§8–1剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述和運(yùn)動(dòng)分解§8–2求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法

§8–3求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法§8–4基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度§8–5運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例第八章剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)是工程上常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)，這是一種較為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)．對(duì)它的研究可以在研究剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)運(yùn)動(dòng)合成和分解的方法，將平面運(yùn)動(dòng)分解為上述兩種基本運(yùn)動(dòng)．然后應(yīng)用合成運(yùn)動(dòng)的理論，推導(dǎo)出平面運(yùn)動(dòng)剛體上一點(diǎn)的速度和加速度的計(jì)算公式．§8-1剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述和運(yùn)動(dòng)分解一．平面運(yùn)動(dòng)的定義

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變．也就是說(shuō)，剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．具有這種特點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)．例如:曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運(yùn)動(dòng)，A點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，因此，AB桿的運(yùn)動(dòng)既不是平動(dòng)也不是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而是平面運(yùn)動(dòng)．

二．平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化

剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)．即在研究平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運(yùn)動(dòng)，確定平面圖形上各點(diǎn)的速度和加速度．

三．平面運(yùn)動(dòng)方程為了確定代表平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置．

任意線段AB的位置可用A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB與x軸夾角表示．因此圖形S的位置決定于三個(gè)獨(dú)立的參變量．所以

四．平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)圖形Ｓ上Ａ點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)圖形Ｓ上

角不變時(shí)，則剛體作平動(dòng)．故剛體平面運(yùn)動(dòng)可以看成是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)．平面運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于每一瞬時(shí)t，都可以求出對(duì)應(yīng)的，圖形S在該瞬時(shí)的位置也就確定了。例如車輪的運(yùn)動(dòng)．車輪的平面運(yùn)動(dòng)可以看成是車輪隨同車廂的平動(dòng)和相對(duì)車廂的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成．車輪對(duì)于靜系的平面運(yùn)動(dòng)（絕對(duì)運(yùn)動(dòng)）車廂（動(dòng)系A(chǔ)xy)相對(duì)靜系的平動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）車輪相對(duì)車廂（動(dòng)系A(chǔ)xy）的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）

我們稱動(dòng)系上的原點(diǎn)Ａ為基點(diǎn)，于是車輪的平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)A的平動(dòng)繞基點(diǎn)A'的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)．再例如:平面圖形Ｓ在ｔ時(shí)間內(nèi)從位置I運(yùn)動(dòng)到位置II①以A為基點(diǎn):隨基點(diǎn)A平動(dòng)到A'B''后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'②以B為基點(diǎn):隨基點(diǎn)B平動(dòng)到A''B'后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'圖中看出：ABA'B''A''B'，于是有

所以，平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律與基點(diǎn)選取無(wú)關(guān)．(即在同一瞬間，圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的,都是相同的）基點(diǎn)的選取是任意的。(通常選取運(yùn)動(dòng)情況已知的點(diǎn)作為基點(diǎn))曲柄連桿機(jī)構(gòu)AB桿作平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)的分解§8-2求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法

根據(jù)速度合成定理則Ｂ點(diǎn)速度為：

一．基點(diǎn)法（合成法）取B為動(dòng)點(diǎn),則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可視為牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)的合成已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的速度，圖形角速度求：指向與轉(zhuǎn)向一致．取A為基點(diǎn),將動(dòng)系固結(jié)于A點(diǎn),動(dòng)系作平動(dòng)。根據(jù)速度合成定理則Ｂ點(diǎn)速度為：即平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度的矢量和．這種求解速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法．它是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)速度的基本方法．由于A,B點(diǎn)是任意的，因此表示了圖形上任意兩點(diǎn)速度間的關(guān)系．由于恒有，因此將上式在AB上投影，有—速度投影定理即平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影彼此相等．這種求解速度的方法稱為速度投影法．二．速度投影法

例1橢圓規(guī)尺的A端以速度vA沿x軸的負(fù)向運(yùn)動(dòng)，如圖所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB的角速度。解：1、AB作平面運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)：A

