第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第一節(jié)列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法第二節(jié)非線性數(shù)學模型的線性化第三節(jié)傳遞函數(shù)第四節(jié)系統(tǒng)框圖及其等效變換第五節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第六節(jié)信號流圖和遜公式的應(yīng)用第七節(jié)控制系統(tǒng)的反饋特性1/14/20231第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型描述系統(tǒng)運動的數(shù)學模型狀態(tài)變量描述（內(nèi)部描述）狀態(tài)方程是這種描述的最基本形式。建立系統(tǒng)數(shù)學模型的方法實驗法（第五章介紹）解析法輸入－輸出描述（端部描述）微分方程是這種描述的最基本形式。傳遞函數(shù)、方框圖等其它模型均由它而導出。

自動控制理論所謂的數(shù)學模型，是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及與內(nèi)部其他變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式。1/14/20232第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型預備知識自動控制理論電容

2.電感

3.彈簧彈性力

5.阻尼器

平動阻尼器k：阻尼系數(shù)：旋轉(zhuǎn)角速度：旋轉(zhuǎn)角度T：阻尼力矩f：阻尼系數(shù)F：阻尼力y：位移旋轉(zhuǎn)阻尼器4.磁通鏈感應(yīng)電壓L為繞組電感，i為繞組電流1/14/20233第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第一節(jié)列寫系統(tǒng)微分方程的一般方法用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟根據(jù)基本的物理、化學等定律，列寫出系統(tǒng)中每一個元件的輸入與輸出的微分方程式

確定系統(tǒng)的輸入量與輸出量，消去其余的中間變量，求得系統(tǒng)輸出與輸入的微分方程式對所求的微分方程進行標準化處理圖2-1Ｒ-L-C電路消去中間變量，則有:自動控制理論由基爾霍夫定律得：電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)1、無負載效應(yīng)的電路1/14/20234第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖2-2R-C濾波網(wǎng)絡(luò)消去中間變量i1、i2得或?qū)懽髯詣涌刂评碚?、有負載效應(yīng)的電路對于圖2-2所示的電路，在列寫方程時必須考慮后級電路對前級電路的影響，由基爾霍夫定律列出下列方程組：1/14/20235第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型求圖2-3所示彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)的數(shù)學模型由牛頓第二定律列出方程圖2-3彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)即式中：ｆ——為阻尼系數(shù)——阻尼器阻力自動控制理論ky(t)——彈簧拉力ｋ——為彈簧的彈性系數(shù)機械位移系統(tǒng)1/14/20236第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制理論液位控制系統(tǒng)圖2-4中，Q1、Q2和H分別為液槽在平衡狀態(tài)時液體的流入量、流出量和液位的高度值。q1(t)、q2(t)和h為相應(yīng)變量的增量。設(shè)液槽的面積為C，根據(jù)物料自平衡的原理，液體流入量與流出量之差應(yīng)等于液槽中液體存貯量的變化率，即有考慮在平衡狀態(tài)H=定值，Q1=Q2，則上式可改寫為基于液位h(t)與流量q2(t)之間的關(guān)系如圖2-5所示，它的數(shù)學表達式為：（2-4）（2-5）圖2-4液位系統(tǒng)1/14/20237第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制理論式中α為比例常數(shù)（與V2閥開度的大小有關(guān)）。經(jīng)在平衡點作線性化處理后q2(t)與h(t)的關(guān)系為或?qū)懽鳎菏街?，把式?-6）代入式（2-4）得其中，T=RC或圖2-5q2(t)與h(t)的關(guān)系曲線（2-6）（2-7）1/14/20238第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖2-7G-M直流調(diào)速系統(tǒng)的框圖圖2-6G-M直流調(diào)速系統(tǒng)原理圖自動控制理論直流調(diào)速系統(tǒng)電機知識點回顧1/14/20239第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型根據(jù)勵磁線圈和轉(zhuǎn)子繞組的聯(lián)接關(guān)系，勵磁式的直流電機又可細分為：他勵電動機：勵磁線圈與轉(zhuǎn)子電樞的電源分開。并勵電動機：勵磁線圈與轉(zhuǎn)子電樞并聯(lián)到同一電源上。串勵電動機：勵磁線圈與轉(zhuǎn)子電樞串聯(lián)接到同一電源上。復勵電動機：勵磁線圈與轉(zhuǎn)子電樞的聯(lián)接有串有并，接在同一電源上。M他勵UfIfIaUM并勵UIfM串勵UM復勵U勵磁的定義：磁極上的線圈通以直流電產(chǎn)生磁通，稱為勵磁。電機

