《命題及其關(guān)系》試卷最新考綱1.理解命題的概念；2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系；3.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義．知識梳理1．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性．②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性沒有關(guān)系．2．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qeq\o(?,/)pp是q的必要不充分條件peq\o(?,/)q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)“x2＋2x－8＜0”是命題．(×)(2)一個命題非真即假．(√)(3)命題“三角形的內(nèi)角和是180°”的否命題是“三角形的內(nèi)角和不是180°”．(×)(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分條件．(×)(5)給定兩個命題p，q.若p是q的充分不必要條件，則?p是?q的必要不充分條件．(√)2．命題“若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題是()A．若α≠eq\f(π,4)，則tanα≠1 B．若α＝eq\f(π,4)，則tanα≠1C．若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4) D．若tanα≠1，則α＝eq\f(π,4)解析命題的條件是p：α＝eq\f(π,4)，結(jié)論是q：tanα＝1.由命題的四種形式，可知命題“若p，則q”的逆否命題是“若?q，則?p”，顯然?q：tanα≠1，?p：α≠eq\f(π,4)，所以該命題的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4)”．答案C3．(2022·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析a＝3時，A＝{1,3}，顯然A?B.但A?B時，a＝2或3.所以A正確．答案A4．(2022·浙江卷)設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析因為菱形的對角線互相垂直，所以“四邊形ABCD為菱形”?“AC⊥BD”，所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分條件；又因為對角線垂直的四邊形不一定是菱形，所以“AC⊥BD”eq\o(?,/)“四邊形ABCD為菱形”，所以“四邊形ABCD為菱形”不是“AC⊥BD”的必要條件．綜上，“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件．答案A5．(人教A選修1－1P10練習4改編)下列命題：①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分條件；②圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線的充分必要條件；③sinα＝sinβ是α＝β的充要條件；④ab≠0是a≠0的充分不必要條件．其中為真命題的是__________(填序號)．答案②④考點一四種命題及其相互關(guān)系【例1】(2022·陜西卷)原命題為“若eq\f(an＋an＋1,2)＜an，n∈N＋，則{an}為遞減數(shù)列”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A．真，真，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假解析從原命題的真假入手，由于eq\f(an＋an＋1,2)＜an?an＋1＜an?{an}為遞減數(shù)列，即原命題和逆命題均為真命題，又原命題與其逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假，則其逆命題、否命題和逆否命題均為真命題．答案A規(guī)律方法(1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關(guān)鍵．(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假．(3)判斷一個命題為假命題可舉反例．【訓練1】已知：命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結(jié)論正確的是()A．否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m＞1”，是真命題B．逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”，是假命題C．逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)”，是真命題D．逆否命題是“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”，是真命題解析由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”是真命題，所以其逆否命題“若m＞1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題．答案D考點二充分、必要條件的判定與探求【例2】(1)(2022·新課標全國Ⅱ卷)函數(shù)f(x)在x＝x0處導數(shù)存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點，則()A．p是q的充分必要條件B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件C．p是q的必要條件，但不是q的充分條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件(2)ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件是()A．0＜a≤1 B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)≤1 D．0＜a≤1或a＜0解析(1)設(shè)f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是單調(diào)增函數(shù)，在x＝0處不存在極值，故“若p，則q”是一個假命題，由極值點的定義可得“若q，則p”是一個真命題．(2)法一當a＝0時，原方程為一元一次方程2x＋1＝0，有一個負實根．當a≠0時，原方程為一元二次方程，有實根的充要條件是Δ＝4－4a≥0，即a設(shè)此時方程的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(2,a)，x1x2＝eq\f(1,a)，當只有一個負實根時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,\f(1,a)＜0))?a＜0；當有兩個負實根時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,－\f(2,a)＜0，?0＜a≤1.,\f(1,a)＞0))綜上所述，a≤1.法二(排除法)當a＝0時，原方程有一個負實根，可以排除A，D；當a＝1時，原方程有兩個相等的負實根，可以排除B.答案(1)C(2)C規(guī)律方法判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題．【訓練2】(1)(2022·北京卷)設(shè)a，b是實數(shù)，則“a＞b”是“a2＞b2”A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件(2)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是()A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝－1C．x＝5 D．x＝0解析(1)令a＝1，b＝－2，顯然a＞b，但a2＜b2；∴“a＞b”不是“a2＞b2”令a＝－2，b＝1，顯然a2＞b2，但a＜b，∴“a＞b”不是“a2＞b2”∴“a＞b”是“a2＞b2”(2)∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.又a⊥b?a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.