第六章空間與圖形§6.1圖形的軸對稱、平移與旋轉(zhuǎn)中考數(shù)學

(山東專用)A組2014—2018年山東中考題組考點一軸對稱與折疊五年中考1.(2018淄博,3,4分)下列圖形中,不是軸對稱的是

()

答案

C

C選項中的圖形為中心對稱圖形,不是軸對稱圖形.2.(2018青島,6,3分)如圖,三角形紙片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,點E為AB中點.沿過點E的直線折

疊,使點B與點A重合,折痕EF交BC于點F,已知EF=

,則BC的長是

()A.

B.3

C.3

D.3

答案

B∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°.由折疊的性質(zhì)可得∠BAF=∠B=45°,∴∠AFB=18

0°-∠B-∠BAF=90°.在Rt△ABF中,點E是AB的中點,∴EF是斜邊AB上的中線,∴AB=2EF=2×

=3.在Rt△ABC中,AB=AC=3,根據(jù)勾股定理得BC=

=3

.思路分析

利用△ABC是等腰直角三角形和折疊的性質(zhì)求出EF的長,進而求出AB的長,再利

用勾股定理求出BC的長.3.(2017青島,2,3分)下列四個圖形中,是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形的是

()

答案

A選項B、C中的圖形既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形;選項D中的圖形是中心對

稱圖形,而不是軸對稱圖形;只有選項A中的圖形是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形.故選A.思路分析

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念逐一進行判斷即可.4.(2017濰坊,4,3分)小瑩和小博士下棋,小瑩執(zhí)圓子,小博士執(zhí)方子.如圖,棋盤中心方子的位置

用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小瑩將第4枚圓子放入棋盤后,所有棋子構(gòu)成一個

軸對稱圖形.她放的位置是

()

A.(-2,1)

B.(-1,1)

C.(1,-2)

D.(-1,-2)答案

B根據(jù)題意描述,可建系如圖,可知當?shù)?枚圓子放入棋盤(-1,1)處時,所有棋子構(gòu)成一

個軸對稱圖形,如圖所示.

思路分析

根據(jù)題意描述,先確定坐標系,再根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)確定所放位置.5.(2017菏澤,7,3分)如圖,矩形ABOC的頂點A的坐標為(-4,5),D是OB的中點,E為OC上的一點,當

△ADE的周長最小時,點E的坐標是

()

A.

B.

C.(0,2)

D.

答案

B作A關(guān)于y軸的對稱點A',連接A'D交y軸于E,此時△ADE的周長最小,∵四邊形ABOC是矩形,∴AC∥OB,AC=OB,∵A的坐標為(-4,5),∴A'(4,5),B(-4,0),∵D是OB的中點,∴D的坐標是(-2,0),設(shè)直線A'D的解析式為y=kx+b,k≠0,根據(jù)題意得

解得

∴直線A'D的解析式為y=

x+

,當x=0時,y=

,∴當△ADE的周長最小時,點E的坐標為

.6.(2018泰安,15,3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,將矩形ABCD沿BE折疊,點A落在A'處,

若EA'的延長線恰好過點C,則sin∠ABE的值為

.

答案

解析由折疊知∠BA'E=∠A=90°,AE=A'E,A'B=AB=6,故在Rt△A'BC中,由勾股定理,得A'C=

=

=8,設(shè)AE=A'E=x,則CE=x+8,DE=10-x,在Rt△CDE中,由勾股定理,得(x+8)2=62+(10-x)2,解得x=2.在Rt△ABE中,BE=

=2

,所以sin∠ABE=

=

=

.7.(2017濱州,16,4分)如圖,將矩形ABCD沿GH對折,點C落在Q處,點D落在AB邊上的E處,EQ與

BC相交于點F.若AD=8,AB=6,AE=4,則△EBF的周長為

.

答案8解析設(shè)DH=x,則AH=8-x,由折疊可知EH=DH=x,在Rt△AEH中,由勾股定理,得AE2+AH2=EH2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5.則AH=8-x=3.易證△AHE∽△BEF,因此

=

=

,即

=

=

,所以BF=

,EF=

.所以△EBF周長為

+

+2=8.8.(2016濰坊,17,3分)已知∠AOB=60°,點P是∠AOB的平分線OC上的動點,點M在邊OA上,且OM

=4,則點P到點M與到邊OA的距離之和的最小值是

.答案2

解析如圖,OC平分∠AOB,作點M關(guān)于OC的對稱點M',過點M'作M'N⊥OA于點N,交OC于點P,

則M'N的長度即為所求的最小值,在Rt△M'ON中,sin∠M'ON=

,所以M'N=OM'·sin60°=4×

=2

,即所求的最小值為2

.

思路分析

①作出點M關(guān)于OC的對稱點M',②過點M'作邊OA的垂線M'N,③M'N的長度即為所

求的最小值.9.(2018威海,21,8分)如圖,將矩形ABCD(紙片)折疊,使點B與AD邊上的點K重合,EG為折痕;點C

與AD邊上的點K重合,FH為折痕.已知∠1=67.5°,∠2=75°,EF=

+1.求BC的長.

解析如圖,過點K作KM⊥EF,垂足為M.

由題意,得∠3=180°-2∠1=45°,∠4=180°-2∠2=30°,BE=EK,KF=FC.設(shè)KM=x,則EM=x,MF=

x,∴x+

x=

+1,解得x=1,∴EK=

,KF=2,∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+

+

,即BC的長為3+

+

.10.(2018棗莊,20,8分)如圖,在4×4的方格紙中,△ABC的三個頂點都在格點上.(1)在圖1中,畫出一個與△ABC成中心對稱的格點三角形;(2)在圖2中,畫出一個與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點三角形;(3)在圖3中,畫出△ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的三角形.