1/14/202310第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型電樞回路：——基爾荷夫

電樞反電勢： ——楞次定律電磁力矩： ——安培定律力矩平衡： ——牛頓定律電樞控制式直流電動機u:外加電壓,R:繞組電阻,E:反電勢,:電樞繞組中的電流:反電勢系數(shù)，:電動機角速度:電機轉(zhuǎn)矩系數(shù),T：電磁轉(zhuǎn)矩，J:轉(zhuǎn)動慣量，:摩擦系數(shù)(阻尼系數(shù))

1/14/202311第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型測速發(fā)電機:輸出：比例系數(shù)：

傳遞特性：輸入：能量關(guān)系:機械能轉(zhuǎn)變成電能電能轉(zhuǎn)變成機械能電樞電勢:電源電勢反電勢直流發(fā)電機與直流電動機的區(qū)別：Ke：與電機結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)：磁通n：電動機轉(zhuǎn)速1/14/202312第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型T為電動機的電磁轉(zhuǎn)矩(Nm)，TL

為電動機的負載轉(zhuǎn)矩(Nm)，J為電動機軸上的總轉(zhuǎn)動慣量(kgm2)，為電動機的角速度(rad/s),D為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動部分的回轉(zhuǎn)直徑(m),

m

為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動部分的質(zhì)量(kg),

電動機轉(zhuǎn)軸與生產(chǎn)機械的工作機構(gòu)直接相連，工作機構(gòu)是電動機的負載。是具有加速度量綱的系數(shù)，單位為m／min·s。

為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動部分的回轉(zhuǎn)半徑(m),g=9.81m/s2為重力加速度,G為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動部分的重力(N),

為轉(zhuǎn)動部分的飛輪力矩(N·m2)1/14/202313第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型動轉(zhuǎn)矩系統(tǒng)處于加速；恒速或靜止，穩(wěn)定運轉(zhuǎn)狀態(tài)；系統(tǒng)減速

返回1/14/202314第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖2-7G-M直流調(diào)速系統(tǒng)的框圖圖2-6G-M直流調(diào)速系統(tǒng)原理圖自動控制理論直流調(diào)速系統(tǒng)1/14/202315第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型放大器圖2-8直流他勵發(fā)電機電路圖(2-8)自動控制理論直流他勵發(fā)電機由電機學原理得：把式（2-10）代入（2-9），則得（2-9）（2-10）（2-11）式中假設(shè)拖動發(fā)電機的原動機的轉(zhuǎn)速n0恒定不變，發(fā)電機沒有磁滯回線和剩磁，發(fā)電機的磁化曲線為一直線，即Φ/iB=L。1/14/202316第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型他勵直流電動機由基爾霍夫定律和牛頓第二定律得電動機的轉(zhuǎn)速n是輸出量，它的變化要受到發(fā)電機的電動勢EG和負載轉(zhuǎn)矩Td控制。自動控制理論圖2-9直流他勵電動機電路圖1/14/202317第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型輸入量是驅(qū)動電動機的轉(zhuǎn)速n，輸出量是測速發(fā)電機的電樞電壓Ufn，假設(shè)測速發(fā)電機的磁場恒定不變，則Ufn與n成線性關(guān)系即有測速發(fā)電機

