碩士學(xué)位研究生專業(yè)課程直升機(jī)旋翼動(dòng)力學(xué)教學(xué)目的

槳葉本質(zhì)上是彈性的，推導(dǎo)適用于鉸接式、無鉸式旋翼的彈性槳葉運(yùn)動(dòng)方程，除了揮舞，擺振，變距運(yùn)動(dòng)三個(gè)剛體自由度，還存在無限多彈性自由度，同時(shí)，各自由度間存在多種耦合：如：氣動(dòng)耦合，慣性耦合，幾何耦合，結(jié)構(gòu)耦合等了解彈性變形下，各自由度耦合關(guān)系對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響本章旋翼彈性槳葉動(dòng)力學(xué)中，槳葉作為彈性，僅考慮槳葉彎曲扭轉(zhuǎn)最簡單的情況并給出頻率表達(dá)式4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

先回顧我們前章已推導(dǎo)的剛體槳葉揮舞運(yùn)動(dòng)方程：下面推導(dǎo)彈性槳葉的揮舞運(yùn)動(dòng)微分方程考慮一旋翼槳葉在揮舞平面內(nèi)的彎曲，槳葉根部約束為任意情況即：無論鉸接式，還是無鉸式簡單直觀，使用方便希望彈性揮舞運(yùn)動(dòng)方程也這樣簡單直觀結(jié)果我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：有許多相似之處，但又有不同4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

（一）積分形式的牛頓法如圖所示，考慮半徑為r處外段上各力及力矩平衡取外段處一微段建立對(duì)r處的力矩平衡方程：

（1）（2）（3）慣性力：

力臂：離心力：力臂：氣動(dòng)力：力臂：其受力方向如圖所示大小為則各力對(duì)r剖面的力矩：4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

（一）積分形式的牛頓法引入：由工程梁理論，代入上式，建立結(jié)構(gòu)彎矩與槳葉彎曲曲率之間的關(guān)系：力矩平衡方程整理得：4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

（一）積分形式的牛頓法方程兩邊對(duì)r求兩次導(dǎo)數(shù)，其中整理則給出揮舞彎曲的偏微分方程：4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

（二）微分形式的牛頓法如圖所示，考慮半徑為r處的微段，其上各力及力矩平衡r處剖面

r+dr處剖面

剪力拉力彎矩4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

（二）微分形式的牛頓法由微段的力平衡條件（z向）：由微段各力對(duì)r＋dr處剖面的力矩平衡條件：①4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

（二）微分形式的牛頓法略去高階項(xiàng),且②②由代入①得：又由工程梁理論，代入上式，結(jié)構(gòu)彎矩與彎曲曲率關(guān)系：整理得：4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

（二）微分形式的牛頓法其中，可見，與積分形式的牛頓法的結(jié)果一致以上推導(dǎo)的揮舞運(yùn)動(dòng)方程是偏微分方程，其中Ｚ是展向r和時(shí)間t的函數(shù)。通過分離變量法，可將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程r處離心力為：求解？：4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

展成用模態(tài)形狀表示的級(jí)數(shù)形式為此，當(dāng)模態(tài)形狀選擇使得槳葉強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)可由前幾階模態(tài)就能很好得描述時(shí)，則旋翼動(dòng)力學(xué)問題就可通過最少自由度來解。此所謂模態(tài)截?cái)?，或模態(tài)疊加法。假設(shè)Z表示成模態(tài)形狀的級(jí)數(shù)：第k階模態(tài)形狀第k階模態(tài)坐標(biāo)，或廣義坐標(biāo)將Z代入前面表達(dá)式，則有：將4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

令則上式寫成：4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

方程兩邊應(yīng)用如下算子：利用模態(tài)形狀的正交性則揮舞彎曲方程為：

定義：為第k階模態(tài)的廣義質(zhì)量4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

類似于剛性槳葉的處理方法，式中，第k階揮舞槳葉彎曲模態(tài)頻率為：方程形式上與剛性槳葉揮舞方程很相似，但含義不同。無量綱化后，4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

注：前的數(shù)，而是要經(jīng)過二次分步積分得到用分部積分化簡：上式分子中的項(xiàng)并不直接等于方程中的4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

