)表2：真值（二進制）

真值（十進制）

原碼

反碼補碼小數(shù)

+0.111+0.110+0.101+0.100+0.011+0.010+0.001+0.000

+7/8+3/4+5/8+1/2+3/8+1/4+1/8+00.1110.1100.1010.1000.0110.0100.0010.000同原碼同原碼續(xù)表3：真值（二進制）

真值（十進制）

原碼

反碼補碼小數(shù)

-1.000

-0.111-0.110-0.101-0.100-0.011-0.010-0.001-0.000

-1

-7/8-3/4-5/8-1/2-3/8-1/4-1/8-0無1.1111.1101.1011.1001.0111.0101.0011.000無1.0001.0011.0101.0111.1001.1011.1101.1111.0001.0011.0101.0111.1001.1011.1101.1110.00012.設浮點數(shù)格式為：階符1位、階碼4位、數(shù)符1位、尾數(shù)10位。寫出51/128、27/1024、7.375、-86.5所對應的機器數(shù)。要求

（1）階碼和尾數(shù)均為原碼；

（2）階碼和尾數(shù)均為補碼；

（3）階碼為移碼，尾數(shù)為補碼。

解：據(jù)題意畫出該浮點數(shù)的格式：

14110階符階碼數(shù)符尾數(shù)

將十進制數(shù)轉換為二進制：

x1=51/128=（0.0110011）2

=2-1（0.110011）2

x2=-27/1024=（-0.0000011011）2

=2-5

（-0.11011）2

x3=7.375=（111.011）2

=23

（0.111011）2

x4=-86.5=（-1010110.1）2

=27

（-0.10101101）2

則以上各數(shù)的浮點規(guī)格化數(shù)為：

（1）[x1]浮=1，0001；0.1100110000

（2）[x1]浮=1，1111；0.1100110000

（3）[x1]浮=0，1111；0.1100110000（1）[x2]浮=1，0101；1.1101100000

（2）[x2]浮=1，1011；1.0010100000

（3）[x2]浮=0，1011；1.0010100000

（1）[x3]浮=0，0011；0.1110110000

（2）[x3]浮=0，0011；0.1110110000

（3）[x3]浮=1，0011；0.1110110000

（1）[x4]浮=0，0111；1.1010110100

（2）[x4]浮=0，0111；1.0101001100

（3）[x4]浮=1，0111；1.0101001100

注：以上浮點數(shù)也可采用如下格式：

11410數(shù)符階符階碼尾數(shù)

此時只要將上述答案中的數(shù)符位移到最前面即可。13.浮點數(shù)格式同上題，當階碼基值分別取2和16時，

（1）說明2和16在浮點數(shù)中如何表示。

（2）基值不同對浮點數(shù)什么有影響？

（3）當階碼和尾數(shù)均用補碼表示，且尾數(shù)采用規(guī)格化形式，給出兩種情況下所能表示的最大正數(shù)和非零最小正數(shù)真值。

解：（1）階碼基值不論取何值，在浮點數(shù)中均為隱含表示，即：2和16不出現(xiàn)在浮點格式中，僅為人為的約定。（2）當基值不同時，對數(shù)的表示范圍和精度都有影響。即：在浮點格式不變的情況下，基越大，可表示的浮點數(shù)范圍越大，但精度越下降。

（3）r=2時，最大正數(shù)的浮點格式為：

0，1111；0.1111111111

其真值為：N+max=215×（1-2-10）

非零最小規(guī)格化正數(shù)浮點格式為：

1，0000；0.1000000000

其真值為：N+min=2-16×2-1=2-17

r=16時，最大正數(shù)的浮點格式為：

0，1111；0.1111111111

其真值為：N+max=1615×（1-2-10）

非零最小規(guī)格化正數(shù)浮點格式為：

1，0000；0.0001000000

其真值為：N+min=16-16×16-1=16-1714.設浮點數(shù)字長為32位，欲表示±6萬間的十進制數(shù)，在保證數(shù)的最大精度條件下，除階符、數(shù)符各取一位外，階碼和尾數(shù)各取幾位？按這樣分配，該浮點數(shù)溢出的條件是什么？

