7.5

工程優(yōu)優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例解析1.數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式：minf（X）s.t.AX≤b（線性不等式約束）AeqX=beq（線性等式約束）C(X)≤0（非線性不等式約束條件）Ceq(X)=0（非線性等式約束）Lb≤X≤Ub（邊界約束條件）約束條件約束優(yōu)化問(wèn)題的Matlab求解Fmincon是matlab最主要內(nèi)置的求解約束最優(yōu)化的函數(shù)，該函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

Fmincon函數(shù)使用的約束優(yōu)化算法都是目前比較普適的有效算法：（1）對(duì)于中等的約束優(yōu)化問(wèn)題fmincon使用序列二次規(guī)劃（SQPsequentialquadraticprogramming）算法；（2）對(duì)于大規(guī)模約束優(yōu)化問(wèn)題fmincon使用基于內(nèi)點(diǎn)反射牛頓法的信賴域算法(subspacetrustregionmethodandisbasedontheinterior-reflectiveNewtonmethod)；（3）對(duì)于大規(guī)模的線性系統(tǒng)使用共軛梯度算法（PCGpreconditionedconjugategradients）。由于這些算法都具有一定的復(fù)雜性，具體算法這里不再詳述。2.使用格式：

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options)設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)初始點(diǎn)調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)返回算法的終止標(biāo)志返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解非線性約束條件的函數(shù)名設(shè)計(jì)變量的下界和上界線性等式約束的常數(shù)向量線性等式約束的系數(shù)矩陣線性不等式約束的常數(shù)向量線性不等式約束的系數(shù)矩陣無(wú)定義時(shí)以空矩陣符號(hào)“[]”代替實(shí)例一

圓柱螺旋彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)圓柱螺旋彈簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)包括D—彈簧中徑，即螺旋線圓柱直徑D2=D+d—彈簧外徑D1=D-d—彈簧內(nèi)徑α—彈簧的螺旋角，即螺旋線的升角t—簧條間距，即螺旋線的節(jié)距d—簧條直徑（mm）H0—彈簧的自由高n—彈簧的有效圈數(shù)，即螺旋線的圈數(shù)—螺旋線的極角C—旋繞比，C=D/d彈簧設(shè)計(jì)需要滿足剛度、強(qiáng)度、穩(wěn)定性、共振性等條件例一調(diào)壓彈簧為普通圓柱螺旋壓縮彈簧。閥腔直徑為42mm，彈簧最大工作壓力為Fmax=1110N，彈簧的許用應(yīng)力[]=665MPa,彈簧的最大剛度kmax=24N/mm,彈簧結(jié)構(gòu)要求：工作圈數(shù)n≥0，彈簧指數(shù)4≤C≤14，彈簧壓并高度λb=1.1h=18.25mm。試在滿足彈簧的強(qiáng)度條件、剛度條件、穩(wěn)定性條件、旋繞比條件和結(jié)構(gòu)邊界等約束條件下，確定彈簧的簧絲直徑d、中徑D2和工作圈數(shù)n等三個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，使它的結(jié)構(gòu)重量最輕。1、建立數(shù)學(xué)模型（1）確定設(shè)計(jì)變量

X=[d,D2,n]T=[x1,x2,x3]T例一調(diào)壓彈簧為普通圓柱螺旋壓縮彈簧。閥腔直徑為42mm，彈簧最大工作壓力為Fmax=1110N，彈簧的許用應(yīng)力[]=665MPa,彈簧的最大剛度kmax=24N/mm,彈簧結(jié)構(gòu)要求：工作圈數(shù)n≥0，彈簧指數(shù)4≤C≤14，彈簧壓并高度λb=1.1h=18.25mm。試在滿足彈簧的強(qiáng)度條件、剛度條件、穩(wěn)定性條件、旋繞比條件和結(jié)構(gòu)邊界等約束條件下，確定彈簧的簧絲直徑d、中徑D2和工作圈數(shù)n等三個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，使它的結(jié)構(gòu)重量最輕。1、建立數(shù)學(xué)模型（2）建立目標(biāo)函數(shù)彈簧的體積為：例一調(diào)壓彈簧為普通圓柱螺旋壓縮彈簧。閥腔直徑為42mm，彈簧最大工作壓力為Fmax=1110N，彈簧的許用應(yīng)力[]=665MPa,彈簧的最大剛度kmax=24N/mm,彈簧結(jié)構(gòu)要求：工作圈數(shù)n≥0，彈簧旋繞比4≤C≤14，彈簧壓并高度λb=1.1h=18.25mm。試在滿足彈簧的強(qiáng)度條件、剛度條件、穩(wěn)定性條件、旋繞比條件和結(jié)構(gòu)邊界等約束條件下，確定彈簧的簧絲直徑d、中徑D2和工作圈數(shù)n等三個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，使它的結(jié)構(gòu)重量最輕。1、建立數(shù)學(xué)模型（3）建立約束函數(shù)彈簧的強(qiáng)度約束條件為：彈簧剛度約束

彈簧旋繞比約束條件：4≤C≤14，C=D/d彈簧安裝空間約束條件：彈簧圈數(shù)應(yīng)該大于0：綜上所述，該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：①設(shè)計(jì)變量：②目標(biāo)函數(shù)：③約束條件：

2、優(yōu)化方法和計(jì)算結(jié)果調(diào)用MATLAB優(yōu)化工具箱函數(shù)fmincon進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算1）編制目標(biāo)函數(shù)的M文件(Spring_f)