利用模態(tài)（振型）邊界條件邊界條件：邊界條件：無鉸式鉸接式無論鉸接式還是無鉸式，都為零進(jìn)一步：回顧：4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

同理：利用模態(tài)（振型）邊界條件無論鉸接式還是無鉸式，都為零中的項(xiàng)：揮舞方程應(yīng)用算子也用分部積分處理：4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

討論：這是旋翼彈性槳葉第k階揮舞平面彎曲運(yùn)動(dòng)微分方程，旋轉(zhuǎn)槳葉自由振動(dòng)模態(tài)的使用用自然頻率代替結(jié)構(gòu)項(xiàng)和離心力項(xiàng)且由于模態(tài)正交性第k階微分方程與其他彎曲模態(tài)方程不耦合方程：使用方便形式上與剛體槳葉揮舞方程相似4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

因此，可以看出對(duì)彎曲頻率的貢獻(xiàn)有兩部分：一部分是結(jié)構(gòu)彈性項(xiàng)，即彎曲剛度，另一部分是慣性項(xiàng)，即離心力剛度。問題：答案：離心力位能但這種影響在高階頻率時(shí)有所不同，對(duì)高階頻率影響比對(duì)低階頻率影響大彈性剛度比重增加，大>彈性能的增加。高階模態(tài)時(shí)頻率：對(duì)于揮舞運(yùn)動(dòng)頻率，哪部分剛度影響大，為什么？離心力剛度影響大，即改變4.1旋翼揮舞平面內(nèi)的彎曲

彈性槳葉的頻率方程可退化到剛體槳葉揮舞頻率方程：令代入頻率方程中：與剛體揮舞頻率一樣4.2旋翼旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)（擺振）彎曲在這里考慮純旋轉(zhuǎn)面（擺振面）彎曲運(yùn)動(dòng)。與前類似，同時(shí)，暫時(shí)忽略哥氏力的影響。包含槳葉彎曲和任意槳根約束即：無論鉸接式，還是無鉸式如圖所示，考慮建立微段對(duì)r處的力矩平衡方程：

（1）（2）（3）慣性力：

力臂：離心力：力臂：?關(guān)鍵氣動(dòng)力：力臂：微段受力如圖大小及力臂為：則各力對(duì)r剖面的力矩：采用積分形式的牛頓法，列寫運(yùn)動(dòng)方程處微段僅考慮純彎，無結(jié)構(gòu)耦合實(shí)際是有的4.2旋翼旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)（擺振）彎曲同理由工程梁彎曲理論：代入上式，并方程兩邊對(duì)r求二次偏導(dǎo)數(shù)，得

旋轉(zhuǎn)槳葉擺振彎曲運(yùn)動(dòng)方程：與揮舞彎曲方程不同之處4.2旋翼旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)（擺振）彎曲假設(shè)y表示成模態(tài)形狀的級(jí)數(shù)：第k階模態(tài)形狀第k階模態(tài)坐標(biāo)，將y代入擺振偏微分方程，則有：以上推導(dǎo)的旋轉(zhuǎn)面（擺振）運(yùn)動(dòng)方程是偏微分方程，其中y是展向r和時(shí)間t的函數(shù)。同樣通過分離變量法，可將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程求解？：或廣義坐標(biāo)4.2旋翼旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)（擺振）彎曲方程兩邊應(yīng)用如下算子：利用模態(tài)形狀的正交性類似于揮舞運(yùn)動(dòng)方程的處理方法，上式依然成立引入4.2旋翼旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)（擺振）彎曲無量綱化后，則擺振彎曲方程為：其擺振彎曲運(yùn)動(dòng)頻率：與揮舞彎曲頻率表達(dá)式不同之處4.2旋翼旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)（擺振）彎曲由上式看出，如果揮舞與擺振質(zhì)量分布、剛度分布相同在形式上就相當(dāng)于：但實(shí)際上，擺振方向彎曲剛度EIxx遠(yuǎn)大于揮舞方向彎曲剛度一般20～40倍此外，因此，上式只有在揮舞鉸與擺振鉸重合時(shí)，才成立即嚴(yán)格說：擺振彎曲和揮舞彎曲模態(tài)也不相同4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲剛體揮舞與剛體擺振的推廣考慮彈性影響及運(yùn)動(dòng)耦合其關(guān)鍵是哥氏力，但有新的內(nèi)容首先對(duì)于:揮舞運(yùn)動(dòng)