解：若要保證數(shù)的最大精度，應取階的基=2。

若要表示±6萬間的十進制數(shù)，由于32768（215）<6萬<65536（216），則：階碼除階符外還應取16位（向上取2的冪）。

故：尾數(shù)位數(shù)=32-1-1-16=14位

按此格式，該浮點數(shù)上溢的條件為：階碼216（65536）

該浮點數(shù)格式如下：

116114階符

階值數(shù)符

尾數(shù)15.什么是機器零？若要求全0表示機器零，浮點數(shù)的階碼和尾數(shù)應采取什么機器數(shù)形式？

解：機器零指機器數(shù)所表示的零的形式，它與真值零的區(qū)別是：機器零在數(shù)軸上表示為“0”點及其附近的一段區(qū)域，即在計算機中小到機器數(shù)的精度達不到的數(shù)均視為“機器零”，而真零對應數(shù)軸上的一點（0點）。若要求用“全0”表示浮點機器零，則浮點數(shù)的階碼應用移碼、尾數(shù)用補碼表示（此時階碼為最小階、尾數(shù)為零，而移碼的最小碼值正好為“0”，補碼的零的形式也為“0”，拼起來正好為一串0的形式）。16.設機器數(shù)字長為16位，寫出下列各種情況下它能表示的數(shù)的范圍。設機器數(shù)采用一位符號位，答案均用十進制表示。

（1）無符號數(shù)；

（2）原碼表示的定點小數(shù)；

（3）補碼表示的定點小數(shù)；

（4）補碼表示的定點整數(shù)；

（5）原碼表示的定點整數(shù)；

（6）浮點數(shù)的格式為：階符1位、階碼5位、數(shù)符1位、尾數(shù)9位（共16位）。分別寫出其正數(shù)和負數(shù)的表示范圍；

（7）浮點數(shù)格式同（6），機器數(shù)采用補碼規(guī)格化形式，分別寫出其對應的正數(shù)和負數(shù)的真值范圍。解：各種表示方法數(shù)據(jù)范圍如下：（1）無符號整數(shù)：0~216-1，

即：0~65535；

（2）原碼定點小數(shù)：

1-2-15~-（1-2-15），

即：0.99997~-0.99997；

（3）補碼定點小數(shù)：1-2-15~-1，

即：0.99997~-1；

（4）補碼定點整數(shù)：215-1~-215，

即：32767~-32768；

（5）原碼定點整數(shù)：

215-1~-（215-1），

即：32767~-32767；（6）據(jù)題意畫出該浮點數(shù)格式：

1519階符階碼數(shù)符尾數(shù)由于題意中未指定該浮點數(shù)所采用的碼制，則不同的假設前提會導致不同的答案，示意如下：1）當采用階原尾原非規(guī)格化數(shù)時，最大正數(shù)=0，11111；0.111111111最小正數(shù)=1，11111；0.000000001則正數(shù)表示范圍為：

231（1-2-9）~2-312-9最大負數(shù)=1，11111；1.000000001

最小負數(shù)=0，11111；1.111111111

則負數(shù)表示范圍為：

2-31（-2-9）~-231（1-2-9）

2）當采用階移尾原非規(guī)格化數(shù)時，

正數(shù)表示范圍為：

231（1-2-9）~2-322-9

負數(shù)表示范圍為：

2-32（-2-9）~-231（1-2-9）

注：零視為中性數(shù)，不在此范圍內。（7）當機器數(shù)采用補碼規(guī)格化形式時，若不考慮隱藏位，則

最大正數(shù)=0，11111；0.111111111

最小正數(shù)=1，00000；0.100000000

其對應的正數(shù)真值范圍為：

231（1-2-9）~2-322-1

最大負數(shù)=1，00000；1.011111111

最小負數(shù)=0，11111；1.000000000

其對應的負數(shù)真值范圍為：

-2-32（2-1+2-9）~231（-1）17.設機器數(shù)字長為8位（包括一位符號位），對下列各機器數(shù)進行算術左移一位、兩位，算術右移一位、兩位，討論結果是否正確。

