會計學1D101對弧長和曲線積分21398一、對弧長的曲線積分的概念與性質假設曲線形細長構件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計算此構件的質量,1.引例:

曲線形構件的質量采用第1頁/共35頁設是空間中一條有限長的光滑曲線,義在上的一個有界函數(shù),都存在,上對弧長的曲線積分,記作若通過對的任意分割局部的任意取點,2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構件的質量和對第2頁/共35頁如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對弧長的曲線積分為思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負.第3頁/共35頁3.性質（k為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長度)第4頁/共35頁二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路:計算定積分轉化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義第5頁/共35頁點設各分點對應參數(shù)為對應參數(shù)為則第6頁/共35頁說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計算公式相當于“換元法”.因此第7頁/共35頁如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標形式:則推廣:

設空間曲線弧的參數(shù)方程為則第8頁/共35頁一代、二換、三定限代：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)，換：換弧微元定限：定積分限，下限—小參數(shù)，上限—大參數(shù)第9頁/共35頁例1.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)第10頁/共35頁幾何與物理意義第11頁/共35頁（4）曲線弧對軸及軸的轉動慣量（5）曲線弧的質心坐標第12頁/共35頁例2.

計算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉動慣量I(設線密度

=1).解:

建立坐標系如圖,則第13頁/共35頁例3.

計算其中L為雙紐線解:

在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得第14頁/共35頁例4.

計算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線第15頁/共35頁例5.

設

C

是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:

分段積分第16頁/共35頁注關于對弧長的曲線積分的對稱性①若關于軸對稱當時，當時，其中

是的關于軸對稱的部分弧段第17頁/共35頁

若關于軸對稱當時，當時，其中

是的關于軸對稱的部分弧段第18頁/共35頁與重積分的對稱性十分類似

若關于原點對稱當時，當時，其中

是的對稱的部分弧段

若關于直線對稱第19頁/共35頁例6.

計算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知第20頁/共35頁思考:

例6中改為計算解:

令,則圓的形心在原點,故,如何第21頁/共35頁例7.

計算其中為球面解:化為參數(shù)方程則第22頁/共35頁例8.

有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對原點處單位質量質點的引力.第23頁/共35頁內容小結1.定義2.性質(l

曲線弧

的長度)第24頁/共35頁3.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧第25頁/共35頁思考與練習1.已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性分析:第26頁/共35頁2.設均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關于z

軸的轉動慣量(2)求它的質心.解:

設其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質量而(1)第27頁/共35頁故重心坐標為第28頁/共35頁備用題1.

設

C

是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:

分段積分第29頁/共35頁2.L為球面面的交線,求其形心.在第一卦限與三個坐