第四章量綱分析與相似原理

本章主要介紹流體力學(xué)中的相似原理，模型實驗方法以及量綱分析法。

解決流體力學(xué)問題的方法數(shù)學(xué)分析

實驗研究

模型實驗以相似原理為基礎(chǔ)

第4章量綱分析與相似理論★本章重點掌握：量綱分析方法（瑞利法、定理）相似理論及其應(yīng)用（相似準則、模型實驗設(shè)計）§4-1量綱分析的基本概念一、單位與量綱單位：表征各物理量的大小。如長度單位m、cm、mm；時間單位小時、分、秒等。量綱：表征各物理量單位的種類。如m、cm、mm等同屬于長度類，用L表示；小時、分、秒等同屬于時間類，用T表示；公斤、克等同屬于質(zhì)量類，用M表示。二、基本量綱與基本物理量

1.基本量綱：具有獨立性、唯一性

在工程流體力學(xué)中，若不考慮溫度變化，則常取質(zhì)量M、長度L和時間T三個作為基本量綱。其它物理量的量綱可用基本量綱表示，如流速dimv＝LT－1密度dimρ＝ML－3

力dimF＝MLT－2

壓強dimp=ML－1

T－12.基本物理量：具有獨立性，但不具唯一性在工程流體力學(xué)中，若不考慮溫度變化，通常取3個相互獨立的物理量作為基本物理量。如ρ(密度)、V(流速)、d(管徑)或F(力)、a(加速度)、l(長度)等。

?基本物理量獨立性判別

任何兩個物理量的組合不能推出第3個物理量的量綱，即為3個物理量相互獨立。三、物理方程的量綱齊次性原理凡是正確描述自然現(xiàn)象的物理方程，其方程各項的量綱必然相同。量綱齊次性原理是量綱分析的理論基礎(chǔ)。工程中仍有個別經(jīng)驗公式存在量綱不齊次。滿足量綱齊次性的物理方程，可用任一項去除其余各項，使其變?yōu)闊o量綱方程。如流體靜力學(xué)基本方程用除其余各項，可得無量綱方程：§4-2量綱分析法

常用的量綱分析方法有瑞利法和泊金漢法（也稱π定理）。

一、瑞利法

基本思想：假定各物理量之間呈指數(shù)形式的乘積組合。例題1二、π定理

基本思想：某一物理現(xiàn)象中，共有i個物理量(這些物理量不能由其它物理量組合而成)，這些物理量的基本量綱為j個，則i個物理量存在某種函數(shù)關(guān)系。例題2f(x1，x2，……，xi)=0如果用Π1，Π2，……，Πi-j表示由x1，x2，……，xi組成的無量綱量，則有：F(Π1，Π2，……，Πi-j)=0

應(yīng)用Π定理的步驟（5步）：①確定影響此物理現(xiàn)象的各個物理量②從n個物理量中選取m個基本物理量作為m個基本因次的代表。m一般為3，應(yīng)使其分別具有質(zhì)量因次、時間因次（運動因次）、長度因次，如ρ、V、d③從三個基本物理量以外的物理量中，每次輪取一個，連同三個基本物理量組合成一個無量綱的Π項，一共寫出n－3個Π項。④據(jù)因次齊次性求各Π項的指數(shù)

ai，bi，ci⑤寫出描述物理現(xiàn)象的無因次關(guān)系式

§4-3流動相似的基本概念表征流動過程的物理量

描述幾何形狀的如長度、面積、體積等

描述運動狀態(tài)的如速度、加速度、體積流量等

描述動力特征的如質(zhì)量力、表面力、動量等

按性質(zhì)分幾何相似運動相似動力相似流動相似應(yīng)滿足的條件一.幾何相似（空間相似）定義：模型和原型的全部對應(yīng)線形長度的比值為一定常數(shù)。（4-1）