[x1]原=0.0011010；

[x2]原=1.1101000；

[x3]原=1.0011001；

[y1]補=0.1010100；

[y2]補=1.1101000；

[y3]補=1.0011001；

[z1]反=1.0101111；

[z2]反=1.1101000；

[z3]反=1.0011001。解：算術左移一位：

[x1]原=0.0110100；正確

[x2]原=1.1010000；溢出（丟1）出錯

[x3]原=1.0110010；正確

[y1]補=0.0101000；溢出（丟1）出錯

[y2]補=1.1010000；正確

[y3]補=1.0110010；溢出（丟0）出錯

[z1]反=1.1011111；溢出（丟0）出錯

[z2]反=1.1010001；正確

[z3]反=1.0110011；溢出（丟0）出錯

算術左移兩位：

[x1]原=0.1101000；正確

[x2]原=1.0100000；溢出（丟11）出錯

[x3]原=1.1100100；正確

算術左移兩位：

[y1]補=0.1010000；溢出（丟10）出錯

[y2]補=1.0100000；正確

[y3]補=1.1100100；溢出（丟00）出錯

[z1]反=1.0111111；溢出（丟01）出錯

[z2]反=1.0100011；正確

[z3]反=1.1100111；溢出（丟00）出錯

算術右移一位：

[x1]原=0.0001101；正確

[x2]原=1.0110100；正確

[x3]原=1.0001100(1)；丟1，產生誤差

[y1]補=0.0101010；正確

[y2]補=1.1110100；正確

[y3]補=1.1001100(1)；丟1，產生誤差

算術右移一位：

[z1]反=1.1010111；正確

[z2]反=1.1110100(0)；丟0，產生誤差

[z3]反=1.1001100；正確

算術右移兩位：

[x1]原=0.0000110（10）；產生誤差

[x2]原=1.0011010；正確

[x3]原=1.0000110（01）；產生誤差

[y1]補=0.0010101；正確

[y2]補=1.1111010；正確

[y3]補=1.1100110（01）；產生誤差

[z1]反=1.1101011；正確

[z2]反=1.1111010（00）；產生誤差

[z3]反=1.1100110（01）；產生誤差18.試比較邏輯移位和算術移位。

解：邏輯移位和算術移位的區(qū)別：

邏輯移位是對邏輯數(shù)或無符號數(shù)進行的移位，其特點是不論左移還是右移，空出位均補0，移位時不考慮符號位。

算術移位是對帶符號數(shù)進行的移位操作，其關鍵規(guī)則是移位時符號位保持不變，空出位的補入值與數(shù)的正負、移位方向、采用的碼制等有關。補碼或反碼右移時具有符號延伸特性。左移時可能產生溢出錯誤，右移時可能丟失精度。19.設機器數(shù)字長為8位（含1位符號位），用補碼運算規(guī)則計算下列各題。

