自動(dòng)控制原理Ⅱ

第五章李雅普諾夫穩(wěn)定性分析方法1.1892年A.m.Lyapunov發(fā)表的《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問題》提出了穩(wěn)定性的一般概念和方法.2.Lyapunov方法可適用于線性系統(tǒng),非線性系統(tǒng),時(shí)變或非時(shí)變系統(tǒng),連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)或離散時(shí)間系統(tǒng).3.本節(jié)研究的內(nèi)容是基于常微分方程描述的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),并分為兩種分析方法.（1）Lyapunov第一方法:也稱間接法,屬于小范圍穩(wěn)定性分析方法?；舅悸肥?將非線性自治系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程在足夠小的鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒展開導(dǎo)出一次近似線性系統(tǒng).再根據(jù)線性系統(tǒng)特征值在復(fù)平面上分布,推斷非線性系統(tǒng)在鄰域內(nèi)的穩(wěn)定性.在Lyapunov第一法中,有一個(gè)基礎(chǔ)性的問題,即將非線性方程線性化的問題.稱上式為f(x)非線性函數(shù)在鄰域內(nèi)的線性函數(shù)表達(dá).故而必須要足夠小,其變化應(yīng)在的小鄰域內(nèi)進(jìn)行,即運(yùn)動(dòng)是非常小的,因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)亦可稱為一種擾動(dòng),因此上述方法常稱為小擾動(dòng)線性化.例子:一個(gè)系統(tǒng)的描述輸入輸出的模型為其中x:輸入,y:輸出.設(shè)是平衡點(diǎn),即滿足由于均為常數(shù),則從而有令則方程左邊是顯然代入后,得到兩邊進(jìn)行拉氏變換得(初始狀態(tài)),則則有故線性模型G(s)描述了非線性方程在處和的運(yùn)動(dòng)特性,而Laypunov第一方法,則是根據(jù)G(s)的特征值來分析其在小擾動(dòng)范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性.（2）李雅普諾夫第二方法也稱直接法,屬于直接根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)判斷內(nèi)部穩(wěn)定性的方法.該方法直接面對(duì)非線性系統(tǒng),基于引入具有廣義能量屬性的Lyapunov函數(shù)和分析李氏函數(shù)的定量性,建立判斷穩(wěn)定性的相應(yīng)結(jié)論.因此直接法也是一般性方法----Lyapunov第二法更具有一般性.但由于其解為當(dāng)時(shí),若則必有故平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的,即系統(tǒng)的實(shí)際表現(xiàn)是不收斂和發(fā)散的.從而采用特征值判斷失效.

