情境3立體的投影教學內(nèi)容：3.1平面立體的投影3.2曲面立體的投影3.3平面與回轉(zhuǎn)體相交3.4兩回轉(zhuǎn)體表面相交基本幾何體示例

由于平面立體的表面是由若干個多邊形平面所圍成，因此，繪制平面立體的投影可歸結(jié)為繪制它的各平面的投影。平面立體各表面的交線稱為棱線。

3.1平面立體的投影棱柱是由兩個全等的多邊形底面、頂面和矩形（直棱柱時）或平行四邊形（斜棱柱時）的側(cè)棱面圍成的。平面立體的投影棱柱平面立體的投影棱柱投影分析和畫法：由于正六棱柱的頂面和底面為水平面，所以其水平投影重合為反映實形的正六邊形，正面投影和側(cè)面投影分別積聚為平行于相應投影軸的水平直線段；前、后兩個側(cè)棱面為正平面，其正面投影反映實形且重合，水平投影和側(cè)面投影分別積聚為平行于相應投影軸的水平直線段和鉛垂直線段；其余側(cè)棱面都為鉛垂面，它們的水平投影分別積聚成斜線段并重合在正六邊形的邊上，正面投影和側(cè)面投影均為類似形（矩形）。平面立體的投影棱柱表面取點：

取點的原理和方法與在平面上取點的原理和方法相同。平面立體的投影棱錐棱錐由幾個三角形的側(cè)棱面和一個多邊形的底面圍成。各側(cè)棱面為共頂點的三角形。平面立體的投影棱錐投影分析和畫法：因為底面△ABC為水平面，故其水平投影△abc反映實形，正面投影和側(cè)面投影均積聚為水平線段。棱面△SAB和△SBC為一般位置平面，三面投影均為縮小的類似三角形。因該兩棱面左、右對稱，故側(cè)面投影重合。棱面△SAC為側(cè)垂面，所以側(cè)面投影s″a″c″積聚為斜線段，水平投影和側(cè)面投影為縮小的類似三角形，如圖所示。平面立體的投影平面立體的投影棱錐表面取點：凡屬于棱錐特殊位置表面上的點，可利用表面投影的積聚性直接求得，而屬于一般位置表面上的點，可通過在該面上作輔助線求得。如已知棱錐表面上點M的正面投影m′，試求其另兩面投影m和m″。如圖所示。

3.2曲面立體的投影本節(jié)主要學習回轉(zhuǎn)體?；剞D(zhuǎn)體由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面圍成。最常見的回轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐、圓球、圓環(huán)等。畫回轉(zhuǎn)體的投影時，一般應畫出曲面各方向轉(zhuǎn)向輪廓線的投影和回轉(zhuǎn)軸線的三面投影。轉(zhuǎn)向輪廓線就是在某一投影方向上觀察曲面立體（如回轉(zhuǎn)體）時可見與不可見部分的分界線。注意轉(zhuǎn)向線的意義曲面立體的投影由圓柱面和頂圓平面、底圓平面圍成的。圓柱面是由一條直母線繞與其平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成的。圓柱曲面立體的投影投影特點：一個視圖為圓，另兩個視圖為矩形。圓柱的頂圓平面、底圓平面為水平面，其水平投影反映實形且重合，正面投影和側(cè)面投影均積聚為平行于相應投影軸的直線段，且直線段長度等于頂圓和底圓的直徑。投影分析和畫法當圓柱軸線處于垂直線位置時，其圓柱面在軸線所垂直的投影面上的投影有積聚性，其頂圓、底圓平面的另兩個投影有積聚性。例如，在圖中，已知點M的正面投影m′、點N的側(cè)面投影n″和點K的水平投影k，求各點的另兩面投影。曲面立體的投影圓柱表面上取點:曲面立體的投影圓錐是由圓錐面和底圓平面圍成的。圓錐基本幾何體的投影曲面立體的投影投影特點：一個視圖為圓，另兩個視圖為三角形。圓錐的底圓平面為水平面，其水平投影為圓，且反映實形；其正面投影和側(cè)面投影均積聚為直線段，長度等于底圓的直徑。投影分析和畫法基本幾何體的投影曲面立體的投影圓錐表面上取點:基本幾何體的投影曲面立體的投影圓球是由圓球面圍成的，如常見的籃球、足球、排球等。圓球基本幾何體的投影曲面立體的投影投影特點：三個視圖均為圓。圓球的三面投影圖。投影分析和畫法由于圓球的三個投影均無積聚性，除非屬于轉(zhuǎn)向輪廓線圓上的點，否則圓球表面上點的投影都要用緯圓法來求。圓球表面取點：圓球表面上取點曲面立體的投影曲面立體的投影圓環(huán)是由一圓母線，繞與它共面，但不過圓心的軸線旋轉(zhuǎn)而形成的。圓環(huán)曲面立體的投影投影分析和畫法