自動控制理論1/14/202318第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第二節(jié)非線性數(shù)學模型的線性化非線性數(shù)學模型線性化的假設(shè)變量對于平衡工作點的偏離較小非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其多階導數(shù)均存在微偏法(切線法)在給定工作點領(lǐng)域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，并略去二階及二階以上的各項，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。設(shè)一非線性元件的輸入為x、輸出為y，它們間的關(guān)系如圖2-11所示，相應(yīng)的數(shù)學表達式為圖2-11非線性特性的線性化y=f(x)（2-17）自動控制理論1/14/202319第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型在給定工作點A（x0,y0）附近，將上式展開為泰勒級數(shù)自動控制理論1/14/202320第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型舉例上節(jié)在推導直流他勵發(fā)電動機的微分方程式時，曾假設(shè)其磁化曲線為直線，實際上發(fā)電機的磁化曲線如圖2-12所示。設(shè)發(fā)電機原工作于磁化曲線的A點，若令發(fā)電機的勵磁電壓增加△U1，求其增量電勢△EG的變化規(guī)律。圖2-12發(fā)電機的磁化曲線若勵磁電壓增量，則有如果發(fā)電機在小信號勵磁電壓的作用下，工作點A的偏離便較小，從而可以通過點A作一切線CD，且以此切線CD近似代替原有的曲線EAF。在平衡點A處，直流電機的方程為自動控制理論1/14/202321第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型由式（2-21）減式（2-19），式（2-22）減式（2-20）后得

式（2-23）、（2-24）均為增量方程，它們描述了發(fā)電機在平衡點A處受到△u1作用后的運動過程。對增量方程式而言，磁化曲線的坐標原點不是在O點，而是移到A點。因而發(fā)電機的初始條件仍為零。式中N為勵磁繞組的匝數(shù)。自動控制理論1/14/202322第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制理論1/14/202323第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型在實際應(yīng)用中，常把增量符號“△”省去，這樣上述兩式顯然和（2-9）（2-10）完全相同小結(jié)隨著發(fā)電機平衡工作點的不同，其時間常數(shù)和放大倍數(shù)是不同的。由線性化引起的誤差大小與非線性的程度和工作點偏移的大小有關(guān)。自動控制理論1/14/202324第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第三節(jié)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下，系統(tǒng)（或元件）輸出量的拉氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)（或元件）的傳遞函數(shù)。設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程式為自動控制理論拉氏變換1/14/202325第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型知識回顧時間域->拉普拉斯變換->復頻域拉普拉斯逆變換拉普拉斯變換的性質(zhì)2.

位移定理1.

線性性質(zhì)1/14/202326第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型3.相似性4.

微分定理

5.

積分定理

1/14/202327第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型6.初值定理7.

終值定理

8.

卷積定理

1/14/202328第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型常用信號的拉普拉斯變換序號112345（n為正整數(shù)）678書p301/14/202329第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型在零初始條件下，對上式進行拉式變換得自動控制理論于是得(2-31)1/14/202330第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)的微分方程經(jīng)拉氏變換后求得，而拉氏變換是一種線性變換，因而這必然同微分方程一樣能表征系統(tǒng)的固有特性，即成為描述系統(tǒng)運動的又一形式的數(shù)學模型。由于傳遞函數(shù)包含了微分方程式的所有系數(shù)，因而根據(jù)微分方程就能直接寫出對應(yīng)的傳遞函數(shù)，即把微分算子用復變量s表示，把c(t)和r(t)換為相應(yīng)的象函數(shù)C(s)和R(s)，則就把微分方程轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的傳遞函數(shù)。反之亦然。單位脈沖響應(yīng)及應(yīng)用小結(jié)自動控制理論1/14/202331第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型如果已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t),則利用卷積積分求解系統(tǒng)在任何輸入r(t)作用下的輸出響應(yīng),即下面以一個R-C電路(圖2-13)為例,說明卷積積分的應(yīng)用該電路的微分方程為圖2-13R-C電路自動控制理論1/14/202332第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1、由于2、3、式中自動控制理論1/14/202333第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型傳遞函數(shù)的性質(zhì)

傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)(或元件)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號的大小和形式無關(guān)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)為復變量s的有理分式，它的分母多項式s的最高階次n總是大于或等于其分子多項式D的最高階次m，即n≥m

傳遞函數(shù)不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運動過程一個傳遞函數(shù)是由相應(yīng)的零、極點組成一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入與一個輸出的關(guān)系，它不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的特性對于多輸入—多輸出的系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)矩陣去表征系統(tǒng)的輸入與輸出的關(guān)系，例如對于圖2-14所示的系統(tǒng)。自動控制理論1/14/202334第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖2-14多輸入多輸出系統(tǒng)

