1三角函數(shù)系的正交性函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)小結(jié)思考題問題的提出11.6

傅里葉(Fourier)級數(shù)正弦級數(shù)或余弦級數(shù)

上一節(jié)詳細研究了一種重要的函數(shù)項級數(shù):冪級數(shù).

下面研究另一種重要的函數(shù)項級數(shù):這種級數(shù)是由于研究周期現(xiàn)象的需要而產(chǎn)生的.它在電工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很重要的應(yīng)用.

傅里葉(Fourier,1768-1830)法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家.法國科學(xué)院院士,英國皇家學(xué)會會員.傅里葉級數(shù).一、問題的提出非正弦周期函數(shù):矩形波不同頻率正弦波逐個疊加設(shè)想一個較復(fù)雜的周期運動(如矩形波)分解為簡諧振動的迭加.會給分析問題帶來方便.

是把一個復(fù)雜的周期函數(shù)f(t)反映在數(shù)學(xué)上,的迭加,表示為各類正弦函數(shù)諧波分析或再利用三角恒等式,變形為即二、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性1.三角級數(shù)諧波分析三角級數(shù)2.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題:1.若能展開,是什么?2.展開的條件是什么?1.傅里葉系數(shù)設(shè)f(x)是以2π為周期的函數(shù),傅里葉系數(shù)17稱為函數(shù)f(x)(誘導(dǎo)出)的傅里葉級數(shù)(或傅氏級數(shù)),f(x)

記為用它們作系數(shù)三角級數(shù)定義設(shè)f(x)是以2π為周期的函數(shù),則上面確定的系數(shù)a0,an,bn(n=1,2,…)稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)(或傅氏系數(shù)),傅里葉級數(shù)問題:2.狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)注意:函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低的多.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.例

以2π為周期的矩形脈沖的波形將其展開為傅氏級數(shù).和函數(shù)圖象為奇偶和函數(shù)圖像所求函數(shù)的傅氏展開式為

設(shè)函數(shù)f(x)以為周期,且其傅氏級數(shù)在處收斂于().研究生考題,填空,3分練習(xí)24周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)解題程序:并驗證是否滿足狄氏條件(畫圖目的:驗證狄氏條件;由圖形寫出收斂域;易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量);(2)求出傅氏系數(shù);(3)寫出傅氏級數(shù),并注明它在何處收斂于f(x).(1)畫出f(x)的圖形,注意:對于非周期函數(shù),如果函數(shù)只在區(qū)間上有定義,并且滿足狄氏充分條件,也可展開成傅氏級數(shù).作法:解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.

拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在收斂于.偶函數(shù)所求函數(shù)的傅氏展開式為奇函數(shù)利用傅氏展開式求級數(shù)的和為周期的傅氏級數(shù)的和函數(shù)S(x)在上的解S(x)=練習(xí)表達式.32由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)的公式,易得下面的結(jié)論.和傅里葉系數(shù)此時稱傅里葉級數(shù)為正弦級數(shù),四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)它的傅里葉系數(shù)為即(1)當周期為2π的奇函數(shù)f(x)展成傅立葉級數(shù)時,33此時稱傅里葉級數(shù)為注將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時,先要考查函數(shù)是非常有用的.是否有奇偶性,(cosineseries)余弦級數(shù)它的傅里葉系數(shù)為(2)當周期為2π的偶函數(shù)f(x)展成傅立葉級數(shù)時,即解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.和函數(shù)圖象觀察兩函數(shù)圖形解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件,在整個數(shù)軸上連續(xù).41函數(shù)延拓到一個周期[-π,π]上函數(shù)定義在[0,π]上函數(shù)按周期延拓到整個數(shù)軸上定義在[0,π]上的函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)42

奇延拓

偶延拓正弦級數(shù).偶函數(shù),奇函數(shù),余弦級數(shù);因而因而展開成展開成把[0,π]上的函數(shù)延拓到[-π,π]上有兩種:(1)使函數(shù)成為[-π,π]上(2)使函數(shù)成為[-π,π]上解(1)求正弦級數(shù).(2)求余弦級數(shù).

設(shè)函數(shù)(1)把f(x)展開為正弦級數(shù);(2)求級數(shù)的和函數(shù)S(x)在解練習(xí)(1)上的表達式;正弦級數(shù)p±1,0x

級數(shù)的和函數(shù)S(x)的周期為如圖所示從圖上看更明顯(2)求級數(shù)的和函數(shù)S(x)在上的表達式;解解48基本概念(三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)(傅里葉系數(shù)、傅里葉傅里葉級數(shù)的意義——整體逼近五、小結(jié)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]展開為傅里葉正弦級數(shù)特點:問題明確,