解析(1)如圖①或圖②所示:

圖①圖②(2)如圖③或圖④所示:

(3)如圖⑤所示:

考點二圖形的平移1.(2018棗莊,7,3分)在平面直角坐標系中,將點A(-1,-2)向右平移3個單位長度得到點B,則點B關(guān)

于x軸的對稱點B'的坐標為

()A.(-3,-2)

B.(2,2)

C.(-2,2)

D.(2,-2)答案

B∵點A(-1,-2)向右平移3個單位長度后得到點B(-1+3,-2),即B(2,-2),∴點B(2,-2)關(guān)于x

軸對稱的點B'的坐標為(2,2),故選B.2.(2018濟寧,6,3分)如圖,在平面直角坐標系中,點A、C在x軸上,點C的坐標為(-1,0),AC=2,將Rt

△ABC先繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,再向右平移3個單位長度,則變換后點A對應(yīng)的點的坐標是

()

A.(2,2)

B.(1,2)

C.(-1,2)

D.(2,-1)答案

A如圖所示,先根據(jù)題意畫出△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A1B1C.因為點C

的坐標為(-1,0),A1C=AC=2,所以點A1的坐標為(-1,2);再畫出將△A1B1C向右平移3個單位長度后

的圖形△A2B2C2,所以點A2的坐標為(2,2).

3.(2017東營,9,3分)如圖,把△ABC沿著BC的方向平移到△DEF的位置,它們重疊部分的面積是

△ABC面積的一半,若BC=

,則△ABC移動的距離是

()

A.

B.

C.

D.

-

答案

D由題意知AB∥DE,∴△CEH∽△CBA.由“相似三角形的面積比等于相似比的平

方”可得

=

,又∵BC=

,∴CE=

,∴BE=BC-CE=

-

.即△ABC移動的距離是

-

.思路分析

先根據(jù)平移的性質(zhì),得到△CEH∽△CBA,再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比

的平方,得到CE與CB的關(guān)系,從而求得平移距離.4.(2016菏澤,5,3分)如圖,A、B的坐標分別為(2,0),(0,1),若將線段AB平移至A1B1,則a+b的值為

()

A.2

B.3

C.4

D.5答案

A由A點平移前后的橫坐標分別為2和3,可知A點向右平移了1個單位;由B點平移前后

的縱坐標分別為1和2,可知B點向上平移了1個單位,因而可得線段AB向右平移1個單位,向上平

移1個單位得到線段A1B1,則a=0+1=1,b=0+1=1,∴a+b=1+1=2,故選擇A.思路分析

點的坐標在變換中的規(guī)律:(1)平移:左右平移時橫坐標左減右加,縱坐標不變;上下

平移時縱坐標上加下減,橫坐標不變;(2)關(guān)于坐標軸對稱,與其同名的坐標不變,另一個坐標變

為相反數(shù);(3)關(guān)于原點對稱,其橫、縱坐標均互為相反數(shù);(4)點(x,y)關(guān)于原點順時針旋轉(zhuǎn)90°后

的點的坐標為(y,-x),點(x,y)關(guān)于原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的點的坐標為(-y,x).注意:研究有關(guān)點旋

轉(zhuǎn)時點的坐標變化規(guī)律時,若旋轉(zhuǎn)方向不明,需分順時針和逆時針兩種情況進行討論.5.(2016青島,5,3分)如圖,線段AB經(jīng)過平移得到線段A'B',其中點A,B的對應(yīng)點分別為點A',B',這

四個點都在格點上.若線段AB上有一個點P(a,b),則點P在A'B'上的對應(yīng)點P'的坐標為

()

A.(a-2,b+3)

B.(a-2,b-3)C.(a+2,b+3)

D.(a+2,b-3)答案

A線段AB向左平移2個單位長度,向上平移3個單位長度得到線段A'B',由此可知線段

AB上的點P(a,b)的對應(yīng)點P'的坐標為(a-2,b+3),故選A.考點三圖形的旋轉(zhuǎn)1.(2018青島,1,3分)觀察下列四個圖形,中心對稱圖形是

()

答案

C在平面內(nèi),如果一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合,那么這個圖形叫做中

心對稱圖形,根據(jù)定義可知選項C是中心對稱圖形.2.(2018青島,7,3分)如圖,將線段AB繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到線段A'B',其中點A、B的對

應(yīng)點分別是點A'、B',則點A'的坐標是

()

A.(-1,3)

B.(4,0)C.(3,-3)

D.(5,-1)答案

D將點A繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點A',如圖所示,則點A'的坐標為(5,-1).

方法總結(jié)

旋轉(zhuǎn)作圖的一般步驟:(1)在已知圖形上找出關(guān)鍵點;(2)作出這些關(guān)鍵點的對應(yīng)點,對應(yīng)點的作法:將各關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心連接;將上述連線繞旋轉(zhuǎn)

中心旋轉(zhuǎn)一定的角度即可得到各關(guān)鍵點的對應(yīng)點;(3)順次連接各對應(yīng)點.3.(2018濟南,9,4分)如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的頂點都在方格線的格點上,將△ABC繞

點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C',則點P的坐標為

()

A.(0,4)

B.(1,1)C.(1,2)

D.(2,1)答案

C如圖,連接AA',CC',分別作AA'和CC'的垂直平分線l1,l2,則l1與l2的交點為(1,2),即點P的

坐標為(1,2).

4.(2017菏澤,5,3分)如圖,將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A'B'C,連接AA',若∠1=

25°,則∠BAA'的度數(shù)是

()

A.55°

B.60°

C.65°

D.70°答案

C根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=A'C,∠ACA'=90°,所以△ACA'是等腰直角三角形,所以∠

CAA'=∠CA'A=45°,所以∠B'A'C=45°-25°=20°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAC=∠B'A'C=20°,所以∠

BAA'=∠BAC+∠CAA'=20°+45°=65°.思路分析

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC',從而得出△ACA'是等腰直角三角形,從而可得∠CAA'=

∠CA'A=45°,故可求出∠B'A'C的度數(shù),又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAC=∠B'A'C,從而求出∠BAA'

的度數(shù).5.(2017棗莊,2,3分)將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°,得到數(shù)字“9”,將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°,得到數(shù)字

“6”,現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°,得到的數(shù)字是

()A.96

B.69

C.66

D.99答案

B根據(jù)數(shù)字“6”和“9”的特點及旋轉(zhuǎn)的定義知,數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°得到“69”.

故選B.思路分析

直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合“69”兩個數(shù)字的特點得出答案.6.(2017青島,5,3分)如圖,若將△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,則頂點B的對應(yīng)點B1的坐標為

(

)

A.(-4,2)

B.(-2,4)

C.(4,-2)

D.(2,-4)答案

B如圖.點B1的坐標為(-2,4).故選B.