答案(1)D(2)D考點三根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍【例3】已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且?q的一個充分不必要條件是?p，則a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由?q的一個充分不必要條件是?p，可知?p是?q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件．故a≥1.答案A規(guī)律方法解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解，在求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．【訓練3】若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|x<m－1或x>m＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m－1，,m＋1<3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m－1，,m＋1≤3，))∴0≤m≤2.答案[0,2][思想方法]1．寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定．2．命題的充要關(guān)系的判斷方法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假．(2)等價法：利用A?B與?B??A，B?A與?A??B，A?B與?B??A的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法．(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件或“x∈B”是“x∈A”的必要條件；若A＝B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件．[易錯防范]對于命題正誤的判斷是高考的熱點之一，理應(yīng)引起大家的關(guān)注，命題正誤的判斷可涉及各章節(jié)的內(nèi)容，覆蓋面寬，也是學生的易失分點．命題正誤的判斷的原則是正確的命題要有依據(jù)或者給以論證；不一定正確的命題要舉出反例，絕對不要主觀臆斷，這也是最基本的數(shù)學邏輯思維方式.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()A．“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B．“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)”C．“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D．“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)”解析依題意，得原命題的逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)．答案B2．已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是()A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3解析同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題就是它的否命題．答案A3．命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是()A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)解析由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達是“x，y不都是偶數(shù)”，“x＋y是偶數(shù)”的否定表達是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”，故選C.答案C4．(2022·鄭州檢測)已知直線l，m，其中只有m在平面α內(nèi)，則“l(fā)∥α”是“l(fā)∥m”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析當l∥α時，直線l與平面α內(nèi)的直線m平行、異面都有可能，所以l∥m不成立；當l∥m時，根據(jù)直線與平面平行的判定定理知直線l∥α，即“l(fā)∥α”是“l(fā)∥m”的必要不充分條件，故選B.答案B5．(2022·云南統(tǒng)一檢測)“l(fā)gx＞lgy”是“eq\r(x)＞eq\r(y)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析若lgx＞lgy，則x＞y＞0，有eq\r(x)＞eq\r(y)，所以充分性成立；反之，當x＞0，y＝0時，有eq\r(x)＞eq\r(y)，但沒有l(wèi)gx＞lgy，所以必要性不成立，所以“l(fā)gx＞lgy”是“eq\r(x)＞eq\r(y)”的充分不必要條件，故選A.答案A6．(2022·成都二診)下列說法正確的是()A．命題“若x2＞1，則x＞1”的否命題為“若x2＞1，則x≤1”B．命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＞1”的否定是“?x∈R，x2＞1”C．命題“若x＝y(tǒng)，則cosx＝cosy”的逆否命題為假命題D．命題“若x＝y(tǒng)，則cosx＝cosy”的逆命題為假命題解析A項中否命題為“若x2≤1，則x≤1”，所以A錯誤；B項中否定為“?x∈R，x2≤1”，所以B錯誤；因為逆否命題與原命題同真假，所以C錯誤；易知D正確，故選D.答案D7．(2022·廣東卷)在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，則“a≤b”是“sinA≤sinB”的()A．充分必要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件解析結(jié)合正弦定理可知，a≤b?2RsinA≤2RsinB?sinA≤sinB(R為△ABC外接圓的半徑)．故選A.答案A8．(2022·東北三省四市聯(lián)考)下列命題中真命題是()A．“a＞b”是“a2＞b2”B．“a＞b”是“a2＞b2”C．“a＞b”是“ac2＞bc2”D．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要條件解析由a＞b不能得知ac2＞bc2，當c2＝0時，ac2＝bc2；反過來，由ac2＞bc2可得a＞b.因此，“a＞b”是“ac2＞bc2”答案C二、填空題9．命題“若x2＞y2，則x＞y”的逆否命題是________．答案“若x≤y，則x2≤y210．“m<eq\f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有實數(shù)解”的________條件(填“充分不必要、必要不充分、充要”)．解析x2＋x＋m＝0有實數(shù)解等價于Δ＝1－4m≥0，即m≤eq\f(1,4).答案充分不必要11．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是________．解析已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則m＝－2；反之也成立．所以函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是m＝－2.答案m＝－212．下列命題：①“全等三角形的面積相等”的逆命題；②“若ab＝0，則a＝0”的否命題；③“正三角形的三個角均為60°”的逆否命題．其中真命題的序號是________．解析①“全等三角形的面積相等”的逆命題為“面積相等的三角形全等”，顯然該命題為假命題；②“若ab＝0，則a＝0”的否命題為“若ab≠0，則a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不為零，故a≠0，所以該命題是真命題；③因為原命題“正三角形的三個角均為60°”是一個真命題，故其逆否命題也是一個真命題．答案②③能力提升題組(建議用時：15分鐘)13．(2022·天津十二區(qū)縣重點中學聯(lián)考)設(shè)x，y∈R，則“x2＋y2≥9”是“x＞3且y≥3”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析當x＝－4時滿足x2＋y2≥9，但不滿足x＞3，所以充分性不成立；反之，當x＞3且y≥3時，一定有x2＋y2≥9，所以必要性成立，即“x2＋y2≥9”是“x＞3且y≥3”的必要不充分條件，故選B.答案B14．(2022·臨沂模擬)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解析由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要條件，所以k＞2，即實數(shù)k的取值范圍是(2，＋∞)，故選B.答案B15．(2022·湖南高考診斷)下列選項中，p是q的必要不充分條件的是(