現(xiàn)在我們來推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)平面彎曲和揮舞平面彎曲的運(yùn)動(dòng)方程：不考慮結(jié)構(gòu)耦合因此，z仍表示純揮舞平面位移，y仍表示純旋轉(zhuǎn)平面位移擺振運(yùn)動(dòng)沿半徑向外的哥氏力力臂:？注：此處y的正方向?yàn)橄蚯?，而非擺振正向（如前定義），即y=-x（書中的x），同樣,Fy=-Fx如圖所示4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲則揮舞彎矩改寫為：同前述方法，得偏微分方程：多出的項(xiàng)，如何處理？4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲同前，分離變量設(shè)（注：比以前加了下標(biāo)Z以示揮舞方向）

代入并作算子

得k階彎曲模態(tài)常微分方程：

對(duì)哥氏力項(xiàng)作分部積分，

并交換積分次序可得：等于多少？進(jìn)一步簡化請(qǐng)大家試試！4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲近似的依據(jù)？由依據(jù)穩(wěn)定飛行條件的線化得到，即穩(wěn)定飛行時(shí)，槳葉斜率主要由錐度角產(chǎn)生．也即假定：對(duì)于剛體揮舞和剛體擺振哥氏力簡化為前面的而沒有用4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲對(duì)于：旋轉(zhuǎn)平面的彎曲有兩種哥氏力必須考慮(1)如只考慮則有哥氏力對(duì)r處力臂：(2)由于揮舞擺振彎曲徑向縮短通常所說的哥氏力徑向縮短：從0到以后對(duì)應(yīng)

徑向速度：

4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲擺振方向哥氏力，則總的擺振彎矩改寫為：

對(duì)r處力臂則旋轉(zhuǎn)平面彎曲偏微分方程為：多出來的哥氏力矩耦合項(xiàng)4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲同樣，設(shè)

代入并算子

得

多出來的哥氏力矩耦合項(xiàng)4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲其中哥氏力部分寫成（分部積分并交換積分次序后得到的）：如何得到？請(qǐng)大家試試。4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲由并無量綱化寫成與書中不同，坐標(biāo)系定義不同所以寫聯(lián)立形式：4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲上式中：4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲上式第二式，原書中用ｘ＝－ｙ，Ｆｘ＝－Ｆｙ。因此上式兩邊加“－”后，得出和《直升機(jī)理論》書中一樣的方程：4.3旋轉(zhuǎn)平面與揮舞平面彎曲嚴(yán)格來講：并不是一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型，尤其對(duì)于無鉸式旋翼，但對(duì)于鉸接式旋翼，槳葉根部的結(jié)構(gòu)耦合氏很重要的甚至無軸承旋翼，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)耦合往往不能忽略對(duì)于揮舞彎曲和擺振彎曲，上述方程上述揮舞擺振彎曲方程是可以基本滿足一般使用要求的將借助其他模型方法：如有限元法將在下一章介紹4.4彈性槳葉扭轉(zhuǎn)與揮舞平面彎曲嚴(yán)格來說：應(yīng)考慮揮－擺－扭全耦合，但這里只是將剛體揮舞－變距方程推廣到彈性槳葉回顧剛體揮舞－變距方程：考慮彈性項(xiàng)后有何異同？4.4彈性槳葉扭轉(zhuǎn)與揮舞平面彎曲假設(shè)彈性軸與變距軸重合：