7.(2017聊城,11,3分)如圖,將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn),使點B落在AB邊上點B'處,此時,點A的對

應(yīng)點A'恰好落在BC的延長線上,下列結(jié)論錯誤的是

()

A.∠BCB'=∠ACA'

B.∠ACB=2∠BC.∠B'CA=∠B'AC

D.B'C平分∠BB'A'答案

C由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BCB'=∠ACA',BC=B'C,∠B=∠CB'A',∠B'A'C=∠B'AC,∠ACB=

∠A'CB',由BC=B'C可得∠B=∠CB'B,∴∠CB'B=∠CB'A',∴B'C平分∠BB'A',又∠A'CB'=∠B+∠CB'B=2∠B,∴∠ACB=2∠B.由題意推不出∠B'CA=∠B'AC,∴C錯誤.8.(2017德州,11,3分)如圖放置的兩個正方形,大正方形ABCD的邊長為a,小正方形CEFG的邊長

為b(a>b),M在BC邊上,且BM=b,連接AM,MF,MF交CG于點P,將△ABM繞點A旋轉(zhuǎn)至△ADN,將

△MEF繞點F旋轉(zhuǎn)至△NGF.給出以下五個結(jié)論:①∠MAD=∠AND;②CP=b-

;③△ABM≌△NGF;

=a2+b2;⑤A,M,P,D四點共圓.其中正確的個數(shù)是

()

A.2

B.3

C.4

D.5答案

D由△ABM繞點A旋轉(zhuǎn)至△ADN,可得∠AND=∠AMB,在正方形ABCD中,AD∥BC,∴∠AMB=∠MAD,∴∠MAD=∠AND,故①正確;由FG∥CM,易得△MCP∽△FGP,∴

=

,即

=

,解得CP=b-

,故②正確;∵BM=CE=b,∴BM+CM=CE+CM,即BC=EM,∴AB=EM.又∵∠B=∠E,BM=EF,∴△ABM≌△MEF.又△NGF是由△MEF旋轉(zhuǎn)所得的,∴△NGF≌△MEF,∴△ABM≌△NGF,故③正確;由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及△ABM≌△MEF,得AN=AM=MF=NF,∠MAN=∠MAD+∠DAN=∠AND+∠

DAN=90°,∴四邊形AMFN是正方形,∴

=AM2=AB2+BM2=a2+b2,故④正確;連接AP,由∠AMP=∠ADP=90°,可得Rt△AMP與Rt△ADP的外接圓的圓心均為斜邊AP的中點,半徑均為斜邊AP長的一半,即A,M,P,D四點共圓,故⑤正確.9.(2016德州,12,3分)在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中點,一塊足夠大的三角板的直角頂

點與點E重合,將三角板繞點E旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交AB,BC(或它們的延長線)于點M,

N,設(shè)∠AEM=α(0°<α<90°),給出下列四個結(jié)論:①AM=CN;②∠AME=∠BNE;③BN-AM=2;④S△EMN=

.上述結(jié)論中正確的個數(shù)是

()

A.1

B.2

C.3

D.4答案

C如圖,作EF⊥BC于點F,則有AB=AE=EF=FC,

∵∠AEM+∠DEN=90°,∠FEN+∠DEN=90°,∴∠AEM=∠FEN.在Rt△AME和Rt△FNE中,

∴Rt△AME≌Rt△FNE,∴AM=FN,∴MB=CN.∵AM不一定等于BM,∴AM不一定等于CN,∴①錯誤;∵Rt△AME≌Rt△FNE,∴∠AME=∠BNE,∴②正確;∵AD=BC,AD=2AB=4,∴BC=4,AB=2,∴BN-AM=BC-CN-AM=BC-BM-AM=BC-(BM+AM)=BC-AB=4-2=2,∴③正確;∵Rt△AME≌Rt△FNE,∴ME=NE.∵cosα=

,∴ME=

=

,∴S△EMN=

ME·NE=

ME2=

=

,∴④正確,故選C.10.(2018棗莊,16,4分)如圖,在正方形ABCD中,AD=2

,把邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段BP,連接AP并延長交CD于點E,連接PC,則三角形PCE的面積為

.

答案9-5

解析∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,∵把邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段BP,∴

PB=BC=AB,∠PBC=30°,∴∠ABP=60°,∴△ABP是等邊三角形,∴∠BAP=60°,∴AP=AB=AD=2

.在Rt△ADE中,∠DAE=30°,AE=4,DE=2,∴CE=2

-2,PE=4-2

,過點P作PF⊥CD于F(如圖),在Rt△PFE中,∠PEF=60°,PE=4-2

,∴PF=

PE=2

-3,∴S△PCE=

CE·PF=

×(2

-2)×(2

-3)=9-5

.故答案為9-5

.

11.(2016棗莊,17,4分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=

,將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB'C'的位置,連接C'B,則C'B=

.

答案

-1解析連接BB',延長BC'交AB'于點H,∵∠C=90°,AC=BC=

,∴AB=

=2,由題意可知:AB'=AB=2,且∠BAB'=60°,∴△ABB'為等邊三角形,∴BB'=AB,∠ABB'=60°,又∵BC'=BC',B'C'

=AC',∴△B'BC'≌△ABC',∴∠B'BC'=∠ABC'=30°,∴BH⊥AB',且AH=

AB'=1,∴BH=

=

,∵∠AC'B'=90°,AH=B'H,∴C'H=

AB'=1,∴C'B=BH-C'H=

-1,故答案為

-1.

規(guī)律總結(jié)

解這類題通常抓住變換前后的全等圖形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.當旋轉(zhuǎn)角為60°

時,可以得到等邊三角形;當旋轉(zhuǎn)角為45°時,可以得到等腰直角三角形.12.(2017濰坊,24,12分)邊長為6的等邊△ABC中,點D、E分別在AC、BC邊上,DE∥AB,EC=2

.(1)如圖1,將△DEC沿射線EC方向平移,得到△D'E'C',邊D'E'與AC的交點為M,邊C'D'與∠ACC'

的平分線交于點N.當CC'多大時,四邊形MCND'為菱形?并說明理由;(2)如圖2,將△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)∠α(0°<α<360°),得到△D'E'C,連接AD'、BE'.邊D'E'的中點為P.①在旋轉(zhuǎn)過程中,AD'和BE'有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由;②連接AP,當AP最大時,求AD'的值.(結(jié)果保留根號)

圖1圖2解析(1)當CC'=

時,四邊形MCND'為菱形.