由圖2-14得自動控制理論1/14/202335第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)特點：輸出不失真、不延遲、成比例地復現(xiàn)輸入信號的變化比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)特點：輸出量延緩地反映輸入量的變化規(guī)律微分方程自動控制理論1/14/202336第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型積分環(huán)節(jié)特點：環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量對時間的積分成正比，即有圖2-15積分調(diào)節(jié)器例如圖2-15所示的積分器，其傳遞函數(shù)為自動控制理論對應(yīng)的傳遞函數(shù)：T---環(huán)節(jié)的時間常數(shù)1/14/202337第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型微分環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號對時間的微分成正比，即圖2-16R-C網(wǎng)絡(luò)1）實用微分環(huán)節(jié)，如圖2-16所示，它的傳遞函數(shù)為：2）直流測速發(fā)電機。如圖2-17所示，圖2-17直流測速發(fā)電機自動控制理論1/14/202338第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型振蕩環(huán)節(jié)特點：如輸入為一階躍信號，則環(huán)節(jié)的輸出卻呈周期振蕩形式微分方程具有式（2-37）形式的傳遞函數(shù)在控制工程中經(jīng)常會碰到，例如自動控制理論1/14/202339第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1）R-L-C電路的傳遞函數(shù)2）彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3）直流他勵電動機在變化時的傳遞函數(shù)上述三個傳遞函數(shù)在化成式（2-37）所示的形式時，雖然它們的阻尼比ζ和1/T所含的具體內(nèi)容各不相同，但只要滿足0＜ζ＜1，則它們都是振蕩環(huán)節(jié)。自動控制理論1/14/202340第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型純滯后環(huán)節(jié)圖2-18具有傳遞滯后的裝置則如果自動控制理論電氣網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的求取無源網(wǎng)絡(luò)電路圖2-19無源網(wǎng)絡(luò)圖2-19中z1和z2為復數(shù)阻抗，由圖得1/14/202341第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制理論即（2-41）圖2-20R-C電路例2-1求圖2-20所示電路的傳遞函數(shù)解：由式（2-41）得1/14/202342第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制理論有源網(wǎng)絡(luò)電路圖2-21有源網(wǎng)絡(luò)1圖2-22有源網(wǎng)絡(luò)2設(shè)Z1、Z2、Z3、Z4為復數(shù)阻抗，，并略去運放的輸入電流，基于上述同樣的假設(shè)，由圖2-22得即消去上述式中的中間變量I1、I2、I3、I4和UB，求得：則由圖2-21得1/14/202343第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型例2-2求圖2-23、圖2-24所示兩個有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。1）在圖2-23中，于是得2）在圖2-24中，則由式（2-43）得圖2-23PI調(diào)節(jié)器圖2-24PD調(diào)節(jié)器1/14/202344第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第四節(jié)系統(tǒng)框圖及其等效交換信號線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號的流向。比較點（綜合點）：兩個以上的信號進行加減運算，輸出信號等于所有輸入信號的代數(shù)和。引出點（分支點）：引出點表示信號引出或分支。在同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。方框（環(huán)節(jié)）：把傳遞函數(shù)寫到方框的里面。方框的輸出等于方框的輸入與傳遞函數(shù)的乘積，可視為單向運算的算子。1/14/202345第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型繪制系統(tǒng)框圖的一般步驟1、寫出系統(tǒng)中每一個部件的運動方程式2、根據(jù)部件的運動方程式寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù)，一個部件用一個方框表示，在框中填入相應(yīng)的傳遞函數(shù)3、根據(jù)信號的流向，將各方框單元依次連接起來，并把系統(tǒng)的輸入量置于系統(tǒng)方框圖的最左端，輸出量置于最右端例2-3繪制圖2-26所示R-C網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)框圖1）列寫該網(wǎng)絡(luò)的運動方程自動控制理論圖2-26R-C網(wǎng)絡(luò)1/14/202346第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2）畫出上述兩式對應(yīng)的方框圖3）將兩方框圖按信號的流向依次連接，求得2-27c的系統(tǒng)方框圖例2-4繪制圖2-2所示R-C網(wǎng)絡(luò)方框圖1）列寫運動方程自動控制理論圖2-27圖2-26所示電路的系統(tǒng)框圖圖2-2R-C濾波網(wǎng)絡(luò)1/14/202347第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2）畫出上述四式對應(yīng)的方框圖，如圖2-28a所示3）根據(jù)信號的流向，將各方框單元依次連接起來，就得到圖2-28b所示的方框圖自動控制理論圖2-28圖2-2所示電路的系統(tǒng)框圖1/14/202348第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型框圖的等效變換1、串聯(lián)連接圖2-31環(huán)節(jié)的串聯(lián)連接通式：2、并聯(lián)連接圖2-32環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接自動控制理論1/14/202349第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型由圖2-32得通式：3、反饋連接圖2-33環(huán)節(jié)的反饋連接自動控制理論1/14/202350第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1）負反饋連接2）正反饋連接例如4、引出點移動1）引出點后移圖2-34圖2-27所示框圖的化簡自動控制理論1/14/202351第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2）引出點前移5、綜合點移動1）綜合點后移2）綜合點前移自動控制理論1/14/202352第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型例2-5求圖2-35所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)解：將圖中引出點A后移,然后從內(nèi)回路到外回路逐步化簡,其過程為圖2-28所示圖2-35多回路系統(tǒng)的框圖自動控制理論1/14/202353第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖2-36圖2-35框圖的等效變換自動控制理論1/14/202354第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第五節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)設(shè)控制系統(tǒng)的方框圖如圖2-38所示，圖中R(s)為參考輸入，D(s)為擾動信號。參照該圖，給出控制系統(tǒng)中幾種常用傳遞函數(shù)的命名和求法。圖2-38控制系統(tǒng)的方框圖開環(huán)傳遞函數(shù)與前向通道的傳遞函數(shù)系統(tǒng)反饋量B(s)與誤差信號E(s)的比值稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。即自動控制理論1/14/202355第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型令D(s)=0，把圖2-38變?yōu)閳D2-39。圖中CR(s)和ER(s)分別為R(S)作用下的輸出與誤差。自動控制理論閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的輸出量C(s)與誤差信號E(S)的比值稱為系統(tǒng)的前向通路傳遞函數(shù)它用下式表示：參數(shù)輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)圖2-39輸入作用下的系統(tǒng)框圖1/14/202356第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型如果H(s)=1，則圖2-39所示的系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為自動控制理論1.閉環(huán)傳遞函數(shù)CR(s)/R(s)根據(jù)式（2-46）求得系統(tǒng)相應(yīng)的輸出為：1/14/202357第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