槳葉變距＝剛體變距（由操縱線系引起）＋槳葉彈性扭轉(zhuǎn)揮舞彎曲運(yùn)動(dòng)方程：

＝＋半徑處剖面上的力及對(duì)ｒ處彈性軸的力臂：4.4彈性槳葉扭轉(zhuǎn)與揮舞平面彎曲（１）慣性力：

力臂：

（2）作用在重心上的離心力：

力臂：（3）氣動(dòng)力：

力臂：此外，離心力

對(duì)處彈性軸有一力臂

旋轉(zhuǎn)面彎矩

揮舞彎矩分量

即這樣總的力矩為：

4.4彈性槳葉扭轉(zhuǎn)與揮舞平面彎曲由工程梁彎曲理論：代入上式，并方程兩邊對(duì)r求二次偏導(dǎo)數(shù)，得

槳葉揮舞彎曲運(yùn)動(dòng)方程：代入并應(yīng)用算子：

得第k階彎曲模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程：

設(shè)4.4彈性槳葉扭轉(zhuǎn)與揮舞平面彎曲劃線部分分部積分并交換積分次序：等于多少？如何做？請(qǐng)大家試試對(duì)于彈性扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程，處力及對(duì)r處彈性軸力臂：

對(duì)變距軸力臂：y1有兩部分：

作用于重心處的慣性力：

相對(duì)重心慣性力矩：與剛體變距類似：（1）慣性力矩：4.4彈性槳葉扭轉(zhuǎn)與揮舞平面彎曲（2）離心力矩：

也有兩部分：

低頭的螺槳力矩：力臂：所以因?yàn)槁輼匦D(zhuǎn)面離心力分量：抬頭離心力矩：?

抬頭離心力矩是由旋轉(zhuǎn)平面力矩產(chǎn)生的如何得到？4.4彈性槳葉扭轉(zhuǎn)與揮舞平面彎曲（3）則，總的抬頭扭矩：由工程梁

代入并求導(dǎo)（對(duì)ｒ）可得設(shè)如引入剛體變距模態(tài)

則槳葉總的扭角（注：但剛體變距模態(tài)與彈性扭轉(zhuǎn)模態(tài)不正交）

對(duì)彈性軸，氣動(dòng)力矩（抬頭為正）（剛體＋彈性）可寫成：4.4彈性槳葉扭轉(zhuǎn)與揮舞平面彎曲則k第階扭轉(zhuǎn)模態(tài)微分方程：其中劃線的彎曲項(xiàng)分部積分并交換積分次序可寫為：

4.4彈性槳葉扭轉(zhuǎn)與揮舞平面彎曲將

代入，最后得，剛體變距、彈性扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，并與彈性揮舞運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)立，得：4.4彈性槳葉扭轉(zhuǎn)與揮舞平面彎曲至此，對(duì)于一般的（較簡單）彈性槳葉動(dòng)力學(xué)方程（尤其是推導(dǎo)過程）已完成，討論：

（1）扭轉(zhuǎn)振型（考慮操縱線系剛度）

（2）結(jié)構(gòu)上的變距－揮舞和變距－擺振耦合

（3）一般，槳葉變距鉸在揮擺鉸處端，如在內(nèi)側(cè)會(huì)是怎樣的情形？

在Ⅱ中將進(jìn)一步考慮更復(fù)雜但很有用的、考慮結(jié)構(gòu)耦合的方程推導(dǎo)，需借助Mathmatica軟件。4.4彈性槳葉扭轉(zhuǎn)與揮舞平面彎曲分布積分：

交換積分次序：

回顧：4.5傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉坐標(biāo)變換4.5.1傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉坐標(biāo)變換都能展成傅氏級(jí)數(shù)的形式

其中

任意周期函數(shù)4.5傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉坐標(biāo)變換可得:4.5.2傅立葉坐標(biāo)變換自由度的變換旋翼坐標(biāo)系中第m片槳葉的運(yùn)動(dòng)自由度

（以為例）

旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中旋翼整體的運(yùn)動(dòng)自由度

（前者和后者都是時(shí)間的函數(shù)）

考慮一副旋翼，N片槳葉第m片槳葉方位角：

則旋轉(zhuǎn)系自由度

不旋轉(zhuǎn)系中自由度的變換

這些自由度描述了旋翼在不旋轉(zhuǎn)系中的運(yùn)動(dòng)

其中

錐度角

槳尖平面的傾斜角

其它則為無效模態(tài)（相對(duì)旋翼整體運(yùn)動(dòng)而言）

（其中無效模態(tài)指與旋翼的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)）

無效模態(tài)

(N為偶數(shù)才有意義)

通常在分析中引進(jìn)某些獨(dú)特性質(zhì)

對(duì)于