(1分)理由:由平移的性質(zhì)得CD∥C'D',DE∥D'E'.∵△ABC為等邊三角形,∴∠B=∠ACB=60°,∴∠ACC'=180°-60°=120°.∵CN為∠ACC'的平分線,∴∠NCC'=60°.

(2分)∵AB∥DE,DE∥D'E',∴AB∥D'E',∴∠D'E'C'=∠B=60°,

(3分)∴∠D'E'C'=∠NCC',∴D'E'∥CN,∴四邊形MCND'為平行四邊形.

(4分)∵∠ME'C'=∠MCE'=60°,∠NCC'=∠NC'C=60°,∴△MCE'和△NCC'為等邊三角形,∴MC=CE',NC=CC'.又E'C'=EC=2

,CC'=

,∴CC'=CE'.∴MC=CN,∴四邊形MCND'為菱形.

(5分)(2)①AD'=BE'.

(6分)理由:當α≠180°時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACD'=∠BCE'.由題意易知,AC=BC,CD'=CE',∴△ACD'≌△BCE',∴AD'=BE';

(8分)當α=180°時,AD'=AC+CD',BE'=BC+CE',又∵AC=BC,CD'=CE',∴AD'=BE'.綜上可知,AD'=BE'.

(9分)②當A、C、P三點共線時AP最大,如圖.

此時,AP=AC+CP.

(10分)在等邊△D'CE'中,由P為D'E'的中點,得AP⊥D'E',PD'=

,∴CP=3,∴AP=6+3=9.

(11分)在Rt△APD'中,AD'=

=

=2

.

(12分)考點四尺規(guī)作圖1.(2018濰坊,6,3分)如圖,木工師傅在板材邊角處作直角時,往往使用“三弧法”,其作法是:(1)作線段AB,分別以A,B為圓心,以AB長為半徑作弧,兩弧的交點為C;(2)以C為圓心,仍以AB長為半徑作弧交AC的延長線于點D;(3)連接BD,BC.下列說法不正確的是

()

A.∠CBD=30°

B.S△BDC=

AB2C.點C是△ABD的外心

D.sin2A+cos2D=1答案

D由(1)可知,AB=AC=BC,∴△ABC為等邊三角形,∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°,S△ABC=

AB2.由(2)可知CD=AC=BC=AB,∴∠CBD=∠D=

∠ACB=30°,S△BDC=S△ABC=

AB2,點C是△ABD的外心.故選項A、B、C正確,故選D.思路分析

先判斷△ABC的形狀,再用邊長表示出△ABC的面積,由△ABC與△CBD等底同高,

得S△BDC=S△ABC.2.(2018東營,15,4分)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,以頂點C為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交

AC,BC于點E,F,再分別以點E,F為圓心,大于

EF的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線CP交AB于點D.若BD=3,AC=10,則△ACD的面積是

.

答案15解析由作圖知CD是∠ACB的平分線,∴點D到∠ACB兩邊的距離相等,又∠B=90°,BD=3,∴

點D到AC邊的距離為3,∴△ACD的面積=

AC×3=

×10×3=15.3.(2017濟寧,14,3分)如圖,在平面直角坐標系中,以O(shè)為圓心,適當長為半徑畫弧,交x軸于點M,交

y軸于點N,再分別以點M,N為圓心,大于MN長為半徑畫弧,兩弧在第二象限交于點P.若點P的坐

標為(a,b),則a與b的數(shù)量關(guān)系為

.

答案

a+b=0解析由題意可得射線OP為∠MON的平分線,其所在直線的解析式為y=-x,故有b=-a,即a+b=0.4.(2018青島,15,4分)已知:如圖,∠ABC,射線BC上一點D.求作:等腰△PBD,使線段BD為等腰△PBD的底邊,點P在∠ABC內(nèi)部,且點P到∠ABC兩邊的距

離相等.

解析如圖所示:等腰△PBD即為所求.思路分析

根據(jù)作圖要求可知,點P在線段BD的垂直平分線上,且點P在∠ABC的平分線上,所

以點P是線段BD的垂直平分線與∠ABC的平分線的交點.疑難突破

根據(jù)題意,由兩個條件確定點P的位置.B組2014—2018年全國中考題組考點一軸對稱與折疊1.(2018遼寧沈陽,4,2分)在平面直角坐標系中,點B的坐標是(4,-1),點A與點B關(guān)于x軸對稱,則點

A的坐標是

()A.(4,1)

B.(-1,4)

C.(-4,-1)

D.(-1,-4)答案

A關(guān)于x軸對稱的點,橫坐標相同,縱坐標互為相反數(shù).2.(2018河北,3,3分)圖中由“

”和“

”組成軸對稱圖形,該圖形的對稱軸是直線

()

A.l1

B.l2

C.l3

D.l4

答案

C如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合,這個圖形叫做軸對

稱圖形,由此知該圖形的對稱軸是直線l3,故選C.3.(2018天津,10,3分)如圖,將一個三角形紙片ABC沿過點B的直線折疊,使點C落在AB邊上的點

E處,折痕為BD,則下列結(jié)論一定正確的是

()

A.AD=BD

B.AE=ACC.ED+EB=DB

D.AE+CB=AB答案

D由折疊的性質(zhì)知,BC=BE,∴AE+CB=AB.故選D.4.(2017四川內(nèi)江,6,3分)下列圖形:平行四邊形、矩形、菱形、圓、等腰三角形,這些圖形中只

是軸對稱的有

()A.1個

B.2個

C.3個

D.4個答案

A矩形、菱形、圓既是軸對稱又是中心對稱圖形,平行四邊形是中心對稱圖形,可能

是軸對稱圖形;只有等腰三角形只是軸對稱圖形,故選A.5.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,3,3分)下圖中序號(1)(2)(3)(4)對應(yīng)的四個三角形,都是△ABC這個圖形

進行了一次變換之后得到的,其中是通過軸對稱得到的是

()

A.(1)

B.(2)

C.(3)

D.(4)答案

A根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知,序號(1)對應(yīng)的三角形與△ABC的對應(yīng)點所連的線段被一

條直線(對稱軸)垂直平分,故選A.6.(2017遼寧營口,9,3分)如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點D在BC上,BD=3,DC=1,點P是

AB上的動點,則PC+PD的最小值為

()A.4

B.5

C.6

D.7答案

B過點C作CO⊥AB于O,延長CO到C',使OC'=OC,連接DC',交AB于P,連接CP.此時DP+CP=DP+PC'=DC'的值最小.∵DC=1,BD=3,∴BC=4,連接BC',由對稱性可知∠C'BO=∠CBO=45°,∴∠CBC'=90°,∴C'B⊥BC,∠BCC'=∠BC'C=45°,∴BC=BC'=4,根據(jù)勾股定理可得DC'=

=

=5.故選B.