令r(t)=0，于是圖2-38所示的方框圖就可改畫為圖2-40。圖中CD(s)表示由擾動作用引起系統(tǒng)的輸出。自動控制理論2.閉環(huán)傳遞函數(shù)ER(s)/R(s)于是求得在參考輸入作用下誤差的閉環(huán)傳遞函數(shù)。1.閉環(huán)傳遞函數(shù)CD(s)/D(s)CD(s)與D(s)的比值稱為擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。根據(jù)式（2-46）得1/14/202358第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖2-40擾動作用下系統(tǒng)的框圖自動控制理論2.閉環(huán)傳遞函數(shù)ED(s)/D(s)由擾動作用產(chǎn)生的誤差ED(s)與D(s)之比，稱為擾動誤差傳遞函數(shù)。即把擾動D(s)作為系統(tǒng)的輸入，由擾動引起的誤差ED(s)為系統(tǒng)的輸出。這樣，圖2-38所示系統(tǒng)的方框圖就可改畫為圖2-41。根據(jù)式（2-46），求得擾動誤差的傳遞函數(shù)為：1/14/202359第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型當系統(tǒng)同時受到R(s)和D(s)作用時，由疊加原理可知，系統(tǒng)總的輸出為它們單獨作用于系統(tǒng)引起的輸出之和。即自動控制理論圖2-41擾動作用下系統(tǒng)的框圖同理，可求得在R(s)和D(s)共同作用下系統(tǒng)總的誤差：（5-56）（5-57）當滿足|G1(s)H(s)|>>1和|G1(s)G2(s)H(s)|>>1時，可得出如下的結(jié)論：1/14/202360第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1）當|G1(s)H(s)|>>1時，由式（2-49）得自動控制理論這表示，閉環(huán)傳遞函數(shù)CR(s)/R(s)基本上與G1(s)、G2(s)無關(guān)，它只與H(s)成反比關(guān)系：即G1(s)、G2(s)的變化不會對閉環(huán)傳遞函數(shù)產(chǎn)生明顯的影響，這是閉環(huán)系統(tǒng)的優(yōu)點之一。2）由式（2-53）可知：由于|G1(s)H(s)|>>1，故CD(s)/R(s)很小，這表示由擾動對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響基本被抑制，這是閉環(huán)系統(tǒng)的又一優(yōu)點。3）當H(s)=1，|G1(s)G2(s)|>>1時:1/14/202361第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第六節(jié)信號流圖和梅遜公式的應(yīng)用信號流圖也是一種圖示法，把它應(yīng)用于線性系統(tǒng)時必須先將系統(tǒng)的微分方程組變成以s為變量的代數(shù)方程組，且把每個方程改寫為下列的因果形式。信號流圖的基本組成單元有兩個：節(jié)點和支路。節(jié)點在圖中用“O”表示，它表示系統(tǒng)中的變量；兩變量間的因果關(guān)系用一被稱為支路的有向線段來表示。箭頭表示信號的傳輸方向，兩變量間的因果關(guān)系叫做增益，標明在相應(yīng)的支路旁。自動控制理論例如一個線性方程為1/14/202362第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型下面舉例說明信號流圖繪制的步驟：繪制的步驟如圖2-43所示。圖2-43方程組的信號流程自動控制理論設(shè)一系統(tǒng)的線性方程組為：1/14/202363第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型信號流圖的術(shù)語和性質(zhì)1、術(shù)語節(jié)點—代表系統(tǒng)中的變量,并等于所有流入該節(jié)點的信號之和