（1）A=9/64，B=-13/32，求A+B；

（2）A=19/32，B=-17/128，求A-B；

（3）A=-3/16，B=9/32，求A+B；

（4）A=-87，B=53，求A-B；

（5）A=115，B=-24，求A+B。

解：

（1）A=9/64=（0.0010010）2

B=-13/32=（-0.0110100）2

[A]補=0.0010010

[B]補=1.1001100[A+B]補=0.0010010

+1.1001100

1.1011110——無溢出

A+B=（-0.0100010）2=-17/64

（2）A=19/32=（0.1001100）2

B=-17/128=（-0.0010001）2

[A]補=0.1001100

[B]補=1.1101111

[-B]補=0.0010001

[A-B]補=0.1001100

+0.0010001

0.1011101——無溢出

A-B=（0.1011101）2=93/128（3）A=-3/16=（-0.0011000）2

B=9/32=（0.0100100）2

[A]補=1.1101000

[B]補=0.0100100

[A+B]補=1.1101000

+0.0100100

0.0001100——無溢出

A+B=（0.0001100）2=3/32

（4）A=-87=（-1010111）2

B=53=（110101）2

[A]補=1，0101001

[B]補=0，0110101

[-B]補=1，1001011[A-B]補=1，0101001

+1，1001011

0，1110100——

溢出

A-B=（-1，0001100）2=-140

（5）A=115=（1110011）2

B=-24=（-11000）2

[A]補=0，1110011

[B]補=1，1101000

[A+B]補=0，1110011

+1，1101000

0，1011011——無溢出

A+B=（1011011）2=9120.用原碼一位乘、兩位乘和補碼一位乘（Booth算法）、兩位乘計算x·y。

（1）x=0.110111，y=-0.101110；

（2）x=-0.010111，y=-0.010101；

（3）x=19，y=35；

（4）x=0.11011，y=-0.11101。

解：先將數(shù)據(jù)轉換成所需的機器數(shù)，然后計算，最后結果轉換成真值。

（1）[x]原=x=0.110111，[y]原=1.101110

x*=0.110111，y*=0.101110

x0=0，y0=1，z0=x0

y0=0

1=1

x*×y*=0.100111100010

[x×y]原=1.100111100010

x·y=-0.100111100010原碼一位乘：

部分積乘數(shù)y*

0.000000.101110——+0

10.0000000.10111——+x*

+0.110111

0.110111

10.01101110.1011——+x*

+0.110111

1.010010

10.101001010.101——+x*

+0.110111

1.100000

10.1100000010.10——+0

10.01100000010.1——x*

+0.110111

1.001111

10.1001111000102x*=01.101110，[-x*]補=[-x]補=1.001001

原碼兩位乘：

部分積乘數(shù)Cj

000.00000000.1011100

+001.101110+2x*

001.1011100

2000.0110111000.1011

+111.001001+[-x*]補

111.1001001

2111.111001001000.10

+111.001001+[-x*]補

111.0000101

2111.11000010001000.

+000.110111+x*

000.1001111000100

結果同一位乘，x·y=-0.100111100010[x]補=x=0.110111

[y]補=1.010010

[-x]補=1.001001

[2x]補=01.101110

[-2x]補=10.010010

[x×y]補=1.0110000111100

x·y=-0.1001111000100

補碼一位乘、兩位乘運算過程如下：補碼一位乘：部分積乘數(shù)[y]補yn+1

00.0000001.0100100——+0

100.00000001.010010

+11.001001+[-x]補

11.001001

111.100100101.01001

+00.110111+[x]補

00.011011

100.0011011101.0100——+0

100.00011011101.010

+11.001001+[-x]補

11.001111

111.100111111101.01

+00.110111+[x]補

00.011110

100.0011110111101.0

+11.001001+[-x]補

11.0110000111100——清0補碼兩位乘：

部分積乘數(shù)yn+1

000.00000011.0100100

+110.010010+[-2x]補

110.010010

2111.1001001011.01001

+000.110111+[x]補

000.011011

2000.000110111011.010

+000.110111+[x]補

000.111101

2000.00111101111011.0

+111.001001+[-x]補

111.01100001111000.

結果同補碼一位乘，x·y=-0.10011110001000（2）x=-0.010111，y=-0.010101

[x]原=1.010111，[y]原=1.010101

x*=0.010111，y*=0.010101

[-x*]補=1.101001，2x*=0.101110

[-2x*]補=1.010010

x0=1，y0=1，z0=x0

y0=1

1=0

[x]補=1.101001，[y]補=1.101011

[-x]補=0.010111，[2x]補=1.010010

[-2x]補=0.101110

x*×y*=0.000111100011

[x×y]原=0.000111100011

[x×y]補=0.0001111000110

x·y=0.000111100011

運算過程如下：原碼一位乘：

部分積乘數(shù)y*

0.000000.010101——+x*

+0.010111

0.010111

10.0010111.01010——+0

10.00010111.0101——+x*

+0.010111

0.011100

10.001110011.010——+0

10.0001110011.01——+x*

+0.010111

0.011110

10.00111100011.0——+0

10.000111100011

原碼兩位乘：

部分積乘數(shù)y*Cj

000.00000000.0101010

+000.010111+x*

000.0101110

2000.0001011100.0101

+000.010111+x*

000.0111000

2000.000111001100.01

+000.010111+x*

000.0111100

2000.00011110001100.