7.(2018四川成都,24,4分)如圖,在菱形ABCD中,tanA=

,M,N分別在邊AD,BC上,將四邊形AMNB沿MN翻折,使AB的對應(yīng)線段EF經(jīng)過頂點D,當EF⊥AD時,

的值為

.

答案

解析延長NF與DC交于點H,∵∠ADF=90°,∴∠A+∠FDH=90°,∵∠DFN+∠DFH=180°,∠A+∠B=180°,∠B=∠DFN,∴∠A=∠DFH,∴∠FDH+∠DFH=90°,∴NH⊥DC.在Rt△EDM中,tanE=tanA=

,設(shè)DM=4k(k>0),則DE=3k,EM=5k,∴AD=9k=DC,DF=6k.∵tanA=tan∠DFH=

,則sin∠DFH=

,∴DH=

DF=

k,∴CH=9k-

k=

k,∵cosC=cosA=

=

,∴CN=

CH=7k,∴BN=2k,∴

=

.

思路分析

延長NF與DC交于點H,由菱形的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)得出NH⊥DC,構(gòu)造出Rt△

NHC,在Rt△NHC和Rt△DHF中,利用邊角關(guān)系求得相應(yīng)線段的長,再求出BN,CN的長,得出答

案.解題關(guān)鍵

本題主要考查了菱形的性質(zhì),翻折變換以及解直角三角形,靈活運用銳角三角函數(shù)

表示線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.8.(2017四川成都,25,4分)如圖1,把一張正方形紙片對折得到長方形ABCD,再沿∠ADC的平分

線DE折疊,如圖2,點C落在點C'處,最后按圖3所示方式折疊,使點A落在DE的中點A'處,折痕是

FG.若原正方形紙片的邊長為6cm,則FG=

cm.

答案

解析如圖,連接AA',作GM⊥AD于點M,作A'N⊥AD于點N,設(shè)AA'與FG交于點O,由題意知DN=

DC'=

cm,∴AN=AD-DN=

cm,A'N=

cm.在Rt△AA'N中,AA'=

=

cm,由對稱性得FG垂直平分AA',∴∠1+∠3=90°,又∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2,∴Rt△ANA'∽Rt△GMF,∴

=

,∴GF=

cm.

9.(2017甘肅蘭州,26,10分)如圖1,將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊,頂點C落到點

E處,BE交AD于點F.(1)求證:△BDF是等腰三角形;(2)如圖2,過點D作DG∥BE,交BC于點G,連接FG交BD于點O.①判斷四邊形BFDG的形狀,并說明理由;②若AB=6,AD=8,求FG的長.

解析(1)證明:由折疊得,△BDC≌△BDE,∴∠DBC=∠DBF.

(1分)又∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DBC=∠FDB.

(2分)∴∠DBF=∠FDB.∴DF=BF.∴△BDF是等腰三角形.

(3分)(2)①四邊形BFDG是菱形.

(4分)理由如下:∵四邊形ABCD是矩形,∴FD∥BG,

(5分)又∵DG∥BE,∴四邊形BFDG是平行四邊形.

(6分)又∵DF=BF,∴四邊形BFDG是菱形.

(7分)②∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴BD=

=

=10.∵四邊形BFDG是菱形,∴GF⊥BD,FG=2OF,OD=

BD=5.

(8分)∵∠FDO=∠BDA,∠FOD=∠A=90°,∴△OFD∽△ABD.

(9分)∴

=

,即

=

,∴OF=

.∴FG=2OF=

.

(10分)思路分析

(1)利用折疊及矩形的性質(zhì)得到角的等量關(guān)系,再用等角對等邊轉(zhuǎn)化成邊的等量關(guān)

系;(2)先判斷四邊形BFDG是平行四邊形,再利用一組鄰邊相等即可判斷四邊形BFDG是菱形;

(3)利用相似三角形的性質(zhì),把線段OF與矩形的邊聯(lián)系起來,求得線段OF的長,再利用菱形的性

質(zhì)求出FG的長.10.(2017江蘇徐州,27,9分)如圖,將邊長為6的正三角形紙片ABC按如下順序進行兩次折疊與展

平后,得折痕AD,BE(如圖①),點O為其交點.(1)探求AO與OD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)如圖②,若P,N分別為BE,BC上的動點,①當PN+PD的長度取得最小值時,求BP的長度;②如圖③,若點Q在線段BO上,BQ=1,則QN+NP+PD的最小值=

.

解析(1)AO=2OD.理由:∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°,∴AO=OB,∵BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠BDO=90°,∴OB=2OD,∴OA=2OD.(2)①作點D關(guān)于BE的對稱點D',過D'作D'N⊥BC分別交BE、BC于P、N,連接BD',

則此時PN+PD的長度取得最小值,∵BE垂直平分DD',∴BD=BD',∵∠ABC=60°,∴△BDD'是等邊三角形,∴BN=

BD=

,∵∠PBN=30°,∴

=

,∴PB=

.②

.提示:作Q關(guān)于BC的對稱點Q',作D關(guān)于BE的對稱點D',連接PD、QN,Q'D',則Q'D'即為QN+NP+PD的最小值.根據(jù)軸對稱的定義可知:∠Q'BN=∠QBN=30°,∠QBQ'=60°,∴△BQQ'為等邊三角形,△BDD'為等邊三角形,∴∠D'BQ'=90°,∴在Rt△D'BQ'中,D'Q'=

=

.∴QN+NP+PD的最小值為

.思路分析

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°,從而得到AO=OB,

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)①作點D關(guān)于BE的對稱點D',過D'作D'N⊥BC分別交BE、BC于P、N,連接BD',則此時PN+

PD的長度取得最小值,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)知BD=BD',從而推出△BDD'是等邊三角形,

