正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.第五講正態(tài)分布

（高斯Gauss分布）

也許很多人不相信，玩這種賭博游戲十有八九是要輸?shù)舻?，不少人總想碰碰運(yùn)氣，然而中大獎(jiǎng)的概率實(shí)在是太低了。平時(shí)，我們很少有人會(huì)去關(guān)心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。一旦試驗(yàn)次數(shù)增多并且注意觀察的話，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，最后得出的竟是一條優(yōu)美的曲線。正態(tài)分布的定義是什么呢？對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，一般是給出它的概率密度函數(shù)。

一、正態(tài)分布的定義若r.vX的概率密度為記作f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.下面驗(yàn)證滿足概率密度性質(zhì):(1)f(x)≥0,(2)證明：而令t=ρcosθ,u=ρsinθ從而二、正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱的鐘形曲線.特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”.決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達(dá)式，得出正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)呢？容易看到，f(x)≥0即整個(gè)概率密度曲線都在x軸的上方;故f(x)以μ為對(duì)稱軸，并在x=μ處達(dá)到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),

分別代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)這說明曲線f(x)向左右伸展時(shí)，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。

當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→0,用求導(dǎo)的方法可以證明，為f(x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。x=μ

σ這是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如果忘記了，課下再復(fù)習(xí)一下。根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖。下面是我們用某大學(xué)男大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的正態(tài)密度曲線可見，某大學(xué)男大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個(gè)方面反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn)。請(qǐng)同學(xué)們想一想，實(shí)際生活中具有這種特點(diǎn)的隨機(jī)變量還有那些呢？除了我們在前面遇到過的身高外,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的概率密度是X的分布函數(shù)P(X≤x)是怎樣的呢？設(shè)X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：

它的依據(jù)是下面的定理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題.,則~N(0,1)

設(shè)定理1書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.四、正態(tài)分布表表中給的是x>0時(shí),Φ(x)的值.當(dāng)x<0時(shí)若~N(0,1)

若X～N(0,1),由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%.當(dāng)X～N(0,1)時(shí)，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974五、3準(zhǔn)則將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時(shí)，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.這一講，我們介紹了正態(tài)分布，它的應(yīng)用極為廣泛，在本課程中我們一直要和它打交道.后面第五章中，我們還將介紹為什么這么多隨機(jī)現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布.一、問題的提出

在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣.求截面面積A=

的分布.例如，已知圓軸截面直徑d

的分布，第六講隨機(jī)變量函數(shù)分布

一、問題的提出

在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣.已知t=t0

時(shí)刻噪聲電壓V的分布，求功率

W=V2/R

(R為電阻）的分布等.

設(shè)隨機(jī)變量X

的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X

的分布求出

Y

的分布？下面進(jìn)行討論.

這個(gè)問題無論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的.二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解：當(dāng)X

取值1，2，5時(shí)，

Y取對(duì)應(yīng)值5，7，13，例1求Y=2X+3的概率分布.而且X取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.故X125P0.20.50.3X5713P0.20.50.3如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可.一般，若X是離散型r.v，X的概率分布列為則

Y=g(X)～X

x1x2…xn

…P

p1p2…pn

…g(X)

g(x1)g(x2)…g(xn)

…P

p1p2…pn

…如：則Y=X2

的概率函數(shù)為：X-101P0.30.60.1X

01P0.60.4三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)FX(x),概率密度fX(x),求隨機(jī)變量Y=g(X)的分布函數(shù)FY(y),

概率密度fY(y)時(shí)，有兩種方法：分布函數(shù)法:(1)FY(y)=P(Y≤y)=P{g(X)≤y}

將它用FX(x)表示，(2)解：設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)，例2設(shè)X~求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()于是Y的密度函數(shù)故注意到0<x<4時(shí)，

即8<y<16時(shí)，

此時(shí)Y=2X+8例3設(shè)

X具有概率密度,求Y=X2的概率密度.求導(dǎo)可得當(dāng)y>0時(shí),

注意到Y(jié)=X20，故當(dāng)y0時(shí)，設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為和

，解：若則Y=X2

的概率密度為：

從上述兩例中可以看到，在求P(Y≤y)的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從{

g(X)≤y

}中解出X,從而得到與

{g(X)≤y}等價(jià)的X的不等式.例如，用代替{2X+8≤y}{X}

用代替{X2

≤

y}這樣做是為了利用已知的

X的分布，從而求出相應(yīng)的概率.這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法.稍事休息例4

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求Y=sinX的概率密度.當(dāng)y0時(shí),當(dāng)y1時(shí),

當(dāng)時(shí)故解:注意到,

=P(0X

arcsiny)+P(-arcsiny

X

）

解：當(dāng)0<y<1時(shí),

例4

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求Y=sinX的概率密度.當(dāng)0<y<1時(shí),解：

=P(0X

arcsiny)+P(-arcsiny

X

）

而求導(dǎo)得:例5

已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明Y=F(X)服從[0,1]上的均勻分布.又由于X的分布函數(shù)F是嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù),其反函數(shù)F-1

存在且嚴(yán)格遞增.證明:

設(shè)Y的分布函數(shù)是G(y),于是對(duì)y>1,G(y)=1;對(duì)y<0,G(y)=0;由于對(duì)0≤y≤1,G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤(y))=F((y))=y即Y的分布函數(shù)是求導(dǎo)得Y的密度函數(shù)可見,Y服從[0，1]上的均勻分布.本例的結(jié)論在計(jì)算機(jī)模擬中有重要的應(yīng)用.2.公式法：定理1：若y=g(x)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)

x=h(y)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Y=g(X)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為：定理2：若y=g(x)連續(xù)且在不相交的區(qū)間I1，I2，

…，In上逐段嚴(yán)格單調(diào)，對(duì)應(yīng)的反函數(shù)分別為h1(y),

h2(y),…h(huán)n(y),

則Y=g(X)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為：

下面給出一個(gè)定理，在滿足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度

.例6

設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度.解：在區(qū)間(0,1)上,函數(shù)lnx<0,故

y=-2lnx>0,

于是y在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù)由前述定理得注意取絕對(duì)值已知X在(0,1)上服從均勻分布，