以上標(biāo)“＇”表示模型的有關(guān)量

:長度比例尺（相似比例常數(shù)）

面積比例尺:（4-2）

體積比例尺:（4-3）

圖4-1幾何相似滿足上述條件，流動才能幾何相似

定義：滿足幾何相似的流場中，對應(yīng)時刻、對應(yīng)點流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它們的速度場（加速度場）相似。圖4-2速度場相似二運動相似（時間相似）加速度比例尺:（4-6）注：長度比例尺和速度比例尺確定所有運動學(xué)量的比例尺。時間比例尺:速度比例尺:（4-4）（4-5）運動粘度比例尺:體積流量比例尺:（4-7）（4-8）定義：兩個運動相似的流場中，對應(yīng)空間點上、對應(yīng)瞬時作用在兩相似幾何微團上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它們的動力場相似。圖4-3

動力場相似三.動力相似（力相似）（4-10）

又由牛頓定律可知：其中：為流體的密度比例尺。（4-9）力的比例尺：動力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13）（4-14）有了模型與原型的密度比例尺，長度比例尺和速度比例尺，就可由它們確定所有動力學(xué)量的比例尺。

壓強（應(yīng)力）比例尺:力矩（功，能）比例尺:（4-11）（4-12）幾何相似是運動相似和動力相似的前提；動力相似是決定流動相似的主要因素；運動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。定義：在幾何相似的條件下，兩種物理現(xiàn)象保證相似的條件或準則。由式(4-10)

得:

（4-15）（4-16）（4-17）當(dāng)模型與原型的動力相似，則其牛頓數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是牛頓相似準則。

稱為牛頓數(shù)，它是作用力與慣性力的比值。

或:

令:

§4-4流動相似的準則一、重力相似準則（弗勞德準則）二、粘性力相似準則（雷諾準則）三、壓力相似準則（歐拉準則）四、彈性力相似準則(柯西準則)五、表面張力相似準則（韋伯準則）六、非定常性相似準則（斯特勞哈爾準則）

流場中有各種性質(zhì)的力，但不論是哪種力，只要兩個流場動力相似，它們都要服從牛頓相似準則。一、重力相似準則或:

令:

（4-18）（4-19）（4-20）稱為弗勞德數(shù)，它是慣性力與重力的比值。

當(dāng)模型與原型的重力相似，則其弗勞德數(shù)必定相等，反之亦然。這就是重力相似準則（弗勞德準則）。

（a）將重力比帶入式(4-15)得：重力場中，則：二、粘性力相似準則將粘性力之比帶入式(4-15)得：或:

令:

（4-21）（4-22）（4-23）

稱為雷諾數(shù)，它是慣性力與粘性力的比值。

當(dāng)模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數(shù)必定相等，反之亦然。這就是粘性力相似準則（雷諾準則）。

（b）

模型與原型用同一種流體時，，則：三、壓力相似準則或:

令:

（4-24）（4-25）（4-26）當(dāng)壓強用壓差代替：將壓力比帶入式(4-15)得：稱為歐拉數(shù)，它是總壓力與慣性力的比值。

當(dāng)模型與原型的壓力相似，則其歐拉數(shù)必定相等，反之亦然。這就是壓力相似準則（歐拉準則）。

（4-27）（4-28）歐拉數(shù):

歐拉相似準則:

四、彈性力相似準則（柯西準則）將彈性力之比帶入式(4-15)得：（4-29）或:

（4-30）令:

（4-31）

稱為柯西數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其柯西數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是彈性力相似準則（柯西準則）。

四、彈性力相似準則（馬赫準則）（4-32）若流場中的流體為氣體，由于

（c為聲速）則彈性力之比帶入式(4-15)得：或:

（4-33）令:

（4-34）

稱為馬赫數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

稱為馬赫數(shù)，它是慣性力與彈性力的比值。

當(dāng)模型與原型的彈性力相似，則其馬赫數(shù)必定相等，反之亦然。這就是彈性力相似準則（馬赫準則）。

五、表面張力相似準則將表面張力之比帶入式(4-15)得:（4-35）或:

（4-36）令:

（4-37）

稱為韋伯?dāng)?shù)，它是慣性力與表面張力的比值。

當(dāng)模型與原型的表面張力相似，則其韋伯?dāng)?shù)必定相等，即；反之亦然。這就是表面張力相似準則（韋伯準則）。

六、非定常性相似準則或:

令:

（4-38）（4-39）（4-40）將慣性力之比帶入式(4-15)得：

稱為斯特勞哈爾數(shù)，它是當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。

當(dāng)模型與原型的非定常流動相似，則其斯特勞哈爾數(shù)必定相等，即；反之亦然。這就是非定常相似準則（斯特勞哈爾準則）。

以上給出的牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)、歐拉數(shù)、柯西數(shù)、馬赫數(shù)、韋伯?dāng)?shù)、斯特勞哈爾數(shù)均稱為相似準則數(shù)。

如果已經(jīng)有了某種流動的運動微分方程，可由該方程直接導(dǎo)出有關(guān)的相似準則和相似準則數(shù)，方法是令方程中的有關(guān)力與慣性力相比。幾點說明：弗勞德準則、雷諾準則和歐拉準則是工程流體力學(xué)的常用準則.

一般弗勞德準則、雷諾準則為獨立準則，而歐拉準則為導(dǎo)出準則.

流動相似條件

流動相似：在對應(yīng)點上、對應(yīng)瞬時，所有物理量都成比例。

相似流動必然滿足以下條件：

1．任何相似的流動都是屬于同一類的流動，相似流場對應(yīng)點上的各種物理量，都應(yīng)為相同的微分方程所描述；2．相似流場對應(yīng)點上的各種物理量都有唯一確定的解，即流動滿足單值條件；3．由單值條件中的物理量所確定的相似準則數(shù)相等是流動相似也必須滿足的條件。模型實驗主要解決的問題

：

1．根據(jù)物理量所組成的相似準則數(shù)相等的原則去設(shè)計模型，選擇流動介質(zhì)；

2．在實驗過程中應(yīng)測定各相似準則數(shù)中包含的一切物理量；

3．用數(shù)學(xué)方法找出相似準則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，即準則方程式。該方程式便可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動中去。

一、模型律的選擇從理論上講，流動相似應(yīng)保證所有作用力相似，但一般難以實現(xiàn)。如僅保證重力和粘性力相似，則應(yīng)同時滿足弗勞德準則和雷諾準則，故有

即應(yīng)按上式選擇模型流體，一般難以實現(xiàn)；若取即原、模型采用同oxing流體，則將導(dǎo)致，失去了模型試驗的價值。

§4-5模型試驗設(shè)計實際應(yīng)用時，通常只保證主要力相似.

一般情況下：有壓管流、潛體繞流：明渠流動、繞橋墩流動：選雷諾準則選弗勞得準則二、模型設(shè)計定長度比尺

，確定模型流動的幾何邊界；選介質(zhì)

，一般采用同一介質(zhì)：；選模型律.例題3例題1[例1]

已知管流的特征流速Vc與流體的密度ρ、動力粘度μ和管徑d有關(guān)，試用瑞利量綱分析法建立Vc的公式結(jié)構(gòu).[解]式中k為無量綱常數(shù)。其中，各物理量的量綱為：假定例題1代入指數(shù)方程，則得相應(yīng)的量綱方程根據(jù)量綱齊次性原理，有解上述三元一次方程組得：故得：其中常數(shù)k需由實驗確定.例題2[例2]

實驗發(fā)現(xiàn)，球形物體在粘性流體中運動所受阻力FD與球體直徑d、球體運動速度V、流體的密度ρ和動力粘度μ有關(guān)，試用π定理量綱分析法建立FD的公式結(jié)構(gòu).