得到BN=

BD=

,從而可得結(jié)論;②作Q關(guān)于BC的對稱點Q',作D關(guān)于BE的對稱點D',連接PD、QN,Q'D',則Q'D'即為QN+NP+PD

的最小值.根據(jù)軸對稱的定義得到∠Q'BN=∠QBN=30°,∠QBQ'=60°,從而得到△BQQ'為等邊

三角形,△BDD'為等邊三角形,解直角三角形即可得到結(jié)論.解題關(guān)鍵

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定,解直角三角形,最短路徑問題,根據(jù)軸對稱的

定義,找到相等的線段是解題的關(guān)鍵.考點二圖形的平移1.(2018江西,5,3分)小軍同學在網(wǎng)格紙上將某些圖形進行平移操作,他發(fā)現(xiàn)平移前后的兩個圖

形所組成的圖形可以是軸對稱圖形.如圖所示,現(xiàn)在他將正方形ABCD從當前位置開始進行一

次平移操作,平移后的正方形的頂點也在格點上,則使平移前后的兩個正方形組成軸對稱圖形

的平移方向有

()

A.3個

B.4個

C.5個

D.無數(shù)個答案

C如圖所示,正方形ABCD可以向上、向下、向右以及沿射線AC或BD方向平移,平移

后的兩個正方形組成軸對稱圖形.故選C.

2.(2018河北,15,2分)如圖,點I為△ABC的內(nèi)心,AB=4,AC=3,BC=2,將∠ACB平移使其頂點與I重

合,則圖中陰影部分的周長為

()

A.4.5

B.4

C.3

D.2答案

B如圖,連接AI,BI,∵點I為△ABC的內(nèi)心,∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,∵AC∥IE,∴

∠CAI=∠AIE,∴∠EAI=∠AIE,∴AE=EI.同理,BF=FI,∴陰影部分的周長=EI+FI+EF=AE+BF+

EF=AB,∵AB=4,∴陰影部分的周長為4,故選B.

3.(2017貴州銅仁,6,4分)如圖,△ABC沿著BC方向平移得到△A'B'C',點P是直線AA'上任意一點,

若△ABC,△PB'C'的面積分別為S1,S2,則下列關(guān)系正確的是

()

A.S1>S2

B.S1<S2

C.S1=S2

D.S1=2S2

答案

C∵△ABC沿著BC方向平移得到△A'B'C',∴AA'∥BC',又∵點P是直線AA'上任意一點,∴△ABC,△PB'C'的高相等,∴S1=S2,故選C.4.(2017浙江舟山,7,3分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知點A(

,0),B(1,1).若平移點A到點C,使以點O,A,C,B為頂點的四邊形是菱形,則正確的平移方法是

()A.向左平移1個單位,再向下平移1個單位B.向左平移(2

-1)個單位,再向上平移1個單位C.向右平移

個單位,再向上平移1個單位D.向右平移1個單位,再向上平移1個單位答案

D如圖,∵OB=

=

,OA=

,AB=

=

≠

,∴以點O,A,C,B為頂點的平行四邊形有以下三種平移方法:①將點A向右移動1個單位,再向上移動1個單位得

點C1(

+1,1),此時四邊形OAC1B是菱形,故D選項符合條件,C選項不符合條件;②將點A向左移動(

+1)個單位,再向向上移動1個單位得點C2(1-

,1),此時四邊形OABC2僅僅是平行四邊形,不是菱形,故B選項不符合條件,③將點A向左移動1個單位,再向向下移動1個單位得點C3(

-1,-1),此時四邊形OAC1B僅僅是平行四邊形,不是菱形,故A選項不符合條件,故選D.

5.(2017廣西百色,16,3分)如圖,在正方形OABC中,O為坐標原點,點C在y軸正半軸上,點A的坐標

為(2,0),將正方形OABC沿著OB方向平移

OB個單位,則點C的對應(yīng)點坐標是

.

答案(1,3)解析∵在正方形OABC中,O為坐標原點,點C在y軸正半軸上,點A的坐標為(2,0),∴OC=OA=2,C(0,2),∵將正方形OABC沿著OB方向平移

OB個單位,即將正方形OABC先向右平移1個單位,再向上平移1個單位,∴點C的對應(yīng)點坐標是(1,3).6.(2017安徽,18,8分)如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點△ABC

和△DEF(頂點為網(wǎng)格線的交點),以及過格點的直線l.(1)將△ABC向右平移兩個單位長度,再向下平移兩個單位長度,畫出平移后的三角形;(2)畫出△DEF關(guān)于直線l對稱的三角形;(3)填空:∠C+∠E=

°.

解析(1)如圖所示.

(3分)(2)如圖所示.

(6分)

(3)45.

(8分)提示:∠A1C1F1=∠C+∠E,連接A1F1,易證三角形A1F1C1是等腰直角三角形且∠A1C1F1=45°.考點三圖形的旋轉(zhuǎn)1.(2018新疆烏魯木齊,6,4分)在平面直角坐標系xOy中,將點N(-1,-2)繞點O旋轉(zhuǎn)180°,得到的對

應(yīng)點的坐標是

()A.(1,2)

B.(-1,2)

C.(-1,-2)

D.(1,-2)答案

A將點N繞點O旋轉(zhuǎn)180°后得到的對應(yīng)點與點N關(guān)于原點對稱,故對應(yīng)點的坐標為(1,

2),故選A.2.(2018云南昆明,5,3分)如圖,點A的坐標為(4,2).將點A繞坐標原點O旋轉(zhuǎn)90°后,再向左平移1個

單位長度得到點A',則過點A'的正比例函數(shù)的解析式為

.

答案

y=-4x或y=-

x解析分情況討論:①當點A繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°時,旋轉(zhuǎn)后得點A'(2,-4),向左平移1個單位

長度得點(1,-4),代入y=kx(k≠0)中,得k=-4,所以y=-4x;②當點A繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°時,旋轉(zhuǎn)

后得點A'(-2,4),向左平移1個單位長度得點(-3,4),代入y=kx(k≠0)中,得k=-

,所以y=-

x.所以過點A'的正比例函數(shù)的解析式為y=-4x或y=-

x.思路分析

點A繞坐標原點O旋轉(zhuǎn)90°,要分順時針和逆時針兩種情況分別求旋轉(zhuǎn)后所得點的

坐標,從而得平移后的點的坐標,再將平移后的點的坐標代入y=kx(k≠0)求解即可.易錯警示

本題考查了點在平面直角坐標系內(nèi)的旋轉(zhuǎn)和平移、正比例函數(shù)解析式的求法,題

中旋轉(zhuǎn)未指出旋轉(zhuǎn)方向,需分情況討論,若考慮不全,則易造成錯誤,導致失分.3.(2018江西,10,3分)如圖,在矩形ABCD中,AD=3,將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),得到矩形AE-

FG,點B的對應(yīng)點E落在CD上,且DE=EF,則AB的長為

.