+0

結果同一位乘，x·y=0.000111100011補碼一位乘：部分積乘數(shù)[y]補yn+1

00.0000001.1010110

+00.010111+[-x]補

00.010111

100.00101111.101011——+0

100.000101111.10101

+11.101001+[x]補

11.101110

111.1101110111.1010

+00.010111+[-x]補

00.001110

100.00011100111.101

+11.101001+[x]補

11.110000

111.111000000111.10

+00.010111+[-x]補

00.001111

100.0001111000111.1——+0補碼兩位乘：

部分積乘數(shù)yn+1

000.00000011.1010110

+000.010111+[-x]補

000.010111

2000.0001011111.10101

+000.010111+[-x]補

000.011100

2000.000111001111.101

+000.010111+[-x]補

000.011110

2000.00011110001111.1

清0+0

結果同補碼一位乘，x·y=0.00011110001100（3）x=19，y=35

x=（10011）2，y=（100011）2

x*=[x]原=[x]補=0，010011

y*=[y]原=[y]補=0，100011

[-x*]補=[-x]補=1，101101

2x*=[2x]補=0，100110

[-2x*]補=[-2x]補=1，011010

x0=0，y0=0，z0=x0

y0=0

0=0

x·y=x*×y*=[x×y]原=[x×y]補

=0，001010011001

運算過程如下：原碼一位乘：

部分積乘數(shù)y*

0，000000100011——+x*

+0，010011

0，010011

10，001001110001——+x*

+0，010011

0，011100

10，001110011000——+0

10，000111001100——+0

10，000011100110——+0

10，000001110011——+x*

+0，010011

0，010100

10，001010011001

原碼兩位乘：

部分積乘數(shù)y*Cj

000，00000000，1000110

+111，101101+[-x*]補

111，1011011

2111，1110110100，1000

+000，010011+x*

000，0011100

2000，000011100100，10

+000，100110+2x*

000，1010010

2000，00101001

100100，

+0

結果同一位乘，x·y=0，001010011001補碼一位乘：部分積乘數(shù)[y]補yn+1

00，0000000，1000110

+11，101101+[-x]補

11，101101

111，11011010，100011——+0

111，111011010，10001

+00，010011+[x]補

00，001110

100，0001110010，1000——+0

100，00001110010，100——+0

100，000001110010，10

+11，101101+[-x]補

11，101110

111，1101110110010，1

+00，010011+[x]補

00，001010

011001

0

補碼兩位乘：

部分積乘數(shù)yn+1

000，00000000，1000110

+111，101101+[-x]補

111，101101

2111，1110110100，10001

+000，010011+[x]補

000，001110

2000，000011100100，100

+111，011010+[-2x]補

111，011101

2111，11011101100100，1

+000，010011+0

000，00101001100100

結果同補碼一位乘，x·y=0.00011110001100（4）x=0.11011，y=-0.11101

x*=[x]原=[x]補=0.11011

[y]原=1.11101，y*=0.11101

[y]補=1.00011

[-x*]補=[-x]補=1.00101

2x*=[2x]補=01.10110

[-2x*]補=[-2x]補=10.01010

x0=0，y0=1，z0=x0

y0=0

1=1

x*×y*=0.1100001111

[x×y]原=1.1100001111

[x×y]補=1.00111100010

x·y=-0.1100001111

運算過程如下：原碼一位乘：部分積乘數(shù)y*

0.00000.11101——+x*

+0.11011

0.11011

10.011011.1110——+0

10.0011011.111——+x*

+0.11011

1.00001

10.10000111.11——+x*

+0.11011

1.01011

10.101011111.1——+x*

+0.11011

1.10000

10.1100001111

原碼兩位乘：

部分積乘數(shù)y*Cj

000.000000.111010

+000.11011+x*

000.110110

2000.