%體積目標(biāo)函數(shù)functionf=Spring_f(x)f=1/4*pi*pi*x(1)^2*x(2)*x(3);%x(1)直徑,x(2)中徑,x(3)圈數(shù)2）編制約束函數(shù)的M文件(Spring_g)

%約束函數(shù)function[g,ceq]=Spring_g(x);Fmax=1110;G=80*1e9,tao=665*1e6g(1)=1.66*(8*Fmax/pi)*(x(1)/x(2))^0.16*x(2)/x(1)^3*1e6-taog(2)=G*x(1)^4/(8*x(2)^3*x(3))*1e-3-24*1000%剛度約束g(3)=x(2)-14*x(1);%旋繞比約束g(4)=4*x(1)-x(2);%旋繞比約束g(5)=x(1)+x(2)-42;%安裝空間g(6)=-x(3);ceq=[];3）在命令窗口編寫(xiě)調(diào)用主程序(Spring_c)x0=[5,10,10];options=optimset('LargeScale','off');[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@Spring_f,x0,[],[],[],[],[],[],@Spring_g,options);disp'*********彈簧優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解**********'fprintf(1,'簧絲直徑d=%3.4f\n',x(1));fprintf(1,'彈簧中徑D=%3.4f\n',x(2));fprintf(1,'彈簧圈數(shù)n=%3.4f\n',x(3));[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options)[]實(shí)例二

螺栓組連接的優(yōu)化設(shè)計(jì)

螺栓組聯(lián)接的設(shè)計(jì)計(jì)算，主要根據(jù)被聯(lián)接機(jī)械設(shè)備的載荷大小、功能要求和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定螺栓的個(gè)數(shù)，規(guī)格和布置方式。螺栓組聯(lián)接的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以在保證機(jī)械設(shè)備的可靠性和提高壽命的前提下，達(dá)到降低成本的目的。

當(dāng)螺栓的材料、長(zhǎng)度和制造工藝等因素相同時(shí)，螺栓組的成本

與螺栓個(gè)數(shù)

和直徑

成正比例如圖所示，有一個(gè)壓力容器內(nèi)部氣體壓強(qiáng)

，容器內(nèi)徑，螺栓組中心圓直

，螺栓材料為45Cr，抗拉強(qiáng)度為，屈服強(qiáng)度為，擠壓疲勞強(qiáng)度，許用疲勞安全系數(shù)，取殘余預(yù)緊力，采用銅皮石棉密封墊片，螺栓相對(duì)剛度為，試設(shè)計(jì)成本最低的螺栓組聯(lián)接方案。

1）設(shè)計(jì)變量由于螺栓組的成本取決于螺栓直徑

和個(gè)數(shù)

，因此取設(shè)計(jì)變量取2）目標(biāo)函數(shù)建立螺栓組成本的目標(biāo)函數(shù)

一螺栓組連接的設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)約束條件3）螺栓組聯(lián)接的約束條件①?gòu)?qiáng)度約束條件：滿足疲勞強(qiáng)度條件疲勞約束條件為：②密封約束條件：為了保證螺栓之間的密封壓力均勻，防止局部漏氣，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，螺栓的間距應(yīng)小于因此，得到約束條件

③扳手工作空間約束條件：為了保證螺栓聯(lián)接的裝配工藝性，螺栓之間的間隔不能小于2d因此，得到約束條件④非負(fù)約束條件

綜上所述，該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：①設(shè)計(jì)變量：

②目標(biāo)函數(shù)：③約束條件：

二、螺栓連接的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型三、優(yōu)化方法和計(jì)算結(jié)果調(diào)用MATLAB優(yōu)化工具箱函數(shù)fmincon進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算1）編制目標(biāo)函數(shù)的M文件(Screw_f)2）編制約束函數(shù)的M文件(Screw_g)

%成本目標(biāo)函數(shù)functionf=Screw_f(x)f=x(1)*x(2);%x(1)個(gè)數(shù)，x(2)直徑%約束函數(shù)function[g,ceq]=Screw_g(x);p=8.5*1e6;%壓強(qiáng)Ksigma=4.4;psai=0.23;sigma_1=330;D2=240;%參數(shù)P=1/4*pi*D2^2*1.0e-6*p%工作壓力F0=（1.6*P+P）/x(1);%單個(gè)螺栓最大工作載荷F1=F0-0.8*P/x(1);%單個(gè)螺栓最小工作載荷

d1=0.85*x(2);%螺栓小徑A=1/4*pi*d1^2;%螺栓危險(xiǎn)截面積sigma_max=F0/A;sigma_min=F1/A;sigma_a=(sigma_max-sigma_min)/2；Sa=(2*sigma_1+(Ksigma-psai)*sigma_min)/((Ksigma+psai)*(2*sigma_a+sigma_min));g(1)=1.7-Sa;%疲勞強(qiáng)度約束條件g(2)=400*pi/x(1)-8*x(2);%密封約束條件g(3)=-400*pi/x(1)+2*x(2);%裝配約束條件g(4)=16-x(1);%螺栓個(gè)數(shù)約束條件g(5)=-x(2);%非負(fù)約束條件ceq=[];3）在命令窗口編寫(xiě)調(diào)用主程序(Screw_commond)x0=[7,20];options=optimset('display','iter');[x,fval]=fmincon(@Screw_f,x0,[],[],[],[],[],[],@Screw_g,options)disp'*********螺栓組優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解**********'fprintf(1,'螺栓組的個(gè)數(shù)n=%3.4f\n',x(1))fprintf(1,'螺栓的直徑d=%3.4f\n',x(2))[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options)[