曲面立體的投影投影分析和畫法

曲面立體的投影

圓環(huán)表面取點：基本體的尺寸標注尺寸標注應遵守尺寸標注的基本規(guī)則，并注意以下幾點：

(1)形體的尺寸應標注在反映形體特征最明顯的視圖中，半徑尺寸一定要標注在反映圓弧的視圖中。

(2)直徑尺寸可以標注在非圓視圖中，標注時在尺寸數(shù)字前加字符“φ”。

(3)標注尺寸不能重復?；倔w的尺寸標注1.平面立體的尺寸標注

平面立體可標注長、寬、高三個方向上的尺寸；正棱柱除標注高度外，還可標注正多邊形的外接圓直徑；對于偶數(shù)邊的正多邊形也可標注其對邊尺寸、外接圓直徑或?qū)叧叽缍咧荒軜俗⒁粋€?；倔w的尺寸標注1.平面立體的尺寸標注基本體的尺寸標注1.平面立體的尺寸標注基本體的尺寸標注2.回轉(zhuǎn)體的尺寸標注圓柱應標注其高度和直徑；圓錐應標注其高度和底圓直徑；圓臺應標注高度、底圓直徑和頂圓直徑；球只標注直徑即可，尺寸數(shù)字前應加注“Sφ”。基本體的尺寸標注2.回轉(zhuǎn)體的尺寸標注基本體的尺寸標注2.回轉(zhuǎn)體的尺寸標注平面與立體的交線——截交線3.33.3.1切割體及截交線的概念3.3平面與立體的交線——截交線基本立體被平面截切后的部分就稱為——切割體，又稱為截斷體。

★截切基本體的平面稱為——截平面

★基本體被截切后的斷面稱為

——截斷面

★截平面與基本體表面的交線稱為——截交線。

截交線既屬于截平面又屬于立體表面，因此截交線上的每個點都是截平面和立體表面的公有點。這些公有點的連線就是截交線。截交線與截斷面截平面截交線截斷面★截交線的基本特性

⑴任何基本體的截交線都是一個封閉的平面圖形（平面折線、平面曲線或兩者的組合）；

⑵

截交線是截平面與基本體表面的共有線。

由此可以看出求畫截交線的實質(zhì)就是——求出截平面與基本體表面的一系列共有點，然后依次連接各點即可。3.3.2平面截切體的投影(1)求截交線的兩種方法：★求各棱線與截平面的交點→棱線法?！锴蟾骼饷媾c截平面的交線→棱面法。關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。(2)求截交線的步驟：☆截平面與立體的相對位置☆截平面與投影面的相對位置確定截交線的投影特性確定截交線的形狀★空間及投影分析★畫出截交線的投影分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。[例1]

求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。圖3-20平面與三棱錐相交sabccabsPvs求Pv與sa、sb、sc的交點1、2、3為截平面與各棱線的交點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。123(2)根據(jù)線上取點的方法，求出1、2、3和1、2、3。11223(3)連接各點的同面投影即等截交線的三個投影。(4)補全棱線的投影。3具體步驟如下：123(4)1341243

[例2]求做立體被截切后的投影[例3]求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。321(4)1●2●4●3●1●2●4●★空間分析交線的形狀？3●★投影分析★求截交線★分析棱線的投影★檢查尤其注意檢查截交線投影的類似性截平面與體的幾個棱面相交？截交線在水平投影、側(cè)面投影上的形狀？我們采用的是哪種解題方法？棱線法！[例4]求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。121(2)Ⅰ、Ⅱ兩點分別同時位于三個面上。三面共點：2●1●

注意：要逐個截平面分析和繪制截交線。當平面體只有局部被截切時，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。[例5]1’2’(3’)4’(5’)6’(7’)6”7”1”3”2”5”4”67[例6]補全水平投影和側(cè)面投影

[例7]求八棱柱被平面P截切后的水平投影。P截交線的形狀？ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ15432876截交線的投影特性？2≡3≡6≡71≡84≡5求截交線15476328分析棱線的投影檢查截交線的投影3.3.3.1回轉(zhuǎn)體截切的基本形式截交線截平面截平面截交線3.3.3曲面截切體的投影截交線的性質(zhì)：截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及

截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置。截交線都是封閉的平面圖形。3.3.3.2求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般步驟

(1)空間及投影分析☆分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置，以便確定截交線的形狀?！罘治鼋仄矫媾c投影面的相對位置，明確截交