例2如圖所示平面機(jī)構(gòu)中，AB=BD=DE=l=300mm。在圖示位置時(shí)，BD∥AE，桿AB的角速度為ω=5rad/s。求：此瞬時(shí)桿DE的角速度和桿BD中點(diǎn)C的速度。解：1、BD作平面運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)：B

例3曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示，OA=r,AB=。如曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。解：1、AB作平面運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)：A0Bv=0j=o

例4如圖所示的行星輪系中，大齒輪Ⅰ固定，半徑為r1，行星齒輪Ⅱ沿輪Ⅰ只滾而不滑動(dòng)，半徑為r2。系桿OA角速度為。求：輪Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B，C兩點(diǎn)的速度。解:1、輪Ⅱ作平面運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)：AωⅡ。３、ωⅡ。

例5如圖所示的平面機(jī)構(gòu)中，曲柄OA長(zhǎng)100mm，以角速度ω=2rad/s轉(zhuǎn)動(dòng)。連桿AB帶動(dòng)搖桿CD，并拖動(dòng)輪E沿水平面純滾動(dòng)。已知：CD=3CB，圖示位置時(shí)A，B，E三點(diǎn)恰在一水平線上，且CD⊥ED。

求：此瞬時(shí)點(diǎn)E的速度。解：1、AB作平面運(yùn)動(dòng)2、CD作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸：C3、DE作平面運(yùn)動(dòng)

1.問(wèn)題的提出若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn)，求解速度問(wèn)題的計(jì)算會(huì)大大簡(jiǎn)化．于是，自然會(huì)提出，在某一瞬時(shí)圖形是否有一點(diǎn)速度等于零？如果存在的話，該點(diǎn)如何確定？§8-3求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法

２．速度瞬心的概念平面圖形S，某瞬時(shí)其上一點(diǎn)A速度,圖形角速度，沿方向取半直線AL,然后順的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL'的位置,在AL'上取長(zhǎng)度則： 即在某一瞬時(shí)必唯一存在一點(diǎn)速度等于零，該點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱速度瞬心．３．幾種確定速度瞬心位置的方法

①已知圖形上一點(diǎn)的速度和圖形角速度，可以確定速度瞬心的位置．（P點(diǎn)）且Ｐ在順轉(zhuǎn)向繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)90o的方向一側(cè)．

②已知一平面圖形在固定面上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng),則圖形與固定面的接觸點(diǎn)P為速度瞬心．

④

已知某瞬時(shí)圖形上A,B兩點(diǎn)速度大小,且(b)(a)

③已知某瞬間平面圖形上A,B兩點(diǎn)速度的方向，且過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作速度的垂線,交點(diǎn)

P即為該瞬間的速度瞬心.

另：對(duì)④種(a)的情況，若vA＝vB，則是瞬時(shí)平動(dòng)．⑤已知某瞬時(shí)圖形上A,B兩點(diǎn)的速度方向相同，且不與AB連線垂直．此時(shí),圖形的瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度=0,圖形上各點(diǎn)速度相等,這種情況稱為瞬時(shí)平動(dòng).(此時(shí)各點(diǎn)的加速度不相等)

例如:曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，連桿BC作瞬時(shí)平動(dòng)．此時(shí)連桿BC的圖形角速度，BC桿上各點(diǎn)的速度都相等.但各點(diǎn)的加速度并不相等．設(shè)勻，則而的方向沿AC的，瞬時(shí)平動(dòng)與平動(dòng)不同４.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面圖形上點(diǎn)的速度的方法,稱為速度瞬心法.平面圖形在任一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)可以視為繞速度瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。若P點(diǎn)為速度瞬心，則任意一點(diǎn)A的速度

方向AP，指向與一致。

５.注意的問(wèn)題

①速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時(shí)間不斷變化的。在任一瞬時(shí)是唯一存在的。

②速度瞬心處的速度為零,加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

③剛體作瞬時(shí)平動(dòng)時(shí)，雖然各點(diǎn)的速度相同，但各點(diǎn)的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動(dòng)。解：機(jī)構(gòu)中,OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),AB作平面運(yùn)動(dòng),滑塊B作平動(dòng)。