一.系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的性質(zhì).運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的實(shí)質(zhì),歸結(jié)為系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性.平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題實(shí)際就是:偏離平衡狀態(tài)的受擾運(yùn)動(dòng)能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素,或者使之限制在平衡狀態(tài)的有限臨域內(nèi),或者使之同時(shí)返回平衡狀態(tài).從而要討論三個(gè)重要概念:1.自治系統(tǒng).2.平衡狀態(tài).3.受擾運(yùn)動(dòng).2.平衡狀態(tài)定義:對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)變系統(tǒng),自治系統(tǒng)的平衡狀態(tài)定義為狀態(tài)空間滿足屬性的一個(gè)狀態(tài).下面對(duì)平衡狀態(tài)的說明:(1).平衡狀態(tài)的直觀含義,平衡狀態(tài)直觀上為系統(tǒng)處于平衡時(shí)可能具有一類狀態(tài),系統(tǒng)平衡的基本特征.(2).平衡狀態(tài)的形式.平衡狀態(tài)可由方程定出,對(duì)二維自治系統(tǒng),的形式包括狀態(tài)空間中的點(diǎn)和線段.(3).不唯一性.平衡狀態(tài)一般不唯一.對(duì)定常線性系統(tǒng)而言,平衡狀態(tài)為方程的解.若矩陣A非奇,則有唯一解若矩陣A奇異,則解不唯一.3.受擾運(yùn)動(dòng).定義:受擾運(yùn)動(dòng)定義為其自治系統(tǒng)由初始擾動(dòng)引起的一類狀態(tài)運(yùn)動(dòng).也就是零輸入響應(yīng),在穩(wěn)定性分析中,可將非零初始狀態(tài)看成為相對(duì)于零平衡狀態(tài)的一個(gè)狀態(tài)擾動(dòng).二.Lyapunov意義下的穩(wěn)定性(實(shí)際上只刻劃穩(wěn)定性或描述)自治系統(tǒng)受擾后,其狀態(tài)自平衡狀態(tài)發(fā)生偏離,隨后在所有時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的響應(yīng)可能出現(xiàn)下列情況.(1)系統(tǒng)響應(yīng)是有界的(2)系統(tǒng)響應(yīng)不但有界,而且最終回到原先的初始狀態(tài).(3)系統(tǒng)自由響應(yīng)無界.1.預(yù)備知識(shí).設(shè)代表系統(tǒng)的平衡狀態(tài),用下式表示在平衡狀態(tài)周圍半徑為k的球域：.式中稱為歐氏范數(shù),它代表向量的長(zhǎng)度.2.現(xiàn)對(duì)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性用上述方法進(jìn)行定義實(shí)際上也是對(duì)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的定義.定義:如果對(duì)任意給定的ε>0,都對(duì)應(yīng)存在另一依賴于ε和的實(shí)數(shù),使得滿足不等式:的任一初始狀態(tài)出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿足不等式則稱自治系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)在時(shí)刻為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定.3.漸近穩(wěn)定性一般來講,如果受擾運(yùn)動(dòng)能回到原來的平衡狀態(tài),則稱該平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的.定義:如果上述自治系統(tǒng)1)平衡狀態(tài)為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定,2)存在可任給的實(shí)數(shù)μ>0,能使任一初始時(shí)刻出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)滿足注意,該定義只能應(yīng)用于平衡狀態(tài)不隨時(shí)間變化的平衡狀態(tài).5.不穩(wěn)定如果對(duì)于某一實(shí)數(shù)ε>0,不論δ取多么小,由S(δ)內(nèi)出發(fā)的軌跡只要其中有一個(gè)軌跡越出S(ε),則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的.三.李雅普諾夫第二方法Lyapunov第二方法也稱直接法.不但可用于穩(wěn)定性判別,且可用于系統(tǒng)設(shè)計(jì).該方法基于這樣的思想,即一個(gè)系統(tǒng)或物體之所以有運(yùn)動(dòng),是因?yàn)樗哂心芰康木壒?如果一個(gè)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中,其內(nèi)部貯存的能量隨時(shí)間的推移逐漸的衰減,一直到運(yùn)動(dòng)平衡狀態(tài)處,系統(tǒng)所具有的能量變成最小.所以若能找到一個(gè)可以完全描述上述過程的所謂能量函數(shù)的話,則系統(tǒng)的穩(wěn)定性就不難解決了.但由于實(shí)際系統(tǒng)形式是復(fù)雜多樣的,一般不容易找出具有直觀物理意義的能量函數(shù),因此,李雅普諾夫引入了一個(gè)廣義能量函數(shù),它雖非是系統(tǒng)真正物理意義上的能量函數(shù),但有著能量含義,且在形式上更具有一般性.Lyapunov函數(shù)與有關(guān),用V(x)來表示.一般情況下V(x)>0,表示能量隨時(shí)間的變化率.當(dāng)表明能量在運(yùn)動(dòng)中隨時(shí)間推移而減少.當(dāng)表明能量在運(yùn)動(dòng)中隨時(shí)間推移而增加.

1.預(yù)備知識(shí)

1).標(biāo)量函數(shù)V(x)性質(zhì)意義:令V(x)是向量x的標(biāo)量函數(shù),Ω是x空間包含原點(diǎn)的封閉有限區(qū)域.(1).如果對(duì)所有區(qū)域Ω中的非零向量x,有V(x)>0,且在x=0處有V(x)=0則在域Ω內(nèi)稱V(x)為正定.(2).如果V(x)除原點(diǎn)以及某些狀態(tài)等于零外,在域Ω內(nèi)其余狀態(tài)處都是正的,則V(x)稱為半正定.(3).如果-V(x)是正定的,則V(x)稱為負(fù)定的.(4).如果-V(x)是半正定的,則V(x)稱為半負(fù)定的.2).二次型標(biāo)量函數(shù)稱為二次型函數(shù),若則p稱為實(shí)對(duì)稱的.2.Lyapunov第二方法的幾個(gè)定理---穩(wěn)定性判據(jù)（書P317)定理一.設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程:(坐標(biāo)原點(diǎn)為平衡狀態(tài))如果上述給定系統(tǒng)存在一個(gè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)并滿足下列條件：1).對(duì)所有時(shí)V(x)>02).對(duì)所有時(shí),則平衡點(diǎn)x=0是漸近穩(wěn)定的.3).除滿足1),2)外,如果則x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的.定理二前提如定理一.1).對(duì)所有時(shí)V(x)>02).對(duì)所有時(shí),但不恒等于零,則x=0是漸近穩(wěn)定的.3).除滿足1),2)外,還滿足,有則平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的.定理三前提如定理一.1).對(duì)所有時(shí)V(x)>02).對(duì)所有時(shí),且在某x處恒為零則x=0為在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的,但非漸近穩(wěn)定.實(shí)際系統(tǒng)保持在一個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上.定理四前提如定理一.1).時(shí)