線的投影特性，如積聚性、類似性等。找出截交線的已知投影，預見未知投影。(2)畫出截交線的投影當截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為：☆將各點光滑地連接起來，并判斷截交線的可見性。☆先找特殊點，補充中間點。截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置垂直圓橢圓平行兩平行直線傾斜PVPPVPPVP①圓柱體的截切[例1]如圖所示，圓柱被正垂面截切，求出截交線的另外兩個投影。平面與圓柱相交由于平面與圓柱的軸線斜交，因此截交線為一橢圓。截交線的正面投影重影為一直線，水平投影與圓柱面的投影重影為圓。側(cè)面投影可根據(jù)圓柱表面取點的方法求出。具體步驟如下：（1）先作出截交線上的特殊點。（2）再作出適當數(shù)量的一般點。（3）將這些點的投影依次光滑的連接起來。1’15’5373’(7)’1”5”3”7”22’2”4684’4”（4）補全側(cè)面投影中的轉(zhuǎn)向輪廓線。8”6”ⅠⅢⅤⅦⅡⅣⅥⅧ比較不同角度的正垂面截交圓柱所得的截交線的投影。平面與圓柱相交﹥45°﹤45°=45°[例2]求側(cè)面投影虛實分界點在形狀較為復雜的機件上，有時會見到由平面與曲面立體相交而形成的具有缺口的曲面立體和穿孔的曲面立體，只要逐個作出各個截平面與曲面立體的截交線，并畫出截平面之間的交線，就可以作出這些曲面立體的投影圖。分

析：該立體是在圓柱筒的上部開出一個方槽后形成的。構(gòu)成方槽的平面為垂直于軸線的水平P和兩個平行于軸線的側(cè)平面Q。它們與圓柱體和孔的表面都有交線，平面P與圓柱的交線為圓弧，平面Q與圓柱的交線為直線，平面Ｐ和Q彼此相交于直線段。[例2]補畫被挖切后立體的投影

。

平面與圓柱相交作圖步驟如下：（1）先作出完整基本形體的三面投影圖。平面與圓柱相交（2）然后作出槽口三面投影圖。(3)作出穿孔的三面投影圖。QP[例3]求側(cè)面投影★空間及投影分析★求截交線★分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對位置截平面與投影面的相對位置●●解題步驟：同一立體被多個平面截切，要逐個截平面進行截交線的分析和作圖?！瘛馵例4]求側(cè)面投影●●●●1’2’(11)’3’(10)’7’(8)’6’(9)’5’(7)1(8)11(6)23(5)(9)101’’2’’11’’(10)’’3’’9’’5’’8’’6’’7’’已知圓柱截切后的兩面投影，求作其W面投影平面截切圓錐有四種情況，如圖所示。平面與圓錐相交②圓錐體的截切

根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。過錐頂兩相交直線PV圓PVθθ=90°PV橢圓αθθ＞α拋物線PVθαθ=α雙曲線PVαθ=0°＜α[例1]如圖所示，圓錐被正垂面截切，求出截交線的另外兩個投影。平面與圓柱相交此種截交線為一橢圓。由于圓錐前后對稱，故橢圓也前后對稱。橢圓的長軸為截平面與圓錐前后對稱面的交線——正平線，橢圓的短軸是垂直與長軸的正垂線。ⅠⅡⅢⅣ正平線正垂線ⅠⅡⅢⅣ正平線正垂線平面與圓錐相交具體步驟如下：（1）先作出截交線上的特殊點。1’2’121”2”3’4’345’6’65（2）再作一般點。（3）依次光滑連接各點，即得截交線的水平投影和側(cè)面投影。（4）補全側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。3”4”5”6”7’8’787”8”輔助平面法平面與圓錐相交[例2]如圖所示，圓錐被水平面截切，求出截交線的另外兩個投影。342153’2’(4’)1’(5’)4”3”2”1”（1）先求特殊點。（2）再求一般點。（3）依次光滑連接各點。5”31524具體步驟如下：[例3]求圓錐被截切后的正面投影.分析:截交線的正面投影為雙曲線.作圖:1求特殊點。最高點最低點2求一般點。3連線。正平面與圓錐相交1’(2)’(4)’3’(6)’5’(8)’7’9’(10)’2”1”433”4”655”6”(12)’11’11”12”787”8”91010”9”11已知立體的正面投影，試完成H、W兩面投影1211

平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，其截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。③球體的截切平面與球相交[例1]求半球體截切后的水平投影和側(cè)面投影。水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。兩個側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。[例2]如圖所示，球被正垂面截切，求截交線的水平投影。具體步驟如下：（1）先求特殊點。（2）確定截交線與轉(zhuǎn)向輪廓線的交點。