①基點(diǎn)法（合成法）研究AB，以A為基點(diǎn)，且方向如圖示。（）[例6]已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，取柄OA以勻轉(zhuǎn)動(dòng)。求：當(dāng)=45o時(shí),滑塊B的速度及AB桿的角速度．根據(jù)在Ｂ點(diǎn)做速度平行四邊形，如圖示。（）根據(jù)速度投影定理不能求出

②速度投影法研究AB,,方向OA,方向沿BO直線

③速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可確定出P點(diǎn)為速度瞬心例7橢圓規(guī)尺的A端以速度vA沿x軸的負(fù)向運(yùn)動(dòng)，如圖所示，AB=l。求：用瞬心法求B端的速度以及尺AB的角速度。解：AB作平面運(yùn)動(dòng)，速度瞬心為點(diǎn)C。

例8礦石軋碎機(jī)的活動(dòng)夾板長(zhǎng)600mm，由曲柄OE借連桿組帶動(dòng)，使它繞A軸擺動(dòng)，如圖所示。曲柄OE長(zhǎng)100mm，角速度為10rad/s。連桿組由桿BG，GD和GE組成，桿BG和GD各長(zhǎng)500mm。求：當(dāng)機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，夾板AB的角速度。解:1、桿GE作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為C1。2、桿BG作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為C。§8-4用基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度取A為基點(diǎn)，將平動(dòng)坐標(biāo)系固結(jié)于A點(diǎn)取B動(dòng)點(diǎn)，則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)．于是,由牽連平動(dòng)時(shí)加速度合成定理可得如下公式．一.基點(diǎn)法(合成法)已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的加速度和圖形的,（某一瞬時(shí)）。求：該瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)B的加速度。其中：，方向AB，指向與一致；，方向沿AB，指向A點(diǎn)。即平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱為基點(diǎn)法，也稱為合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個(gè)要素，方能求出其余兩個(gè)。由于方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個(gè)要素，即可解出問(wèn)題的待求量。

例9如圖所示，在外嚙合行星齒輪機(jī)構(gòu)中，系桿以勻角速度ω1繞O1轉(zhuǎn)動(dòng)。大齒輪固定，行星輪半徑為r，在大輪上只滾不滑。設(shè)A和B是行星輪緣上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在O1O的延長(zhǎng)線上，而點(diǎn)B在垂直于O1O的半徑上。求：點(diǎn)A和B的加速度。解:1、輪Ⅰ作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為C。2、選基點(diǎn)為Ｏ√√√√√√

例10如圖所示，在橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，曲柄OD以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。OD＝AD＝BD＝l。求：當(dāng)時(shí)，尺AB的角加速度和點(diǎn)A的加速度。解：1、AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為C。求：車輪上速度瞬心的加速度。

例11車輪沿直線滾動(dòng)。已知車輪半徑為R，中心O的速度為，加速度為，車輪與地面接觸無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。解：1、車輪作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為C。3、選Ｏ為基點(diǎn)1、運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用：

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。2、已知運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)未知運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)

3、連接點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析§8-5運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例求：該瞬時(shí)桿OA的角速度與角加速度。

例12圖示平面機(jī)構(gòu)，滑塊B可沿桿OA滑動(dòng)。桿BE與BD分別與滑塊B鉸接，BD桿可沿水平軌道運(yùn)動(dòng)?；瑝KE以勻速v沿鉛直導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，桿BE長(zhǎng)為。圖示瞬時(shí)桿OA鉛直，且與桿BE夾角為。解：1、桿BE作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在O點(diǎn)。取E為基點(diǎn)沿BE方向投影絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)(BD)相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)(OA)牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(軸O)2、動(dòng)點(diǎn)：滑塊B動(dòng)系：OA桿√√√沿BD方向投影沿BD方向投影求：此瞬時(shí)桿AB的角速度及角加速度。

例13在圖所示平面機(jī)構(gòu)中，桿AC在導(dǎo)軌中以勻速v平移，通過(guò)鉸鏈A帶動(dòng)桿AB沿導(dǎo)套O運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)套O與桿AC距離為l。圖示瞬時(shí)桿AB與桿AC夾角為。解：1、動(dòng)點(diǎn)：鉸鏈A動(dòng)系：套筒O