支路—信號在支路上按箭頭的指向由一個節(jié)點流向另一個節(jié)點

輸入節(jié)點或源點—相當于自變量，它只有輸出支路

輸出節(jié)點或阱點—只有輸入支路的節(jié)點，對應(yīng)于因變量

通路—沿著支路的箭頭方向穿過各相連支路的途徑，稱為通路

開通路—通路與任一節(jié)點相交不多于一次

閉通路—通路的終點也是通路的起點，并且與任何其它節(jié)點相交不多于一次

前向通路—從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路上，通過任何節(jié)點不多于一次，則稱該通路為前向通路

回路—就是閉通路

不接觸回路—一些回路間沒有任何公共節(jié)點

前向通路增益—在前向通路中，各支路增益的乘積

回路增益—回路中各支路增益的乘積自動控制理論1/14/202364第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2、性質(zhì)信號流圖只適用于線性系統(tǒng)支路表示一個信號對另一個信號的函數(shù)關(guān)系；信號只能沿著支路上的箭頭指向傳遞在節(jié)點上可以把所有輸入支路的信號疊加，并把相加后的信號傳送到所有的輸出支路具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點，通過增加一個具有單位增益的支路，可以把它作為輸出節(jié)點來處理對于一個給定的系統(tǒng)，其信號流圖不是唯一的。圖2-44列出了部分常見控制系統(tǒng)的方框圖和相應(yīng)的信號流圖。自動控制理論1/14/202365第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖2-44框圖與相應(yīng)的信號流圖自動控制理論1/14/202366第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型梅遜增益公式梅遜公式用于計算輸入節(jié)點與輸出節(jié)點間的總增益，它用下式表示自動控制理論1/14/202367第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型圖2-45例2-7圖例2-7試用梅遜公式求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)自動控制理論a)多回路控制系統(tǒng)的框圖b)系統(tǒng)的信號流圖1/14/202368第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型解：自動控制理論1/14/202369第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第七節(jié)控制系統(tǒng)的反饋特性自動控制理論