答案3

解析根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得BC=EF,AB=AE,又四邊形ABCD為矩形,DE=EF,∴AD=DE=3,∠D=9

0°,即△ADE為等腰直角三角形,根據(jù)勾股定理得AE=

=3

,所以AB=AE=3

.解題關(guān)鍵

熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.4.(2018安徽,17,8分)如圖,在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中,已知

點O,A,B均為網(wǎng)格線的交點.(1)在給定的網(wǎng)格中,以點O為位似中心,將線段AB放大為原來的2倍,得到線段A1B1(點A,B的對

應(yīng)點分別為A1,B1).畫出線段A1B1;(2)將線段A1B1繞點B1逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A2B1.畫出線段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2為頂點的四邊形AA1B1A2的面積是

個平方單位.

解析(1)線段A1B1如圖所示.

(3分)

(2)線段A2B1如圖所示.

(6分)(3)20.

(8分)提示:根據(jù)(1)(2)可知四邊形AA1B1A2是正方形,邊長為

=2

,∴以A,A1,B1,A2為頂點的四邊形AA1B1A2的面積為(2

)2=20(個平方單位).5.(2016北京,28,7分)在等邊△ABC中,(1)如圖1,P,Q是BC邊上兩點,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度數(shù);(2)點P,Q是BC邊上的兩個動點(不與B,C重合),點P在點Q的左側(cè),且AP=AQ,點Q關(guān)于直線AC的

對稱點為M,連接AM,PM.①依題意將圖2補全;②小茹通過觀察、試驗,提出猜想:在點P,Q運動的過程中,始終有PA=PM.小茹把這個猜想與

同學們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:想法1:要證PA=PM,只需證△APM是等邊三角形.想法2:在BA上取一點N,使得BN=BP,要證PA=PM,只需證△ANP≌△PCM.想法3:將線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM=CK.……請你參考上面的想法,幫助小茹證明PA=PM.(一種方法即可)解析(1)∵△ABC為等邊三角形,∴∠B=60°.∴∠APC=∠BAP+∠B=80°.∵AP=AQ,∴∠AQB=∠APC=80°.(2)①補全的圖形如圖所示.

②想法1:證明:過點A作AH⊥BC于點H,如圖.

由△ABC為等邊三角形,AP=AQ,可得∠PAB=∠QAC.∵點Q,M關(guān)于直線AC對稱,∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM.∴∠PAB=∠MAC,AM=AP.∴∠PAM=∠BAC=60°.∴△APM為等邊三角形.∴PA=PM.想法2:證明:在BA上取一點N,使BN=BP,連接PN,CM,如圖.

由△ABC為等邊三角形,可得△BNP為等邊三角形.∴AN=PC,∠ANP=120°.由AP=AQ,可得∠APB=∠AQC.又∵∠B=∠ACB=60°,∴△ABP≌△ACQ.∴BP=CQ.∵點Q,M關(guān)于直線AC對稱,∴∠ACM=∠ACQ=60°,CM=CQ.∴NP=BP=CQ=CM.∵∠PCM=∠ACM+∠ACQ=120°,∴△ANP≌△PCM.∴PA=PM.想法3:證明:將線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到BK,連接KP,CK,MC,如圖.

∴△BPK為等邊三角形.∴KB=BP=PK,∠KPB=∠KBP=60°.∴∠KPC=120°.由△ABC為等邊三角形,可得△ABP≌△CBK.∴AP=CK.由AP=AQ,可得∠APB=∠AQC.∵AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,∴△ABP≌△ACQ.∴BP=CQ.∵點Q,M關(guān)于直線AC對稱,∴∠BCM=2∠ACQ=120°,CQ=CM=PK.∴MC∥PK.∴四邊形PKCM為平行四邊形.∴CK=PM,∴PA=PM.考點四尺規(guī)作圖1.(2018河北,6,3分)尺規(guī)作圖要求:Ⅰ.過直線外一點作這條直線的垂線;Ⅱ.作線段的垂直平分

線;Ⅲ.過直線上一點作這條直線的垂線;Ⅳ.作角的平分線.下圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖:

則正確的配對是

()A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—ⅢB.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—ⅠC.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—ⅠD.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ答案

D根據(jù)尺規(guī)作圖的方法可知正確的配對是①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ.故選D.2.(2017廣東深圳,8,3分)如圖,已知線段AB,分別以A,B為圓心,大于

AB為半徑作弧,連接弧的交點得到直線l,在直線l上取一點C,使得∠CAB=25°,延長AC至M,求∠BCM的度數(shù)為

()

A.40°

B.50°

C.60°

D.70°答案

B由作法知直線l是線段AB的垂直平分線,C在l上,∴AC=BC,∴∠B=∠CAB=25°,∴∠

BCM=50°,故選B.3.(2017廣西南寧,7,3分)如圖,△ABC中,AB>AC,∠CAD為△ABC的外角,觀察圖中尺規(guī)作圖的

痕跡,則下列結(jié)論錯誤的是

()

A.∠DAE=∠B

B.∠EAC=∠CC.AE∥BC

D.∠DAE=∠EAC答案

D根據(jù)作圖痕跡可知,題圖是用尺規(guī)作一個角等于已知角,即∠DAE=∠B,進而得到

AE∥BC,從而有∠EAC=∠C,故選項A、B、C均正確;因為AB>AC,所以∠ABC≠∠ACB,即∠

DAE≠∠EAC,故選項D錯誤,故選D.思路分析

由作圖痕跡可知,在三角形ABC的外角∠CAD內(nèi)畫了一個新角∠DAE,且∠DAE

=∠B,由此得到其他相關(guān)的結(jié)論.4.(2017湖北隨州,6,3分)如圖,用尺規(guī)作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點O為圓心,以任意長

為半徑畫?、?分別交OA、OB于點E、F,那么第二步的作圖痕跡②的作法是

()

A.以點F為圓心,OE長為半徑畫弧B.以點F為圓心,EF長為半徑畫弧C.以點E為圓心,OE長為半徑畫弧D.以點E為圓心,EF長為半徑畫弧答案

D用尺規(guī)作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點O為圓心,以任意長為半徑畫弧①,分

別交OA、OB于點E、F,第二步的作圖痕跡②的作法是以點E為圓心,EF長為半徑畫弧.故選擇

D.5.(2017湖南邵陽,16,3分)如圖所示,已知∠AOB=40°,現(xiàn)按照以下步驟作圖:①在OA,OB上分別截取線段OD,OE,使OD=OE;②分別以D,E為圓心,以大于

DE的長為半徑畫弧,在∠AOB內(nèi)兩弧交于點C;③作射線OC.則∠AOC的大小為

.

