第4章周期信號(hào)的頻域分析一、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)二、Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析4.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)

一、傅里葉級(jí)數(shù)定義二、傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式及三角形式三、傅里葉級(jí)數(shù)的收斂條件四、信號(hào)對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系一.周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)定義

將一個(gè)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)表示為如下形式，稱為周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)表示。其中，T0稱為周期信號(hào)的基波周期；稱為基波角頻率,f0稱為基波頻率；Cn稱為傅里葉系數(shù)；物理含義：周期信號(hào)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和二、傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式及三角形式兩項(xiàng)的基波頻率為f0，合起來稱為信號(hào)的基波分量兩項(xiàng)的基波頻率為2f0，合起來稱為信號(hào)的2次諧波分量兩項(xiàng)的基波頻率為Nf0，合起來稱為信號(hào)的N次諧波分量時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)是常數(shù)，表示信號(hào)的直流分量1、指數(shù)形式2、三角形式當(dāng)為實(shí)函數(shù)，則Cn具有共軛偶對(duì)稱性。即

二、傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式及三角形式由于C0是實(shí)的，所以b0=0，故令則有將C0Cn

C-n代入上面指數(shù)Fourier級(jí)數(shù)中，即得三角形式二、傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式及三角形式例1試計(jì)算圖示信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:因此，

的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式為若=T0/2，則有由于為實(shí)信號(hào)且滿足偶對(duì)稱，故其三角形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式為例2課本P142(3)注意：（1）是弱Dirichlet條件，只能保證傅里葉級(jí)數(shù)存在，不能保證收斂；（2）是強(qiáng)Dirichlet條件，可以確保傅里葉級(jí)數(shù)存在且收斂；周期信號(hào)應(yīng)滿足Dirichlet條件，即：(1)在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積，即滿足 (2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)有限的不連續(xù)點(diǎn)；且只有有限個(gè)極大值和極小值。三、傅里葉級(jí)數(shù)的收斂條件吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象

用有限次諧波分量來近似原信號(hào)，在不連續(xù)點(diǎn)出現(xiàn)過沖，過沖峰值不隨諧波分量增加而減少，且為跳變值的9%

。吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因

時(shí)間信號(hào)存在跳變破壞了信號(hào)的收斂性，使得在間斷點(diǎn)傅里葉級(jí)數(shù)出現(xiàn)非一致收斂。N=5N=15N=50N=500吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象特點(diǎn)：

只含有直流項(xiàng)與余弦項(xiàng)系數(shù)Cn也是實(shí)偶對(duì)稱的

1、偶對(duì)稱信號(hào)（縱軸對(duì)稱）四、信號(hào)對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系2、奇對(duì)稱信號(hào)（原點(diǎn)對(duì)稱）特點(diǎn)：

只含有正弦項(xiàng)系數(shù)Cn是純虛數(shù)且奇對(duì)稱四、信號(hào)對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系

3、半波重迭信號(hào)特點(diǎn)：

只含有正弦與余弦的偶次諧波分量，而無奇次諧波分量。四、信號(hào)對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系4、半波鏡像信號(hào)特點(diǎn)：

只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無直流分量與偶次諧波分量。四、信號(hào)對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系4.2Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

線性特性時(shí)移特性卷積特性微分特性1、線性特性

4.2Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)注意：必須是同周期信號(hào)！線性組合后的信號(hào)也是同一個(gè)周期的！例2求圖示周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)2、時(shí)移特性4.2Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)3、卷積性質(zhì)若

均是周期為T0的周期信號(hào)，且4.2Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)4、微分特性6、頻移特性4.2Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)5、

對(duì)稱特性（共軛特性的特例）若

為實(shí)信號(hào)4.3連續(xù)周期信號(hào)的頻譜分析一、周期信號(hào)頻譜的概念二、信號(hào)的有效帶寬三、周期信號(hào)的功率譜一、周期信號(hào)頻譜的概念連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以表示為虛指數(shù)信號(hào)之和，其中Cn為傅里葉系數(shù)。問題2：不同信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)不同表現(xiàn)在哪里？問題1：不同信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)形式是否相同？相同系數(shù)一、周期信號(hào)頻譜的概念1、頻譜的定義周期信號(hào)的傅里葉系數(shù)Cn即為信號(hào)的頻譜，其反映了信號(hào)中各次諧波的幅度值和相位值。隨頻率變化的特性稱之為信號(hào)的幅度頻譜；隨頻率變化的特性稱之為信號(hào)的相位頻譜；繪制信號(hào)各次諧波對(duì)應(yīng)的Cn線狀分布圖形，稱為信號(hào)的頻譜圖。例4

已知連續(xù)周期信號(hào)的頻譜如圖，試寫出信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)表示式。解：由圖可知例3課本P129例5試計(jì)算圖示信號(hào)的頻譜函數(shù)并繪制頻譜圖解:一、周期信號(hào)頻譜的概念2、頻譜的特性離散特性（所有周期信號(hào)的頻譜都是間隔為的譜線）問題1：信號(hào)周期越大，譜線越疏是否正確？幅度衰減特性（隨著諧波增大，幅度頻譜逐漸衰減，并趨于零）不正確，應(yīng)為越密二、信號(hào)的有效帶寬1、定義將包含主要諧波分量的這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號(hào)的有效帶寬。信號(hào)丟失有效帶寬內(nèi)的諧波成分對(duì)信號(hào)有明顯影響，反之無明顯影響；信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配”；2、實(shí)際意義——頻率特性中的重要指標(biāo)與持續(xù)時(shí)間反比三、周期信號(hào)的功率譜1、帕什瓦爾(Parseval)功率守恒定理2、定義|Cn|2

隨nw0

分布情況稱為周期信號(hào)的功率頻譜，簡稱功率譜。三、周期信號(hào)的功率譜3、物理意義：對(duì)實(shí)信號(hào)，平均功率P等于信號(hào)所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。任意周期信號(hào)的平均功率完全可以在頻域中用傅里葉系數(shù)確定；例6

試求周期矩形脈沖信號(hào)在其有效帶寬(0~2p

/t)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。其中A=1，T0=1/4，=1/20。解：周期矩形脈沖的傅里葉系數(shù)為將A=1，T0=1/4，=1/20，w0=2p/T0

=8p

代入上式周期信號(hào)的功率譜圖包含在有效帶寬(0~2p

/t)內(nèi)的各諧波平均功率為信號(hào)的平均功率為例7求其功率。解：1)傅里