答案20°解析如圖,連接CD、CE,由作法得OE=OD,CE=CD,而OC為公共邊,所以可根據(jù)“SSS”證明

△COE≌△COD,所以∠COE=∠COD,即OC平分∠AOB.∵OC為∠AOB的角平分線,所以∠

AOC=

∠AOB,故答案為20°.

6.(2017浙江紹興,15,5分)以Rt△ABC的銳角頂點A為圓心,適當長為半徑作弧,與邊AB,AC各相

交于一點,再分別以這兩個交點為圓心,適當長為半徑作弧,過兩弧的交點與點A作直線,與邊

BC交于點D,若∠ADB=60°,點D到AC的距離為2,則AB的長為

.答案2

解析依據(jù)題意畫出圖形(如圖),根據(jù)畫圖可知,AD平分∠BAC,∵∠B=90°,∠ADB=60°,∴∠

BAD=30°,又∵DE⊥AC,∴BD=DE=2,在Rt△ABD中,tan30°=

,即

=

,∴AB=2

.

7.(2018陜西,17,5分)如圖,已知:在正方形ABCD中,M是BC邊上一定點,連接AM.請用尺規(guī)作圖

法,在AM上求作一點P,使△DPA∽△ABM.(不寫作法,保留作圖痕跡)

解析如圖所示,點P即為所求.

(5分)思路分析

過D點作DP⊥AM于點P,進而可利用∠APD=∠B,∠DAP=∠AMB判斷△DPA∽△

ABM.C組教師專用題組考點一軸對稱與折疊1.(2018云南,11,4分)下列圖形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是

()A.三角形

B.菱形

C.角

D.平行四邊形答案

B三角形不一定是軸對稱圖形,且不是中心對稱圖形;菱形既是軸對稱圖形,又是中心

對稱圖形;角是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形;平行四邊形是中心對稱圖形,但不一定是軸

對稱圖形.故選B.2.(2018湖北武漢,10,3分)如圖,在☉O中,點C在優(yōu)弧

上,將弧?折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D.若☉O的半徑為

,AB=4,則BC的長是

()

A.2

B.3

C.

D.

方法指導

在求解涉及圓的性質(zhì)的問題時,通常運用垂徑定理或圓周角定理得到相等的線段

或角或垂直關(guān)系,求解過程中常需作合適的輔助線構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理等知識進行

求解.答案

B連接AO,并延長交☉O于點D',則∠ABD'=90°.連接BD',CD',DD',DD'交BC于點E,連接

OD,OB,OC,∵D為AB的中點,∴OD⊥AB,∵AB=4,∴BD=

AB=2,∵OB=

,∴OD=

=1,∴BD'=2OD=2,即BD=BD',顯然點D與點D'關(guān)于直線BC對稱.∵∠ABD'=90°,∴∠ABC=∠

CBD'=45°,根據(jù)圓周角定理得∠AOC=90°,∴∠D'OC=90°,∴CD'=

OC=

,∵∠CBD'=45°,BD'=2,∴BE=ED'=

,根據(jù)勾股定理得CE=

=2

,所以BC=BE+CE=3

,故選B.

3.(2016黑龍江綏化,5,3分)把一張正方形紙片按如圖①,圖②對折兩次后,再按如圖③挖去一個

三角形小孔,則展開后的圖形是

()

答案

C

A、B、C、D四個圖形都符合以折痕所在直線為對稱軸的特征.據(jù)此不能排除選

項.由于題圖③是經(jīng)過兩次對折后得到的圖形,所以題圖③是展開后的圖形的一部分,對照A、

B、C、D四個選項,只有C與之吻合(如圖),故選擇C.

4.(2016湖北宜昌,3,3分)如圖,若要添加一條線段,使之既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,正確

的添加位置是

()

答案

A選項A中的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,選項B,C中的圖形既不是軸對

稱又不是中心對稱圖形,選項D中的圖形是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形.5.(2016黑龍江龍東地區(qū),12,3分)下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

()

答案

D

A,B選項中的圖形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,C選項中的圖形不是軸對稱圖

形,是中心對稱圖形,D選項中的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,故選D.6.(2018重慶A卷,16,4分)如圖,把三角形紙片折疊,使點B、點C都與點A重合,折痕分別為DE,

FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=2

厘米,則△ABC的邊BC的長為

厘米.

答案(6+4

)解析過E作EH⊥AG于H.∵∠AGE=30°,AE=EG=2

,∴EH=

,GH=EGcos30°=3,∴AG=6,∴GC=AG=6,易知BE=AE=EG=2

,∴BC=BE+EG+GC=(6+4

)厘米.7.(2018新疆烏魯木齊,15,4分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2

,AC=2,點D是BC的中點,點E是邊AB上一動點,沿DE所在直線把△BDE翻折到△B'DE的位置,B'D交AB于點F.若△AB'F為

直角三角形,則AE的長為

.

答案3或2.8解析易知∠B'AF不可能為直角.當∠B'FA是直角時,如圖1,

圖1∵∠C是直角,∠ABC=∠DBF,∴△BCA∽△BFD,∴

=

,又∵BC=2

,且易知BD=

,AB=4,∴BF=

×2

=

,由翻折可知△DBE≌△DB'E,∴BE=B'E,∠EB'F=∠ABD=30°,∴BE=EB'=2EF,∴BE=

BF=1,∴AE=4-1=3.當∠FB'A是直角時,如圖2,

圖2連接B'C、